等量电荷电场线的分布及电场强度、电势的特点分析

等量电荷电场线的分布及电场强度、电势的特点分析

高二物理选修3-1教材中，在静电场中，“电场”这个概念很抽象，特别是对初学者来说，对等量电荷电场线分布及场强、电势特点模糊不清，以至在应用过程中经常出错。

1.等量电荷电场线分布

电场线的特点：①电场线从正电荷或无限远出发，终止无限远或负电荷；②电场线在电场中不相交，这是因为在电场任意一点的场强不可能有两个方向；③在同一幅图中，可以用电场线的疏密来表示场强的大小：即电场线密的地方场强大，电场线疏的地方场强小。

2.等量电荷的场强

（1）等量正、负点电荷。等量正、负点的场强的大小用点的电荷的场强公式E=k—来计算。根据公式可知，离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成球面上的场强大小相等。方向：正点电荷的场强方沿着电场线的方向向外，负点电荷的场强方向沿着电场线向内。

（2）等量异种、同种电荷的场强。在实际应用中，主要考查等量异种、同种电荷两条特殊线的场强，下面就等量异种、同种电荷两条特殊线（两电荷的连线上和两电荷连线上的中垂线）的场强进行分析。

等量异种电荷：例一：两电荷连线上。如图1所示，在两电荷连线上任取一点G，设AG长度为x，则G点场强EG为两点电荷分别在该点的场强EA、EB 的矢量和，方向从A指向B（由正电荷指向负电荷一侧），由点电荷场强公式知：

EG=EA+ EB=—+—

=—

∵x+（L-x）等于定值L，∴当x=（L-x），即x=—时，x与（L-x）乘积最大

∴这时EG有最小值，即在两电荷连线中点O处场强最小，将x=—带入上式，可求得EG最小值EGmin=——，

方面由A指向B。从O点向两侧逐渐增大，数值关于O点对称。

小结：等量异种电荷连线中点场强最小，靠近点电荷场强渐强，方向从正点荷指向负电荷。

例二：中垂线上。如图2所示，在中垂线上，任取一点H，设OH=x，根据对称性知：EH沿水平方向向右，即在中垂线上各点场强水平向右（垂直于中垂线指向负电荷一侧），沿中垂线移动电荷，电场力不做功，由电势差定义知：中垂线为一等势线，与无限远处等势，即各点电势为零。

H点的场强

EH=—·cosθ=—·

—=—

∴在O点，即x=0处，EH最大，x越大，即距O点越远EH越小，两侧电场强度数值关于O点对称。

小结：等量异种电荷的中垂线上电场强度由中点向上向下减小，方向与两点电荷的连线平行且由正电荷指向负电荷。

等量同种电荷：例一：电荷连线上。如图3所示，在两电荷连线上任取一点N，设AN长度为x，则N点场强EN为两点电荷在该点的场强EA、EB的矢量和，方向沿AB连线，O点左侧从A指向B，右侧从B指向A（沿两电荷连线指向较远一侧电荷，若两电荷为等量负电荷则反之），N点电场强度大小知：EN=—-—，

∴当x=—时，EN=0，即在两电荷连线中点O处场强最小，从O点向两侧逐渐增大，数值关于O点对称，方向相反。

小结：等量同种电荷连线上中点场强为零，向两侧逐渐增大。

例二：中垂线上。如图4所示，根据对称性知：在O点两侧，电场强度方向均沿中垂线方向从O点指向无限远（若两电荷为等量负电荷则反之），由极限分析法易得：在O点处，E=0；在距O点无限远处，E=0。说明中间某位置有极大值，可见：合电场强度的大小随着距O点的距离增大，先从零增大到最大，然后逐渐减小。在中垂线上，任取一点P，设OP=x，AP=BP=r.由点电荷场强公式，（注意：场强是矢量，矢量求和时要考虑方向，在P点沿AB中垂线方向和垂直于中垂线方向分解EA和EB），故P点场强为：

EP=2EAcosθ=—=

—·—=—

运用数学方法，令y=—，

求导可得：

y’=

令y’=0，则[x2+（—）2] =3x2[x2+（—）2] ，

即x2+（—）2=3x2，∴当x=±—L时，EP有最大值EPmax=—。

∴从中点沿中垂线向两侧，电场强度的数值先增大后减小，两侧方向相反，关于O点对称的点数值相等。

小结：等量同种电荷连线的中垂线上，从中点向两侧电场强度先增大后减小，两侧方向相反，关于O点对称的点数值相等。若两电荷为等量正电荷，则电场强度方向均沿中垂线方向从中点指向无限远；若两电荷为等量负电荷，则电场强度方向均沿中垂线方向从无限远指向中点。

3.电势

无论哪种类型的电场中，沿着电场线方向电势逐渐降低。

（1）正、负点电荷。若取无穷远处的电势为零，则正（或负）点电荷电场中的电为正（或负）。与点电荷等距的各点组成的球面是等势面，离正（或负）点电荷越近，等势面越密。如图5甲、乙。

（2）等量异种电荷。①电荷连线上：由于沿着电场线的方向电势降低，所以连线上从正点电荷到负点电荷电势降低。②两点电荷连线中垂线上：由于中垂线上场强方向与中垂线垂直，所以某检验荷在中垂线上移动时，电场力不做功，由知，中垂线上任意两点的电势差为零，即中垂线上电势均为零。

（3）等量同种电荷：①可根据电势与电场线的关系（沿着电场线的方向电势降低）直接判断：连线上，中点电势最小，从中点往两边电势升高；中垂线上从中点往两边电势降低，无穷远处为零。电场线的分布如右图所示。②也可由电势差的定义UAB=—判断。先看两点电荷的连线上：设一正检验电荷由连线上某点A向中点O移动时，如图6所示。

根据W=FS cosθ知，F与S的方向相同，故F做正功，q又为正电荷，所以UAO=—>0即UAO=φA-φO>0故φA>φO可知连线上从O到点电荷电势升高，又由于两边对称，故连线上O点电势最低。同理可知中两点电荷的垂直线上中点O电势最高，往两边电势降低。小结：等量同种电荷连线上，中点电势最低，从中点往两侧电势升高；中垂线上从中点往两边电势降低，无穷远处电势为零。

4.应用举例

（1）如图7所示，在等量异种点电荷电场中有A、B、C、D四点，其中承B、D在两点电荷连线的中垂线上（连线的中点为O）OA>OC，OB>OD（重力不计）则下列说法正确的是（）