离散数学结构 第15章 欧拉图与哈密顿图

第十五章欧拉图与哈密顿图

15.1 欧拉图 (2)

一、欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义 (3)

二、判别定理 (4)

三、求欧拉图中欧拉回路的算法 (6)

1．Fleury算法，能不走桥就不走桥： (6)

2．逐步插入回路法 (7)

四、中国邮路问题 (8)

练习题： (9)

15.2哈密顿图 (11)

一、哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图的定义 (12)

二、哈密顿图与半哈密顿图的一些必要与充分条件 (12)

练习题 (18)

15.3 带权图与货郎担问题 (24)

一、带权图 (24)

二、货郎担问题 (24)

15.1 欧拉图

主要内容：

1. 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义。

2. 判别定理。

3. 求欧拉图中欧拉回路的算法。

学习要求：

1. 深刻理解欧拉通路与欧拉回路的定义以及它们的区别与联系。

2. 以无向欧拉图为例，进一步理解欧拉图的结构，即，欧拉图是若干个边不重的圈之并。

让我们先从两个例子出发，获得有关图的一些直观认识。

图论的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡城位于Pnsel河畔，河中有两个岛，有7座桥与4块陆地彼此相连，如上图所示。

居住于该城的居民想做这样的游戏：从4块陆地的任一块出发，经过每座桥一次且仅一次，最后返回原出发地。当地的人们进行了许多次尝试，都没有成功。后来，欧拉给出了问题的解。首先欧拉将4块陆地表示成4个结点，凡陆地间有桥相连的，便在两点间连一条边，从而可将左图改画为右图如下：这样，哥尼斯堡七桥问题可描述为：能否有从A、B、C、D任一点出发，经过每条边一次且仅一次而返回出发点的回路

欧拉证明了这样的回路是不存在的。他的理由是，从图任一点出发，要回到原出发点，要求与每个点关联的边的数目为偶数，才能保证从一条边进入某点再从另一条边出去，一进一出才能回到原出发点。而图中的顶点A、B、C和D均有奇数条边与其相关联，显然这样的回路是不存在的。

另一个例子是20世纪40年代的一个数学游戏。

有一个人(m)带着一只狼(w)、一头羊(s)和一筐莱(v)想从河的左岸渡到右岸，但由于船小，每次只能带一样东西，并且狼和羊或者羊和菜不能在无人监视的情况下留在一起，试问这个人怎样才能安全地将这些东西渡过河去?

解用表示河左岸和右岸的情况，则得图，由此可得渡河的方法：带羊到右岸→人返回左岸→带菜到右岸→把羊带回左岸→带狼到右岸→人返回左岸→带羊到右岸。

或带羊到右岸→人返回左岸→带狼到右岸→把羊带回左岸→带菜到右岸→人返回左岸→带羊到右岸。

一、欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义

定义15.1通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。

从定义不难看出，欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路），类似地，欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。在这里做个规定，即平凡图是欧拉图。

图15.1

在图15.1所示各图中，e1e2e3e4e5为（1）中的欧拉回路，所以（1）图为欧

拉图。e1e2e3e4e5为（2）中的一条欧拉通路，但图中不存在欧拉回路（为什么？），所以（2）为半欧拉图。（3）中既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？），所以（3）不是欧拉图，也不是半欧拉图。e1e2e3e4为（4）图中的欧拉回路，所以（4）图为欧拉图。（5），（6）图中都既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？）

二、判别定理

定理15.1无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。

证若G是平凡图，结论显然成立，下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图。并设G的顶点集V={v1,v2,…,v n}.

必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，设C为G中任意一条欧拉回路，v i,v j∈V，v i,v j都在C上，因而v i,v j连通，所以G为连通图。又

v i∈V，v i在C上每出现一次获得2度，若出现k次就获得2k度，即d(v i)=2k，所以G中无奇度顶点。

充分性，由于G为非平凡的连通图可知，G中边数m≥1.对m作归纳法。

(1)m=1时，由G的连通性及无奇度顶点可知，G只能是一个环，因而G为欧拉图。

(2)设m≤k(k≥1)时结论成立，要证明m=K+1时，结论也成立。由G的连通性及无奇度顶点可知，δ(G)≥2.类似于例14.8，用扩大路径法可以证明G中存在长度大于或等于3的圈，设C为G中一个圈，删除C上的全部边，得G的生成子图G'，设G'有s个连通分支G'1,G'2,…,G's，每个连通分支至多有k条边，且无奇度顶点，并且设G'i与C的公共顶点为，i=1,2,…,s，由归纳假设可知，G'1,G'2,…,G's都是欧拉图，因而都存在欧拉回路C'i，i=1,2,…,s.最后将C还原（即将删除的边重新加上），并从C上的某顶点v r开始行遍，每遇到，就行遍G'i 中的欧拉回路C'i，i=1,2,…,s，最后回到v r，得回路v r……………

……v r，此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍G中所有顶点，因而它是G中的欧拉回路，故G为欧拉图。

由定理15.1立刻可知，图15.1中的三个无向图中，只有（1）中无奇度顶点，

因而（1）是欧拉图，而（2）、（3）都有奇度顶点，因而它们都不是欧拉图。

定理15.2无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两个奇度顶点。

证必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为半欧拉图，因而G中存在欧拉通路（但不存在欧拉回路），设Г=v i0e j1v i1…v im-1e jm v im为G中一条欧拉通路，v i0≠v im .v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶数，若v在端点出现过，则d(v)为奇数，因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个奇数顶点。另外，G的连通性是显然的。

充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0，对G加新边（u0,v0），得G'=G ∪(u0,v0)，则G'是连通且无奇度顶点的图，由定理15.1可知，G'为欧拉图，因而存在欧拉回路C'，而C=C'- (u0,v0)为G中一条欧拉通路，所以G为半欧拉图。

由定理15.2立即可知，图15.1中（2）是半欧拉图，但（3）不是半欧拉图。

定理15.3有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。

本定理的证明类似于定理15.1 .

定理15.4有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。

本定理的证明留给读者。

由定理15.3和15.4立即可知，图15.1中所示3个有向图中只有（4）是欧拉图，没有半欧拉图。

图15.3

由定理15.1立即可知，图15.3(1)图为欧拉图，本图既可以看成圈v1v2v8v1，