苏教版数学高二《2.1 合情推理与演绎推理》同步测试江苏省徐州市王杰中学

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苏教版高中数学选修1-2同步检测：合情推理与演绎推理2

2.1 合情推理与演绎推理一、选择题1．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是（）1 12 1 13 3 1 14 a 4 1 15 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D ．82．下列推理正确的是（）A ．把()a b c +与log ()a x y +类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+．B ．把()a b c +与sin()x y +类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．C ．把()n ab 与()n a b +类比，则有：()n n n x y x y +=+．D ．把()a b c ++与()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．3．观察如图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆点，第n 个图案中圆点的总数是n S ．2n = 3n = 4n = 按此规律推断出n S 与n 的关系式为（） A ．2n S n =B ．4n S n =C ．2n n S =D ．44n n S =-4．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（） A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交． B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直． C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．5．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母A F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：例如，用十六进制表示1E D B +=，则A B ⨯=（） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B二、填空题6．下列各行数都是依照一定的规律排列，在空格处填上适当的数（1）1，5，9，13，17，_______；（2______________． 7．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列的一些性质：①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．你认为比较恰当的是．8．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（Private Key Cryptosystem ），其加密、解密原理如下图：解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文现在加密密钥为log (2)a y x =+，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为． 9．由图1有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB''''⋅=⋅△△，则由图2有体积关系：P A B C P ABCV V '''--=____________图2图1A10．从222112343345675=++=++++=，，中，得出的一般性结论是 ________________________________．三、解答题11．把a b c d ，，，排成形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的式子，称为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算该⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x d c b a .，运算的几何意义为：平面上的点()x y ，在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的作用下变换成点()ax by cx dy ++，．（1）求点(23)，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110的作用下形成的点的坐标．（2）若曲线22421x xy y ++=在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11b a 的作用下变成曲线2221x y -=，求a b+的值．12．定义在实数集R 上的函数()f x ，对任意x y ∈R ，，都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，且(0)0f ≠．求证：()y f x =是偶函数．（附加题）已知数列{}n a 中，713447n n na a a a ++==-，．（1）是否存在自然数m ，使得当n m ≥时，2n a <；当n m <时，2n a >？（2）是否存在自然数p ，使得当n p ≥时，总有112n n n a a a -++<？参考答案 1．C 2．D 3．B 4．B5．A ；1011110616146A B E ⨯=⨯==⨯+=． 6．21（2）中的第n7．②8．14；运用映射概念，体现RMI 原则，实质上当6x =时，3y =，可得2a =，从而当4y =时，42214x =-=． 9．PA PB PC PA PB PC'''⋅⋅⋅⋅．10．2(1)(2)[(22)](21)n n n n n n +++++++-=-．11．解析：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23320110，所以点(23)，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110的作用下变成点(32)，．（2）在曲线22421x xy y ++=上任取一点()m n ，，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n bm an m n m b a 11，将()m an bm n ++，代入2221x y -=，得22()2()1m an bm n +-+=，即2222(12)2(2)(2)1b m a b mn a n -+-+-=．又点()m n ，在曲线22421x xy y ++=上，所以22421m mn n ++=．前面两个式子对照，由待定系数法可知：221212(2)422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得⎩⎨⎧==02b a ，所以2a b +=．12．证明：因为函数()y f x =，对任意x y ∈R ，，都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，故可令0x =，得()()2(0)()f y f y f f y +-=，再令0x y ==，得2(0)(0)2(0)f f f +=，所以(0)1f =（因(0)0f ≠）．故可得()()2()f y f y f y +-=，即()()f y f y -=对任意y ∈R 成立，所以()y f x =是偶函数．附加题：解析：（1）首先考虑能否化简已知条件1347n n na a a ++=-，但事实上这一条路走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些k a 的值来寻找规律．不难得到：8163a =，912a =，108a =-，1143a =-，120a =，1347a =，可以看出：89a a ，均大于2，从10a 到13a 均小于2，但能否由此断定当13n >时，也有2n a <？这就引导我们去思考这样一个问题：若2n a <，能否得出12n a +<？为此，我们考查12n a +-与2n a -的关系，易得1345(2)2277n n n n na a a a a ++--=-=--．可以看出：当2n a <时，必有12n a +<．于是，我们可以确定：当10n ≥时，必有2n a <．为了解决问题（1），我们还需验证当129n =，，，时，是否均有2n a >．方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：11743n n n a a a ++-=+．由此，我们可以从7a 出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若12n a +>，能否得出2n a >”？由1111745(2)2233n n n n n a a a a a ++++---=-=++不难得知：上述结论是正确的．所以，存在10m =，使得当n m ≥时，2n a <；当n m <时，2n a >．（2）问题等价于：是否存在自然数p ，使得当n p ≥时，总有1120n n n a a a -++-<．由（1）可得：()()()31122273n n n n n n a a a a a a -+-+-=-+．我们已经知道：当10n ≥时，2n a <，于是()32070n n a a -<->，，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p ，使得当n p ≥时，总有3n a >-？观察前面计算的结果，可以看出：103a <-，111213a a a ，，均大于3-，可以猜想：11p =满足条件．这样的猜想是否正确？我们只需考查13n a ++与3n a +的关系：由134253377n n n na a a a +++=+=--可知：上述结论正确．另外，如果我们注意到从11a 到13a ，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑1n n a a +-．由()2123477n n n n n n na a a a a a a +-+-=-=--，从而得出结论．。

2019-2020年高中数学苏教版选修1-2同步训练：2.1合情推理与演绎推理

2.1合情推理与演绎推理1、观察下列各式：a + b =1 a 2+ b 2=3, a 3+ b 3=4, a 4+ b 4=7, a 5+ b 5=11，…，则 a"+ b ° =()A. 28B. 76C.123D. 199 2、数列2 5,2 ..2, ..11…的一个通项公式是（）A. a . = 3n 3B. a n 3n 1C. a n = 3n TD. a n = . 3n 亠33、如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n 个点，相应的图案中总的点数记为a n 9 9 9 ，则 9 9 9 9()a 2a 3 a 3 a 4 a 4 a 5 a 2015 a2016 *厲玉确云 • • • ■ *• • • • v ■ « ■* • « * « ■ « ■ • ・ ■ n=4 n=5八2012A B 2013 C 2014 D 2015 2013 2014 2015 2016 4、设数列「2心［按第 n 组有n 个数（n 是正整数）的规则分组如下：（1）,（2,4）,（8,16,32）,…,则第101组中的第一个数位（）5、某种树的分枝规律如图所示 ,则预计到第6年树的分枝数为（）6、下列表述正确的是（）① 归纳推理是由部分到整体的推理② 归纳推理是由一般到一般的推理③ 演绎推理是由一般到特殊的推理④ 类比推理是由特殊到一般的推理⑤ 类比推理是由特殊到特殊的推理A. 24951B. 24950C. 25051D. 2 5050第1年B.6C.7D.87、若大前提：a,b E R+, a +b F2jOb,小前提：x+1 32 x ■-,结论：x+- >2 ,以上推理X Y X x过程中的错误为()A.大前提B.小前提C.结论D.无错误8、有一段“三段论”,推理是这样的：对于可导函数f (x),如果f '(X。

苏教版数学高二《推理案例赏析》精品导学案苏教江苏省徐州市王杰中学

推理案例赏析导学案章节与课题第二章第2.1.3节推理案例赏析课时安排 3课时主备人常丽雅审核人梁龙云使用人使用日期或周次第一周本课时学习目标或学习任务了解合情推理和演绎推理的含义。

能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

本课时重点难点或学习建议重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的本课时教学资源的使用导学案学习过程一、自学准备与知识导学（一）课前热身1、数列123+，138+，1415+，1524+，…由此猜想第n 个数为２、如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为BD 、PD 的中点，以下是证明BC MN ⊥的过程。

（在括号里填写适当的小前提、大前提）证明：， ∴PA BC ⊥（）（）BC APB ∴⊥平面（）BC PB ∴⊥（）， //MN PB ∴（） BC MN ∴⊥ （二）问题情境问题1、在数学考试中，甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似，于是他就用相同的方法来解决考试题，你能说出他的想法用的是什么推理吗？问题2、数列{}n a 的前4项分别是3,3,15,21,有些同学说，数列{}n a 的通项公式63n a n =-，你认为正确吗？问题3、归纳推理和类比推理有何相似之处？问题4、合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理呢？二、学习交流与问题探讨例1、推导正整数平方和公式。

提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为1()123(1)S n n n =++++1…+n=2，那么，前n 个正整数的平方和2222()123S n =+++2…+n =?数学活动：思路1（归纳的方案）参照课本第72页－73页三表猜想 2S （n ）＝6)12)(1(++n n n思考：在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？。

高中数学 2.1.1合情推理与演绎推理同步练习(含解析)苏教版选修12

第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．推理：从一个或几个已知命题得出________________________过程称为推理．2．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义从个别事实中推演出一般性的结论根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论观察、比较→联想、类推→猜测新的结论一、填空题1．下列说法正确的是________．①由合情推理得出的结论一定是正确的②合情推理必须有前提有结论③合情推理不能猜想④合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是____________．3．已知A＝1＋2x4，B＝x2＋2x3，x∈R，则A与B的大小关系为________．4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是________．5．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为________．6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________________．7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．8．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.二、解答题9．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin 20°·sin 40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin 28°·sin 32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．10．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n (n ∈N *)，求出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式．能力提升11．若Rt △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h2＝1a 2＋1b2，在正方体的一角上截取三棱锥P —ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO2，N ＝1PA2＋1PB2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是M ________N ．(填“<、>、＝、≤、≥”中的一种)12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．第2章推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理答案知识梳理1．另一个新命题的思维作业设计 1．②解析合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论． 2．2n－1解析 a 2＝2a 1＋1＝2×1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝2×3＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n ＝2n－1.3．A ≥B解析 ∵A －B ＝2x 4－2x 3－x 2＋1＝(x －1)2·(2x 2＋2x ＋1)≥0，∴A ≥B . 4．1 5．■解析图形涉及□、○、三种符号；其中○与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才合适．6．正四面体的内切球的半径是高的14解析原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．962解析观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962.9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°， ∴由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝34.10．解由a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得，a 1＝1a 1，又a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，将S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，S n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋1an －1的左右两边分别相减得a n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，整理得a n －1a n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，又a 2>0，所以a 2＝2－1.同理a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3，又a 3>0，所以a 3＝3－ 2. 可推测a n ＝n －n －1. 11．＝12．证明类似性质为：若M 、N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与P 点位置无关的定值．其证明如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a2(m 2－a 2)．∴k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m，又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a 2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b 2a2(x 2－m 2)．∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2.故k PM ·k PN 是与P 点位置无关的定值．。

高中数学苏教版选修2-2同步训练：2.1 合情推理与演绎推理 pdf版含答案

2.1 合情推理与演绎推理1、观察按下列顺序排列的等式:9011⨯+=,91211⨯+=,92321⨯+=,93431⨯+=,…,猜想第()*N n n ∈个等式应为( ) A.()91109n n n ++=+B.()91109n n n -+=-C.()91101n n n +-=-D.()()9111010n n n -+-=-2、如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是( )A.2B.4C.6D.83、下列推理是归纳推理的是( )A.,A B 为定点,动点P 满足2PA PB a AB +=>,则P 点的轨迹为椭圆B.由11a =,31n a n =-,求出123,,S S S 猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C.由圆222x y r +=的面积2πr ,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积πS ab = D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4、如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )A. B. C. D.5、已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式:,可推出扇形的面积公式( )A. 22r B. 22l C. 2lr D.不可类比6、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c c c c+=+≠” D.“() n n n ab a b =”类推出“()n n n a b a b +=+”7、在证明()21f x x =+为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提;④函数()21f x x =+满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )A.①④B.②④C.①③D.②③8、“π是无限不循环小数,所以π是无理数”,以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B. π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数9、对于推理:若a b >,则22a b >;因为23>-,所以()2223>-即49>下列说法正确的是( )A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确10、下列说法正确的是( )A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是由特殊到一般的推理C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤11、观察下列等式. 11122-=11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……据此规律,第n 个等式可为__________.12、已知222233+=,333388+=,44441515+=,...,若666a b b += (,a b 均为实数),则a =__________,b =__________.13、观察下列等式211=22123-=-2221236-+=2222123410-+-=-……照此规律,第n 个等式可为__________。

苏教版高中数学选修2-2：第2章《合情推理与演绎推理》综合测试(选修2—2).docx

高中苏教选修（2-2）2.1合情推理与演绎推理水平测试一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提和结论C ．合情推理不能猜想D ．由合情推理得出的结论无法判断正误答案：B2．根据给出的数塔猜测12345697⨯+等于（）19211⨯+=1293111⨯+=123941111⨯+=12349511111⨯+=1234596111111⨯+=LA ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113答案：B 3．如果对象A 和B 都具有相同的属性P Q R ，，等，此外已知对象A 还有一个属性S ，而对象B 还有一个未知的属性X ，由类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立（）A ．X 就是PB ．X 就是QC ．X 就是RD ．X 就是S答案：D4．“因对数函数log a y x =是增函数（大前提），而13log y x =是对数函数（小前提），所以13log y x =是增函数（结论）．”上面推理错误的是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错答案：A5．在数列{}n a 中，10a =，122n n a a +=+，则n a 等于（）A ．2122n --B ．22n -C ．121n -+D ．124n +-答案：B6．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是（）A ．①B ．②C ．③D ．①和②答案：B二、填空题7．把1，3，6，10，15，21，L 这些数叫做三角形，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如下面），则第七个三角形数是．答案：21n n -+8．考察下列式子：211=；22343++=；2345675++++=；2456789107++++++=；L 得出的结论是．答案：2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L9．将函数2x y =为增函数的判断写成三段论的形式为．答案：（大前提）指数函数(1)x y a a =>是增函数；（小前提）2x y =是底数大于1的指数函数；（结论）所以2x y =为增函数10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大三、解答题11．在数列{}n a 中，11a =，122n n na a a +=+，n *∈N ，试猜想这个数列的通项公式．解：由已知，得11a =，1212223a a a ==+，232212224a a a ===+，3432225a a a ==+，L ．所以猜想该数列{}n a 的通项公式为2()1n a n n +=∈+N ． 122222222()a b b c c a a b c +++++≥．证明：首先，我们知道222a bab +≥，则有22222()2a b a b ab +++≥， 2222)22a b b a b +++≥，同理，得222()2b c b c ++≥，222()2a c a c ++≥，则有2222222()ab bc c a a b c +++++++≥．13．已知等式231123334333()n n n na b c -+⨯+⨯+⨯++=-+L 对一切正整数n 都成立，那么a b c ，，的值为多少？解：由等式对一切正整数n 都成立，不妨分别令123n =，，，得 22313()1233(2)123333(3)a b c a b c a b c =-+⎧⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩，解得121414a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．所以所求的a b c ，，的值分别为111244，，．14．观察数表12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10L L L L L L求：（1）这个表的第i 行里的最后一个数字是多少？（2）第i 行各数字之和是多少？解：（1）每行的最后一个数字构成等差数列14710L ，，，，，故第i 行的最后一个数字是32i -．（2）第i 行的第1个数字为i ，第i 行的各数字构成等差数列1232i i i i ++-L ，，，，，共21i -个数，其和为2(21)(32)(21)2i i i i -+-=-．高中苏教选修（2-2）2.1合情推理与演绎推理水平测试一、选择题1．已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（）A ．3B ．3-C ．6D ．6-答案：A 2．已知(0)x ∈+∞，，观察下列式子：12x x +≥，2244322x x x x x +=++≥，L ，类比有1()n a x n n x *++∈N ≥，则a 是（） A ．n nB ．nC ．1n +D ．1n -答案：A3．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A ．▄B ．△C ．XD ． ○答案：A 4．设1250a a a L ，，，是从101-，，这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=L ，且2221250(1)(1)(1)107a a a ++++++=L ，则1250a a a L ，，，中为0的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．13答案：B二、填空题5．一个立方体的六个面上分别标有A B C D E F ，，，，，，下图是此立方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是．答案：F6．观察：①2sin105sin100sin10sin 20sin 30sin 200sin10++++=o oo o o oo ；②2sin102sin 96sin12sin 24sin 36sin192sin12++++=o oo o o o o L ，由此猜出一个一般式为．答案：12sinsin 22sin sin 2sin 3sin sin n n x x x x x nx x+++++=L 三、解答题 7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90o．证明：因为任意三角形三内角之和是180o ，大前提而直角三角形是三角形，小前提所以直角三角形三内角之和为180o ．结论设直角三角形两个锐角分别为A B ，，则有： 90180A B ∠+∠+=o o ．因为等量减等量差相等，大前提所以(90)9018090A B ∠+∠+-=-o o o o，小前提所以90A B ∠+∠=o ．结论8．已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+．证明：函数()f x 在(1)-+∞，上为增函数．证明：设121x x -<<，2121212122()()11x x x x f x f x a a x x ---=+---+ 2121212211x x x x a a x x --=-+-++ 121121221(1)(2)(2)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x a a x x -+---+=-+++ 12121213()(1)(1)(1)x x x x x a a x x --=-+++．因为210x x ->，又1a >，所以211x x a ->．而121x x -<<，所以110x +>，210x +>，所以21()()0f x f x ->，即得()f x 在(1)-+∞，上为增函数．备选题1．《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A ．一次三段论B ．复合三段论C ．不是三段论D ．某个部分是三段论答案：B2．正整数按右表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）A ．22005B ．22006C ．20052006+D ．20052006⨯答案：D3．假设若干杯甜度相同的糖水，分别经过下面的试验：（1）①将所有糖水倒在一起；②将任意多杯糖水倒在一起．（2）将某一杯糖水中再加入一小匙糖，糖全都溶化．类经这些实验，分别能得到数学上怎样的关系式？答案：解：（1）得到数学上的等比定理，如果(0)a c m b d n b d n===+++≠L L ，那么a c m a b d n b+++=+++L L ；（2）得到不等式，若a b ，均为正数，且a b <，m 为正数，则a a mb b m +<+．。

2019-2020学年高二数学选修2-2《2.1合情推理与演绎推理》测试卷及答案解析

2019-2020学年高二数学选修2-2《2.1合情推理与演绎推理》测试卷一．选择题（共11小题）1．根据给出的数塔猜测123456×9+7＝（）1×9+2＝1112×9+3＝111123×9+4＝11111234×9+5＝1111112345×9+6＝111111…A．1111110B．1111111C．1111112D．11111132．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（）A．类比推理B．三段论推理C．归纳推理D．传递性推理3．下面几种是合情推理的是（）①已知两条直线平行同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③数列{a n}中，a n＝2n﹣1推出a10＝19④数列1，0，1，0，…推测出每项公式a n＝+（﹣1）n+1．A．①②B．②④C．②③D．③④4．为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了6．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的7．“三段论”是演绎推理的一般形式．现给出一段推理：①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形．那么，这段推理中的小前提是（）A．①B．②C．③D．无法确定8．用三段论进行如下推理：“对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）是增函数，因为y＝x 是对数函数，所以y＝x是增函数．”你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的9．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的10．下面有段演绎推理：“直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，则该推理中（）。

苏教版高中数学选修222.1合情推理与演绎推理同步测试题2套

高二数学自学园地第六周一、知识结构：【探索研究】我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。

通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。

【例题评析】例1：如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。

则第n －2个图形中共有________个顶点。

变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖块。

例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为,αβ，则22cossin αβ+=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;变题1：已知，m 是非零常数，x ∈R,且有()f x m +=1()1()f x f x +-,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。

变题2：数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明：（Ⅰ）数列}{nS n是等比数列；第1个第2个第3个推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理分析法综合法反证法数学归纳（Ⅱ）.41n n a S =+例3：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y 轴对称，求证：1()2f x +为偶函数。

例4：设S n =1+111...23+++n (n>1,n ∈N),求证：212n n S >+ （2,n n N ≥∈）评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。

变题：是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论。

苏教版数学高二数学 2.1.2《合情推理与演绎推理》基础训练(苏教版选修1-2)

1．下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．其中正确的有________．解析：根据演绎推理的含义，可知①③④是正确的．答案：①③④2．下面几种推理过程是演绎推理的是________．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠1和∠2是两条平行直线的同旁内角，那么∠1＋∠2＝180°；②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；③某校高三年级共有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：②为类比推理，③④均为归纳推理，①为演绎推理．答案：①3．用演绎推理证明“y ＝x 2(x ＞0)是增函数”时的大前提为________．解析：证明函数的单调性一般是根据函数单调性的定义．答案：增函数的定义4．函数y ＝3x ＋8的图象是一条直线，用三段论表示为：①大前提：__________________________________________________________________. ②小前提：__________________________________________________________________. ③结论：____________________________________________________________________. 答案：①一次函数的图象是一条直线 ②函数y ＝3x ＋8是一次函数 ③函数y ＝3x ＋8的图象是一条直线一、填空题 1．下面是分析喜马拉雅山所在的地方曾经是一片汪洋的推理过程：鱼类、贝类等都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里；在喜马拉雅山上发现了它们的化石；所以，喜马拉雅山曾经是一片汪洋．上述推理是________，推理的模式是________．解析：显然符合三段论的形式，所以是演绎推理，也就是从一般到特殊的推理．答案：演绎推理三段论2．“所有是9的倍数(M )的数都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故某奇数(S )是3的倍数(P )．”对上述推理的判断，下面说法正确的是________．①小前提错 ②结论错③正确 ④大前提错解析：大前提、小前提都正确，推理形式也正确，故推理是正确的．答案：③3．“因指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以y ＝(13)x 是增函数(结论)．”上面的推理中错误的是________．解析：大前提应为指数函数y ＝a x (a >1)是增函数，指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数．答案：大前提错导致结论错4．________(大前提)，函数f (x )＝x 2是偶函数(小前提)，所以函数f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称(结论)．解析：由“小前提”函数f (x )＝x 2是偶函数可知，大前提应为偶函数的性质．答案：偶函数的图象关于y 轴对称5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是______．解析：应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，推理形式错误导致结论错误．答案：使用了“三段论”推理，但推理形式错误6．设a ＝(x,4)，b ＝(3,2)，若a ∥b ，则x 的值为________．解析：由a ∥b ，a ＝(x,4)，b ＝(3,2)，可得2x －4×3＝0，∴x ＝6.答案：67．在求函数y ＝log2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0，小前提是log2x －2有意义，结论是________．解析：由大前提知，log2x －2≥0，解得x ≥4.答案：y ＝log2x －2的定义域是[4，＋∞)8．在R 上存在定义运算x ⊗y ＝x (1－y )，则2⊗x ≤0的解集为________．解析：由已知条件，得2⊗x ＝2(1－x )≤0，所以x ≥1.答案：[1，＋∞)9．给出下列三个命题：①若a ≥b ＞－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n ，满足m ≤n ，则m n －m ≤n 2； ③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2是以(a ，b )为圆心且半径为1的圆．当满足(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题为________．解析：①a 1＋a ≥b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b， ∵a ≥b ＞－1，∴a ＋1≥b ＋1＞0，∴0＜11＋a ≤11＋b ，从而1－11＋a ≥1－11＋b ，即a 1＋a ≥b 1＋b成立，∴①为真命题． ②取x ＝m ，y ＝n －m ，由均值不等式，得m n －m ≤m ＋n －m 2＝n 2，故②为真命题．③为假命题．答案：③二、解答题10．(1)因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)； (2)因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A ，B ，C 为空间三点(小前提)，所以过A ，B ，C 三点只能确定一个平面(结论)；(3)因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．上述三个推理中，推理的结论正确吗？为什么？解：(1)不正确．理由如下：推理形式是正确的，但大前提是错误的．因为对数函数y ＝log a x 的单调性与底数a 的取值有关，若0<a <1，则y ＝log a x 为减函数；若a >1，则y ＝log a x 为增函数．(2)不正确．理由如下：推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为过共线的三点有无数个平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．(3)不正确．理由如下：推理形式是错误的．因为演绎推理是从一般到特殊的推理．铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事件，此推理是从特殊到特殊的推理．11．设m ∈(－2,2)，求证方程x 2－mx ＋1＝0无实根．(用三段论形式证)证明：因为如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac <0，那么方程无实根，(大前提)一元二次方程x 2－mx ＋1＝0的判别式Δ＝m 2－4，当m ∈(－2,2)时，Δ<0，(小前提) 所以方程x 2－mx ＋1＝0无实根．(结论)12.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD .求证：BD ⊥平面PAC .证明：因为一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线，(大前提)PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，(小前提)所以PO ⊥BD .(结论)又因为正方形的对角线互相垂直，(大前提)AC ，BD 分别为正方形ABCD 的两条对角线，(小前提)所以BD ⊥AC .(结论)因为一条直线垂直于一个平面的两条相交直线，则此直线垂直该平面，(大前提)由BD ⊥PO ，BD ⊥AC 且AC ∩PO ＝O ，(小前提)：BD ⊥平面PAC .(结论)。

江苏省徐州市王杰中学高二数学《2.1.1 合情推理》导学案选修2-2

合情推理导学案一、自学准备与知识导学1.问题情境：在日常生活中我们常常遇到这样的现象（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是的思维过程。

2.探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37,……,100=3+9，猜想： .问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出。

新知：归纳推理就是由某些事物的，推出该类事物的的推理，或者由的推理。

简言之，归纳推理是由的推理。

3.探究任务：类比推理鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理。

新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理。

二、学习交流与问题探讨三、例1已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，1=n a ， ),2,1(1221⋯⋯=+=+n a a n n ，试猜想这个数列的通项公式.?,21,32,1,2:54321=====n a a a a a 求拓展例例6试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质： (1) a=b ⇒a+c=b+c; (1) (2) a=b ⇒ ac=bc; (2) (3) a=b ⇒a 2=b 2。

(3) 问：这样猜想出的结论是否一定正确？变式、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例7 试将平面上的圆与空间的球进行类比.新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。

苏教版数学高二-【数学选修1-2】2.1《合情推理与演绎推理》导学案(2)

8、平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题。
★链接高考★
9、（2003年高考）在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB、AC互相垂直，则。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则”
（3）类比推理以旧的知识作基础，推测性的结果，具有发现的功能。
【典型例题】
例1、类比圆的下列特征，找出球的相关特征
（1）平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆；
（2）平面内不共线的3个点确定一个圆
（3）圆的周长和面积可求
（4）在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆的方程为
【解析】：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；
2.1.2合情推理与演绎推理(2)
1、C 2、D 3、D 4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面
6、
7、在等比数列中，若，，则
8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。9、 + + =
2.1.2合情推理与演绎推理(2)
类比推理

高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理学案苏教版选修1-2(2021年整理)

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2.1 合情推理与演绎推理第1课时归纳推理问题1:我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质?提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据,先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中。

年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱/毫米）110115120125130135145舒张压（水银柱/毫米)70737578808388提示：140 85问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论?提示：随着人的年龄增长,人的血压在增高．问题5：数列{a n}的前五项为1，3，5，7,9试写出a n。

提示：a n＝2n－1（n∈N*)．1．推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推得命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图错误!→错误!→错误!(3）归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题．1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．2．归纳是根据若干已知的条件(现象）推断未知结论(现象），因而，结论（现象）具有猜测的性质．3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础,通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．[例1] 已知数列｛a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1，2，…)，求出a2，a3，a4,并推测a n。

新高中数学第2章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-1-2演绎推理自主练习苏教版选修1_2

新高中数学第2章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-1-2演绎推理自主练习苏教版选修1_2 演绎推理自主广场我夯基我达标1.下列推理正确的是（）A.如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖.B.因为正方形的对角线互相平分且相等，所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形.C.因为a ＞b,a ＞c,所以a-b ＞a-c.D.因为a ＞b,c ＞d,所以a-d ＞b-c.思路解析:A 、B 都是归纳推理，结论不一定正确，而C 、D 都是演绎推理，但C 是不正确的. 答案:D2.(2006年陕西高考卷，12)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a 、b 、c 、d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A.7，6，1，4B.6，4，1，7C.4，6，1，7D.1，6，4，7解:本题是演绎推理，由一般到特殊的推理.由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+284233292142d d c c b b a 可求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====7146d c b a 答案:B3.(2006年福建高考卷，12)对于直角坐标平面内的任意两点A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),定义它们之间的一种“距离”：｜｜AB ｜｜=｜x 2-x 1｜+｜y 2-y 1｜.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则｜｜AC ｜｜+｜｜CB ｜｜=｜｜AB ｜｜；②在△ABC 中，若∠C=90°,则｜｜AC ｜｜2+｜｜CB ｜｜2=｜｜AB ｜｜2；③在△ABC 中，｜｜AC ｜｜+｜｜CB ｜｜=｜｜AB ｜｜.其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3 思路解析:解：如上图（1）||AB||=|AC|+|BC|∴在①中如图（2），||AC||+||CB||=|AM|+|MC|+|CP|+|PB|=|AN|+|BN| ∴①正确.在②中如图（1），||AC||2=|AC|2，||AB||2=（ |AC|+|BC|）2，||BC||2=|BC|2，∴②不正确.在③中如图（1）||AC||+||CB||在△ABC 为直角三角形且C 为直角时其值等于||AB||. 答案:B4.在推理a ＞b,b ＞c ⇒a ＞c 中，前提是______________，结论是_______________________.思路解析:解：把命题a ＞b,b ＞c ⇒a ＞c 改成因为a ＞b,b ＞c 所以a ＞c.答案:前提是：a ＞b,b ＞c.结论是：a ＞c.5.(2006年上海高考卷，文12)如图2-1-6，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（p 、q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是__________________________.图2-1-6思路解析:若pq≠0,则满足题意的点有且仅有4个，这4个点分别在4个角的内部：且两两关于O 点对称.答案:4个.6.如图2-1-7所示已知A 、B 、C 、D 四点不共面，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心. 求证：MN∥平面ACD.图2-1-7证明：连结BM ，BN 并延长分别交AD ，DC 于P 、Q 两点，连结PQ.因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，所以P 、Q 分别为AD 、DC 的中点，又有NQBN MP BM ==2,所以MN∥PQ,又MN ⊆平面ADC ，PQ 平面ADC, ∴MN∥面ACD.7.设a 、b 、c∈R +,求证：2222222≥+++++c a c b b a (a+b+c)证明：∵a 2+b 2≥2ab,a、b 、c∈R *,∴2(a 2+b 2)≥(a 2+b 2)+2ab=(a+b)2, ∴a 2+b 2≥2)(2b a + ∴22b a +≥22(a+b). 同理22c a +≥22 (a+c),22c b +≥22 (b+c), ∴有222222c a c b b a +++=+≥22(2a+2b+2c)=2(a+b+c). 即：222222c a c b b a +++++≥2(a+b+c).我综合我发展8.用三段论法表示，如果用M 表示所有平行四边形的集合，用F 表示对角线互相平分的属性，那么M 的每一个元素x 都具有属性F 为真.而所有矩形集合N 是集合M 的非空真子集，为真，即每一个矩形的对角线互相平分.解：用三段论法表示为：每一个平行四边形的对角线互相平分；每一个矩形是平行四边形；每一个矩形的对角线互相平分；或：∵平行四边形的对角线互相平分（大前提）矩形是平行四边形（小前提）∴矩形的对角线互相平行（结论）9求证：当a 、b 、c 为正数时，（a+b+c)(c b a 111++)≥9. 证明：首先，我们知道，2b a +≥ab . (a+b+c)(a 1+b 1+c 1)=(a+b)(a 1+b 1)+(a+b)c 1+c(a 1+b 1)+c·c1 =ab b a 2)(++(a+b)(c 1+ab c )+1≥4+(a+b)·abc c ∙12+1 =5+ab b a )(2+≥5+4=910.证明函数f(x)=x 6-x 3+x 2-x+1的值恒为正数.解：当x ＜0时，f(x)各项都为正数,因此，当x ＜0时，f(x)为正数;当0≤x≤1时，f(x)=x 6+x 2(1-x)+(1-x)＞0;当x ＞1时，f(x)=x 3(x 3-1)+x(x-1)+1＞0.综上所述，函数f(x)的值恒为正数.11.证明函数f(x)=-x 2+2x 在（-∞,1］上是增函数.思路分析:证明本例所依据的大前提是：增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1,x 2,若x 1＜x 2,则有f(x 1)＜f(x 2).小前提是：f(x)=-x 2+2x,x∈(-∞,1］满足增函数的定义，这是证明本例的关键.证明：任取x 1,x 2∈(-∞,1］,且x 1＜x 2,f(x 1)-f(x 2)=(-21x +2x 1)-(-22x +2x 2)=(x 2-x 1)(x 2+x 1-2)因为x 1＜x 2,所以x 2-x 1＞0,因为x 1,x 2≤1,x 1≠x 2,所以x 2+x 1-2＜0,因此,f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2).于是,根据“三段论”，可知f(x)=-x 2+2x在(-∞,1］上是增函数.12.如图2-1-8，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD⊥底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点，（1）求证：EF⊥面PAB ；（2）设AB=2BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小.图2-1-8（1）证明：连结EP.∵PD⊥底面ABCD ，DE 在平面ABCD 内.∴PD⊥DE,又CE=ED,PD=AD=BC,∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE又∵F 为PB 中点，∴EF⊥PB.由三垂线定理得PA⊥AB.∴在Rt△ABP 中，PF=AF,又PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA.∵PB、FA 为平面ABP 内的两条相交直线，∴EF⊥面PAB.（2）解：设BC=1，则AD=PD=1，AB=2，PA=2，AC=3.∴△PAB 为等腰直角三角形，且PB=2，F 为其斜边中点，BF=1且AF⊥PB.∵PB 与平面AEF 内两条相交直线EF 、AF 都垂直.∴PB⊥平面AEF.连结BE 交AC 于G ，作GH∥BP 交EF 于H ，则GH⊥面AEF,∠GAH 为AC 与平面AEF 所成的角.由△EGC∽△BGA 可知，EG=1[]2GB ，EG=1[]3EB. AG=32AC=332. 由△EGH∽△EBF 可知，GH=31BF=31.∴sin∠GAH=63 AG GH , ∴AG 与平面AEF 所成的角为arcsin 63.。

苏教版高中数学选修合情推理与演绎推理同步测试

高中苏教选修（1-2）2.1合情推理与演绎推理水平测试一、选择题（每小题5分，共20分） 1．已知(0)x ∈+，∞，观察下列几个式子：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，…，类比有1()n ax n n x*++∈N ≥，则a 是（）Ａ．nnＢ．NＣ．1n +Ｄ．1n -答案：A2．关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①=g g a b b a ；②()()=g g a b c a b c ；③()+=+g g g a b c a b a c ； ④=g g a b a b ；⑤由()=≠0gg a b a c a 可得=b c ．以上通过类比得到的结论正确的有（）Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个答案：A 3．数列25112047x ，，，，，，…中的x 等于（）Ａ．28 Ｂ．32 Ｃ．33 Ｄ．27 答案：B4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）Ａ．91 Ｂ．66 Ｃ．25 Ｄ．120 答案：A二、填空题（每小题5分，共10分）5．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为：．答案：半径为R 的球的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为3839R 6．观察：①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=o o o o o ogg g ； ②tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=oooooogg g ．由此猜出一个一般式为．答案：若π2αβγ++=，且αβγ，，都不为ππ()2k k +∈Z ，则tan tan tan tan tan tan 1αββγαγ++=三、解答题（每小题10分，共20分）7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°．证明：因为任意三角形三内角之和是180o，大前提而直角三角形是三角形，小前提所以直角三角形三内角之和为180o，结论设直角三角形两个锐角分别为A B ，，则有：90180A B ∠+∠+=o o，因为等量减等量差相等，大前提所以(90)9018090A B ∠+∠+-=-oooo，小前提所以90A B ∠+∠=o ．结论8．已知数列{}n a 中，11a =，223a =+，3456a =++，478910a =+++…请归纳10a 等于多少？并说明理由．解：129a a a Q ，，…，共有9(19)1239452⨯+++++==…个数， 10a ∴的第一个数是46，1010(4655)464748555052a ⨯+∴=++++==…．8．如右图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，联线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点Ａ向结点Ｂ传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是（）Ａ．26 Ｂ．24 Ｃ．20 Ｄ．19 答案：D9．一个平面用n 条直线去划分，最多将平面分成()f n 个部分．（1）求(1)(2)(3)(4)f f f f ，，，；（2）观察(2)(1)f f -，(3)(2)f f -，(4)(3)f f -有何规律；（3）求出()f n ．解：（1）(1)2(2)4f f ==，(3)7f =，(4)11f =；（2）(2)(1)2f f -=，(3)(2)3f f -=，(4)(3)4f f -=．观察得()(1)f n f n n --=，即()(1)f n f n n =-+，（2n ≥）（3）由()(1)(2)f n f n n n =-+≥()(2)(1)f n f n n n =-+-+(3)(2)(1)(1)23f n n n n f n =-+-+-+==++++…… 2(1)2223122n n n n n +++=++++=+=…．10．我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆222222(0)b x a y a b ab +=≠的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．解：假若在圆中，弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为1-；对于方程222222b x a y a b +=，若a b =，则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为22b a -或22a b-；于是，设椭圆的一条非过原点的弦为AB ，其两端点的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，，中点为P ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2222222121()()0b x x a y y ⇒-+-= 2212122121y y y y b x x x x a+-⇒=-+-g22AB OPb k k a ⇒=-g ，即两斜率之积为22b a-．。

苏教版高中数学选修(2-2)-2.1同步检测：合情推理与演绎推理1

2.1 合情推理与演绎推理1.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 2.在平面直角坐标系内，方程1=+by a x 表示y x ,轴上的截距分别为b a ,的直线，拓展到空间，在z y x ,,轴上是截距分别为)0(,,≠abc c b a 的平面方程为（） A.1=++c z b y a x B. 1=++caz bc y ab x C. 1=++ca zx bc yz ab xy D. 1=++cz by ax 3.个连续自然数按规律排成下表:0 3 →4 7 →8 11…↓↑ ↓ ↑ ↓ ↑1→2 5 →6 9 →10根据规律,从2002到2004,箭头的方向依次为（）A. ↓→B. →↑C. ↑→D. →↓4.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .5. 数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 .6. 一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .7. 已知a 1=1,a n+1＞a n ，且(a n+1-a n )2-2(a n+1+a n )+1=0，猜想a n 的表达式为 .8. 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn=nm”类比得到“a ·b =b ·a ”；②“（m+n ）t=mt+nt”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”；③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）”；④“t≠0,mt=xt ⇒m=x”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”；⑥“bc ac =b a ”类比得到“c b c a ∙∙=ba ”. 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .9. 已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .10. 在ABC 中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想.。

江苏省徐州市王杰中学高二数学《2.1 合情推理与演绎推理》练习题人教新课标版选修2-2

合情推理与演绎推理练习卷复习1：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由到的推理.演绎推理的结论 .例1 观察（1）（2）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质：（1）()n m a a n m d =+-，（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.练1.若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f练2. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ,则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V = .思考：有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题q ：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题r ：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？1. 由数列1,10,100,1000,，猜想该数列的第n 项可能是（）.A.10nB.110n -C.110n +D.11n2.下面四个在平面内成立的结论①平行于同一直线的两直线平行②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交③垂直于同一直线的两直线平行④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交在空间中也成立的为（）.A.①②B. ③④C. ②④D.①③3.用演绎推理证明函数3y x =是增函数时的大前提是（）.A.增函数的定义B.函数3y x =满足增函数的定义C.若12x x <，则12()()f x f x <D.若12x x <, 则12()()f x f x >4.在数列{}n a 中,已知112,31n n n a a a a +==+*()n N ∈,试归纳推理出n a = . 5. 设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝（用含n 的数学表达式表示）.6. 证明函数2()4f x x x =-+在[2,)+∞上是减函数.7. 数列{}n a 满足2n n S n a =-,先计算数列的前4项,再归纳猜想n a .。