运筹学总复习

《运筹学》总复习

第1章线性规划及其对偶问题

●基本概念

基本要素：决策变量、目标函数、约束条件

线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。标准形式：目标函数取“max”、约束条件取“=”、约束右端项非负、决策变量非负

解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称为线性规划的可行域,使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。

●数学建模与求解

建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择

单纯形法与对偶单纯形法：

单纯形法对偶单纯形法

两阶段法：

第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰

变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。

第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。

● 练习题：

1.某厂利用原料A 、B 生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件

2.每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员？（列出该问题线性规划模型，不求解）

3.1231231231~3

min 232315

..25200w x x x x x x s t x x x x =++++=⎧⎪

++=⎨⎪≥⎩ 4.用对偶单纯形法求解线性规划问题：

1231231231~3

min 524324

..635120w x x x x x x s t x x x x =++++≥⎧⎪

++≥⎨⎪≥⎩

第2章 整数规划与分配问题

● 0-1变量的用法及建模

理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握 （1）多个取1：110, 1.n

j j j x x ===∑，或

（2）n 中取k ：

1

0, 1.n

j

j j x

k x ===∑，或

n 中至少取k ，改为10, 1.n

j j j x k x =≥=∑，或

n 中最多取k ，改为1

0, 1.n

j j j x k x =≤=∑，或

（3）变量取离散数值：

11

1,01m

i i i m

i i i x c y y y ==⎧

=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∑∑或

（4）选甲必须选乙，选乙不一定选甲：,x x x x ≤乙乙甲甲,=0或1

（5）两个约束条件只需满足一个：

121122

1212

232101,,01

x x y M

x x y M y y y y +≥-⎧⎪

+≤+⎨⎪+==⎩或 或12122(1)3210,01x x y M x x yM y +≥--⎧⎨+≤+=⎩或 式中：M 为任意大正数

（6）n 个约束条件中满足k 个：

1

1

(1,2,,)01m

i j j i i j n

i i i a x b y M i n y n k y ==⎧≤+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩∑∑L 或

（7）若42≤x ，则05≥x ；否则42>x ，35≤x

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤->-≥+≤M

y x M y x M y x M y x 25

2215123404，

⎩⎨⎧==+1012

,121y y y 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≤-->-≥+≤M

y x M y x yM

x yM x )1(3)1(4045

2

5

2

⎩⎨⎧=10

y

（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选

11

x x x x x x x ⎧+≤⎪

+≤⎨⎪⎩甲丙乙丙乙甲丙

,,=0或1 （9）对0,0(),0x f x k cx x =⎧=⎨+>⎩当当 可表述为： ()f x yk cx

y Mx x My

=+⎧⎪

≤⎨⎪≤⎩

匈牙利法

步骤：

1.从每行中减去最小数

2.再从每列中减去最小数

3.

(1)先看行,从第一行开始,如该行只有一个0,给该0打Δ,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行;

(2)再看列,如该列只有一个0,给该0打Δ,划去该0所在行,如无0或两个以上0,转下一列;

(3)重复(1)(2),可能出现三种结局:

a.有m个打Δ的0,令对应Δ号的xij=1,即为最优.

b.存在0的闭回路.

对闭回路上的0按顺时针编号,任取单号或双号打Δ,分别对打Δ的0都划去所在行(或都划去所在列)返回3(1)

C.打Δ的0的数

4.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3 练习题：

1．某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如表所示：

要求：

（1）投资额不超过5000万元；

（2）至少安排150人员就业；

（3）年利润额尽可能地多。

试建立该问题0-1规划数学模型（不求解）

2.某校排球队准备从以下8名预备队员中选拔4名正式队员，并使平均身高尽可能高。这8

要求：

（1）8名预备队员选4名；