导数求最值(含参)
含参数导数方法总结
导数题型总结（解析版）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1)对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题"以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。
注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步:令得到两个根；第二步：画两图或列表;第三步：由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种:第一种：分离变量求最值-——--用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0，=0，<0）第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数）-—--—（已知谁的范围就把谁作为主元)；例1:设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数"，已知实数m是常数，(1）若在区间上为“凸函数"，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1) 在区间上为“凸函数”，则在区间[0，3]上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于∵当时, 恒成立,当时，恒成立等价于的最大值（）恒成立，而()是增函数,则(2)∵当时在区间上都为“凸函数"则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）例2a的取值范围.解:（Ⅰ）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a,+）∴当x=a时,极小值= 当x=3a时，极大值=b。
（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
上是增函数。
如何运用导数解决含参函数问题的研究
如何运用导数解决含参函数问题的研究作者：黄清鹏来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第02期【内容摘要】导数的学习和解决方法的掌握，不仅是高中数学重要的组成部分，在高考中也是作为考试的考查重点。
含参函数问题主要是以函数为载体，运用导数工具来解决这一类问题，这是一种方法，主要是考查函数性质，促进学生深入研究和分析导数和更好地应用导数。
因此，运用导数解决含参函数问题，必须把握好最近几年函数命题的规律，深入了解和分析导数的性质和应用，结合试题特点和命题趋向的同时，要充分运用导数来解决含参函数问题。
要把握好导数的性质，根据导数来求出含参数函数问题中参数的取值范围，这种求存在性问题是常考的范围，也是常规的解题思路，通过等价转化将复杂的数学思想进行简单转化，有利于将学生不熟悉、复杂的问题简单化，进而变为他们熟悉、规范和简单的含参函数问题。
运用导数解决含参函数问题，对提高学生对导数性质认识和创新方法与思路去解决含参函数问题具有极强的指导意义。
【关键词】含参函数问题导数数学历年高考试题中常常出现含参函数问题，这考察的不仅是学生对含参函数问题的解决能力，也是学生解题思路的一种培养。
常用的解题方法就是导数求解法。
实际上，学生对这类含参函数问题比较头疼和恐惧，因为此类问题涉及的数学知识内容多、面广，具有极强的综合性。
学生面对这类问题时，不知道如何确定参数范围，也不知道所包括的函数关系或不等关系是怎么来的。
含参函数问题以函数为载体，对学生函数性质及导数应用的考察要求较为严格，也是近些年高考数学命题的趋向。
实际上，运用导数解决含参数函数问题，求参数取值范围，作为探索性问题对于数学解题来说非常常见，通过等价转化来把握住数学思想，就可以将这些复杂的数学问题转化成为学生熟悉的、规范的和简单的问题。
运用导数解决含参函数问题，就是基于不等式的结构特征，把握好含参数不等式的存在性，适当构造函数，来探讨含参函数的最值，利用导数就可以求出范围。
导数中含参分类问题课件
对转化与化归思想运用不当
01
总结词：运用不当
02
详细描述：有些同学在处理 问题时，无法将问题转化为 更简单的形式或者无法从简 单形式中归纳出问题的答案 。
03
错误示例：在求解函数的单 调区间时，无法将函数的单 调性与导数的关系对应起来 ，或者在求解函数的极值时 ，无法利用单调性来求解。
04
正确理解：转化与化归思想 是一种将复杂问题转化为简 单问题的思考方式。在处理 导数问题时，需要将问题转 化为与导数相关的简单形式 ，并利用导数的性质来求解 。
讨论函数的最值
总结词
通过求函数在区间端点或一阶导数不连续点的函数值来判定原函数的最值。
详细描述
根据最值的定义，函数在某个区间内的最大值和最小值分别出现在区间端点或一阶导数不连续点上。 因此，在讨论函数的最值时，我们需要先求出函数的端点值和一阶导数不连续点的函数值，然后比较 这些值找出最大值和最小值。
数形结合思想在导数中的应用非常广泛，它可以 帮助我们直观地理解问题的本质，从而更好地解 决问题。
数形结合思想是解决导数中含参分类问题的有效 手段。
数形结合思想是数学中非常重要的思想方法之一 。
03
导数中含参分类问题的常见类型及解题方 法
讨论函数的单调性
总结词
通过研究导函数的正负性来判定原函数的单调性。
实际应用问题
经济问题
在经济学中，导数可以用来研究 经济变量的变化率，通过导数的 分析可以更好地理解经济的运行
情况。
物理问题
在物理学中，导数可以用来描述物 理量的变化率，如速度、加速度等 。通过导数的分析可以更好地理解 物理现象。
图像处理
在图像处理中，导数可以用来描述 图像的边缘信息，通过导数的分析 可以更好地进行图像分割和识别。
运用导数解决含参问题
运用导数解决含参问题运用导数解决含参函数问题的策略以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。
运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。
解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。
解决的主要途径：是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为：含参函数的最值讨论。
一、含参函数中的存在性问题利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。
这是求存在性范围问题最显然的一个方法。
例题讲解例1：已知函数x x x f ln 21)(2+=，若存在],1[0e x ∈使不等式mx f ≤)(0，求实数m 的取值范围二、含参函数中的恒成立问题可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。
类型有：(1)双参数中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。
一、选择题1 ．（2013年课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =2 ．（2013年大纲）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6 3 ．（2013年湖北）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞4.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ）A. 1(,)3+∞B. 1(,)3-∞C. 1[,)3+∞D. 1(,]3-∞ 5.函数2()f x ax b =-在区间(,0)-∞内是减函数，则,a b 应满足: （ ） Ａ．0a <且0b = Ｂ．0a >且b R ∈Ｃ．0a <且0b ≠ Ｄ．0a <且b R ∈6. 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ． 18B ．41C ．21D ．17.函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题8 ．（2013年广东卷（文））若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____.9．（2013年江西卷（文））若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________。
含参变量积分求导法则
含参变量积分求导法则
含参变量积分求导法则是微积分中的一个重要概念，它是指对含有参
数的积分函数进行求导的方法。
在实际应用中，含参变量积分求导法
则被广泛应用于物理、工程、经济等领域，具有重要的理论和实际意义。
含参变量积分求导法则的基本思想是将含有参数的积分函数看作一个
整体，然后对其进行求导。
具体来说，假设有一个形如F(x,t)的含参变量积分函数，其中x为自变量，t为参数，那么对其进行求导的方法如下：
首先，将F(x,t)看作一个整体，对其进行求导，即：
dF/dx = ∫(∂F/∂x)dx + ∫(∂F/∂t)dt
其中，第一个积分符号表示对x进行积分，第二个积分符号表示对t
进行积分。
在这个式子中，∂F/∂x表示F对x的偏导数，∂F/∂t表示F 对t的偏导数。
接下来，根据积分的可加性，将第一个积分符号中的∂F/∂x提取出来，得到：
dF/dx = ∂/∂x ∫F(x,t)dt + ∫(∂F/∂t)dt
这个式子就是含参变量积分求导法则的基本形式。
它表示了含参变量
积分函数对自变量x的导数，可以通过对积分函数中的每一个t进行
积分，再对积分结果对x求导得到。
需要注意的是，含参变量积分求导法则只适用于一类特殊的积分函数，即积分上限和下限都是常数的情况。
如果积分上限和下限是变量，那
么就需要使用含参变量积分求导法则的推广形式。
总之，含参变量积分求导法则是微积分中的一个重要概念，它为我们
研究含有参数的积分函数提供了一种有效的方法。
在实际应用中，我
们可以根据这个法则，对含参变量积分函数进行求导，从而得到更加
精确的结果。
(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题
用导数求函数的单调区间——含参问题一、问题的提出应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。
其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。
尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类二、课堂简介请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。
例1、 求函数R a a x x x f ∈-=),()(的单调区间。
解：定义域为),0[+∞ ,23)('x ax x f -=令,0)('=x f 得,3a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增；(2) 0>a ,令0)('>x f 得∴>3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3[+∞a 上单调递增。
所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3[+∞a 上单调递增。
分类讨论特点：一次型，根3a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。
解：定义域R),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f令,0)('=x f 得1,121=-=x a x(1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。
(2) 211==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。
(3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。
含参数导数问题的巧妙解法
参数范围统一解，函切两等显神通何凌州一．前言在高考中，有许多涉及到参数的导数问题，许多学生害怕求导后根据参数的分类讨论，于是常常白白放弃得分的机会。
事实上，有一种方法可以很好地解决此类问题，笔者在市面上的教辅练习中暂未找到系统介绍此方法的章节，故想把该方法分享给大家。
暂将该方法定名为“参数范围统一解，函切两等显神通”。
二．标题解释“参数范围统一解”说明了该方法运用的广泛性，凡是函数中有一个参数的，均可以用此方法，例：f(x)=e x−1−a(1+ln x)。
若没有参数，例：f(x)=e x−1−1−ln x就无法使用该方法。
“函切两等显神通”说明了完成一道题需要两个等式，即函数值相等，切线值相等，这两个等式是该类题目能够完成的关键。
三．例题已知函数 f(x)=e x−1−a(1+ln x)有两个零点，求a的取值范围。
此题分析：若此题为一道大题，解题步骤会稍微有些麻烦，需要用到隐形零点的方法。
若此题为一道小题，可以直接运用笔者介绍的下述方法。
第一步：f(x)=0可推出：e x−1=a(1+ln x)①②第二步：对等式左右两边同时求导得：e x−1=ax第三步：①÷②可得： 1=(1+ln x)x第四步：解出(或观察出)x的解：x=1第五步：将x的解代入①式或②式，解到a的值: a=1第六步：大致绘制当a=1时a(1+ln x)和e x−1的图像(两图像相切)，此时有一个交点后续：通过对图像的认知，判断a与0和1的关系进而得到答案即：分类讨论要按照a<0,a=0,0<a<1,a=1,a>1标准分类，原因是a的正负性会影响a(1+ln x)的正负性，如果a取负数(如−1)会造成图像中g(x)上下翻转a<0的情况0<a<1的情况a=1的情况a>1的情况上述4幅图都是以a=1为出发点，事实上，当a=1时两图像相切，图中有且只有一个交点。
对于g(x)=a(1+ln x)而言，a=1在代入时可视为直接忽略掉。
导数解答题：求最值(题目含答案)
《导数：求最值》 姓名：1、已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>- （1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值.【解】（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x x f x x --'=-, 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, 即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+,故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- (2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- 则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x x f x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x '∴=->， ()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->，()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ， 且满足0(3,4)x ∈， ∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为32、 已知()()()2ln ,1,02m f x x g x x m x m ==-++>. （1）记()()()h x f x g x =-，讨论()h x 的单调性；（2）若()()f x g x <在()0,m 上恒成立，求m 的最大整数.【解】（1）()()2ln 12m h x x x m x =+-+的定义域为{}|0x x >，()()()()()2111111mx m x mx x h x mx m x x x-++--'=+-+==. 令()0h x '=得1x m=或1x =. ∴当1m =时，()()0,h x h x '≥在()0,+∞上单调递增；当1m >时，令()0h x '>，得()10,1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0h x '<，得1,1x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()h x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当01m <<时，令()0h x '>，得()10,1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0h x '<，得11,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()h x 在()10,1,,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知，()0h x <在()0,m 上恒成立，当01m <≤时，()h x 在()0,1上单调递增，∴()()1011022m m h x h m ≤=+--=--<，故01m <≤时，()0h x <在()0,m 上恒成立. 当1m >时，()h x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 而111111ln 1ln 1022h m m m m m m ⎛⎫=+--=--< ⎪⎝⎭，欲使()0h x <在()0,m 上恒成立，则只须()0h m ≤， ∵()()3ln 12m h m m m m =+-+， 当2m =时，()2ln 246ln 220h =+-=-<，当3m =时，()2733ln 312ln 3022h =+-=+>，故m 的最大整数为2.3、（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]上的最小值. 【解】（I ）当1a =时，1x ≠- 所以()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程为，即3490x y --= （II ）()f x 的定义域为{|,x x R ∈1x ≠- }① 当0a =时，在(0,2]上导函数，所以()f x 在[0,2]上递增， 可得()f x 的最小值为(0)0f = ②当02a <<时，导函数()f x '的符号如下表所示③当2a ≥时，在[0,2)上导函数()0f x '<，所以()f x 在[0,2]上递减，所以()f x 的最小值为 综上，函数()f x 在[0,2]上的最小值为4、已知函数()ln f x x x x =+．（1）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；（2）若k ∈Z ，且()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值；【解】（1）解：因为()ln 2f x x '=+，所以()12f '=，函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程21y x =-；（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-， 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x -'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>所以函数()ln 1x x x g x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 所以()()()()()000000min 001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--． 所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．5、已知函数32(),,f x ax x ax a x R =+-∈（1）讨论函数()()ln f x g x x x=-的单调区间； （2）如果存在[2,1]a ∈--，使函数()()(),[1,](1)h x f x f x x b b '=+∈->-在1x =-处取得最小值，试求b 的最大值.【解】（Ⅰ）∵2()ln g x ax x a x =+-- ∴2121()21(0)ax x g x ax x x x +-'=+-=>∴当18a ≤-时，()g x 在(0,)+∞上单调递减；当108a -<<时，()g x 在，)+∞上单调递减，在单调递增；当0a =时，()g x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在上单调递减，)+∞上单调递增。
研究含参函数的极值与最值问题(1)【题集】-讲义(教师版)
研究含参函数的极值与最值问题（1）【题集】1. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值1.已知函数．当时，求的单调区间与极值点．【答案】（1）的单调增区间为．的单调减区间为．在处取得有极大值，极大值点为．【解析】（1），．当时，，．令得：，即的单调增区间为．令得：，即的单调减区间为．所以，在处取得有极大值，即极值点为．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题（1）（2）2.已知函数．讨论的单调性．若在上的最大值为，求的值．【答案】（1）（2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．．【解析】（1）的定义域为，，当时，，在上单调递减．当时，令，得，则的单调递减区间为，（2）令，得，则的单调递增区间为．由（）知，当时，在上单调递减，所以，则．当时，，在上单调递减，所以，则不合题意．当时，，因为，所以，则不合题意．综上，．【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式3.已知，函数．求在区间上的最小值．【答案】（1）当时，在区间上无最小值；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【解析】（1）因为，所以，．令，得．①若，则，在区间上单调递增，此时无最小值．②若，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值．③若，则当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得最小值．综上可知，当时，在区间上无最小值；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）4.已知函数，．求函数在区间上的最小值．【答案】（1）当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【解析】（1），．①当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为．②当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为．③当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为．④当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为．综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）2. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值含参二次型导函数，无一次项型5.已知函数．求在上的最小值；【答案】（1）当时，在处取最小值，当时，在处取得最小值，当时，在处取得最小值．【解析】（1）当时，对成立，所以在上单调递增，在处取最小值当时，令，，，当时，时，单调递减时，，单调递增所以在处取得最小值，当时，，时，单调递减，所以在处取得最小值，综上所述，当时，在处取最小值，当时，在处取得最小值，当时，在处取得最小值．【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）；已知极值情况求参数值6.设函数．求函数的单调区间和极值．【答案】（1）时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值；时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值．【解析】（1）由，得，①当时，，函数在上单调递增，函数无极大值，也无极小值；②当时，由，得或（舍去）．于是，当变化时，与的变化情况如下表：递减递增所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．函数在处取得极小值，无极大值．综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值．当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值．【标注】【知识点】求解函数极值；已知零点或根情况求参数范围；利用导数求函数的单调性、单调区间；函数零点的概念7.设函数，求函数的单调区间与极值点．【答案】答案见解析【解析】当时，由，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．当时，由得当时，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；此时，是的极大值点，是的极小值点．【标注】【知识点】求函数极值（含参二次型导函数）；求函数单调区间（含参二次型导函数）8.已知函数（），求的单调区间．【答案】见解析．【解析】，当时，所以，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是当时，由得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．当时，在区间上恒成立，故的单调递增区间是当时，由得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间9.已知函数．求函数的单调区间；【答案】（1）当时，在和上单调递增；当时，单调递增区间为和，单调减区间为和．【解析】（1）函数的定义域为：，，当时，恒成立，所以，在和上单调递增当时，令，即：，，．，或，，或，所以，单调递增区间为和，单调减区间为和．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；利用导数解决不等式恒成立问题含参二次型导函数，能因式分解10.已知函数．求函数的单调区间．【答案】（1）当时，的单调递减区间是，没有单调递增区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是．【解析】（1）函数的定义域为，．由得或．当时，在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间．当时，的变化情况如下表：↗极小值↘所以的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，的变化情况如下表：↗极小值↘所以的单调递增区间是，单调递减区间是．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；求参数范围（含参二次型导函数）11.已知函数．若，求在区间上的最大值．【答案】（1）当或时，在取得最大值，；当时，时取得最大值，；当时，在取得最大值，．【解析】（1）因为，所以．①当时，对成立，所以在上单调递增，故当时取得最大值，；②当时，若，则，单调递增；若，则，单调递减，故当时取得最大值，；③当时，对成立，所以在上单调递减，故当时取得最大值，；④当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增，又，，当时，在取得最大值，；当时，在取得最大值，；当，在，处都取得最大值．综上所述：当或时，在取得最大值，；当时，时取得最大值，；当时，在取得最大值，．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求解函数极值；利用导数求函数的最值（1）（2）12.已知函数（其中为常数且）在处取得极值．当时，求的单调区间．若在上的最大值为，求的值．【答案】（1）（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为．或．【解析】（1）∵，所以，因为函数在处取得极值，，当时，，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值点为，的极小值点为．（2）因为，令，得，，因为在处取得极值，所以．（ⅰ）当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，由，解得．（ⅱ）当时，，①当，即时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值可能在或处取得．而，所以，解得，满足．②当时，即时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增．所以最大值可能在或处取得．而，所以，解得，与矛盾．③当即时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在处取得，而，矛盾．综上所述或．【标注】【知识点】直接求函数的单调性（不含参）；已知极值情况求参数值13.已知函数．讨论的单调性．【答案】（1）当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．【解析】（1）因为，所以．①当，即时，令，得或，令，得，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是②当，即时，恒成立，所以在上单调递增．③当，即时，令，得或，令，得，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上，当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；利用导数求函数的单调性、单调区间含参二次型导函数，不能因式分解型14.已知函数，其中．求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是．【解析】（1）方程的判别式为．（ⅰ）当时，，所以在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是．（ⅱ）当时，令，得，或．和的情况如下：故的单调增区间为，；单调减区间为．当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是．当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．因为，所以当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．当时，，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是．综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是．【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）（1）（2）（3）15.其中，其中．当时，求函数的零点和极值点．当时，求在区间上的单调区间．当时，求在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）的零点是，极值点是和．的单调增区间是，单调减区间是．在上存在最小值，且最小值为．【解析】（1）（2）（3），，令，，令，∴的零点是，极值点是和．，令，∴的单调增区间是，单调减区间是．有（）知在上单调递增，在上单调递减，，而当时，有，因此在上存在最小值，且最小值为．【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的最值，。
含参数的函数如何讨论导数问题
由一道高考题探究含参数的函数如何讨论导数问题近年总有含参数的函数近年总有含参数的函数((或数列或数列))的考题的考题,,一般都可用常规方法求解一般都可用常规方法求解..首先概念要清楚首先概念要清楚, , 含参数的函数不是一个函数含参数的函数不是一个函数,,参数的值不同参数的值不同,,就是不同的函数其次其次,,应该对参数分类应该对参数分类,,即按照参数的不同变化范围分成若干情形参数的不同变化范围分成若干情形,,再分别讨论再分别讨论. . . 含参数的函数含参数的函数含参数的函数((或数列或数列))的问题在高考中都是以综合题的方式出现的是以综合题的方式出现的,,其主要以考查考生分析问题其主要以考查考生分析问题,,逻辑推理的能力为主逻辑推理的能力为主..在平时的复习备考中要有针对性的进行训练备考中要有针对性的进行训练..下面我们以一道含参数的函数讨论导数问题的高考题为例加以说明以说明. . 例.已知函数已知函数 1()e 1ax x f x x-+=-. (Ⅰ) ) 设设a >0, >0, 讨论讨论讨论 y = f (x ) ) 的单调性的单调性的单调性; ;(Ⅱ) ) 若对任意若对任意若对任意 x ∈(0,1) (0,1) 恒有恒有恒有 f (x ) >1, ) >1, 求求 a 的取值范围的取值范围. .解题指导:本题主要考查分类讨论的数学思想和导数的计算、应用导数研究函数单调性的基本方法，考查逻辑推理能力基本方法，考查逻辑推理能力..本题的解法是常规方法本题的解法是常规方法, , , 但需要我们函数概念清楚、逻辑推但需要我们函数概念清楚、逻辑推理能力强理能力强. . . 解答时需要注意三点解答时需要注意三点解答时需要注意三点, , , 一是本类题目应该对参数一是本类题目应该对参数a 进行分类讨论进行分类讨论, , , 而不是对函而不是对函数的定义域分类讨论数的定义域分类讨论, , , 具体到本题具体到本题具体到本题, , , 应该分应该分0<a <2, a =2, a >2三种情况讨论三种情况讨论. . . 二是在函数单二是在函数单调性判定定理“在一个区间上导数恒正（负）调性判定定理“在一个区间上导数恒正（负）, , , 则函数在这个区间上单增（减）”中则函数在这个区间上单增（减）”中则函数在这个区间上单增（减）”中,,“区间”这个条件也是不能少的这个条件也是不能少的, , , 本小题函数的定义域不是区间本小题函数的定义域不是区间本小题函数的定义域不是区间, , , 需要把定义域分成区间需要把定义域分成区间需要把定义域分成区间, , , 再判再判定函数在每一区间的单调性定函数在每一区间的单调性. . . 三是注意细节三是注意细节三是注意细节, , , 如数学符号书写应该正确如数学符号书写应该正确如数学符号书写应该正确, , , 以及本小题两问以及本小题两问中参数a 的变化范围不同的变化范围不同. . . 解答如下解答如下解答如下. .解: (: (ⅠⅠ) ) 函数函数f (x )的定义域为的定义域为(-(-(-∞∞, 1), 1)∪∪(1, +(1, +∞∞), ), 导数为导数为导数为ax x a ax x f ---+=¢e )1(2)(22. (ⅰ) ) 当当0<a <2时, , 导数恒正导数恒正导数恒正, , , 故故f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, 1), (1, +, 1), (1, +∞∞) ) 为增函数为增函数为增函数. . (ⅱ) ) 当当a =2时, ),1,0(,0)(¹¹>¢x x x f 故f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, 1), (1, +, 1), (1, +∞∞)仍为增函数增函数. .(ⅲ) ) 当当a >2时, , 解解0)(=¢x f 得x =±aa 2-, x (-(-∞∞, -a a 2-) (-a a 2-,a a 2-) (aa 2-, 1) (1, + (1, +∞∞) )(x f ¢ + -+ + )(x f ↗↘ ↗ ↗ f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, -a a 2-), (aa 2-, 1), (1, +, 1), (1, +∞∞) ) 为增函数为增函数为增函数, , f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (-a a 2-,aa 2-)为减函数为减函数. . (Ⅱ) ) 参数参数a 的变化范围和的变化范围和((Ⅰ) ) 不同不同不同, , , 但由但由但由((Ⅰ) ) 知仍分三种情形讨论知仍分三种情形讨论知仍分三种情形讨论. .(ⅰ) ) 当当0< a ≤2时, , 由由(Ⅰ) ) 知知f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, 1) 1) 为增函数为增函数为增函数, , , 故对于任意故对于任意x ∈(0,1) 1) 恒有恒有恒有 f (x ) > f (0) =1, (0) =1, 因而这时因而这时a 满足要求满足要求. .(ⅱ) ) 当当a >2时, , 由由(Ⅰ) ) 知知f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (-a a 2-,aa 2-)为减函数为减函数, , , 故在区间故在区间故在区间(0, (0, a a 2-) ) 内任取一点内任取一点内任取一点, , , 比如取比如取210=x aa 2-, , 就有就有就有 x 0∈(0, 1) (0, 1) 且且 f (x 0) < f (0) =1, 因而这时a 不满足要求不满足要求. . (ⅲ) ) 当当a ≤0时, , 对于任意对于任意x ∈(0, 1) (0, 1) 恒有恒有恒有 1()e 1ax x f x x -+=-≥111>-+xx , , 这时这时a 满足要求满足要求. . 综上可知综上可知, , , 所求所求所求 a 的取值范围为的取值范围为 a ≤2.反思提高: 含参数的函数含参数的函数((或数列或数列))问题难点在于对参数值的分类讨论问题难点在于对参数值的分类讨论..讨论的原则应该是解除参数值的不确定性是解除参数值的不确定性..也就是说参数值如何阻碍解题也就是说参数值如何阻碍解题,,就怎么讨论就怎么讨论..比如该题在比如该题在((Ⅰ)中,确定导函数ax x a ax x f ---+=¢e )1(2)(22的正负时的正负时,,关键是要确定22ax a +-的正负的正负,,而2a-的正负不确定就无法判定导函数ax x a ax x f ---+=¢e )1(2)(22的正负的正负..所以分0<a <2, a =2, a >2三种情况讨论三种情况讨论. .错源分析:解答不够严谨会导致许多同学出现错误解答不够严谨会导致许多同学出现错误, , , 例如计算出“当例如计算出“当0<a <2时, , 导数恒导数恒正”后正”后, , , 就说“就说“f (x ) ) 在在R 上为增函数”或“f (x ) ) 在定义域为增函数”在定义域为增函数”在定义域为增函数”, , , 前者错在没有考前者错在没有考虑定义域虑定义域, , , 后者错在没有掌握好单调性判定定理后者错在没有掌握好单调性判定定理后者错在没有掌握好单调性判定定理, , , 忽视了本题里函数的定义域不是区间忽视了本题里函数的定义域不是区间忽视了本题里函数的定义域不是区间. . 这些是实质性的错误这些是实质性的错误. . . 还有类似的错误还有类似的错误还有类似的错误, , , 如写如写“f (x ) ) 在在(-(-∞∞, 1)1)∪∪(1, +∞)为增函数”, , 这这也可能仅仅是数学式写错了也可能仅仅是数学式写错了, , , 不该用“∪”不该用“∪”不该用“∪”. . . 数学式写错的还有“数学式写错的还有“f (x ) ) 在在]1,(-¥为增函数”数”, , , 这里不应该用中括号这里不应该用中括号这里不应该用中括号 “]”.另一类容易出现的错误是第另一类容易出现的错误是第((Ⅰ)问中不讨论参数的值问中不讨论参数的值, , , 第第(Ⅱ)问中只讨论a >0情形情形. . 第(Ⅱ)问中还有容易导致的逻辑错误问中还有容易导致的逻辑错误. . . 例如“因为例如“因为f (0)=1, (0)=1, 故只要故只要f (x ) ) 在区间在区间在区间 (0, (0,1)1)为增函数”为增函数”为增函数”, , , 这样也能得出正确结果这样也能得出正确结果这样也能得出正确结果, , , 但是推理过程是有错的但是推理过程是有错的但是推理过程是有错的, , , 错误原因在于“错误原因在于“f (0)=1, 且f (x ) ) 在区间在区间在区间 (0, 1) (0, 1) (0, 1)为增函数”这个命题是“对任意为增函数”这个命题是“对任意为增函数”这个命题是“对任意 x ∈(0,1) (0,1) 恒有恒有恒有 f (x ) >1) >1”的充”的充分条件而难以证明是必要条件分条件而难以证明是必要条件. .。
函数与导数重点题型01：含参函数单调性、极值、零点问题研究
重点题型一：含参函数的单调性、极值、最值及零点问题【问题分析】含参函数的单调性、极值点及零点问题，在高考中考查频次非常高，主要考查利用分类讨论来研究函数单调性和由函数极值、最值及零点求解参数范围。
此类问题难度较大，经常出现在试卷T20或T21，属于高考压轴题型。
该题型主要考查考生的分类讨论思想、等价转化思想。
解决此类问题的本质就是确定函数定义域上的单调性，基本思想就是“分类讨论”，解题的关键就是参数“分界点”的确定。
所以，要解决好此类问题，首先要明确参数“分界点”，其次确定在参数不同的分段区间上函数的单调性，进而可以确定函数的极值点、最值及零点，达到解题目的。
图1-1 含参函数问题解题思路【知识回顾】图1-2 函数f (x )单调性、极值、最值及零点关系图特别提醒：1.函数f (x )单调性、极值、最值及零点必须在函数定义域内研究，所以解决问题之前，必须先确定函数的定义域。
2.函数f (x )的极值点为其导函数变号的点，亦即导函数f ′(x )的变号零点。
3.函数f (x )的极值点为函数单调区间的“分界点”，经过极大值点函数由增变减，经过极小值点函数由减变增。
函数f(x)的单调性函数f(x)的极值点导函数f ′(x)的变号零点函数f(x)的最值确定分界点有影响分类讨论函数单调性参数导函数f ′(x)值/f ′(x )=0的根函数f(x)4. 函数f (x )单调区间不能写成并集，也不能用“或”连接，只能用逗号“，”或“和”连接。
【“分界点”确认】参数对导函数f ′(x )的值符号有影响，就必须根据参数对导函数的影响确定参数“分界点”，然后在进行分类讨论函数的单调性。
常见的“分界点”确认方法如下： 1.观察法：解决问题的过程中，我们会发现导函数形式比较简单的情况下，我们可以通过观察直接确定参数的“分界点”,例如：当导函数f ′(x )的值与y =x 2+a 函数有关，可以直接观察得到：当a ≥0时，y ≥0；当a <0时，y =0有两个根x 1=−√−a,x 2=√−a,当x ∈(−∞,−√−a)∪(√−a,+∞)时，y >0,当x ∈(−√−a,√−a)时，y <0.所以我们可以根据常见函数的性质及其之间的不等关系，通过直接观察确定“分界点”，常见函数性质及其之间的关系如下： ①x 2≥0 (x ∈R ), 完全平方式不小于0 ②tanx >x >sinx (0<x <π2)③e x ≥x +1 (x ∈R ),仅当x =0时，等号成立e x =x +1 ④lnx ≤x −1 (x >0),仅当x =1时，等号成立lnx =x −1 ⑤lnx <x <e x (x >0) ⑥a x >0 (x ∈R )2.由二次函数引发的“分界点”当函数f (x )求导后，导函数f ′(x )值符号由一个含参的二次函数（二次三项式）决定，一般可以从两个方面进行“分界点”的确定：（1）通过二次函数（一元二次方程）的∆判别式进行“分界点”的确定. 对于一个二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0): ① {a >0∆≤0⟹y ≥0或{a <0∆≤0⟹y ≤0.② {a >0∆>0⟹二次函数有两个零点（或二次方程y =0有两个不同实根）x 1,x 2(x 1<x 2),x 在两根之外函数大于0，两根之内函数小于0.③ {a <0∆>0⟹二次函数有两个零点（或二次方程y =0有两个不同实根）x 1,x 2(x 1<x 2),x 在两根之外函数小于0，两根之内函数大于0. 特别提醒：当二次函数有两个零点时，需要确定两个零点是否在函数定义域之内，若不在需要舍弃. （2）由二次函数零点分布（一元二次方程实根分布）进行“分界点”确定设x 1,x 2(x 1<x 2)是二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的两个零点（一元二次方程ax 2+bx +c =0(a >0)的两个根），则x 1,x 2的分布情况与二次函数系数之间的关系如下（k,k 1,k 2∈R,k 1<k 2）：零点分布函数图像等价条件x 1<x 2<k{∆>0f (k )>0−b 2a<kk <x 1<x 2{∆>0f (k )>0−b 2a>kx 1<k <x 2f (k )<0k 1<x 1<x 2<k 2{∆>0f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<−b 2a<k2 x 1,x 2中仅有一个在（k 1，k 2）内\f (k 1)∙f (k 2)<0或f (k 1)=0，k 1<−b2a <k 1+k 22或f (k 2)=0，k 1+k 22<−b2a <k 2或{∆=0k 1<−b 2a<k 2当二次函数定义域受限，可以根据上表情况进行“分界点”确认，进而进行分类讨论。
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)高考理科复专题练利用导数解决含参的问题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
命题规律：利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多。
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理。
这也是2018年考试的热点问题。
高考题讲解及变式：利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）。
A。
[-1,1]B。
(-1,1)C。
(-∞,-1]∪[1,+∞)D。
(-∞,-1)∪(1,+∞)答案】C解析】因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0.将f(x)代入f'(x)得f'(x)=1-2sinx+acosx。
要使f'(x)>0，即要使1-2sinx+acosx>0.因为-1≤sinx≤1，所以1-2sinx≥-1.所以acosx>-1，即a>-1/cosx。
因为cosx=1时，a不等于-1；cosx=-1时，a不等于1.所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，选C。
变式1.【2018XXX高三实验班第一次月考（理）】若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为单调函数，则k的取值范围是_______。
答案】k≥1或k≤-1解析】在区间(1,+∞)上，f'(x)=k-1/x。
谈用导数解含参数函数最值问题
通过 比较 － 一１ ０ ２ 厂 （ ） ） ）的大小 ， 得
的最大值与最小值 ， 但对两个参数 ａｂ 根据什么进 ，， 行分类讨论呢？ 首先我们根据用导数求最值 的一般
程 序将 此题 解下 去． 解 厂 （ ） ＝ ３ｘ ａ 一１ａ ＝ ３ｘ 一４ ， ２ｘ ａ（ ） 令 ｆ （ ） ：０ 得 ＝０或 ＝４ 舍 去 ）显 然无 论 当 ， （ ，
通过 比较 ， 一１ ０ ２ （ ） ） ）的大小 ， 得
［（） ＝ ０ ＝ ｂ ［（） … ＝ ２ １ ， ］ ） ； ， ］ ）－ ．
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［ ，］ 的最小 值小 于或等 于 ０ ｎ６ 上 ． 解 决有 关恒 成立 问题 的 常用 方 法有 ： 数 形 结 ①
０ ．
真 假性 不方 便 时 ， 以转 化 为研究 “Ｉ ”的真 假 性 ， 可 －Ｐ 体 现 了转化 的思 想．
例 １ 已知 函数 厂 Ｏ （ ）＝ 一２ ｘ＋５ ．
（ ） “ 等式 ｍ＋ （ ）＞０ 于任 意实 数 １若 不 ， 对 恒 成 立 ” 真命题 ， 是 求实 数 ｍ 的取 值范 围 ； （ ） “ 在一 个实 数 ， 不等 式 ｍ 一 （） ＞ ２ 若 存 使 ， ０ 立 ” 真命题 ， 成 是 求实 数 ｍ 的取值 范 围． 解 析 （ ） 等式 ｍ ＋ １不
高一数学复习考点知识讲解课件66---含参数的函数的最大(小)值
高一数学复习考点知识讲解课件含参数的函数的最大(小)值考点知识1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题． 一、求含参数的函数的最值例1已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x .求函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值． 解f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝(3x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .①当a >0时，f (x )在[0，a )上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝－a 3.②当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0. ③当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，－a 3上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 3，＋∞上是增函数． 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3.综上所述，当a >0时，f (x )的最小值为－a 3；当a ＝0时，f (x )的最小值为0； 当a <0时，f (x )的最小值为527a 3. 延伸探究当a >0时，求函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x 在[－a ,2a ]上的最值． 解f ′(x )＝(3x ＋a )(x －a )(a >0)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，－a 3上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 上是减函数，在[a ,2a ]上是增函数． 因为f (－a )＝－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3，f (a )＝－a 3，f (2a )＝2a 3.所以f (x )max ＝f (2a )＝2a 3. f (x )min ＝f (－a )＝f (a )＝－a 3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练1已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －a ，求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解f (x )＝13x 3－ax 2，则f ′(x )＝x 2－2ax . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a . 令g (a )＝f (x )max ， ①当2a ≤0，即a ≤0时， f (x )在[0,2]上是增函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (2)＝83－4a .②当2a ≥2，即a ≥1时，f (x )在[0,2]上是减函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (0)＝0. ③当0<2a <2，即0<a <1时，f (x )在 [0,2a ]上是减函数，在(2a ,2]上是增函数， 从而g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，0<a ≤23，0，23<a <1，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，a ≤23，0，a >23.二、由最值求参数的值或范围例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．跟踪训练2已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3]．三、与最值有关的探究性问题例3已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－1x＝x－1x，∴所求切线的斜率为f′(2)＝12，切点为(2,2－ln2)，∴所求切线的方程为y－(2－ln2)＝12(x－2)，即x－2y＋2－2ln2＝0.(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上是增函数，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练3已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，使得f (x )在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由． 解(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3.令f ′(x )＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＝0，解得x ＝0或x ＝a 3.当a ＝0时，f ′(x )＝6x 2≥0恒成立，函数f (x )在R 上是增函数； 当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a 3或x <0，令f ′(x )<0，得0<x <a3， 即函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，令f ′(x )>0，得x >0或x <a 3，令f ′(x )<0，得a3<x <0， 即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．综上所述，当a ＝0时，函数f (x )在R 上是增函数；当a >0时，函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．(2)存在，理由如下：由(1)可得，当a ≤0时，函数f (x )在[0,1]上是增函数． 则最小值为f ()0＝1，不符合题意；当a >0时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数；当a3≥1，即a ≥3时，函数f (x )在[]0，1上是减函数，f (x )的最大值为f ()0＝1，最小值为f ()1＝2－a ＋1＝－1，解得a ＝4，满足题意；当0<a 3<1，即0<a <3时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 3，1上是增函数，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 33－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋1＝－1，化为－a 327＝－2，解得a ＝332>3，不符合题意． 综上可得，a 的值为4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值． (2)由最值求参数的值或取值范围． (3)与最值有关的探究性问题． 2.方法归纳：转化法、分类讨论．3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．1．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′()1＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为() A ．1B ．4C ．－1D ．0 答案B解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2，则f ′(1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f′(x)＝6x2≥0，故f(x)在[1,2]上是增函数，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.2．函数f(x)＝x＋ae x的最大值为()A．a B.()a－1eC．e1－a D．e a－1答案D解析f(x)＝x＋ae x，则f′(x)＝1－x－ae x，所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，在(1－a，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f()1－a＝e a－1.3．已知函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.3－1B.34C.43D.3＋1答案A解析由f(x)＝xx2＋a，得f′(x)＝a－x2 () x2＋a2，当a>1时，若x>a，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若1<x<a，则f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝a时，函数f(x)有最大值12a ＝33，解得a＝34<1，不符合题意．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，最大值为f(1)＝12，不符合题意．当0<a<1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．此时最大值为f(1)＝1a＋1＝33，解得a＝3－1，符合题意．故a的值为3－1.4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2,2]上的最大值为________．答案33解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值3.课时对点练1．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于() A ．2B ．1C.233D ．0 答案A解析∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又f ′(x )＝a cos x ＋cos3x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cosπ＝0，解得a ＝2.2．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于() A ．0B ．1C ．2D.52 答案C解析y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，易知当－1<x <0时，y ′<0，当－2<x <－1或0<x <1时，y ′>0，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(－2，－1)，(0,1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，又当x＝－1时，y＝m＋12，当x＝1时，y＝m＋52，所以最大值为m＋52＝92，解得m＝2.3．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为() A．[1，3] B．[1，＋∞)C．(1，3] D．(1，＋∞)答案A解析∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f(3)＝0，f(1)＝2，∴1≤m≤ 3.4．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为()A．1B．2C．eD.1 e答案D解析∵f′(x)＝1x－a，x>0，∴当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，故函数f (x )单调递增，不存在最大值； 当a >0时，令f ′(x )＝0,得x ＝1a ，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1e .5．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1] 答案A解析f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )>0，解得x >0，令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )min ＝f (0)＝1＋a . 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.6．(多选)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的值可以为() A ．0B.13C.12D ．1 答案BC解析∵f ′(x )＝3x 2－3a ， 且f ′(x )＝0有解，∴a ＝x 2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.7．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．答案－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是增函数，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只考虑x＝a的情况．①若0<a<1，即0<a<1，则当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2a a.(如下表所示)②若a≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增函数，当x ＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，当0<a<1，x＝a时，f(x)有最大值2a a，当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.10．已知函数f(x)＝2e x(x＋1)．(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值． 解(1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值．(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上是减函数，在(－2，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)．∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2，－3<t <－2，2e t (t ＋1)，t ≥－2.11．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，则实数m 的最大值为()A.1e ＋3e －2B.3e ＋e ＋2C ．4D ．e 2－1 答案A解析∵2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0， ∴m ≤2ln x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝()x ＋3()x －1x 2，当1e ≤x <1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当1<x ≤e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∵存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，m ≤2ln x ＋x ＋3x 成立，∴m ≤h (x )max ，∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h ()e ＝2＋e ＋3e ， ∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >h ()e . ∴m ≤1e ＋3e －2.12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，则实数m 的最小值是()A ．－3B ．－32C.32D. 3解析由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x －m ≤0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，即2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，令g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，则g ′(x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π6≤2x ＋π6≤π2，则2≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤4，所以－5≤－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1≤－3，即g ′(x )<0，所以g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，g (x )max ＝g (0)＝3，所以m ≥3，m 的最小值为 3.13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，kx ，x ≤0.若∃x 0∈R 使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，则实数k 的取值范围是()A.(]－∞，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1eC.[)－1，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞解析由题意可得，存在实数x 0≠0，使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，假设x 0>0，则－x 0<0， 所以有－kx 0＝ln x 0， 则k ＝－ln x 0x 0，令h (x )＝－ln x x， 则h ′(x )＝ln x －1x 2，令h ′(x )>0，即ln x >1，解得x >e ， 令h ′(x )<0，即ln x <1，解得0<x <e ，则h (x )在()0，e 上是减函数，在()e ，＋∞上是增函数， 所以h (x )≥h (x )min ＝h ()e ＝－lne e ＝－1e ， 所以k ≥－1e .14．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________． 答案1解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当1a <x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1. 解得a ＝1.15．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(a >1)，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为___________．答案4解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2－3，当a >1时，令f ′(x )＝3ax 2－3＝0，解得x ＝±a a ，±a a∈[－1,1]．①当－1≤x <－a a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；②当－a a <x <a a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a a <x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，且f (－1)≥0即可， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，得a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 3－3·a a ＋1≥0，解得a ≥4，由f (－1)≥0，可得a ≤4，综上可得a ＝4.16．已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解函数f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝e ；③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上是减函数，其最小值为f(e)＝1＋ae≥2，与最小值是32相矛盾．综上所述，a的值为 e.。
导数的极值与最值题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第6讲导数的极值与最值题型总结【考点分析】考点一：函数的驻点若()00='x f ，我们把0x 叫做函数的驻点．考点二：函数的极值点与极值①极大值点与极大值：函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值，其中0x 叫做函数的极大值点②极小值点与极小值：函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值，其中0x 叫做函数的极小值点考点三：求可导函数()f x 极值的步骤①先确定函数()f x 的定义域；②求导数()f x '；③求方程()0f x '=的根；④检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注意：可导函数()x f 在0x x =满足0()0f x '=是()x f 在0x 取得极值的必要不充分条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.考点四：函数的最值一个连续函数在闭区间[]b a ,上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。
求函数最值的步骤为：①求()y f x =在[]b a ,内的极值（极大值或极小值）；②将()y f x =的各极值与()a f 和()b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数的值题型三：根据极值、极值点求参数的范围题型四：利用导数求函数的最值（不含参）题型五：根据最值求参数题型六：根据最值求参数范围【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值；【例1】(2022石泉县石泉中学)函数()2x x f x e=的极小值为()A ．0B ．1eC ．2D ．24e 【答案】A【解析】由()2x xf x e=，得()()()2222x xxx x x xe x e f x e e ---'==，当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x <或2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以当0x =时，函数()2x x f x e=取得极小值，极小值为()000f e ==.故选：A.【例2】(2021·河南新乡市)已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为()A ．ln 21--B ．ln 21-+C ．1-D ．1【答案】A【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.故选：A.【例3】若函数2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由()2()x xf x e ax a f x e a'=--⇒=-因为2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，所以()0xf x e a ='-=有小于0的根，由x y e =的图像如图：可知()0xf x e a ='-=有小于0的根需要01a <<，所以选择B【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数．(1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【答案】(1)存在；极小值【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对()g x '求导后，判断()g x '的单调性，结合零点存在性定理可得结果；【解析】(1)由()sin ex x f x x =-，可得2e e 1()cos cos (e )e x x x x x xg x x x --=-=-，则2e (1)e 2π()sin sin ,0,(e )e 2x x x x x x g x x x x ----⎛⎫'=+=+∈ ⎪⎝⎭，令2()sin e x x h x x -=+，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2e (2)e 3()cos cos 0(e )e x x x x x x h x x x ---'=+=+>，所以()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为π2π2π2(0)20,102eg g -⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '>单调递增，所以当0x x =时，函数()g x 取得极小值．【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；【答案】(1)极大值，12π-；极小值，1-；【分析】（1）由题可得()14f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，进而可得；【解析】(1)∵()sin cos f x x x x =--，∴()1cos sin 1cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+' ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，可得2x π=-，或0x =，∴,2x ππ⎛⎫∈-- ⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，∴2x π=-时，函数()f x 有极大值(122f ππ-=-，0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =-；【题型专练】1.已知e 为自然对数的底数，设函数()x xe x f =，则A ．1是()x f 的极小值点B ．﹣1是()x f 的极小值点C ．1是()x f 的极大值点D ．﹣1是()x f 的极大值点【答案】B 【解析】【详解】试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B.考点：导数与极值2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在R 的函数()f x ，已知()000x x ≠是它的极大值点，则以下结论正确的是（）A ．0x -是()f x -的一个极大值点B ．0x -是()f x -的一个极小值点C ．0x 是()f x -的一个极大值点D ．0x -是()f x --的一个极小值点【答案】AD【解析】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<．设()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，∴0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点．故选：AD.3.（2022江西高三期中（文））已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =+的极值；（2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【解析】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；若0a <时，()0h x '=，解得2a x =-，当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增.∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号，∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.题型二：根据极值、极值点求参数的值【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数()y f x =在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在(,)a b 内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】(2022全国课时练习)若函数()2()1xf x x ax e =--的极小值点是1x =，则()f x 的极大值为()A ．e -B ．22e -C ．25e -D ．2-【答案】C【解析】由题意，函数()2()1x f x x ax e =--，可得2()(2)1x f x e x a x a '⎡⎤=+---⎣⎦，所以(1)(22)0f a e '=-=，解得1a =，故()2()1x f x x x e =--，可得()())1(2xf x ex x '=+-，则()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 的极大值为2(2)5f e --=．故选：C.【例2】(2021·全国课时练习)若函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a=__________．【答案】2【解析】由2322()()2f x x x a x ax a x ==--+可得22()34f x x ax a '=-+，因为函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，所以2(2)1280f a a '=-+=，解得2a =或6a =，若2a =，则2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数()f x 在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当(),2x ∈-∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当()2,6x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()6,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数在2x =处取得极大值，不符合题意；综上：2a =.故答案为：2.【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（）A ．-1B ．2C ．-3D ．4【答案】B 【解析】【分析】对()f x 求导，由函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()0f a ¢=，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，对()f x 求导，求单调区间及极大值，由()f x 的极大值为4，列方程得解.【详解】解：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e e x x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e x f x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x x f x x a x a a x ax a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x '>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x '>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B 【题型专练】1．设函数()23ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为________【答案】ln 22-【解析】函数()2313ln '()222f x x ax x f x ax x =+-⇒=+-1x =是函数()f x 是极大值点则131'(1)20124f a a =+-=⇒=()213113ln '()04222f x x x x f x x x =+-⇒=+-=1x =或2x =当2x =时()f x 的极小值为ln 22-故答案为：ln 22-2．（2023全国高三专题练习）已知函数()ln 1xf x ae x =--，设1=x 是()f x 的极值点，则a =___，()f x 的单调增区间为___.【答案】1e()1,+∞【解析】由题意可得：()1xf x ae x'=-1x = 是()f x 的极值点()110f ae ∴=-='1a e⇒=即()1ln 1x f x ex -=--()11x f x e x-⇒-'=令()0f x '>，可得1x >()f x ∴的单调递增区间为()1,+∞3．（2023河南省实验中学高二月考）函数1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值为（）A ．6-B ．6C ．2-D ．2【答案】D【解析】cos cos3,y a x x +'=由3|0x y π=='得，cos cos 0,2,3a a ππ+==选D.点睛：函数()f x 在点3x π=处由极值，则必有()0,3f π'=但要注意()0,3f π'=3x π=不一定是()f x 的极值点.题型三：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】A 【解析】【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x >若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<；则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<-所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<<所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增.此时()f x 无极值.综上所述：2a <-满足条件故选：A【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,【答案】D 【解析】【分析】求()()222e x x a f x x a ⎡⎤++++⋅⎣⎦'=，由分析可得()2220y x a x a =++++≥恒成立，利用0∆≤即可求得实数a 的取值范围.【详解】由()()22e xx a f x x =++⋅可得()()()()222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f a x ⎡⎤=+⋅+++⋅=++++⋅⎣⎦'，e 0x >恒成立，()222y x a x a =++++为开口向上的抛物线，若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则()2220y x a x a =++++≥恒成立，所以()()22420a a ∆=+-+≤，解得：22a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]22-,，故选：D.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则实数a 的取值范围是（）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞【答案】C 【解析】【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由()(ln )x e f x a x x x=--得，21111()()(1)(1)()x x e f x e a a x x x x x '=---=--，因函数()(ln )x e f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则(0,1)x ∈时，()0xef x a x '=⇔=有解，即在(0,1)x ∈时，函数()xe g x x=与直线y=a 有公共点，而1()(10x e g x x x'=-<，即()g x 在(0,1)上单调递减，(0,1),()(1)x g x g e ∀∈>=，则a e >，显然在x e a x =零点左右两侧()'f x 异号，所以实数a 的取值范围是(,)e +∞.故选：C 【点睛】结论点睛：可导函数y ＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，若2x =是()f x 的极小值点，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的正负，对a 分类讨论，判断极值点，即可求解.【详解】由()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦得()()()12e x f x ax x '=--，令()()()()()12e 0120x f x ax x ax x '=-->⇒-->，若0a <，则()()11202ax x x a -->⇒<<，此时在12x a <<单调递增，在12,x x a><单调递减，这与2x =是()f x 的极小值点矛盾，故舍去.若0a =，可知2x =是()f x 的极大值点，故不符合题意.若102a >>，()()11202,ax x x x a -->⇒<>，此时()f x 在12,x x a <>单调递增，在12x a<<单调递减，可知2x =是()f x 的极大值点，故不符合题意.当12a >，，()()11202,ax x x x a -->⇒><，此时()f x 在12,x x a ><单调递增，在12x a>>单调递减，可知2x =是()f x 的极小值点，符合题意.若12a =，()f x 在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知：12a >故选：B【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数()sin f x ax x =+，()0,πx ∈．(1)当1a =时，过()0,1做函数()f x 的切线，求切线方程；(2)若函数()f x 存在极值，求极值的取值范围．【答案】(1)1y x =+，(2)()0,π【解析】【分析】（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为0x 得到0cos a x =-，代入极值再构造函数()cos sin h x x x x =-+，求导分析单调性与取值范围即可(1)由题，当1a =时，()sin f x x x =+，()1cos f x x '=+，设切点为()000,sin x x x +，则()001cos f x x '=+，故切线方程为()()0000sin 1cos y x x x x x --=+-，又切线过()0,1，故()00001sin 1cos x x x x --=-+，即000sin cos 10x x x --=，设()sin cos 1g x x x x =--，()0,πx ∈，则()sin 0g x x x '=>，故()g x 为增函数.又sin cos 102222g ππππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故000sin cos 10x x x --=有唯一解02=x π，故切点为,122ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，斜率为1，故切线方程为122y x ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即1y x =+；(2)因为()cos f x a x '=+，()0,πx ∈为减函数，故若函数()f x 存在极值，则()0f x ¢=在区间()0,πx ∈上有唯一零点设为0x ，则0cos 0a x +=，即0cos a x =-，故极值()000000sin cos sin f x ax x x x x =+=-+，设()cos sin h x x x x =-+，()0,πx ∈，则()sin 0h x x x '=>，故()h x 为增函数，故()()()0h h x h π<<，故()0h x π<<，即()()00,f x π∈，故极值的取值范围()0,π【点睛】本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数()ln (0)xae f x x x a x=+->.(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在两个极小值点12,x x ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞，(2)1(0,)e【解析】【分析】（1）当1a =时，求得2(1)(e )()x x x f x x '--=，令()e xm x x =-，利用导数求得()0m x >，进而求得函数的单调区间；（2）求得2(1)(())x x xx a e ef x x -'=-，令()e x x u x =，结合单调性得到()e 1u x ≤，进而得到10e ex x <≤，分1e a ≥和10ea <<，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.(1)解：当1a =时，函数e ()ln xf x x x x =+-，可得221(1)(1)()()1x x e e f x x x x x x x -'+--=-=，令,())(0,x m x e x x -∈=+∞，可得()e 10x m x '=->，所以函数()m x 单调递增，因为()(0)1m x m >=，所以()0m x >，当(0,1)x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.(2)解：由函数()ln ,(0,)xae f x x x x x =+-∈+∞，可得22(()(1)())1(),0x x xe ae x x ef x x x x x a x --'==->-，令()e xx u x =，可得()1e x u x x='-，所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()e1u x ≤，当0x >时，可得e 1x >，所以10e ex x <≤，①当1ea ≥时，0e x xa -≥，此时当(0,1)x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以函数()f x 的极小值为()1e 1f a =-，无极大值；②当10e a <<时，()()0e e e1,1a a a u a a u a =<==>，又由()u x 在(),1a 上单调递增，所以()f x ¢在(),1a 上有唯一的零点1x ，且11e x xa =，因为当e x >时，令()2ln g x x x =-，可得()2210x g x x x-'=-=<，又因为()0e e 2g =-<，所以()0g x <，即2ln x x <，所以112ln a a<，所以2212ln 11ln2ln 1(ln )1aa a u a a a ea==⋅<，e 1(1)u a =>，因为()u x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x ¢在21(0,ln )a 上有唯一的零点2x ，且22e x x a =，所以当1(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当1(,1)x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当2(1,)∈x x 时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以函数()f x 有两个极小值点，故实数a 的取值范围为1(0,)e.【题型专练】1．（2022贵州遵义·高三）若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】321()53f x x ax x =-+- ,2()21f x x ax '∴=-+，由函数321()53f x x ax x =-+-无极值点知，()0f x '=至多1个实数根，2(2)40a ∴∆=--≤，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[1,1]-，故选：B2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，则a 的取值范围是（）A ．(,)e +∞B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,e +∞D ．2,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】因为2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，所以()0f x '=有两个不同实数根，所以220x e ax a -+=有两个不同实数根，所以()21xe a x =-有两个不同实数根，显然0a ≠，所以112x x a e -=有两个不同实数根，记()1xx g x e -=，()2x x g x e -'=，当(),2x ∈-∞时()0g x '>，当()2,x ∈+∞时()0g x '<，所以()g x 在(),2-∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()2max 12g x g e==，又因为(],1x ∈-∞时，()0g x ≤；当()0,2x ∈时，()210,g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当[)2,x ∈+∞时，()210,g x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以当112x x a e-=有两个不同实数根时2110,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22a e >，所以22e a >，故选：D.3.若函数2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．12a >B ．102a -<<C ．12a <D ．102a <<【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数a 的取值范围.【详解】∵2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，∴222()2202a x x af x x x-+'=-+==在(0,)+∞有2个不同的零点，∴2220x x a -+=在(0,)+∞有2个不同的零点，∴Δ4800a a =->⎧⎨>⎩，解得102a <<．故选：D.4.（2020·辽宁高三月考）已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭[)5,-+∞【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<.()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭,22()0a h a a'-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-.因此t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞5.（2022·江苏南通·高二期末）若x ＝a 是函数2()()(1)f x x a x =--的极大值点，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ．1a ≥【答案】A 【解析】【分析】求导后，得导函数的零点2,3a a +，比较两数的大小，分别判断在x a =两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x a =处取到极大值，即可求得a 的范围．【详解】解：2()()(1)f x x a x =--，Rx ∈()()(32)f x x a x a '∴=---令()()(32)0f x x a x a '=---=，得：2,3a x a x +==当23a a +<，即1a <此时()f x 在区间(,)a -∞单调递增，2(,)3a a +上单调递减，2(,)3a ++∞上单调递增，符合x ＝a 是函数()f x 的极大值点，反之，当23a a +>，即1a >，此时()f x 在区间2(,3a +-∞单调递增，2(,)3a a +上单调递减，(,)a +∞上单调递增，x ＝a 是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当23a a +=，即1a =，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在R x ∈上单调递增，无极值点.综上得：1a <.故选：A.6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数()21ln 2f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______.【答案】814,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为()()21ln 02f x x b x ax x =++>，所以()2b x ax bf x x a x x++'=++=，设()2g x x ax b =++，因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点，所以()f x '在()1,2上存在两个零点，所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，所以根据韦达定理有：1212x x ax x b+=-⎧⎨⋅=⎩，故()23939b a b b ab b++=++()()21212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅()()22112233x x x x =--，因为()11,2x ∈，所以221113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，222223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，由于12x x ≠，所以()()22112281334,16x x x x ⎛⎫--∈⎪⎝⎭.故答案为：814,16⎛⎫⎪⎝⎭.7.(2018年北京高考题)设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦。
用绝对值函数的导数公式解决一类含参函数的最值问题
用绝对值函数的导数公式解决一类含参函数的最值问题董吕修【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)003【总页数】3页(P57-59)【作者】董吕修【作者单位】浙江省苍南县嘉禾中学【正文语种】中文综观近几年全国各省市的高考数学试题，一类形如“f（x）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+b0）|x-a|（其中g（x）是次数不超过三次的多项式函数，b3，b2，b1，b0不全为零）”的三次型含参绝对值函数的最值问题正悄然兴起.由于这类函数带有绝对值，且有参数在内“捣乱”，主要考查数形结合、分类讨论等数学思想，因此极具综合性和挑战性，学生常常感到迷雾重重，找不到突破口，以致于考试时往往弃而不答，令人惋惜！本文笔者借助导数公式（|x|）′=，结合高考题来化解讨论此类函数最值问题的一般策略，以期对大家有所启示.（|x|）′=证明：由复合函数的求导法则知，（|x|）′=（）′=众所周知，函数y=f（x）（x∈I）的最值点只可能在其极值可疑点（所谓极值可疑点是指导数为零的点和导数不存在的点）或区间I的端点处取到.因此，只需讨论此类含参绝对值函数在给定区间上的单调性，其最值情况就会一目了然.由于极值可疑点可能与参数有关，因此这里的关键是：如何判断极值可疑点是否在定义域内？为解决此问题，就需要将极值可疑点与区间端点按从小到大的顺序进行排列，分类讨论思想正是在这一背景下应运而生的.具体操作步骤可按如下步骤进行：求导→求出极值可疑点→确定分类讨论的界点→划分讨论范围→排序极值可疑点→根据图像大致变化趋势求出函数最值.1.求导根据导数的运算法则求出函数f（x）=g（x）+（b3x3+ b2x2+b1x+b0）|x-a|在x≠a时的导函数表达式.2.求出极值可疑点将导函数f′（x）因式分解，求出导数为零的点和导数不存在的点，由于f′（x）的分子在x≠a时的次数不超过三次，因此函数f（x）的极值可疑点最多会有三个（可以参考文献［2］证明其中必有一个是a），不妨设为x1，x2，a.3.确定分类讨论的界点设函数f（x）的定义域为区间［c，d］，接下来我们考虑三个极值可疑点是否在定义域［c，d］内.通常有两种方法：其一，考虑将x1，x2，a，c，d这五个量进行整体排序，此时分类讨论的界点为由这五个量两两相等而组成的方程（如x1=x2，x1=a，x1=c，x1=d…）的根（最多有-1=9个）；其二，先将三个极值可疑点x1，x2，a进行排序（分类界点为方程x1=x2，x1=a，x2=a的根，最多有3个），然后将区间端点c，d插入既有排序之中（可能引发二次讨论，每种排序下最多有+=10种）.以上都是理论意义上的，实际做题时该采用哪种方法，应视具体函数而言.而笔者更倾向于后者，本文后面的例题也都采用方法二.4.划分讨论范围设方程x1=x2，x1=a，x2=a的根分别为a1，a2，a3（设a1≤a2≤a3），将其插入参数a的允许范围（不妨设a∈R）之中，即可获得参数a的不同讨论范围，它们即为参数a的分类讨论范围.5.排序极值可疑点在上一步中的不同讨论范围中可以对x1，x2，a的大小进行排序.显然，不同讨论范围中的排列顺序是不同的.6.根据图像大致变化趋势求出函数最值根据x1，x2，a的每一排序，从函数的单调性、极值、无穷远处的变化趋势入手来画草图，然后截取图像在区间［c，d］上的部分，最后根据所截图像求出函数的最值.例1（2009年高考江苏卷·理20第2问）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求f（x）的最小值.解析令f′（x）=0，可以得因此，（fx）的所有极值可疑点为a.易得分类讨论的界点为a=0.又参数a的取值范围为R，所以只需分a≥0与a＜0两种情形进行分段讨论.（1）当a≥0时，排序极值可疑点，得-a≤≤a.若x∈（-∞，-a），则f′（x）=2x+2a＜0；若x∈（-a，a），则f′（x）= 2x+2a＞0；若x∈（a，+∞），则f′（x）=6x-2a＞4a≥0.于是，（fx）在（-∞，-a］上为减函数，在［-a，+∞）上为增函数，从而（fx）min=（f-a）=-2a2.（2）当a＜0时，排序极值可疑点，得a＜＜-a.若x∈（，+∞），则f（′x）=6x-2a＞0；若x∈（a，），则f′（x）=6x-2a＜0；若x∈（-∞，a），则f′（x）=2x+2a＜4a＜0.于是，（fx）在（-∞，）上为减函数，在［，+∞）上为增函数，从而综上可知点评：由于极值可疑点的大小关系未定，因此需要分类讨论.从例1可以看出，用导数法讨论函数的最值，尽管步骤比较机械化，但却能大大降低思维量.例2（2005年高考江苏卷·理22第2问）已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|，求函数f（x）在区间［1，2］上的最小值.解析：f′（x）a）.令f′（x）=0，得=0，x=，而x=a为导数不存在的可23疑点.因此（fx）的所有极值可疑点为=0，x=，x=a.易23得分类讨论的界点a=0.又参数a的取值范围为R，所以只需分a＞0，a≤0进行分段讨论.当a≤0时，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1≤x≤2），f（x）min=（f1）=|1-a|.当a＞0时，排序极值可疑点，得0＜＜a.若x∈（0），则f′（x）=-x（3x-2a）＞0；若x∈（a，+∞），则f′（x）=x（3x-2a）＞a2＞0；若x∈（-∞，0），则f′（x）=-x（3x-2a）＜0；若x∈（，a），则f（′x）=-x（3x-2a）＜0.于是，（fx）在［0，］，［a，+∞）上均为增函数，在（-∞，0］，，a］上均为减函数.由于所考虑的区间为［1，2］，所以只需令a=1或2，a=1或2，得二次分类讨论的界点1，，2，3.（1）当0＜a≤1时，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1＜x≤2），（fx）min=（f1）=1-a.（2）当1＜a≤时，f′（x）=-x（3x-2a）≤0（1＜x＜a），f（′x）=x（3x-2a）＞0（a＜x＜2），（fx）=（fa）=0.（3）当＜a≤2时，（fx）在［1，］，［a，2］上为增函数，在（4）当2＜a≤3时，f（x）在上为增函数，在＜a≤3时，（fx）min=（f1）=a-1.（5）当a＞3时，（fx）在［1，2］上为增函数，（fx）min=（f1）= a-1.综上所述，f（x）min=点评：本题参考答案是用零点分段法去绝对值化为分段函数然后求导数，比较烦琐，而现在用导数公式求导时不用讨论，相较而言更方便实用.例3（2014年高考浙江卷·文21第1问）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在［-1，1］上的最小值记为g（a），求g（a）.解析令f′（x）=0，得而x=a为导数不存在的可疑点.因此，f（x）在（-1，1）内的极值可疑点只可能是x=a.又参数a的取值范围为（0，+∞），所以只需分0＜a＜1和a≥1两种情形进行分段讨论.（1）当0＜a＜1时，若-1＜x＜a，则f′（x）=3（x2-1）＜0；若a＜x＜1，则f′（x）=3（x2+1）＞0.所以f（x）在［-1，a］上为减函数，在［a，1］上为增函数，g（a）=f（a）=a3.（2）当a≥1时，f′（x）=3（x2-1）＜0（-1＜x＜1），因此g（a）=f（1）=3a-2.综上所述例4（2015年高考湖北卷·文17改编）a为实数，函数f（x）=|x2-ax|（a＞0）在区间［0，1］上的最大值记为g（a）.当a=______________时，g（a）的值最小. 解析：当x∈［0，1］时，f（x）=x|x-a|.f′（x）=|x-a|+x（x≠a）.令f′（x）=0，得x=，而导数不存1在的可疑点为x2=a，因此，f（x）的所有极值可疑点为x1=，x=a.因为a＞0，所以排序极值可疑点，得＜a.由于区2间端点为0与1，因此可得二次讨论的界点为1，2.（1）当a＞2时，f′（x）=-（2x-a）＞-（2x-2）≥0（0≤x≤1），f（x）在［0，1］上为增函数，所以g（a）=f（1）=|1-a|.（2）当1＜a≤2时，f（′x）=-（2x-a）＞0（0≤x＜），f（′x）=（3）当0＜a≤1时，f′（x）=-（2x-a）＞0（0≤x＜），得a=2-2或a=2（舍去）.当0＜a≤2-2时，f）≤（f1），g（a）=（f1）=|1-a|.当2-2＜a≤1时，f（）＞综上所述：g（a）=结合图像可知，当a=2-2时，g（a）取到最小值.点评：与例1不同的是，例2、例3、例4中的函数的定义域不再是实数集R，由于还得考虑区间的端点与极值可疑点的大小关系，因此往往还需要确定二次讨论的分界点，最后得出函数在各个子区间上的单调性，从而得出函数的最值.总而言之，本文通过一个导数公式，运用分类讨论的数学思想，详细讨论了函数（fx）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+ b）0|x-a|最值问题的解题策略和操作步骤（可为其他含参函数的最值问题提供借鉴），透射数学化归的力量！【相关文献】1.丁美琴.对“同类”高考试题的解析与思考［J］.中学数学（上），2015（10）.2.宋洪雪.关于一类含绝对值函数的求导问题［J］.高等数学研究，2008（05）.。
导数中含参数的解题策略
导数中含参数的讨论策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。
而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．一．求导后，导函数的解析式为一次函数y=kx+b ,如k 不定就分清况讨论k>0,k=0,k<0，然后导函数y=kx+b 为零时有无实根,根是否落在定义域内，(2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数())f x x a =-（1）求函数()f x 的单调区间；解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>，由'()0f x =得3ax =。
考虑3a是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。
（1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。
（2） 当0a >时，由'()0f x >，得3a x >；由'()0f x <，得03a x <<。
因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递增区间为,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
二．求导后，导函数可以转化为c bx ax y ++=2时，如a 不定先讨论a>0,a=0,a<0；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在定义域内进行讨论，若零点含参数在定义域内则对零点之间的大小进行讨论。
专题10 含参函数的极值、最值讨论(解析版)
专题10 含参函数的极值、最值讨论(解析版)含参函数的极值、最值讨论在数学中，含参函数的极值和最值是一个重要的概念。
本专题将对含参函数的极值和最值进行深入讨论。
一、含参函数的极值对于含参函数 f(x;a)，其中 a 是一个参数，我们可以通过求导数的方法来找到函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求导数：求 f(x;a) 关于 x 的导数，记为 f'(x;a)。
2. 解方程：令 f'(x;a) = 0，解方程得到极值点 x0。
3. 检验：通过二阶导数或者函数值的方法来判断极值类型。
二、含参函数的最值含参函数的最值包括两个概念：最大值和最小值。
我们可以通过对含参函数进行讨论来找到其最值。
1. 寻找临界点：首先求解 f(x;a) 的导数 f'(x;a)，解方程 f'(x;a) = 0，得到函数的临界点。
2. 寻找端点：考虑函数在定义域的边界上是否存在最值。
3. 求值比较：将临界点和端点的函数值进行对比，找出最大值和最小值。
三、极值、最值的判断在求解含参函数的极值和最值时，我们需要进行判断。
1. 二阶导数判定法：通过求解 f''(x;a) 来判断临界点的类型。
当f''(x;a) > 0 时，表示极小值；当 f''(x;a) < 0 时，表示极大值；当 f''(x;a) = 0 时，不能确定。
2. 函数值判定法：对于端点的函数值，进行比较大小来确定最大值和最小值。
四、实例分析现在我们通过一个实例来分析含参函数的极值和最值。
例如，考虑函数 f(x;a) = x^2 - ax + 1，其中 a 是一个参数。
1. 求导数：f'(x;a) = 2x - a。
2. 解方程：令 f'(x;a) = 0，得到 x = a/2。
3. 检验：通过二阶导数或者函数值来判断极值类型。
- 二阶导数法：f''(x;a) = 2 > 0，所以 x = a/2 是极小值点。
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含参导数求最值问题（1—2）
编制人：闵小梅审核人：王志刚
【使用说明及学法指导】
1．完成预习案中的相关问题；
2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范；
3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。
【学习目标】
1．掌握利用导数求函数最值的方法
2．会用导数解决含参函数的综合问题
【预习案】
一、知识梳理
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、尝试练习
1．设函数f(x)＝x3－x2
2
－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实
数a的取值范围是________ (－∞，7 2 )
2．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ [4，＋∞)
【探究案】
一、合作探究：
例1. 设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)．
(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； 增(0，2)，减(2，2)
(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． a ＝12
二、拓展探究：
例2. 已知函数f(x)＝lg(x ＋a x
－2)，其中a ＞0且为常数． (1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；ln a 2
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定实数a 的取值范围．(2，＋∞)
三、深层探究：单调性的应用
例3．求f (x )＝ax x e
-⋅ (a ＞0)在x ∈[1,2]上的最大值
【训练案】
1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在此区间上可能没有极值点
D．f(x)在此区间上可能没有最值点
2．若函数f(x)＝32
39
x x x a
-+++在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A．－5 B．7
C．10 D．－19
3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1 B．b<1
C．b>0 D．b<1 2
4．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a<－4
C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( ) A．0≤a＜1 B．0＜a＜1
C．－1＜a＜1 D．0＜a＜1 2
6．已知函数f (x )＝sin x －2x －a ，若f (x )在[0，π]上的最大值为－1，则实数a 的值是________ 1
7．若关于x 的不等式x 3－2x －a ＜0在[1,2]上恒成立，则a 的取值范围是_______(4，＋∞)
8．若不等式ln kx x ≤1e 对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_ _ 0＜k ≤1
9．已知函数f (x )＝2ln x ＋a x 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，
求实数a 的取值范围。
a ≥e
10．已知函数f (x )＝(x －k )2e x k .
(1)求f (x )的单调区间； 增(－∞，－k )，(k ，＋∞)；减(－k ，k )．
(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0。