流体力学习题及答案-第五章
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答：（1）求A、B、C、D四点的绝对压力：
设A、B、C、D四点的绝对压力分别为 、 、 和 ，相对压力分别为 、 、 和 ；并注意到其压力系数分别为1、-3、1和-3，则：
A点的绝对压力：
（2）求驻点位置和B、D点的速度和压力：
圆柱半径 （m），旋转角速度 （rad/s）；
因此漩涡强度为：
；
柱面上 处，速度分布为：
，
；
解得：
（m/s）。
即当 （m/s）时将发生空泡。
5-4写出下列流动的复势，（1）u=U0cosa，v=U0sina；（2）强度为m，位于（a，0）点的平面点源；（3）强度为Γ位于原点的点涡；（4）强度为M，方向为a，位于原点的平面偶极。
答：（1） ， ：
，
；
（2）强度为 ，位于 点的平面点源：
， ；
（N/m2），
则D点处绝对压力为：
（N/m2）；
（3） 由于B点的压力系数最低，首先在B点发生空泡；当水深增至100m时，B点的静水压力为：
（N/m2），
压力系数为：
；
绝对压力为：
B点发生空泡的临界值为 ，且由给定条件知 （N/m2）；代入上式得到：
，
将上式整理得到关于 的一元二次方程：
其中系数：
，
，
因此可得：
（N/m2），
（N/m2）。
5-3直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m以水平速度u0=10m/s运动。试求（1）A、B、C、D四点的绝对压力；（2）若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min转动，试决定驻点的位置以及B、D两点的速度和压力。此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注：温度为15°时，水的饱和蒸汽压力为2.332×103N/m2）。
，
；
；
速度分布为：
，
；
在壁面上 ，则壁面上速度分布为：
， ；
由于：
；
令上式为0，则得到：
， ；
即在点 和 ，速度达到最大值，且为：
；
（2）当 时， ，由伯努利方程得到：
，
；
将壁面上的压力分布 沿整个壁面进行积分，得到流体作用于壁面的作用力 ：
即沿壁面的作用力为 。
（3）当 时，速度势为：
，
；
；
速度分布为：
，
；
则速度分布为：
，
；
由于 为驻点，代入上式第一式中则得到：
，
整理得到：
。
（2）求 点的速度：
将 代入到速度分布中，得到：
，
；
将 、 代入上述速度分布函数，得到：
（m/s），
（m/s）；
（3）求通过 点的流线方程：
由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程 ，则流线方程为：
；
将 、 代入，得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
， ， ；
代入到上式可得：
；
5-5 设在 点放置一强度为 的平面点源， 是一固壁面，试求：（1）固壁上流体的速度分布及速度达到最大值的位置；（2）固壁上的压力分布，设无穷远处压力为 ；(3)若 ，其中 为时间变量，求壁面上的压力分布。
答：（1）用位于 和 ，强度均为 的两个点源，可以构造位于 的壁面，其速度势为：
第五章势流理论
5-1流速为u0=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于(0，-5)，试求：
(1)点涡的强度；(2) (0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。
答：（1）求点涡的强度 ：
设点涡的强度为 ，则均匀流的速度势和流函数分别为：
， ；
点涡的速度势和流函数为：
， ；
因此，流动的速度势和流函数为：
，
；
在壁面上 ，则壁面上速度分布为：
， ；
由于：
；
令上式为0，则得到：
， ；
即在点 和 ，速度达到最大值，且为：
；
（2）当 时， ，由伯努利方程得到：
，
；
5-6 已知复势为 ，求（1）流场的速度分布及绕圆周 的环量；（2）验证有一条流线与 的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力。
答：（1）求速度分布及绕圆周 的环量：
答：（1）设圆柱半径为 ，则得到：
单位相对速度势： ，
相对速度势： ，
牵连速度势： ，
绝对速度势： ，
单位绝对速度势： 。
（常数）
说明 确是一条流线。
由卜拉休斯公式可知，作用在柱面 上的共轭合力为：
；
其中：
，
；
由留数定理可知，上式中仅第二项对积分有贡献，因此：
，
得到： ；
由于： ，得到：水平分力： ，垂向分力（升力）： 。
5-7 如习题5-3图所示，设直径为 m的圆柱体在水下深度为 m的水平面上以速度 m/s作匀速直线运动，（1）试写出流动的绝对速度势、牵连速度势、相对速度势及对应的单位速度势；（2）求出圆柱体表面上A、B、C、D及θ=45°、135°六点的绝对速度。
；
则过该点的流线方程为：
，
整理得到：
5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m3/s，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m3/s，已知流体密度为ρ=1.8kg/m3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。
答：（1）求 、 和 点的速度：
①求速度分布：
由复势的定义可知： ；
因此：
， ；
② 求环量：
该流动由三个简单流动组成：
第一个： 为沿 方向的均匀流， ；
第二个： 是位于原点的偶极，设其强度为 ，则 ， ；
第三个： 是位于原点的点涡，设其强度为 ，则 ， 。
因此绕 的环量为 。
（2）将复势改写成下述形式：
则流函数为：
当 时， ，代入上式可得：
点源的速度势为： ，
点汇的速度势为： ；
，
；
①将 、 代入，并注意到 及 ，得到 点的速度为：
，
；
其合速度为：
（m/s）。
②将 、 代入，得到 点的速度为：
，
；
其合速度为：
（m/s）。
③将 、 代入，得到 点的速度为：
，
；
其合速度为：
（m/s）。
（2）设 、 和 点的压力分别为 、 和 ，且由题意知 ，则由伯努利方程：
，
；
① 在驻点（A、C点） ，即：
将 、 和 代入上式，得到：
，
则：
， ；
② 在B点， ，则速度为：
（m/s）；
压力系数为：
；
相对压力为：
（N/m2）；
其中B点静水压力为：
（N/m2），
则B点处绝对压力为：
（N/m2）；
③ 在D点， ，则速度为：
（m/s）；
压力系数为：
；
相对压力为：
（N/m2）；
其中D点静水压力为：
以 点为原点，建立新的坐标系 ；在新坐标系中：
， ， ；
由于新旧坐标系之间的关系为：
， ；
， ；
因此：
；
（3）强度为 ，位于原点的点涡：
， ；
（4）强度为 ，方向为 ，位于原点的平面偶极：
以原点为圆心，将坐标系 逆时针旋转 角，得到新坐标系 ；在新坐标系中，速度势和流函数分别为：
， ， ；
由于新旧坐标系间的关系为：
设A、B、C、D四点的绝对压力分别为 、 、 和 ，相对压力分别为 、 、 和 ；并注意到其压力系数分别为1、-3、1和-3，则：
A点的绝对压力：
（2）求驻点位置和B、D点的速度和压力：
圆柱半径 （m），旋转角速度 （rad/s）；
因此漩涡强度为：
；
柱面上 处，速度分布为：
，
；
解得：
（m/s）。
即当 （m/s）时将发生空泡。
5-4写出下列流动的复势，（1）u=U0cosa，v=U0sina；（2）强度为m，位于（a，0）点的平面点源；（3）强度为Γ位于原点的点涡；（4）强度为M，方向为a，位于原点的平面偶极。
答：（1） ， ：
，
；
（2）强度为 ，位于 点的平面点源：
， ；
（N/m2），
则D点处绝对压力为：
（N/m2）；
（3） 由于B点的压力系数最低，首先在B点发生空泡；当水深增至100m时，B点的静水压力为：
（N/m2），
压力系数为：
；
绝对压力为：
B点发生空泡的临界值为 ，且由给定条件知 （N/m2）；代入上式得到：
，
将上式整理得到关于 的一元二次方程：
其中系数：
，
，
因此可得：
（N/m2），
（N/m2）。
5-3直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m以水平速度u0=10m/s运动。试求（1）A、B、C、D四点的绝对压力；（2）若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min转动，试决定驻点的位置以及B、D两点的速度和压力。此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注：温度为15°时，水的饱和蒸汽压力为2.332×103N/m2）。
，
；
；
速度分布为：
，
；
在壁面上 ，则壁面上速度分布为：
， ；
由于：
；
令上式为0，则得到：
， ；
即在点 和 ，速度达到最大值，且为：
；
（2）当 时， ，由伯努利方程得到：
，
；
将壁面上的压力分布 沿整个壁面进行积分，得到流体作用于壁面的作用力 ：
即沿壁面的作用力为 。
（3）当 时，速度势为：
，
；
；
速度分布为：
，
；
则速度分布为：
，
；
由于 为驻点，代入上式第一式中则得到：
，
整理得到：
。
（2）求 点的速度：
将 代入到速度分布中，得到：
，
；
将 、 代入上述速度分布函数，得到：
（m/s），
（m/s）；
（3）求通过 点的流线方程：
由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程 ，则流线方程为：
；
将 、 代入，得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
， ， ；
代入到上式可得：
；
5-5 设在 点放置一强度为 的平面点源， 是一固壁面，试求：（1）固壁上流体的速度分布及速度达到最大值的位置；（2）固壁上的压力分布，设无穷远处压力为 ；(3)若 ，其中 为时间变量，求壁面上的压力分布。
答：（1）用位于 和 ，强度均为 的两个点源，可以构造位于 的壁面，其速度势为：
第五章势流理论
5-1流速为u0=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于(0，-5)，试求：
(1)点涡的强度；(2) (0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。
答：（1）求点涡的强度 ：
设点涡的强度为 ，则均匀流的速度势和流函数分别为：
， ；
点涡的速度势和流函数为：
， ；
因此，流动的速度势和流函数为：
，
；
在壁面上 ，则壁面上速度分布为：
， ；
由于：
；
令上式为0，则得到：
， ；
即在点 和 ，速度达到最大值，且为：
；
（2）当 时， ，由伯努利方程得到：
，
；
5-6 已知复势为 ，求（1）流场的速度分布及绕圆周 的环量；（2）验证有一条流线与 的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力。
答：（1）求速度分布及绕圆周 的环量：
答：（1）设圆柱半径为 ，则得到：
单位相对速度势： ，
相对速度势： ，
牵连速度势： ，
绝对速度势： ，
单位绝对速度势： 。
（常数）
说明 确是一条流线。
由卜拉休斯公式可知，作用在柱面 上的共轭合力为：
；
其中：
，
；
由留数定理可知，上式中仅第二项对积分有贡献，因此：
，
得到： ；
由于： ，得到：水平分力： ，垂向分力（升力）： 。
5-7 如习题5-3图所示，设直径为 m的圆柱体在水下深度为 m的水平面上以速度 m/s作匀速直线运动，（1）试写出流动的绝对速度势、牵连速度势、相对速度势及对应的单位速度势；（2）求出圆柱体表面上A、B、C、D及θ=45°、135°六点的绝对速度。
；
则过该点的流线方程为：
，
整理得到：
5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m3/s，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m3/s，已知流体密度为ρ=1.8kg/m3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。
答：（1）求 、 和 点的速度：
①求速度分布：
由复势的定义可知： ；
因此：
， ；
② 求环量：
该流动由三个简单流动组成：
第一个： 为沿 方向的均匀流， ；
第二个： 是位于原点的偶极，设其强度为 ，则 ， ；
第三个： 是位于原点的点涡，设其强度为 ，则 ， 。
因此绕 的环量为 。
（2）将复势改写成下述形式：
则流函数为：
当 时， ，代入上式可得：
点源的速度势为： ，
点汇的速度势为： ；
，
；
①将 、 代入，并注意到 及 ，得到 点的速度为：
，
；
其合速度为：
（m/s）。
②将 、 代入，得到 点的速度为：
，
；
其合速度为：
（m/s）。
③将 、 代入，得到 点的速度为：
，
；
其合速度为：
（m/s）。
（2）设 、 和 点的压力分别为 、 和 ，且由题意知 ，则由伯努利方程：
，
；
① 在驻点（A、C点） ，即：
将 、 和 代入上式，得到：
，
则：
， ；
② 在B点， ，则速度为：
（m/s）；
压力系数为：
；
相对压力为：
（N/m2）；
其中B点静水压力为：
（N/m2），
则B点处绝对压力为：
（N/m2）；
③ 在D点， ，则速度为：
（m/s）；
压力系数为：
；
相对压力为：
（N/m2）；
其中D点静水压力为：
以 点为原点，建立新的坐标系 ；在新坐标系中：
， ， ；
由于新旧坐标系之间的关系为：
， ；
， ；
因此：
；
（3）强度为 ，位于原点的点涡：
， ；
（4）强度为 ，方向为 ，位于原点的平面偶极：
以原点为圆心，将坐标系 逆时针旋转 角，得到新坐标系 ；在新坐标系中，速度势和流函数分别为：
， ， ；
由于新旧坐标系间的关系为：