电偶极辐射电场的分析及演示
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指导教师 陈义成 责任编辑 张 军
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《 华师研究生学报》两篇论文被人大复印资料全文转载
近日， 发表于《 华中师范大学研究生学报》２００６ 年第 １ 期的两篇论文， 被 人大复印资料《 体制改革》２００６ 年第 ７ 期全文转载《。 华中师范大学研究生学 报》编辑部对二位作者给予一定奖励， 以资鼓励。
， 正负电荷向中心移动， 电力线还是起始于上
面的正电荷， 中止于下面的负电荷， 同时电力线向外
扩展； 当
正负电荷在中心相
遇， 这时振子不带电， 原来与正负电荷相连接的电力
线两端相联形成一个闭合圈后便脱离振子， 如图 １ｃ 所
示。接下来正负电荷分别继续向下向上移动， 当
电力线起始于下面的正电
荷， 中止于上面的负电荷， 至此完成了前半个周期， 后半
１３４
进一步化简，
上式中 Ｃ’为积分常量， Ｃ’取不同数值时， 即得时刻辐射 场中不同的电场线方程， 与文献［１］得到的电 场线方程是 一致的。由于问题具有轴对称性， 故只需作出 Ｏｘｚ 平面 上的电场线， 下面对上式做进一步处理。将
代入（ １２） 式， 整理得：
（ １３）
作下列替换：
（ １２）
得
! " 图 ２ 远区的电场线分布
ｔ ＝ ３２ Ｔ５
３．３ 过渡区 还有一部分电场线， 虽也是起止于电荷的不闭合曲 线， 但形状与静电场又有偏离。显然， 这个区域的场是感 应电场和辐射电场的组合， 如图 ３ 所示。 ４、电偶振子辐射电场的动画模拟 将上述分时分区的讨论生成动画， 电偶极子辐射电 场 的 过 程 就 更 加 清 晰 直 观 了 。 这 里 选 取 Ｃ’＝±０．２
清楚地了解电偶极辐射场的规律， 具有实际的意义。然
而， 一般教材对此问题仅限于定性的讨论， 文献［１］通过复
杂的数学推导得出了电偶极辐射的电场线方程， 其方法
不具一般性， 得到的只是各个时刻的静态图形。本文借
助 数 学 软 件 Ｍａｐｌｅ， 从 推 导 、计 算 、作 图 到 导 出 动 画 ， 完
， ±１．４６， ±２．４９ 的电场线 ， 按
的
时 间 序 列 形 成 一 个 图 形 数 据 Ｏ／Ｓ 的 序 列 ， 然 后 交 由 Ｍａｐｌｅ 显示动画， 就得到了电偶极子的辐射电场在一个 周期内的演化过程。由于计算量较大， 我们将 Ｍａｐｌｅ 动 画导出为 ＧＩＦ 动画， 不仅 可省去程序运行的时间， 演 示 也可不再依赖 Ｍａｐｌｅ 软件在其它环境下独立播放。
（ １４）
３、电偶振子辐射电场的图示及分析
从振子周围电场分布的情形来看， 空间大致可分为
三个区域。现分别讨论如下：
３．１ 近区场
在靠近振子中心的一个小范围内（ 即离振子中心的
距离
或与波长 具有同样数量级的范围内） 电场
的瞬时分布与一个静态偶极子的电场相近。电场线不
闭合， 起止于电荷存在处， 形状与静电偶极子的电场 一致。因此近区又称静态区， 在这个区域库仑场占主
Ｔｈｅ Ａｎａｌｙｓｅ ａｎｄ Ｄｅｍｏｎｓｔｒ ａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｆｉｅｌｄ Ｌｉｎｅ ｏｆ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｄｉｐｏｌｅ ＷＵ Ｎｅｎｇ－ ｚｈｉ， ＣＨＥＮ Ｙｉ－ ｃｈｅｎｇ， ＹＡＮＧ Ｗｅｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００７９， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｔｈ－ ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｍａｐｌｅ， ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｌｉｎｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ ｉｓ ａｃｑｕｉｒｅｄ ｂｙ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｗａｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｄ ｄｉｖｉｓｉｏｎａｌｌｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ ｓｈａｒｉｎｇ． Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｏｒｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ＧＩＦ ｆｏｒｍａｔ ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ． Ｋｅｙ Ｗｏｒ ｄｓ： ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ；ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌｉｎｅ；ａｎｉｍａｔｅｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ；Ｍａｐｌｅ
Байду номын сангаас
要地位， 称为感应场。图 １ 中按
； Ｃ’＝
０．２，０．６２，１．０４，１．４６，１．８８ 画出Ｏｘｚ 平面的电场线。图中准确 的也只是电场线的形状，电场线的疏密并不严格与场强 大小成正比。
当
时， 振子电荷之间的距离最
大
， 电力线起始于上面的正电荷， 中
止于下面的负电荷， 如图 １ａ 所示： 当
时，
将 Ｅｒ， Ｅ! ， 代入上式， 整理得
（ ９）
上式中
。将上式中的电场部分写成实数形式：
两边积分，
（ ５）
左边
（ １０）
右边利用数学软件 Ｍａｐｌｅ 进行积分，得到 （ ６）
右边
（ １１）
＊ 通讯联系人： ｎｚｈｗｕ＠ｍａｉｌｓ．ｃｃｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 作者简介： 吴能芝（ １９８１－ ） ， 女， 广东汕头人， 华中师范大学物理科学与技术学 院 ２００４ 级 硕 士 研 究 生 ， 研 究 方 向 为 物 理 课 程 与 教学论。
《 华中师范大学研究生学报》是经湖北省新闻出版局批准的由华中师范 大学研究生处（ 部） 主办的学术期刊， 面向广大研究生征稿。１９８１ 年创刊， 是 当时全国高校创办研究生学术刊物最早的两家之一。在该刊上发表的论文 曾被《 新华文摘》《、人大复印资料》全文转载或复印。此次被人大复印资料全 文转载的是我校教育学院 ２００４ 级硕士研究生罗银利、熊亚的两篇论文， 题 目分别为《 试论我国过度教育的特征与成因》（ 罗银利）《、论政府在我国民办 高校教育发展中的职能》（ 熊亚） 。
５、结束语 Ｍａｐｌｅ 是加拿大 Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｗａｔｅｒｌｏｏ 和 Ｗａｔｅｒｌｏｏ
! " 图 ３ 过渡区的电场线分布
ｔ ＝ ３２ Ｔ５
Ｍａｐｌｅ Ｓｏｆｔｗａｒｅ 公司注册的一套为微积分、线性代数和 微 分 方 程 等 高 等 数 学 使 用 的 软 件 包 。它 是 当 今 世 界 上 最 优秀的数学软件之一， 它以良好的使用环境、强 有力 的 符号计算、高精度的数值计算、灵活的 图形显示和高 效 的编程功能， 为越来越多的 教师、学生和科研人员所 喜 爱， 并成为他们进行数学处理的工具。本文以电偶极辐 射电场为例， 借助数学软件 Ｍａｐｌｅ， 推导、计算、作图， 最 终导出 ＧＩＦ 动画， 展现了利用软件用最一般的方法解决 物理问题的优势， 希望这一工作能为物理问题的可视化 模拟演示提供一些有益的启发
成对电偶极辐射电场的演示， 展现了利用软件用最一般
的方法解决物理问题的优势。
１、电偶极子的辐射电场 设电偶极振子的电矩为 ! !
， 在球坐标中，
其辐射的电磁场为［２］ （ｐ３１０ ）：
（ １）
（ ２）
（ ３） （ ４）
（ ７）
显然， 直接从上列式子出发对电偶极振子产生的电 场进行分析， 很难感受它们的含义， 而采用图示的方法 则非常直观形象， 并且能够深入地领悟和认识其内在的 物理规律。
摘 要： 利用数学软件 Ｍａｐｌｅ， 用最一般的方法推导出电偶极辐射的电场线方程， 分区分时准确地作 出图形并加以讨论， 最后将辐射过程演示导出为 ＧＩＦ 动画。
关键词： 电偶极辐射； 电场线方程； 动画演示； Ｍａｐｌｅ
电偶极辐射是电磁场最基本的一种辐射， 它在宏观
无线电辐射和微观带电粒子辐射中占重要地位。因此，
２、电偶极辐射的电场线方程 文献［１］中引入了一个尝试因子， 经过复杂的验证 及 计 算 得 到 电 场 线 方 程 。而 在 实 际 工 作 中 要 找 到 这 样 一 个 合适的尝试因子， 是十分困难的。这里我们借助数学软 件 Ｍａｐｌｅ 给出一种更一般的做法。 电偶极辐射的电场线应满足方程：
（ ８）
参考文献
［１］ 宋福，杨培林，罗世彬． 电偶极振子电场的图示［Ｊ］． 大学 物 理， ２００２， ６（２３）：１２．
［２］ 虞福春， 郑春开． 电动力学［Ｍ］． 北京：北京大学出版社， １９９２．
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个周期中的情况与此类似， 仅仅是正负电荷的位置对
调， 前后电力线的方向相反。
１３５
图 １ 近区电场线的变化
３．２ 远区场
在离振子足够远的地方
， 我们称之为远区。
这里电场变化比较简单， 电场线脱离了电荷， 形成闭合
的曲线， 这就形成了辐射过程。当距离 #! 增大时， 波面渐
趋于球形， 电场强度矢量趋于切线方向， 也就是说， 在远 区#Ｅ 垂直于矢径 ， 如图 ２ 所示。
第 １３ 卷 第 ４ 期 Ｖｏｌ． １３ Ｎｏ． ４
华中师范大学研究生学报 Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅｓ
２００６ 年 １２ 月 Ｄｅｃ． ２００６
电偶极辐射电场的分析及演示
吴能芝＊ ， 陈义成， 杨 薇
（ 华中师范大学 物理科学与技术学院， 武汉 ４３００７９）
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指导教师 陈义成 责任编辑 张 军
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《 华师研究生学报》两篇论文被人大复印资料全文转载
近日， 发表于《 华中师范大学研究生学报》２００６ 年第 １ 期的两篇论文， 被 人大复印资料《 体制改革》２００６ 年第 ７ 期全文转载《。 华中师范大学研究生学 报》编辑部对二位作者给予一定奖励， 以资鼓励。
， 正负电荷向中心移动， 电力线还是起始于上
面的正电荷， 中止于下面的负电荷， 同时电力线向外
扩展； 当
正负电荷在中心相
遇， 这时振子不带电， 原来与正负电荷相连接的电力
线两端相联形成一个闭合圈后便脱离振子， 如图 １ｃ 所
示。接下来正负电荷分别继续向下向上移动， 当
电力线起始于下面的正电
荷， 中止于上面的负电荷， 至此完成了前半个周期， 后半
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进一步化简，
上式中 Ｃ’为积分常量， Ｃ’取不同数值时， 即得时刻辐射 场中不同的电场线方程， 与文献［１］得到的电 场线方程是 一致的。由于问题具有轴对称性， 故只需作出 Ｏｘｚ 平面 上的电场线， 下面对上式做进一步处理。将
代入（ １２） 式， 整理得：
（ １３）
作下列替换：
（ １２）
得
! " 图 ２ 远区的电场线分布
ｔ ＝ ３２ Ｔ５
３．３ 过渡区 还有一部分电场线， 虽也是起止于电荷的不闭合曲 线， 但形状与静电场又有偏离。显然， 这个区域的场是感 应电场和辐射电场的组合， 如图 ３ 所示。 ４、电偶振子辐射电场的动画模拟 将上述分时分区的讨论生成动画， 电偶极子辐射电 场 的 过 程 就 更 加 清 晰 直 观 了 。 这 里 选 取 Ｃ’＝±０．２
清楚地了解电偶极辐射场的规律， 具有实际的意义。然
而， 一般教材对此问题仅限于定性的讨论， 文献［１］通过复
杂的数学推导得出了电偶极辐射的电场线方程， 其方法
不具一般性， 得到的只是各个时刻的静态图形。本文借
助 数 学 软 件 Ｍａｐｌｅ， 从 推 导 、计 算 、作 图 到 导 出 动 画 ， 完
， ±１．４６， ±２．４９ 的电场线 ， 按
的
时 间 序 列 形 成 一 个 图 形 数 据 Ｏ／Ｓ 的 序 列 ， 然 后 交 由 Ｍａｐｌｅ 显示动画， 就得到了电偶极子的辐射电场在一个 周期内的演化过程。由于计算量较大， 我们将 Ｍａｐｌｅ 动 画导出为 ＧＩＦ 动画， 不仅 可省去程序运行的时间， 演 示 也可不再依赖 Ｍａｐｌｅ 软件在其它环境下独立播放。
（ １４）
３、电偶振子辐射电场的图示及分析
从振子周围电场分布的情形来看， 空间大致可分为
三个区域。现分别讨论如下：
３．１ 近区场
在靠近振子中心的一个小范围内（ 即离振子中心的
距离
或与波长 具有同样数量级的范围内） 电场
的瞬时分布与一个静态偶极子的电场相近。电场线不
闭合， 起止于电荷存在处， 形状与静电偶极子的电场 一致。因此近区又称静态区， 在这个区域库仑场占主
Ｔｈｅ Ａｎａｌｙｓｅ ａｎｄ Ｄｅｍｏｎｓｔｒ ａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｆｉｅｌｄ Ｌｉｎｅ ｏｆ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃ Ｄｉｐｏｌｅ ＷＵ Ｎｅｎｇ－ ｚｈｉ， ＣＨＥＮ Ｙｉ－ ｃｈｅｎｇ， ＹＡＮＧ Ｗｅｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｈａｎ ４３００７９， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｔｈ－ ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｍａｐｌｅ， ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｌｉｎｅ ｏｆ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ ｉｓ ａｃｑｕｉｒｅｄ ｂｙ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｗａｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｄ ｄｉｖｉｓｉｏｎａｌｌｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ ｓｈａｒｉｎｇ． Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｏｒｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ＧＩＦ ｆｏｒｍａｔ ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ． Ｋｅｙ Ｗｏｒ ｄｓ： ｏｓｃｉｌｌａｔｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｄｉｐｏｌｅ；ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌｉｎｅ；ａｎｉｍａｔｅｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ；Ｍａｐｌｅ
Байду номын сангаас
要地位， 称为感应场。图 １ 中按
； Ｃ’＝
０．２，０．６２，１．０４，１．４６，１．８８ 画出Ｏｘｚ 平面的电场线。图中准确 的也只是电场线的形状，电场线的疏密并不严格与场强 大小成正比。
当
时， 振子电荷之间的距离最
大
， 电力线起始于上面的正电荷， 中
止于下面的负电荷， 如图 １ａ 所示： 当
时，
将 Ｅｒ， Ｅ! ， 代入上式， 整理得
（ ９）
上式中
。将上式中的电场部分写成实数形式：
两边积分，
（ ５）
左边
（ １０）
右边利用数学软件 Ｍａｐｌｅ 进行积分，得到 （ ６）
右边
（ １１）
＊ 通讯联系人： ｎｚｈｗｕ＠ｍａｉｌｓ．ｃｃｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 作者简介： 吴能芝（ １９８１－ ） ， 女， 广东汕头人， 华中师范大学物理科学与技术学 院 ２００４ 级 硕 士 研 究 生 ， 研 究 方 向 为 物 理 课 程 与 教学论。
《 华中师范大学研究生学报》是经湖北省新闻出版局批准的由华中师范 大学研究生处（ 部） 主办的学术期刊， 面向广大研究生征稿。１９８１ 年创刊， 是 当时全国高校创办研究生学术刊物最早的两家之一。在该刊上发表的论文 曾被《 新华文摘》《、人大复印资料》全文转载或复印。此次被人大复印资料全 文转载的是我校教育学院 ２００４ 级硕士研究生罗银利、熊亚的两篇论文， 题 目分别为《 试论我国过度教育的特征与成因》（ 罗银利）《、论政府在我国民办 高校教育发展中的职能》（ 熊亚） 。
５、结束语 Ｍａｐｌｅ 是加拿大 Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｗａｔｅｒｌｏｏ 和 Ｗａｔｅｒｌｏｏ
! " 图 ３ 过渡区的电场线分布
ｔ ＝ ３２ Ｔ５
Ｍａｐｌｅ Ｓｏｆｔｗａｒｅ 公司注册的一套为微积分、线性代数和 微 分 方 程 等 高 等 数 学 使 用 的 软 件 包 。它 是 当 今 世 界 上 最 优秀的数学软件之一， 它以良好的使用环境、强 有力 的 符号计算、高精度的数值计算、灵活的 图形显示和高 效 的编程功能， 为越来越多的 教师、学生和科研人员所 喜 爱， 并成为他们进行数学处理的工具。本文以电偶极辐 射电场为例， 借助数学软件 Ｍａｐｌｅ， 推导、计算、作图， 最 终导出 ＧＩＦ 动画， 展现了利用软件用最一般的方法解决 物理问题的优势， 希望这一工作能为物理问题的可视化 模拟演示提供一些有益的启发
成对电偶极辐射电场的演示， 展现了利用软件用最一般
的方法解决物理问题的优势。
１、电偶极子的辐射电场 设电偶极振子的电矩为 ! !
， 在球坐标中，
其辐射的电磁场为［２］ （ｐ３１０ ）：
（ １）
（ ２）
（ ３） （ ４）
（ ７）
显然， 直接从上列式子出发对电偶极振子产生的电 场进行分析， 很难感受它们的含义， 而采用图示的方法 则非常直观形象， 并且能够深入地领悟和认识其内在的 物理规律。
摘 要： 利用数学软件 Ｍａｐｌｅ， 用最一般的方法推导出电偶极辐射的电场线方程， 分区分时准确地作 出图形并加以讨论， 最后将辐射过程演示导出为 ＧＩＦ 动画。
关键词： 电偶极辐射； 电场线方程； 动画演示； Ｍａｐｌｅ
电偶极辐射是电磁场最基本的一种辐射， 它在宏观
无线电辐射和微观带电粒子辐射中占重要地位。因此，
２、电偶极辐射的电场线方程 文献［１］中引入了一个尝试因子， 经过复杂的验证 及 计 算 得 到 电 场 线 方 程 。而 在 实 际 工 作 中 要 找 到 这 样 一 个 合适的尝试因子， 是十分困难的。这里我们借助数学软 件 Ｍａｐｌｅ 给出一种更一般的做法。 电偶极辐射的电场线应满足方程：
（ ８）
参考文献
［１］ 宋福，杨培林，罗世彬． 电偶极振子电场的图示［Ｊ］． 大学 物 理， ２００２， ６（２３）：１２．
［２］ 虞福春， 郑春开． 电动力学［Ｍ］． 北京：北京大学出版社， １９９２．
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个周期中的情况与此类似， 仅仅是正负电荷的位置对
调， 前后电力线的方向相反。
１３５
图 １ 近区电场线的变化
３．２ 远区场
在离振子足够远的地方
， 我们称之为远区。
这里电场变化比较简单， 电场线脱离了电荷， 形成闭合
的曲线， 这就形成了辐射过程。当距离 #! 增大时， 波面渐
趋于球形， 电场强度矢量趋于切线方向， 也就是说， 在远 区#Ｅ 垂直于矢径 ， 如图 ２ 所示。
第 １３ 卷 第 ４ 期 Ｖｏｌ． １３ Ｎｏ． ４
华中师范大学研究生学报 Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅｓ
２００６ 年 １２ 月 Ｄｅｃ． ２００６
电偶极辐射电场的分析及演示
吴能芝＊ ， 陈义成， 杨 薇
（ 华中师范大学 物理科学与技术学院， 武汉 ４３００７９）