镜像法

九镜像法

用镜像法某些看来棘手的问题很容易地得到解决。它们是唯一性定理的典型应用之例。镜像法法的实质是把实际上分片均匀媒质看成是均匀的，并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布(即导体表面的感应电荷或介质分界面的极化电荷)。根据唯一性定理，只要虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起所产生的电场能满足给定的边界条件，这个结果就是正确的。

镜像法最简单的例子是：接地无限大导体平面上方一个点电荷的电场，见图1—28(a)。

显然，只要在导体平面的下方与点电荷q对称的点(—d，0，0)处放置一点电荷(－q)，并把无限大导体平板撤去，整个空间充满介电常数为ε的电介质，在平板上半空间内。故任意点（x，y，z）的电位为

（1－77）

这里的(—q)相当于(十q)对导体板的“镜像”，故称为镜像法，它代替了分布在导体平板表面上的感应电荷的作用。

用镜像法解题时要注意适用区域。这里，解(1—77)式适用区域为导体平面上半空间内。下半空间内实际上不存在电场。

还有几种其它类型的镜像问题。这里先来研究一个导体球面的镜像问题。如图1—29所示，

在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一点电荷q。根据问题的对称性，可设镜像电荷(—q`)放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。虽然有

（1－78）

于是，球外任意点P的电位为

（1－79）

由此可知，点电荷附近接地导体球的影响，可用位于距球心b处的镜像电荷(—q`)来表示。也即(—q`)代替金属球面上感应电荷的作用。

镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。如图1—30所示，平面分界面S的左、右半空间分别

充满介电常数为与的均匀介质，在左半空间距S为d处有一点电荷q，求空间的电场。设左半空间

电位为，右半空间电位为

这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q`所产生(这时介电常

数的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的像电荷q``单独产生(这时介电常数为的介质布满整个空间)。

故两介质中的电位表达式为

（1－80）

（1－81）

（1－82）

（1－83）

应该指出，上述球面镜像问题可以反过来去求导体球腔内点电荷的电位和电场，不过这时像电荷是在球外罢了。对于一平行于介质分界平面(或导体平面)的线电荷，也有类似的镜像问题。实际上，能够用镜像法求解的问题还不止这些。