材料力学扭转

截面上扭矩为T时．最大剪应力为 。若截面
上A点距外周边的距离为0.1D．则A点的剪应力 是( )
3.5 圆轴扭转时的变形
扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的
相对转角
dxd
G
T
Ip
Tl GI p
GI p 称为圆轴的抗扭刚度
刚度要求：单位扭转角不能超过允许值[ ' ] 单位 (/m)
'max T 180 [']
mD
9549PD n
9549 14 446(Nm) 300
2)截面法求扭矩（扭矩按正方向设）
由平衡方程 Mx 0依次有 350 1
350 2
11463
446
T1 mB 0 T1 350N m
T2 mB mC 0 T2 700N m
T3 mD 0 T3 446N m
B
C
A
D
l为圆筒的长度
M
r
四、剪切胡克定律
扭转实验表明，切应力低于材料的剪切比例 极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比，可以 得到：
G
这就是剪切胡克定律。其中G为材料的剪切 模量。
剪切模量、弹性模量，泊松比三个弹性常量 满足以下关系：
G E
2(1 )
3.4 圆轴扭转时的应力
一、平面假设
圆周扭转变形前的横截面变形后仍为平 面， 形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻 两截面间的距离不变。
1. 用相邻的两个横截面
Me
和两个过轴线的纵向
面，从圆筒中取出微
单元体。y
dy
x
z dx
r
x
y
两侧面的切应力数值相等，
方向相反，组成一个力矩为
'
(dy)dx的力偶。
为保持平衡，上下两个 dy
x
侧面必有切应力组成力偶与
'
之相平衡。( 'dx)dy
z dx
Mz 0 ('td)d xy(td)d yx
例3.1 轴的转速为n =300r/min，主动轮A输入功率为
PA=36kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=11kW， PD=14kW，试做轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶矩
B
C
A
D
mA
9549PA n
9549 36 1146(Nm) 300
mB
mC
9549PB n
9549 11 350(Nm) 300
o
x
γ
平面假设推论：
(1)相邻两截面间的距离不变→ 横截面上无正应力. (2)横截面大小和形状不变，只是绕轴线作了相对转动
→ 径向无正应力 (3)纵向线倾斜→ 横截面上有切应力,且垂直于半径.
(4)各纵向线均倾斜了同一微小角度
→ 同一圆周上的切应力均匀分布.
o
x
γ
二、等圆截面直杆扭转横截面上切应力的建立 1.静力关系
1
2
3
mB
(a)
T1
mB
(b)
(c)
mC
T2
T3
mD
T135N0m 350 1 350 2
1146 3
446
T270N0m
T3 4 4N6m
3）绘制扭矩图
B
C
A
D
1
2
3
T(Nm)
446
x
350 700
跟踪训练
1.受扭圆轴如图所示，1一1．2-2横截面上的 扭矩分别是( ）．
3m 3m
2m
3.3 纯剪切
GIp
n
阶梯轴相
Tili
对扭转角
i1 GI pi
例1.齿轮2为主动轮，齿轮1和3所消耗的功率分别是
0.756kw和2.98kw若轴的转速为183.5r/min，材料
为45钢，[] 4M 0,[P '] 1 a .5 ( )/m ,G 8G 0Pa
试确定轴的直径；并求齿轮3对齿轮1的扭转角。
80109 15(5300.4103)4
32
9.75103rad
1
2
m1
m2
0.3m
T(Nm)
39.3
0.4m
3
m3
13 12 23 1.85103 9.75103
7.9103rad
x
155
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
Me
9549
P n
(N
m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
直接计算
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩
作用于轴上的外力偶矩往往是由轴所传递 的功率和轴的转速来计算的。
已知：传动轴功率p(kw)
转速n(r/min)，
Me
求： 外力偶矩Me
传动轴每秒输入功：WP10(N 0m 0)
力偶每秒完成做功：WMe26n0(Nm)
由此求出外力偶矩的计算公式：
Me
9549
P n
(N
m)
P——轴传递的功率kw n——轴的转速r/min
Me——作用在轴上的力偶矩N m
二、扭矩和扭矩图
1.截面法求内力
n
Mx 0
T Me 0 T Me
n
Me
Me
“ T ”称为横截面
x
上的扭矩
T
2.扭矩的符号规定：
按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为 负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[]
刚度条件的应用
'maxGTIp
180
[']
作业：3.1(b,c)
3.5 3.11
T A dA(1)
2.剪切胡克定律 G (2)
3.变形几何关系
dxd(3) Me
由(1)(2)(3)式得
T
Ip
x dx
dA
x
γ d R
等圆截面直杆扭转横截面上切应力的计算公式
Me
τρ
Tρ Ip
x
其中T——为横截面扭矩
Ip —— 称为横截面对圆心的极惯性矩
——求应力的点到圆心的距离。
IpA
3.扭矩图 表示扭矩沿轴线各截面上的变化情况。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
注意 用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭
矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
第3章 扭转
3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转
【基本内容】
一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
【重点和难点】
重点：外力偶矩的计算，扭矩图的作法，圆轴扭转时 强度条件和刚度条件的应用
难点：横截面上切应力的推导
3.1 扭转的概念和实例
一、工程实例
二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点 杆件的任意横截面绕杆件轴线发生相对 转动。
扭转变形的零件，通常为轴类零件，横截面大 都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。
G2[']
3 803210195521810.5m29.5mm
m2
0.3m
T(Nm)
39.3
0.4m
比较由强度条件和刚度
最后确定轴的直径为30mm
155
155 3
m3
x
齿轮3对齿轮1的扭转角
12
T12l12 GIp
8010939.3(300.3103)4
32
1.85103rad
23
T23l23 GIp
3.根据强度条件确定直径
maxTW mtax1T 6Dm3ax[]
D31T [6 m ]a x31 4 61 015605 m2.7 2mm 319.3
4.根据刚度条件确定直径
194.3 2
'maxT G mpa Ix 180 3 G T 2 D m 4a x 18[0 m']1
D 4
32Tmax180
得 '
y
上式表明：在单元体相互垂直
的两个平面上，切应力成对存 t
'
在且数值相等，两者都垂直于
两平面的交线，其方向则共同 dy
指向或共同背离该交线，这就
'
x
是切应力互等定理。
z dx
在单元体上、下、左、右四个侧面上只有切应力， 没有正应力的情况称为纯剪切。
三、切应变
pq
Me
r l
pq
l
其中,为两端面横截面的 扭相 转对 角
2d AR2 00
2
dd
R4 D4
2 32
最大切应力在圆截面边缘上，取最大值R
m
max
TR Ip
x
令
Wt
Ip R
max
T
Wt
Wt 称为抗扭截面系数。则
三、等截面圆轴扭转的强度条件：
max
Tmax Wt
[]
D
d
横截面对圆心的极惯性矩 o
Ip A2dA
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
3
1
2
解：1.计算外力偶矩
m1
m2
0.3m
m 1 95p n 14 995 1 0 4 .7.8 5 9 5 3 36 .3 9 N m
m3
0.4m
m 39
5p 34 995 2 4 .99 8 1N 5m 5
n
1.8 53
M x 0m 2 m 1 m 3 1.3 N 9 m 4
2.做扭矩图
Ip
D 4
32
Ip
(D4
32
d4)
D 3
Wt 16
W t 16D(D4d4)
跟踪训练
2.实心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
跟踪训练
3.空心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
T A
T B
T C
T D
跟踪训练
4.空心圆轴的内径为d，外径为D, D=2d。当横
1 r （r：为平均半径）
10
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
Me
横截面上没有正应力
Baidu Nhomakorabea圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
由Mx 0
有Me 2rr
Me 2r 2
pq
pq
l
A' A B
B'
Me
A AB'
o
r
B'
二、切应力互等定理