第三章离散傅里叶变换DFT 总结[可修改版ppt]
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~x(n) 的DFS系数为
X ~(k)N 1~ x(n)W N nk N 1 (n)W N nk 1 （3-9）
n0
n0
在这种情况下，对于所有的k值 X~(k) 均相同。于是，将式
（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式
~ x(n ) r (n r)N N 1N k 0 1W N n kN 1N k 0 1 ej2 N n （k 3-10）
域
相
卷
乘
DTFT
积
离散和非周期
周期和连续
IDFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样频域采样呢？
办法：频域相乘，时域卷积
计算机能够处理
Baidu Nhomakorabea
时
问题解决！
频
域
域
卷
相
积
IDFT
乘
离散和周期
DFT
周期和离散
问题：(9)和(5)不同呢？ Answer：周期延拓
旋转因子WN的性质
WN ej2N
1.周期性
WNn WN(nrN)
例2 已知周期序列 X~(k)如图3-2所示，其周期N=10, 试求
解它的傅里叶级数系数 X~(k) 。
… －10
012345 6 7 8 910
~x(n) …
n
图3-2 例3-2的周期序列~x(n（) 周期N=10）
由式（3-6）
X ~(k)1 01
~ x(n)W 1n0k4
j2n k
e 10
－N
0
N－ 1
n
主 值区 间
2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生 一个波形的镜像。
FS
连续和非周期
非周期和连续
问题：计算机只能进行数字信号处理，所以需要将原模拟信号在时域离散化，即
办法：时域采样
DFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样时域采样呢？
办法：时域相乘，频域卷积
问题：依然不能被 计算机处理
时
频
域
办法：频率采样
2.共轭对称性 WNn (WNn)*
3.正交性
N 1N n 0 1W N k(nW N m)n *N 1N n 0 1W N (m k)n 1 0
m m
k k
例1 设 ~x(n为)周期脉冲串
~x(n)
(nrN)
r
（3-8）
因为对于0≤n≤N-1， ~ x(n), 所(n)以 利 用 式 （ 2-6 ） 求 出
1
X(jk 0)T0
T0/2 x(t)ejk 0tdt
T0/2
x(t) X(jk0)ejk0t
k
其中， 0 2F02 T 0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
X(ej) x(n)ejn
n
x(n)1 X(ej)ejnd
0
|X p ( jk )|
非周期和离散
o |X( ej)| 1/T
k
周期和连续
nT
(c)
－
离散和周期
o
|X ( e jks)| 周期和离散
离散傅里叶变换
(DFT)
o
N点
(d ) n
－
o
s
N点
各种形式的傅里叶变换
卷积特性
•时域卷积定理 •频域卷积定理
1.在一个域的相乘(卷积)等于另一个域的卷积(相乘)
2
时域离散，将导致频域周期化， 且这个周期是s。
时域离散
频域周期
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
x(n)x(n) 0nN1 0 其他 n
为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序
列 ~x(n)的一个周期，而把~x(n)看成x(n)的以N为周期的周期延拓，
即表示成:
x(n)~x(n) 0nN1 0 其他 n
~x(n)
x(nrN)
r
这个关系可以用图2-8来表明。通常把 ~x(n)的第一个周期n=0
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
X(j )x(t)ej tdt
x(t)21 X(j)ejtd
时域连续 时域非周期
频域非周期 频域连续
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
时域离散、周期
频域周期、离散
变换类型
傅里叶变换 (FT)
时域函数
x a(t )
－
o
x p (t )
傅里叶级数 (FS)
序列傅里叶变换 (DTFT)
o Tp
x (n T )
To N点
xp(n )
频域函数
连续和非周期
|X a( j )|
1
非周期和连续
t
(a )
－ 0
连续和周期
(b ) t
离散和非周期
o
DFT的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，
因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有 限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导 得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。
设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有 值，其他n时，x(n)=0。即
到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是~x(n)的“主值序列”，即
主值区间上的序列。而称~x(n)为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)
之间彼此并不重叠，故上式可写成 ~ x ( n ) x ( n m N )o x (n d ) (N )
x (n )
0
N－ 1
n
~x ( n )
n0
n0
这一有限求和有闭合形式
X ~(k)1 01
~ x(n)W 1n0k4
j2n
e 10
k
n0
n0
|~ x(k)|
5
（3-11） （3-12）
…
…
－101 2 3 4 5 67 8 910
15
20
k
图 3-3 图3-2所示序列的傅里叶级数系数 X~(k)的幅值
有限长序列离散傅里叶变换（DFT）
第三章离散傅里叶 变换DFT 总结
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
傅里叶变换的几种可能形式
傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
X ~(k)N 1~ x(n)W N nk N 1 (n)W N nk 1 （3-9）
n0
n0
在这种情况下，对于所有的k值 X~(k) 均相同。于是，将式
（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式
~ x(n ) r (n r)N N 1N k 0 1W N n kN 1N k 0 1 ej2 N n （k 3-10）
域
相
卷
乘
DTFT
积
离散和非周期
周期和连续
IDFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样频域采样呢？
办法：频域相乘，时域卷积
计算机能够处理
Baidu Nhomakorabea
时
问题解决！
频
域
域
卷
相
积
IDFT
乘
离散和周期
DFT
周期和离散
问题：(9)和(5)不同呢？ Answer：周期延拓
旋转因子WN的性质
WN ej2N
1.周期性
WNn WN(nrN)
例2 已知周期序列 X~(k)如图3-2所示，其周期N=10, 试求
解它的傅里叶级数系数 X~(k) 。
… －10
012345 6 7 8 910
~x(n) …
n
图3-2 例3-2的周期序列~x(n（) 周期N=10）
由式（3-6）
X ~(k)1 01
~ x(n)W 1n0k4
j2n k
e 10
－N
0
N－ 1
n
主 值区 间
2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生 一个波形的镜像。
FS
连续和非周期
非周期和连续
问题：计算机只能进行数字信号处理，所以需要将原模拟信号在时域离散化，即
办法：时域采样
DFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样时域采样呢？
办法：时域相乘，频域卷积
问题：依然不能被 计算机处理
时
频
域
办法：频率采样
2.共轭对称性 WNn (WNn)*
3.正交性
N 1N n 0 1W N k(nW N m)n *N 1N n 0 1W N (m k)n 1 0
m m
k k
例1 设 ~x(n为)周期脉冲串
~x(n)
(nrN)
r
（3-8）
因为对于0≤n≤N-1， ~ x(n), 所(n)以 利 用 式 （ 2-6 ） 求 出
1
X(jk 0)T0
T0/2 x(t)ejk 0tdt
T0/2
x(t) X(jk0)ejk0t
k
其中， 0 2F02 T 0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
X(ej) x(n)ejn
n
x(n)1 X(ej)ejnd
0
|X p ( jk )|
非周期和离散
o |X( ej)| 1/T
k
周期和连续
nT
(c)
－
离散和周期
o
|X ( e jks)| 周期和离散
离散傅里叶变换
(DFT)
o
N点
(d ) n
－
o
s
N点
各种形式的傅里叶变换
卷积特性
•时域卷积定理 •频域卷积定理
1.在一个域的相乘(卷积)等于另一个域的卷积(相乘)
2
时域离散，将导致频域周期化， 且这个周期是s。
时域离散
频域周期
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
x(n)x(n) 0nN1 0 其他 n
为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序
列 ~x(n)的一个周期，而把~x(n)看成x(n)的以N为周期的周期延拓，
即表示成:
x(n)~x(n) 0nN1 0 其他 n
~x(n)
x(nrN)
r
这个关系可以用图2-8来表明。通常把 ~x(n)的第一个周期n=0
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
X(j )x(t)ej tdt
x(t)21 X(j)ejtd
时域连续 时域非周期
频域非周期 频域连续
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
时域离散、周期
频域周期、离散
变换类型
傅里叶变换 (FT)
时域函数
x a(t )
－
o
x p (t )
傅里叶级数 (FS)
序列傅里叶变换 (DTFT)
o Tp
x (n T )
To N点
xp(n )
频域函数
连续和非周期
|X a( j )|
1
非周期和连续
t
(a )
－ 0
连续和周期
(b ) t
离散和非周期
o
DFT的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，
因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有 限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导 得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。
设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有 值，其他n时，x(n)=0。即
到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是~x(n)的“主值序列”，即
主值区间上的序列。而称~x(n)为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)
之间彼此并不重叠，故上式可写成 ~ x ( n ) x ( n m N )o x (n d ) (N )
x (n )
0
N－ 1
n
~x ( n )
n0
n0
这一有限求和有闭合形式
X ~(k)1 01
~ x(n)W 1n0k4
j2n
e 10
k
n0
n0
|~ x(k)|
5
（3-11） （3-12）
…
…
－101 2 3 4 5 67 8 910
15
20
k
图 3-3 图3-2所示序列的傅里叶级数系数 X~(k)的幅值
有限长序列离散傅里叶变换（DFT）
第三章离散傅里叶 变换DFT 总结
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
傅里叶变换的几种可能形式
傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换