大学物理实验中不确定度的评定
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0
引
言
分布范围. 一个完整的测量结果不仅要给出该量值 的大小 ( 即数值和单位 ) , 同时还应给出它的不确定 度 , 用不确定度来表征测量结果的可信赖程度. 于是 测量结果应写成下列标准形式: x= x U ( 单位 ) Er = U x 100 %
大学物理实验中的实验误差和数据处理是大学 物理实验课程的重要教学内容之一 , 传统的误差理 论是用" 测量误差 " 概念来评价测量结果的可 信程 度, 这种表示方法不尽完善, 往往有可能会遗漏一些 影响测量结果准确性的因素, 例如未定的系统误差、 仪器误差等. 鉴于上述原因, 为了更准确地表述测量 结果的可靠程度 , 1980 年, 国际计量局制度了 实验 不确定度建议书 ING- 1( 1980) , 1993 年, 国际标 准化组织在国际计量局等 7 个国际组织的支持下 , 制定 测量不确定度表示指 南 ISO1993CE ( Guide to the ex pression o f uncert aint y in measurement ISO1993CE) , 简称 GU M; 为了与国际标准同步 , 我 国又颁布了新的国家计量技术规范 JJF1059- 1999 测量不确定评定与表示 , 中国国家计量技术规范明 确提出了测量结果的最终形式 , 要用不确定度来评 定与表示 . 因此 , 推广和使用不确定度表示是物理学 研究和教学中的自然趋势, 对大学物理实验教学中 有关误差分析和数据处理教学内容的改革提出了较 为迫切的新要求 .
式中 x 为测量值, 对等精度多次测量而言 , x 为 多次测量的算术平均值; U 为不确定度, Er 为相对 不确定度.
2
不确定的分类和评定方法
测量不确定度通常由几个分量构成, 按数值的
评定方法不同可将分量分为 A 类和 B 类 . A 类分量 是指在同一条件下多次重复测量时由一系列观测结 果用统计方法计算的分量, 用符号 u A 表示. B 类分 量是指用非统计方法计算的其他分量, 用符号 u B 表示. 测量不确定度有三种定量表达方式: 标准不 确定度 : 用标准偏差表示的测量结果的不确定度 . 合成标准不确定度: 由若干标准不确定度合成的不 确定度 . 扩展不确定度: 用包含因子 k 乘以合成标 准不确定度 , 得到扩展不确定度 , 这样可以得到一个 区间的量, 该区间包含了合理赋予的被测量值分布 的大部分. 它将合成标准不确定度扩展了 k 倍, 从而 提高了置信水平. 2 1 直接测量的不确定度的评定 2. 1. 1 单次直接测量的标准不确定度的评定
摘 要: 讨论了不确定度的评价体系的现代进展 , 提出了在大学物理实验中推广和使用不确定度的迫 切性 , 就不确定度的评定方法进行了探讨 . 关键词: 不确定度; 标准不确定度 ; 合成不确定度 ; 扩展不确定度 中图分类号 : O4- 34 文献标识码 : A 文章编号: 1671- 119X( 2008) 02- 0053- 03 范围, 即随机误差分量和未定系统误差分量的联合
第 18 卷第 2 期
2008 年 6 月
湖 南 工 程 学 院 学 报
Journal of H unan Inst it ut e of Engineering
V o1. 18. No . 2 June 2008
大学物理实验中不确定度的评定
贺文阳, 刘艳辉
( 湖南工程学院 数理系 , 湖南 湘潭 411104)
3
结束语
不确定度的概念和体系是现代误差理论发展的
基础上建立和完善的 , 是对测量结果评定和表示国 际标准化和规范化的重要体现. 掌握不确定度的概 念 , 应作为大学物理实验教学的基本要求 , 这是物理 实验教学内容改革的一个重要环节. 参 考 文 献
朱鹤年 . 物理实验研究 [ M ] . 清华大 学出版社 , 1990: 12 - 43. 国家 质 量 技 术 监 督 局 , 测 量 不 确 定 度 评 定 与 表 示 , JJF1059- 1999[ S] . 中国计量出版 社 , 1999. 李埸碚 . 实验的数学处理 [ M ] . 科学出版社 , 1980: 103. 丁慎训 , 张孔时 . 物理实验教程 [ M ] . 北京 : 清华大学 出 版社 , 2003.
54
湖南工程学院学报 在物理实验中经常遇到单次测量的情况. 原因
2008 年
由于多次测量的平均值比一次测量值更准确, 随着测量次数的增多, 平均值收敛于期望值. 因此, 通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计 ( 即 测量结果 ) , 以平均值的标准偏差 S ( x) 作为测量结果 的标准不确定度, 即 A 类标准不确定度 . 所以 u A ( x) = S ( x) = 1 2 (xi- x) n( n- 1) i= 1 ( 1)
f dx i ( 其中 d y , dx i 分别为 y 及 x i 的误差 ) , 从误 xi 差传递的代数 和式可以导出标准偏差 的方和根合 成, 即
n
Sy = (
i= 1
仪器的误差服从三角形分布 C =
[ ( f )S xi] 2 = xi
6 . 在缺乏信息难以分清分布的情况下 , 以不确定 度偏大假设为准 , 一律按均匀分布处理 . 即 u B( x) =
n
这里直接把 S ( x ) 作为 A 类标准不确定度 U A ( x) , 测量次数不是很少时, 对应的置信率为 68 . 3% , 当 测量次数不太多( 教学实验测量中均为有限次测量, 一般只有 5- 10 次) , 这时测量结果偏离正态分布, 而服从 t 分布 . 则 A 类不确定度分量 u A ( x ) 由 S ( x ) 乘 以因子 t p 求得 , 即 u A ( x) = tp S ( x) = tp 1 (xi- x)2 n( n - 1) i = 1
是多次测量时 A 类不确定度远小于 B 类不确定度 , 或物理过程不能重复 , 因此无法多次测量. 在一般情 况下 , 简化的做法是采用仪器误差 , 作为单次测量的 不确定度的估计值. 故 U= uB( x ) = 仪 2. 1. 2 多次直接测量的标准不确定度的评定 ( 1) 多次直接测量的 A 类标准不确定度的评定 在相同条件下, 对某一物理量 x 进行 n 次等精 度独立测量 , 其测量值分别为 x 1 , x 2 , x 3 , , x n, 则该测量值的最佳估计值为算术平均值 , 即 1 x = n i = 1x i 在这种情况下, 单次测量的标准偏差 S xi , 由贝 塞尔 ( Bessel) 公式得到 : S ( xi) = 1 n- 1 (xi- x)2
n i= 1 2 2
C
表示仪器误差 , 仪器误差通常取仪 器的示
值误差、 基本误差或允许误差 , 必要时可查阅国家有 关标准、 仪器出厂说明书、 仪器铭牌等, 也可取仪器 最小分度的一半 . C 为置信系数 , 其取值为 : 的误差服从均匀分布 , C = 态分布, C = 3, 3; 仪器 仪器的误差服从正
[ 3] [ 4] [ 1] [ 2]
扩展不确定度 U 与相对不确定 E y 只取 1 至 2 位有效位数 , 由扩展不确定度决定测量结果的有效 数字的位数 . 2. 5 测量结果可表示为 y= y k p u ( y) Ey = k p u ( y) y 100% ( 4)
f 2 2 f 2 2 ) u ( x1 ) + ( ) u ( x2 ) + x1 x2
(xi- x)
4
5 1. 11 2. 57
6 1. 09 2. 45
7 1. 05 2. 36
8 1. 05 2. 31
9 1. 05 2. 26
10 1. 05 2. 26
20 1. 03 2. 09 1. 00 1. 96
1. 20 3. 18
1. 14 2. 78
由表可见, 当测量次数足够多时, t 分布趋于标 准正态分布 ( 2) 多次直接测量的 B 类标准不确定度的评定 在物理实验中, B 类标准不确定度的数值主要 来自以前的测量数据, 对有关技术资料和测量仪器 特性的了解和经验 , 技术说明书或其他证书以及手 册等提供数据 . 若已知 B 类分量误 差的极限, 则 B 类不确定度为 u B( x) =
The Evaluation of Uncertainty in University of Physics Experiment
H E Wen yang, L IU Yan hui
( Dept. o f M ath. and P hy. , H unan Instit ute o f Eng ineering, Xiang tan 411104, China)
Abstract: T his paper discusses t he m odern prog ress of the ev aluat io n sy st em of uncert aint y and puts fo r w ard t he ur gency of expanding and using uncert aint y in the universit y of physics ex periment teaching . A method o f assessing t he uncer tainty is given. Key words: uncert aint y; st andard uncert ainty ; synt hesis uncert aint y; ex panded uncer tainty
其中 tp 为与一定置信概率 p 相联系的包含因 子 . 可由表 1 查出不同置信概率下因子 tp 与测量次 数的关系
2
则平均值的标准偏差 S ( x) 为 : S ( x) =
测量次数 P = 68. 3% P = 95%
S ( xi) = n
1 1. 54 12. 7
1 n( n- 1)
2 1. 32 4. 30 3
1
不确定的概念
不确定度 ( Uncert aint y ) 一词是指可疑、 不能 肯定或测不准的意思, 不确定度是测量结果所携带 的一个必要的参数, 以表征测量值的分散性、 准确性 和可靠程度. 不确定度反映了可能存在的误差分布
收稿日期 : 2007- 09- 09
作者简介 : 贺文阳 ( 1968- ) , 女 , 实验师 , 研究方向 : 大学物理实验的理论研究 .
( 4 ) 的标准偏差传递公式在数学上是严密的. 人们公
第2期
贺文阳等 : 大学物理实验中不确定度的评定
55
认 u( y) 为以标准偏差形式表示的不确定度 , 其传递 公式形同标准偏差的形式, 也是各分量与偏导数之 积的方和根, 于是得到间接测量量的总不确定度的 近似公式为: u( y) = ( [( f ) u( x i ) ] 2 = xi + ( f 2 2 ) u ( xn ) xn ( 5) 式中 u( x i ) 为各直接测量量 x i 的合成不 确定 度; f 为传递系数. xi 2. 3 测量结果的扩展不确定度 扩展不确定度 U 由合成标准不确定度 u ( y) 乘以 包含因子 k p 得到 : U = k p u ( y) 式中 k p 为与 p 值相关的包含因子 , 通常 k p 等 于 t p , 在实际数据计算中 , 都取 P = 0. 95 , k p = 1. 96. u( y) 中包含 A 类分量和 B 类分量 . 2. 4 相对不确定度 为了更直观地评价测量结果的准确度, 常采用 相对不确定度的概念 , 相对不确定度用百分数表示 U Ey= y 100%
仪
f 2 f 2 f 2 ) S x 12+ ( ) S x 22+ ( ) Sx n 2 ( 4) x1 x2 xn 式中 s y 为间接测量量的标准偏差; S ( x i ) 为直 , x n 互相独立的前提下, 式
3
( 2)
接测量量的标准偏差. 在各量 x 1 , x 2 ,
( 3) 多次直接测量的合成标准不确定度的评定
仪 仪
按方和根合成原理可以得到直接测量的合成不 确定度公式 , 即 uC( x) = u A ( x ) + uB ( x ) ( 3) 2. 2 间接测量不确定度的评定 不确定度的传递 与合成 设间接 测量 量 y 可 写成 直接 测 量量 x 1 , x 2 , , x n 的函数 y = f ( x 1 , x 2 , x n ) . 则间接测量 y 的最佳值为 y = f ( x 1 , x 2 , , x n ) . 由误差的全微 分表达式 d y = f dx 1 + f dx 2 + x1 x2 + f dx n = xn
0
引
言
分布范围. 一个完整的测量结果不仅要给出该量值 的大小 ( 即数值和单位 ) , 同时还应给出它的不确定 度 , 用不确定度来表征测量结果的可信赖程度. 于是 测量结果应写成下列标准形式: x= x U ( 单位 ) Er = U x 100 %
大学物理实验中的实验误差和数据处理是大学 物理实验课程的重要教学内容之一 , 传统的误差理 论是用" 测量误差 " 概念来评价测量结果的可 信程 度, 这种表示方法不尽完善, 往往有可能会遗漏一些 影响测量结果准确性的因素, 例如未定的系统误差、 仪器误差等. 鉴于上述原因, 为了更准确地表述测量 结果的可靠程度 , 1980 年, 国际计量局制度了 实验 不确定度建议书 ING- 1( 1980) , 1993 年, 国际标 准化组织在国际计量局等 7 个国际组织的支持下 , 制定 测量不确定度表示指 南 ISO1993CE ( Guide to the ex pression o f uncert aint y in measurement ISO1993CE) , 简称 GU M; 为了与国际标准同步 , 我 国又颁布了新的国家计量技术规范 JJF1059- 1999 测量不确定评定与表示 , 中国国家计量技术规范明 确提出了测量结果的最终形式 , 要用不确定度来评 定与表示 . 因此 , 推广和使用不确定度表示是物理学 研究和教学中的自然趋势, 对大学物理实验教学中 有关误差分析和数据处理教学内容的改革提出了较 为迫切的新要求 .
式中 x 为测量值, 对等精度多次测量而言 , x 为 多次测量的算术平均值; U 为不确定度, Er 为相对 不确定度.
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不确定的分类和评定方法
测量不确定度通常由几个分量构成, 按数值的
评定方法不同可将分量分为 A 类和 B 类 . A 类分量 是指在同一条件下多次重复测量时由一系列观测结 果用统计方法计算的分量, 用符号 u A 表示. B 类分 量是指用非统计方法计算的其他分量, 用符号 u B 表示. 测量不确定度有三种定量表达方式: 标准不 确定度 : 用标准偏差表示的测量结果的不确定度 . 合成标准不确定度: 由若干标准不确定度合成的不 确定度 . 扩展不确定度: 用包含因子 k 乘以合成标 准不确定度 , 得到扩展不确定度 , 这样可以得到一个 区间的量, 该区间包含了合理赋予的被测量值分布 的大部分. 它将合成标准不确定度扩展了 k 倍, 从而 提高了置信水平. 2 1 直接测量的不确定度的评定 2. 1. 1 单次直接测量的标准不确定度的评定
摘 要: 讨论了不确定度的评价体系的现代进展 , 提出了在大学物理实验中推广和使用不确定度的迫 切性 , 就不确定度的评定方法进行了探讨 . 关键词: 不确定度; 标准不确定度 ; 合成不确定度 ; 扩展不确定度 中图分类号 : O4- 34 文献标识码 : A 文章编号: 1671- 119X( 2008) 02- 0053- 03 范围, 即随机误差分量和未定系统误差分量的联合
第 18 卷第 2 期
2008 年 6 月
湖 南 工 程 学 院 学 报
Journal of H unan Inst it ut e of Engineering
V o1. 18. No . 2 June 2008
大学物理实验中不确定度的评定
贺文阳, 刘艳辉
( 湖南工程学院 数理系 , 湖南 湘潭 411104)
3
结束语
不确定度的概念和体系是现代误差理论发展的
基础上建立和完善的 , 是对测量结果评定和表示国 际标准化和规范化的重要体现. 掌握不确定度的概 念 , 应作为大学物理实验教学的基本要求 , 这是物理 实验教学内容改革的一个重要环节. 参 考 文 献
朱鹤年 . 物理实验研究 [ M ] . 清华大 学出版社 , 1990: 12 - 43. 国家 质 量 技 术 监 督 局 , 测 量 不 确 定 度 评 定 与 表 示 , JJF1059- 1999[ S] . 中国计量出版 社 , 1999. 李埸碚 . 实验的数学处理 [ M ] . 科学出版社 , 1980: 103. 丁慎训 , 张孔时 . 物理实验教程 [ M ] . 北京 : 清华大学 出 版社 , 2003.
54
湖南工程学院学报 在物理实验中经常遇到单次测量的情况. 原因
2008 年
由于多次测量的平均值比一次测量值更准确, 随着测量次数的增多, 平均值收敛于期望值. 因此, 通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计 ( 即 测量结果 ) , 以平均值的标准偏差 S ( x) 作为测量结果 的标准不确定度, 即 A 类标准不确定度 . 所以 u A ( x) = S ( x) = 1 2 (xi- x) n( n- 1) i= 1 ( 1)
f dx i ( 其中 d y , dx i 分别为 y 及 x i 的误差 ) , 从误 xi 差传递的代数 和式可以导出标准偏差 的方和根合 成, 即
n
Sy = (
i= 1
仪器的误差服从三角形分布 C =
[ ( f )S xi] 2 = xi
6 . 在缺乏信息难以分清分布的情况下 , 以不确定 度偏大假设为准 , 一律按均匀分布处理 . 即 u B( x) =
n
这里直接把 S ( x ) 作为 A 类标准不确定度 U A ( x) , 测量次数不是很少时, 对应的置信率为 68 . 3% , 当 测量次数不太多( 教学实验测量中均为有限次测量, 一般只有 5- 10 次) , 这时测量结果偏离正态分布, 而服从 t 分布 . 则 A 类不确定度分量 u A ( x ) 由 S ( x ) 乘 以因子 t p 求得 , 即 u A ( x) = tp S ( x) = tp 1 (xi- x)2 n( n - 1) i = 1
是多次测量时 A 类不确定度远小于 B 类不确定度 , 或物理过程不能重复 , 因此无法多次测量. 在一般情 况下 , 简化的做法是采用仪器误差 , 作为单次测量的 不确定度的估计值. 故 U= uB( x ) = 仪 2. 1. 2 多次直接测量的标准不确定度的评定 ( 1) 多次直接测量的 A 类标准不确定度的评定 在相同条件下, 对某一物理量 x 进行 n 次等精 度独立测量 , 其测量值分别为 x 1 , x 2 , x 3 , , x n, 则该测量值的最佳估计值为算术平均值 , 即 1 x = n i = 1x i 在这种情况下, 单次测量的标准偏差 S xi , 由贝 塞尔 ( Bessel) 公式得到 : S ( xi) = 1 n- 1 (xi- x)2
n i= 1 2 2
C
表示仪器误差 , 仪器误差通常取仪 器的示
值误差、 基本误差或允许误差 , 必要时可查阅国家有 关标准、 仪器出厂说明书、 仪器铭牌等, 也可取仪器 最小分度的一半 . C 为置信系数 , 其取值为 : 的误差服从均匀分布 , C = 态分布, C = 3, 3; 仪器 仪器的误差服从正
[ 3] [ 4] [ 1] [ 2]
扩展不确定度 U 与相对不确定 E y 只取 1 至 2 位有效位数 , 由扩展不确定度决定测量结果的有效 数字的位数 . 2. 5 测量结果可表示为 y= y k p u ( y) Ey = k p u ( y) y 100% ( 4)
f 2 2 f 2 2 ) u ( x1 ) + ( ) u ( x2 ) + x1 x2
(xi- x)
4
5 1. 11 2. 57
6 1. 09 2. 45
7 1. 05 2. 36
8 1. 05 2. 31
9 1. 05 2. 26
10 1. 05 2. 26
20 1. 03 2. 09 1. 00 1. 96
1. 20 3. 18
1. 14 2. 78
由表可见, 当测量次数足够多时, t 分布趋于标 准正态分布 ( 2) 多次直接测量的 B 类标准不确定度的评定 在物理实验中, B 类标准不确定度的数值主要 来自以前的测量数据, 对有关技术资料和测量仪器 特性的了解和经验 , 技术说明书或其他证书以及手 册等提供数据 . 若已知 B 类分量误 差的极限, 则 B 类不确定度为 u B( x) =
The Evaluation of Uncertainty in University of Physics Experiment
H E Wen yang, L IU Yan hui
( Dept. o f M ath. and P hy. , H unan Instit ute o f Eng ineering, Xiang tan 411104, China)
Abstract: T his paper discusses t he m odern prog ress of the ev aluat io n sy st em of uncert aint y and puts fo r w ard t he ur gency of expanding and using uncert aint y in the universit y of physics ex periment teaching . A method o f assessing t he uncer tainty is given. Key words: uncert aint y; st andard uncert ainty ; synt hesis uncert aint y; ex panded uncer tainty
其中 tp 为与一定置信概率 p 相联系的包含因 子 . 可由表 1 查出不同置信概率下因子 tp 与测量次 数的关系
2
则平均值的标准偏差 S ( x) 为 : S ( x) =
测量次数 P = 68. 3% P = 95%
S ( xi) = n
1 1. 54 12. 7
1 n( n- 1)
2 1. 32 4. 30 3
1
不确定的概念
不确定度 ( Uncert aint y ) 一词是指可疑、 不能 肯定或测不准的意思, 不确定度是测量结果所携带 的一个必要的参数, 以表征测量值的分散性、 准确性 和可靠程度. 不确定度反映了可能存在的误差分布
收稿日期 : 2007- 09- 09
作者简介 : 贺文阳 ( 1968- ) , 女 , 实验师 , 研究方向 : 大学物理实验的理论研究 .
( 4 ) 的标准偏差传递公式在数学上是严密的. 人们公
第2期
贺文阳等 : 大学物理实验中不确定度的评定
55
认 u( y) 为以标准偏差形式表示的不确定度 , 其传递 公式形同标准偏差的形式, 也是各分量与偏导数之 积的方和根, 于是得到间接测量量的总不确定度的 近似公式为: u( y) = ( [( f ) u( x i ) ] 2 = xi + ( f 2 2 ) u ( xn ) xn ( 5) 式中 u( x i ) 为各直接测量量 x i 的合成不 确定 度; f 为传递系数. xi 2. 3 测量结果的扩展不确定度 扩展不确定度 U 由合成标准不确定度 u ( y) 乘以 包含因子 k p 得到 : U = k p u ( y) 式中 k p 为与 p 值相关的包含因子 , 通常 k p 等 于 t p , 在实际数据计算中 , 都取 P = 0. 95 , k p = 1. 96. u( y) 中包含 A 类分量和 B 类分量 . 2. 4 相对不确定度 为了更直观地评价测量结果的准确度, 常采用 相对不确定度的概念 , 相对不确定度用百分数表示 U Ey= y 100%
仪
f 2 f 2 f 2 ) S x 12+ ( ) S x 22+ ( ) Sx n 2 ( 4) x1 x2 xn 式中 s y 为间接测量量的标准偏差; S ( x i ) 为直 , x n 互相独立的前提下, 式
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接测量量的标准偏差. 在各量 x 1 , x 2 ,
( 3) 多次直接测量的合成标准不确定度的评定
仪 仪
按方和根合成原理可以得到直接测量的合成不 确定度公式 , 即 uC( x) = u A ( x ) + uB ( x ) ( 3) 2. 2 间接测量不确定度的评定 不确定度的传递 与合成 设间接 测量 量 y 可 写成 直接 测 量量 x 1 , x 2 , , x n 的函数 y = f ( x 1 , x 2 , x n ) . 则间接测量 y 的最佳值为 y = f ( x 1 , x 2 , , x n ) . 由误差的全微 分表达式 d y = f dx 1 + f dx 2 + x1 x2 + f dx n = xn