传热学5分析

kATm1 Tm x
gm Ax
0
Tm1 2Tm Tm1 x2
g m k
0
步骤 3: 建立边界节点差分方程
(m 1,2,3,, M 1)
边界节点为定温:
TT0M
b0 bM
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer
步骤 3: 建立边界节点差分方程
边界节点体积元的能量平衡:
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer 二维问题:
T
Tm1,n Tm,n
x m1/ 2,n
x
T
Tm,n Tm1,n
x m1/ 2,n
x
2T x2
T x T x
m1/ 2,n
m1/ 2,n
x
m,n
Tm1,n
2Tm,n x 2
Tm1,n
IF x y
g0 ( Ax / 2)
0
全步长
半体积
4. 对流与辐射混合边界条件
hA(T
T0 ) A(Ts4urr
T04 )
kAT1 T0 x
g0 ( Ax / 2)
0
hcombined A(T
T0
)
k
A
T1 T0 x
g0 ( Ax / 2)
0
很难得到分析解 !
替代方法?
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Heat Transfer
T(x)
mesh T(x)
note
分析解和数值解对比
x
x
分析解法
数值解法
微分方程
一组n维代数方程
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
g
C
T t
+ B. C. + Iபைடு நூலகம் C.
解法
aij nn Ti n1 bi n1
T
Tm,n1 Tm,n
y m,n1/ 2
y
T
Tm,n Tm,n1
y m,n1/ 2n
y
2T y 2
T y T y
m,n1/ 2
m,n1/ 2
y
m,n
Tm,n1,n
2Tm,n y 2
Tm,n1
2T
x2
2T y 2
0
Tm,n1 Tm,n1 Tm1,n Tm1,n 4Tm,n 0
对所有的内部节点 !
d 2T
dx2
g k
0
Tm1 Tm1 2Tm x2
g m k
0
(m 1,2,3,, M 1)
m=0, m=M: 边界
一组M+1维代数方程:
a T b ij (M 1)(M 1) i (M 1)1
i (M 1)1
求解:
T0, T1,
T (x)
TM 1, TM
Heat Transfer
边界节点体积元能量平衡:
常规情况:
Q Gelement 0
allsides
稳态 !
特点情况:
Qleft surface
kAT1 T0 x
g0 ( Ax / 2)
0
全步长
半体积
2. 对流边界条件
hA(T
T0 )
kAT1 T0 x
g0 ( Ax / 2)
0
3. 辐射边界条件
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Heat Transfer
5-1 为什么要进行数值求解?
理论上:
对导热问题完整的数学描述为: 导热方程 + 定解条件
=确定的温度场
边界条件+初始条件
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
g
C
T t
+ 定解条件 T (x, y, z,t)
Heat Transfer
第5章 导热问题数值解法
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer
内容
5-1 为什么要进行数值求解? 5-2 微分方程的有限差分公式 5-3 一维稳态导热 5-4 代数方程组的解法 5-5 二维稳态导热 5-6 非稳态导热 5-7 数值计算的误差控制 5-8 小结
微元m能量平衡
Qcond,left Qcond,right Gelement
Eelement t
0
kATm1 Tm kATm1 Tm
x
x
Gelement gmVelement gm Ax
Beijing Jiaotong University
Heat Transfer
能量平衡法
kATm1 Tm x
常规情况:
Q Gelement 0
allsides
稳态 !
特定情况:
Qleft surface
kAT1 T0 x
g0 ( Ax / 2)
0
全步长
半体积
1. 定热流密度边界条件
q0 A
kAT1 T0 x
g0 (Ax / 2)
0
( q0 0 : 绝热边界 )
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向后差分
FDM
dT
Tm1 Tm
dx m1/ 2
x
dT
Tm Tm1
dx m1/ 2
x
2 notes ! 3 notes !
d 2T
dx2
dT
m
dx d T m1/ 2 x
dx m1/ 2
Tm1
2Tm x 2
Tm1
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Heat Transfer 一维问题:
有限元法 - FEM 有限分析法 - FAM 边界元法 - BEM
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Heat Transfer
5-2 微分方程的有限差分公式
一维问题:
微分方程:
d 2T dx 2
g k
0
微分 dx, dT
微商 dT/dx
向前差分
差分 x,
T
差商 T/ x
A(Ts4urr
T04 )
kAT1 T0 x
g0 ( Ax / 2)
0
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Heat Transfer
边界节点体积元能量平衡:
常规情况:
Q Gelement 0
allsides
稳态 !
特定情况:
Qleft surface
kAT1 T0 x
T (x, y, z,t): 连续函数
(无限 )
T (xi , yi , zi , ti ) i1,2,3,,n : 离散值 ( 有限 )
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Heat Transfer
获得数值方程的方法
有限差分法 - FDM
有限容积法 - FVM 控制容积法 - CVM 能量平衡法 - EBM
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Heat Transfer
5-3 一维稳态导热
能量平衡方法 问题: 常导热系数,带有内热源,厚度为L一维平板导热
步骤 1: 离散化 (M+1) 节点, M 等长段 x=L/M, 控制容积, T(xm)=Tm(平均) 步骤 2: 对内部节点建立常规的差分方程