第三章达朗贝尔公式
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
数学物理方法-7.4达朗贝尔公式-PPT课件
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 1 1 0 2 0 2 2 a 2 x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 a 2 x 0
x at
x at
x at
（二）端点的反射 一个端点固定
2 2 2 ( 2 a 2) u ( x ,t ) 0 t x
( 0x )
设初始条件为 边界条件
u t0 (x)
和
ux t0 (x)
u x0 0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x 0 。
衔接条件
f ( t ) g ( t ) h ( t ), 1I 1 II IY [ f ' ( t ) g ' ( t )] II Y h ' ( t ) a a
f ( t ) g ( t ) h ( t ), III I II a Y [ f ( t ) g ( t )] a Y h ' ( t )
( x)
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1, or, x x2
x1 x2 2
(x) 0
u(x, t)
1 (x) 2
u0
x1
x2
x x x
u0
x
x1
x1 x 2 2
x2
1 u ( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
降维法推导达朗贝尔公式
降维法推导达朗贝尔公式降维法是一种常用的数据处理方法，在数据分析和机器学习领域具有重要的应用价值。
降维的目的是从高维空间中找到一个低维子空间，能够保留原有数据的主要信息，同时减少数据维度，简化计算复杂度。
在降维法中，达朗贝尔公式是一个重要的定理，它可以帮助我们理解降维过程中数据的变化。
达朗贝尔公式的推导主要基于线性代数的知识，下面我们就一起来推导一下达朗贝尔公式。
假设我们有一个原始数据矩阵X，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。
我们的目标是将这个矩阵降维为一个新的矩阵Y，使得Y能够尽可能地保留X中的主要信息。
首先，我们需要找到一个转换矩阵A，将原始数据矩阵X映射到一个新的低维空间。
这个转换矩阵A的列向量是我们感兴趣的特征向量，它们构成了一个正交基。
我们假设A的每一个列向量都是单位向量，即它们的长度为1。
接下来，我们将原始数据矩阵X用转换矩阵A进行线性变换，得到新的矩阵Y：Y=XA矩阵Y的每一列是原始数据矩阵X的每一行在转换矩阵A的基上的投影，它们构成了新的低维子空间。
现在我们来推导达朗贝尔公式。
假设X的协方差矩阵为C，Y的协方差矩阵为D。
我们知道协方差矩阵描述了数据之间的相关性。
首先，我们需要计算C和D之间的关系。
我们知道投影前后的数据具有相同的协方差矩阵，即C和D具有相同的特征值，不同的特征向量。
假设矩阵A的列向量是特征向量，记作a1,a2,...,am，对应的特征值是λ1,λ2,...,λm。
则有：CA=AΛDA=AΛ其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素是特征值。
我们可以将上述等式两边同时左乘A的逆矩阵A^(-1)：C=AΛA^(-1)D=AΛA^(-1)其中A^(-1)是A的逆矩阵。
根据矩阵乘法的性质，我们可以得到：D=AΛA^(-1)=AA^(-1)Λ=Λ我们可以看到，新的协方差矩阵D就是特征值构成的对角矩阵Λ。
这就是达朗贝尔公式的推导过程。
通过达朗贝尔公式，我们可以进一步理解降维的过程。
达朗贝尔公式的推导
达朗贝尔公式的推导
达朗贝尔公式是用于计算球体表面积的公式，其推导可以分为以下几步：
1. 将球体划分为许多小面片，每个小面片都可以近似看作一个平面三角形。
2. 对于一个小面片，其面积可以使用三角形面积公式计算，即 S = 1/2ab*sin(C)，其中 a、b 分别为两边的长度，C为其夹角。
3. 将每个小面片的面积加起来即可得到整个球体表面积。
由于球体具有对称性，每个小面片的面积都相等，可以用一个代表性的面积 S0 代替。
4. 通过对球体的几何性质，可以推导出小面片边长 a、b 和夹角 C 之间的关系式：cos(C) = cos(a/r)*cos(b/r) +
sin(a/r)*sin(b/r)*cos(θ)，其中 r 为球体半径，θ为两边的夹角。
5. 将第4步得到的关系式代入第2步的公式中，即可得到达朗贝尔公式：S = 4πr^2，其中π为圆周率。
总结起来，达朗贝尔公式的推导主要依赖于球体的几何性质和三角形面积公式，并通过分割小面片、近似处理等方法进行求解。
- 1 -。
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式是一种可以用于计算和比较利息的公式。
它是由18世纪英国经济学家威廉·达朗贝尔（William J. Darby）创造的，用来计算一种名为实际利率的概念。
达朗贝尔公式由两个因素组成，即贴现率（discount rate）和时间价值（time value）。
贴现率表示贷款本息的实际利率，而时间价值表示借款本息的未来价值。
达朗贝尔公式的公式如下：
实际利率＝贴现率－时间价值
达朗贝尔公式用于计算和比较利息，而且它也可以用于计算债务的未来价值，以及未来价值和实际价值之间的差异，以及可以用来估计未来收入的折现率。
达朗贝尔公式对经济学家们来说是一个非常重要的工具，它可以帮助他们更好地了解和分析利率及其对经济的影响。
它也可以帮助投资者更好地理解投资的潜在风险和回报。
达朗贝尔公式是一个非常有用的工具，它可以帮助投资者和经济学家正确地估计和比较利息，以便作出明智的投资决策。
它也可以用来估计未来的收入，有助于投资者作出明智的投资决策。
3.1达朗尔公式
( x ≥ 0) ( x < 0)
1 1 u ( x, t ) = [Φ ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ (ξ )dξ 2a x − 2
t= 1 (ξ − η ) 2a
t
ξ = x + at η = x − at
1 x = (ξ + η ) 2
1 t= (ξ − η ) 2a
ξ = x + at η = x − at
∂ ∂ ∂t ∂ ∂x 1 ∂ 1 ∂ = + = + ∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ξ 2a ∂t 2 ∂x
1 ∂ ∂ = ( +a ) 2a ∂t ∂x
x
−∞
∫ψ (ξ )dξ
1 Ψ ( x) = ∫∞ψ (ξ )dξ 2a −
x
x < x1
1 1 Ψ ( x) = ψ (ξ )dξ = ∫∞ ∫∞0dξ 2a − 2a −
x x
x
x
=0
x
x1 < x < x2
1 1 1 Ψ ( x) = ∫∞ψ (ξ )dξ = 2a [−∫∞0dξ +ψ 0 x∫ 1dξ ] 2a − 1
C.定解 达朗贝尔公式 确定待定函数 待定函数的形式 无限长，即无边界条件。 待定函数
(−∞ < x < ∞)
设初始条件
u t =0 = ϕ ( x)
ut
t =0
= ψ ( x)
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
f1 ( x) + f 2 ( x) = ϕ ( x)
af1 ' ( x) − af 2 ' ( x) = ψ ( x)
第三章达朗贝尔公式
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
波动方程的达朗贝尔公式
在上面的讨论中,我们看到了( x,t )平面上的直线 x ± at = c
(常数)对波动方程的研究起着重要的作用,它们称为波动 方程的特征线.
最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通 解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全 从中确定一个特解.
而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得 达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付 氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件.
那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就 恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有 固定的答案.
这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要 复杂的多.
2.三维波动方程Cauchy问题的 Poisson公式
现在考察三维波动方程的初值问题
( ) ⎧⎪⎪⎨uut(t
= x,
a2Δu = a2
=
x+at)
+ϕ(
x-at)
2
给出.
为了简单起见,假设
⎧0
⎪
ϕ
(
x)
=
⎪⎪2 ⎨ ⎪⎪2
+ −
2x
α
2x
α
⎪⎩0
( x < −α ) (−α ≤ x ≤ 0)
(0 ≤ x ≤α) (x >α)
也就是说,初始位移是区间 [−α,α ] 上的一个等腰三角形.
图1给出了这个弦每经过时间
α
后的相对位移.
4a
0
y
x
u(M,t)
=
u ( x,
y, z,t)
=
∂ ∂t
⎡t
⎢⎣ 4π a2t2
2.1一维波动方程的达朗贝尔公式
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x , t ) 1 2 [ s i n ( x a t ) s i n ( x a t ) ] 2 1 a x x a a t t2 d
sinxcosatt(3x2a2t2) 3
例2
utt a2uxx 0, x u|t0ex2, ut |t02axex2
tt x x
1 1 2a t 2x
1 1 2a t 2x
1 ( a ) 2a t x
1 (a ) 2a t x
得到 u： 0
对 偏 积 分 得 ： u f1 ()
再 对 偏 积 分 得 ： u f 1 ( ) d f 2 ( )
f 1 ( ) f 2 ( ) f 1 ( x a t ) f 2 ( x a t )
uf1(3xy)f2(xy)
3e193xy2 3C1exy2 3C
4
44
4
3e193xy2 1exy2
4
4
六、小结
达朗贝尔公式(行波法)： 1、它基于波动的特点，引入坐标变换简化方程 利用偏积分的方法先求出通解，然后利用定解条件， 得到定解形式。
2、优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便； 缺点：只适合求解一维无界的齐次波动方程（初值问
振动完全由初始速度引起，波通过的地区,振动 消失,但弦偏离了原来的平衡位置.
五、达朗贝尔公式的间接应用
例1
uxxuyy0, x
u|y0x,
uy|y00
解：化成类似于波动方程的初值问题
uyyuxx0, x
u|y0x,
uy|y00
将定解条件代入达朗贝尔公式，得
u ( x , t ) 1 2 [ ( x a t ) ( x a t ) ] x
达朗贝尔公式教学课件
熟悉相关的预备定理和概念，如泰勒级数、欧拉公式等，为证明过 程做好准备。
证明过程详解
泰勒级数展开
利用泰勒级数展开，将复杂的函 数表示为无穷级数的情势，为后
续证明提供基础。
欧拉公式应用
利用欧拉公式将复数情势的泰勒级 数转换为实数情势，便于理解和应 用。
证明主要步骤
详细阐述证明的主要步骤，包括公 式的推导、等价变换、无穷级数的 求和等。
达朗贝尔公式教学课件
目 录
• 达朗贝尔公式简介 • 达朗贝尔公式的推导过程 • 达朗贝尔公式的证明 • 达朗贝尔公式的应用实例 • 达朗贝尔公式的贝尔公式的定义
总结词
达朗贝尔公式是物理学中的一个重要公式，用于描述振荡系统的运动规律。
详细描述
达朗贝尔公式是由法国数学家和物理学家达朗贝尔提出的，它通过将振荡系统 的运动表示为多个正弦波的叠加，来描述系统的位移、速度和加速度随时间的 变化。
达朗贝尔公式的历史背景
总结词
达朗贝尔公式的提出是在18世纪，是物理学发展史上的一个 重要里程碑。
详细描述
在达朗贝尔之前，科学家们对振荡系统的研究主要集中在单 摆和弹簧振荡器等简单模型上。然而，达朗贝尔公式的提出 为更复杂的振荡系统提供了统一的描述方法，推动了物理学 的发展。
达朗贝尔公式的应用领域
05
达朗贝尔公式的扩大与深化
与其他公式的关联
达朗贝尔公式与牛顿第二定律的关系
达朗贝尔公式是牛顿第二定律的特殊情势，适用于分析受力的质点运动。
与能量守恒定律的关联
达朗贝尔公式中的力与势能变化之间的关系与能量守恒定律相一致。
公式的进一步推导
要点一
推导达朗贝尔公式的微分情势
通过微积分学的方法，将达朗贝尔公式推导为适用于连续 系统的微分情势。
行波法与积分变换法——数学物理方程
1 3 u f1 3 x f1 f2 x f 2 1 3 f1 0 f2 0 C
其解中得f1 , ff21是3两x个二94x次2连34续C可微函数.
于是原方程 f的1 通x 解 为14 x 2
4
4
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
例 求方程 u x x 2 s in xu x y c o s2x u y y c o sx u y 0
的一般解. 解 特征方程为
d y 2 2 s in x d x d y c o s 2x d x 2 0
dy sinx1 dx
rat 1( )d , r at 0
at)
u
(r,t)
(r
at
)
0
(r
at
)
(at
r
)
0
(at
r
)
2r
1 2ar
atr
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t)
f1 x f2 x x ……………①
u t| t 0 a f ' 1 ( x a 0 ) a f 2 ' ( x a 0 )
a '1 x f a '2 x fx ……………②
由第二式得
f1xf2xa10xdC.............③
进一步有
2tu 2 a22ru rr2u 20 2(tr2u)a22(rr2u)0
第三章 行波法(1)
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔公式（P150-152） 1．确定下列初值问题的解（1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -=== 解：因为()()0,1x x ϕψ== 由达朗贝尔公式有： ()()()()1,22x at x atx at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰=t（2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为()()2s i n ,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有： ()()()()1,22x at x atx at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰=2231sin cos 626x at x at a t a ⎡⎤++⎣⎦=2231sin cos 3x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为()()3,x x x x ϕψ== 由达朗贝尔公式有： ()()()()1,22x at x atx at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰=()()1cos cos 122x at x atx at x at e d aα+---+++⎰=1cos cos x at e t -+2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()'a x ϕ-。
解：该问题的数学模型为：()()()()2',,0,0,,0t t x x t u a u x t u xx u x a xϕϕ⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==-⎪⎩由达朗贝尔公式：()()()()'1,22x at x atx at x at u x t a d aϕϕϕαα+--++=+-⎰=()x at ϕ-2．求解弦振动方程的古沙问题()()()()()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ϕψ=⎧⎪-=-∞<<+∞⎨⎪=-∞<<+∞⎩ 解：该方程的通解为：()()()12,u x t f x t f x t =++- （1） 令：t x =-()()()1202x f f x ϕ=+令： t x =()()()1220x f x f ψ=+令2y x =，则有：()()()()12210202y f y f y f y f ψϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩所以：()()1102x t f x t f ψ+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()2202x t f x t f ϕ-⎛⎫-=-⎪⎝⎭()()()12,0022x t x t u x t f f ψϕ+-⎛⎫⎛⎫=+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭又 ()()121(0)(0)002f f ϕψ+=+⎡⎤⎣⎦所以古沙问题解为： ()()()00,222x t x t u x t ϕψψϕ++-⎛⎫⎛⎫=++⎪⎪⎝⎭⎝⎭3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。
3.1达朗贝尔公式
图3.1
x1 x1 at0
O
x2
x2 at0
x
15
utt a 2u xx ( x , t 0),
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
u( x, t ) f ( x at) g ( x at).
(3) (4) (13)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
(3) (4) (7)
x at, x at ,
将(9)(10)代入方程(3)化简即得 u 0.
(11)
方程(11)可以通过积分法直接求解。 先关于 积分一次，再关于 积分一次，便可得到方程(11) 的通解为 u ( , ) f ( ) g ( ), (12) 其中 f , g 都是具有二阶连续导数的任意函数。
3.1.2 达朗贝尔解的物理意义 u1 f ( x at), 先考察 (19) u1 ( x, t 0 ) f ( x at0 ), 在 ( x, u ) 平面上， 经过时间 t 0后， 它相当于原来的图形 u1 f ( x) 向右平移了一段距离
at0 ,
u
u1 f ( x)
其中 f , g 都是具有二阶连续导数的任意函数。 下面，我们利用边界条件来确定通解中的任意 函数 f , g. 首先由条件
u | xat 0 ( x)
令 2 x
f (0) g (2 x) ( x)
g ( ) ( ) f (0). 2
12312达朗贝尔解的物理意义xxtt先考察19它对应于初始时刻的振动状态相当于弦在初始时刻各点的位移状态如图31实线所示图3113312达朗贝尔解的物理意义xxtt先考察19经过时间图3114312达朗贝尔解的物理意义xxtt随着时间的推移这个图还将不断地向右移动这说明当方程3的解表示成的形式时振动的波形是以常速度向右传播图3115312达朗贝尔解的物理意义xxtt因此由函数右传播波
达朗贝尔公式教学课件
研究如何利用近似方法简化达朗贝尔公式的求解过程，例如有限差分法、有限元法等，并探讨这些方法的适用范 围和局限性。
达朗贝尔公式的未来发展
达朗贝尔公式的最新研究进展
介绍当前关于达朗贝尔公式的最新研究动态和成果，包括一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方 向。
达朗贝尔公式的未来展望
工程学
在工程学中，达朗贝尔公 式被用于分析各种机械振 动问题，如桥梁振动、汽 车悬挂系统等。
航天学
在航天学中，达朗贝尔公 式被用于研究卫星轨道、 航天器姿态控制等问题。
02
达朗贝尔公式的推导过程
推导前的准备
回顾相关基础知识
在推导达朗贝尔公式之前，需要 回顾和掌握相关的数学基础知识 ，如微积分、线性代数和常微分
推导公式
根据变换后的数学模型，逐步 推导出达朗贝尔公式。
验证公式
通过实例验证公式的正确性和 适用范围，确保其在实际问题
中能够得到有效应用。
推导结果总结
总结公式形式
对推导得到的达朗贝尔 公式进行形式上的总结 ，明确其表达方式和符
号含义。
分析公式特点
分析公式的特点和使用 条件，了解其适用范围
和局限性。
达朗贝尔公式的推广
研究如何将达朗贝尔公式推广到更广泛的领域，例如高阶偏 微分方程、非线性问题等，并探讨其在这些领域中的重要性 和作用。
达朗贝尔公式的深化
达朗贝尔公式的数学基础
深入探讨达朗贝尔公式的数学原理和基础，包括偏微分方程的基本理论、解的稳定性与收敛性等，以帮助学习者 更好地理解公式的本质和来源。
达朗贝尔公式教学 课件
目录
• 达朗贝尔公式简介 • 达朗贝尔公式的推导过程 • 达朗贝尔公式的证明 • 达朗贝尔公式的应用实例 • 达朗贝尔公式的扩展与深化
第三章 一维波动方程的达朗贝尔公式-1
第三章：行波法与积分变换法
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
深圳大学电子科学与技术学院
深圳大学电子科学与技术学院
本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
深圳大学电子科学与技术学院
结果：
1 1 x at (1747) u ( x, t ) ( x at) ( x at) ( X ) d X 2 2a x at
2 2u u 2 a 2 t x 2
( x )， u t 0
u ( x), ( x) t t 0
深圳大学电子科学与技术学院
波动方程的特解
无界弦的自由振动: 任意初始位移,任意初始速度。 无界弦自由振动的初值问题为：
2 2u 2 u a t 2 x 2
( x ) u t ( x)
t 0
（1）
u t 0 ( x),
( x )
（2）
将(1)化成以 , 为变量:
u u u u u x x x 2u u u u u 2 x x x u u u u 2u 2u 2u 2 2 2
（3）
(1)的通解为： u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
由(2)得到：
u
t 0
f1 ( x) f 2 ( x) ( x )
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
电磁场达朗贝尔公式适用范围
电磁场达朗贝尔公式适用范围
电磁场达朗贝尔公式适用范围是指公式在哪些情况下可以被使用，以求解电场和磁场的关系。
达朗贝尔公式的表达式为：×E=-B/t，其中E为电场强度，B为磁场强度。
该公式适用于稳恒电磁场中的情况，即电场和磁场的强度在空间和时间上都是恒定的。
在这种情况下，达朗贝尔公式可以用来计算电场和磁场之间的关系。
然而，如果在非稳恒电磁场中使用该公式，则可能会得到错误的结果。
因此，在使用达朗贝尔公式之前，需要首先确定所处理的电磁场是否为稳恒电磁场，以避免出现误差。
- 1 -。
《数理方程》波动方程的达朗贝尔公式
反过来,我们考虑这样的问题:如果在初始时刻t=0,扰动仅在 一有限区间 x1, x2 上存在,那末,经过时间t后,它所影响到的范 围是什么? 在 x, t 平面上,过
x1,0 和 x2 ,0 两点,分别作直线,
(i) (ii)
x x1 at
x x2 at
(半径为at的球面元素) (半径为1的球面元素)
x 0 y
2 t u M , t u x, y , z , t , , ds 2 2 0 0 t 4 a t 2 1 , , ds 2 2 0 0 4 a t 1 ( , , ) ( , , ) ds M ds M (8) S S at 4 a t at at at
utt a uxx .
2
(iii)
如果要求u1还满足初始速度,则只须把被积函
数 x 换为 x .
问题的解了.
如果还要求u2满足初始位移,则
只须将 x 换为 x .两者都换了之后,u1+u2就成了定解
现在仿照公式(7)’构造三维波动方程初值问题的达氏解. 为此,先作一些对应的讨论:(列在下一页)
依赖区间
决定区域和影响区域
下面我们提出这样一个问题:上述初值问题的解在一 点 x0 , t0 的值与初值函数在x轴上哪些点的值有关呢?
为此,在 x, t 平面上,过点 x0 , t0 作两条直线
x at x0 at0 x1 (i) x at x0 at0 x2 (ii)
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式是一个重要的数学概念，它有助于人们理解经济学的基本原理。
达朗贝尔公式是由经济学家尤金·达朗贝尔（Eugene F.Dalton）在20世纪40年代提出的，它指出了消费者愿意购买不同组合的产品时，他们支付的价格将会改变。
达朗贝尔公式可以描述为：MRS= MUX/MUY，其中MRS是消费者的支出折现因子，MUx和MUy分别表示x和y商品的折现因子。
消费者购买x和y之间的比例，就取决于他们的MRS，也就是他们愿意支付的价格比例。
达朗贝尔公式有助于人们理解经济学的基本原理，它可以用来推导出消费者的消费行为。
它指出，如果x和y的价格比例改变，消费者会调整他们购买x和y商品的比例。
例如，如果x商品的价格比y商品高，消费者可能会购买更多y商品，而不是x商品。
此外，达朗贝尔公式也有助于经济学家分析消费者的行为，以及消费者如何选择他们想要的产品。
达朗贝尔公式的另一个重要应用是，它可以用来估算消费者的需求，从而帮助企业了解他们的客户需求，并在市场中获得竞争优势。
总之，达朗贝尔公式是一个重要的数学工具，它可以帮助人们理解经济学的基本原理，推导消费者行为，以及估算消费者需求。
它是
一个重要的经济研究工具，可以帮助企业更好地了解客户的需求，并在市场中获得竞争优势。
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t=4
0.6 0.4 0.2 0 -0.2
t=8
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
例3 用达朗贝尔公式求解下列问题
utt a 2u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
t=9
0.01
0.01
0
0
-0.01
-0.01
-0.02 -0.03 -0.04 -0.05
-0.02 -0.03 -0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(dx)2 a 2 (dt )2 x at C 解得特征线为 做变换 x at ，则 ux u x u x u u
x at
uxx u u u u u 2u u
utt a 2 (u 2u u )
( x at ) ( x at )
2 1 x at x0 ( s)ds 2a
1 x at x0 ( s)ds 2a
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
1 xat ( s)ds 2a xat
特解
可分解成如下两个问题
vtt a 2vxx , x , t 0 （Ⅰ） v |t 0 ( x), vt |t 0 ( x)
和
用达朗贝尔公式求解
如何求解？用齐次化原理
wtt a 2 wxx f ( x, t ), x , t 0 （Ⅱ） w |t 0 0, wt |t 0 0
齐次化原理：
若 w( x, t ; ) 是下列问题
wtt a 2 wxx , x , t w |t 0, wt |t f ( x, )
utt a 2uxx 的通解为 于是
u( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
f ( x) g ( x) ( x) 由初始条件得： af '( x) ag '( x) ( x)
对第二式积分：a( f ( x) g ( x)) c ( s)ds
随着时间的推移，其波形如图所示：
t0
2 1 0 2
-4
-2
2
4
t1
-4 -2 0
1
2 2
4
t2
-4 -2
0
1 2
2
4
2
t3
-4 -2 0
1 2 4
2
t4
-4 -2 0
1 2 4
2
t5
-4 -2
0
1
2
4
图形演示： （1）初位移不为零，初速度为零：
7 sin x ( x) l 0
u( x,0) e
x2
f1 (3x) f2 ( x) e
f1(-3x) f 2( x) = 0
x2
u ( x, 0) =0 y
1 f1 (3x) f 2 ( x) C 3
两式联立，求解得
3 x2 3 f 1 (3 x) e C 4 4 3 x2 / 9 3 f1 ( x) e C 4 4 3 x2 3 f 2 ( x) e C 4 4
故原问题的解为 3 y 3 x 2 3 3 y x 2 3 u e C e C 4 4 4 4
3 y 3 x 2 3 y x 2 e e 4 4
2 达朗贝尔公式的物理意义
(1) f ( x at ) 的物理意义
0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2
这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。 例1 解定解问题
解
2u 2u 2u 3 2 0, y 0, x 2 2 x xy y 2 u ( x,0) e x , u ( x,0) 0, x y 方程的特征方程为
解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有
u ( x, t ) [ e
1 2
( x at )2
e
( x at ) 2
]
1 2a
x at
x at
2ase
s2
ds
1 [e ( x at ) 2
2
e
( x at ) 2
]
1 2
x at
x at
e
s 2
（2）区间 [ x1 , x2 ] 上的初值都能 确定哪些点处的函数值？ 答：过 ( x1 ,0) 和( x2 ,0)分别作斜率 为 a 1 和 a 1 的两条直线，与x 轴围成的三角形区域内任一点的 函数值都可由 [ x1 , x2 ] 上的初值决 定。 称此区域为 [ x1 , x2 ] 的决定域。
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
1
1
1 0.8
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
t=2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
x0
x
联立求解得
1 1 x c f ( x) 2 ( x) 2a x0 ( s ) ds 2a 1 1 x c g ( x) ( x) x0 ( s)ds 2a 2 2a
于是原问题的解为 u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
特征线， 斜率1/a
特征线
依赖区间
t
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
（3）区间 [ x1 , x2 ]上的初值都能影响到哪些点处的函数值？
答：过 ( x1 ,0) 和 ( x2 ,0) 分别作斜率为 a 1 和 a 的两条直线， 与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 [ x1 , x2 ] 上
dy 2 2dxdy 3dx2 (dy 3dx)(dy dx) 0
解得特征线为
y 3x = C1
y x = C2
做变换 y 3x y x 于是方程的通解为
2u 0 ，则
u f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( y 3x) f 2 ( y x)
看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：
（1） u ( x, t )
，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步
由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间[x-at, x+at]上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。
进一步分析：方程的特征线为
x at C
过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图
表示的波形向左、右以a的速度移动。
1 xat 1 xat 1 xat u ( x, t ) ( )d ( )d ( )d 2a xat 2a 2a x0 0 该式表示将函数 1 x ( )d x / 2a x 1 2a 1 / 2a x 1
( x)
2
由达朗贝尔公式有
u ( x, t )
( x at ) ( x at )
2
可见右行波与左行波分别为
1 1 f ( x at ) ( x at ) g ( x at ) ( x at ) 2 2
于是右行波与左行波的波形均为
1 f ( x) g ( x) ( x) 2
f ( x)
1
即 t =0 时的波形
2 4 6 8
2
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2
f ( x at )
2
即 t 时的波形
2
4
6
8
f ( x at ) 表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位，
称为右行波。
同理
g ( x at ) 表示以速度a沿x轴的左行波。
行波
(2) u f ( x at ) g ( x at ) 的物理意义 例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0 ( x) 1 x, 0 x 1 其它 0， ( x) 0
试说明其解的物理意义。
2 1 -2 0
第三章 行波法
无界区域上偏微分方程的一种求解方法
§3.1 达朗贝尔（
DAlembert ）公式
1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导