1 凸集

则有： 则有：
αx + (1 −α ) y
≤ α x + (1 −α ) y
即点αx + (1−α) y 属于超球, 所以超球为凸集． 属于超球, 所以超球为凸集．
≤ αr + (1−α) r = r,
凸集-----性质 凸集-----性质
任意多个凸集的交集为凸集 为凸集． (1) 任意多个凸集的交集为凸集． 集合是凸集： 集合是凸集： D = {y y = βx , x ∈ D} β n 上的凸集， (3) 设D1和D2是R 上的凸集，则 (a)D1 + D2 = {x1 + x2 | x1 ∈ D1 , x2 ∈ D2}是凸集 ; (b)D1 − D2 = {x1 − x2 | x1 ∈ D1 , x2 ∈ D2}是凸集 .
定理2.1.5 定理2.1.5 直观解释
我们不妨把一个闭凸集想象为一个三维的充满了气体的气 球（不一定为标准球形，但必须是凸的），那么，在气球外一 不一定为标准球形，但必须是凸的），那么， ），那么 点，到气球各点（包括内部）的距离是不一样的，但直觉告诉 球各点（包括内部）的距离是不一样的， 我们，肯定在气球上有一点，它到该点的距离是所有距离中最 我们，肯定在气球上有一点， 小的。这是凸集的特有性质。如果不是凸集，就不会这样了， 小的。这是凸集的特有性质。如果不是凸集，就不会这样了， 比如一个平面上对称心形的图形（它不是凸的）外一点， 比如一个平面上对称心形的图形（它不是凸的）外一点，至少 可以找到2 可以找到2点，使其到外面那一点的距离最小。 使其到外面那一点的距离最小。
n T
{
}
S y l
点与闭凸集的分离定理
凸集-----凸集分离定理应用 凸集-----凸集分离定理应用
凸集分离定理应用---Farkas引理 定理2.1.7 凸集分离定理应用---Farkas引理 定理2.1.7 ---Farkas
Farkas引理在我们即将学习的最优性条件中是重要的基础. Farkas引理在我们即将学习的最优性条件中是重要的基础. 引理在我们即将学习的最优性条件中是重要的基础
凸集分离定理应用---Gordan 定理2.1.8 凸集分离定理应用---Gordan 定理 定理2.1.8 --且仅有一组有解： 设A∈ Rm×n , 则下列两个关系式组有 且仅有一组有解： Ax < 0; (2.1.5) ATy = 0, y ≥ 0, y ≠ 0. (2.1.6)
凸集分离定理应用---择一性定理 定理2.1.9 凸集分离定理应用---择一性定理 定理2.1.9 ---
仿射组合 (Affine Combination) m m λi xi , 其中 i ∈ R, xi ∈ Rn , i = 1,2,...m, 且∑λi = 1. λ ∑
i =1 i =1
凸组合 (Convex Combination)
λi xi , 其中 i ∈ R+ , xi ∈ Rn , i = 1,2,...m且∑λi = 1. λ ∑
T
∈ (2) x∈ S 是点 y 到集合 S 的最短距离点的
(x 充要条件为： 充要条件为： − x) ( x − y) ≥ 0 ∀x ∈ S .
注：闭凸集外一点与闭凸集的极小距离， 闭凸集外一点与闭凸集的极小距离 投影定理。 即投影定理 投影定理
凸集-----凸集分离定理 凸集-----凸集分离定理
凸集---定义 凸集---定义
凸集---定义 凸集---定义
定义1 定义1 设集合 D ⊂ Rn , 若对于任意两点
x , y ∈ D, 及实数α (0 ≤ α ≤ 1) , 都有： 都有：
αx + (1−α) y ∈ D, 凸集． 则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 常见的凸集 单点集 { x }，空集∅ ，整个欧氏空间 Rn， ，
超平面： 超平面 H = {x ∈ Rn a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = b},
半空间： 半空间 H+ = {x ∈ Rn a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn ≥ b}.
凸集----举例 凸集----举例
为凸集． 例： 证明超球 x ≤ r 为凸集．
0 证明： 为超球中的任意两点， 证明 设 x, y 为超球中的任意两点， ≤ α ≤ 1,
的第i个行向量为 设A的第 个行向量为 i,i=1,2,…,m,则(2.1.4)式有解 的第 个行向量为a 则 式有解 当且仅当凸锥{x|Ax≤0}与半空间 与半空间{x|bTx>0}的交不空 即 的交不空.即 当且仅当凸锥 与半空间 的交不空 (2.1.4)式有解当且仅当存在向量 它与各 i的夹角钝 式有解当且仅当存在向量x,它与各 式有解当且仅当存在向量 它与各a 角或直角，而与b的夹角为锐角 的夹角为锐角. 角或直角，而与 的夹角为锐角 (2.1.5)式有解当且仅当 在由 a1, a2, …, am所生成的 式有解当且仅当b在由 式有解当且仅当 凸锥内. 凸锥内 a a2 a a
1 1 2
b
am b
(2.1.4)有解，(2.1.5)无解 (2.1.4)有解，(2.1.5)无解 有解
am
(2.1.4)无解，(2.1.5)有解 (2.1.4)无解，(2.1.5)有解 无解
凸集-----凸集分离定理应用 凸集-----凸集分离定理应用
利用Farkas引理可推导下述的Gordan定理和择一性定理. 利用Farkas引理可推导下述的Gordan定理和择一性定理. Farkas引理可推导下述的Gordan定理和择一性定理
凸集-----性质 凸集-----性质
和集和并集有很大的区别， 注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 例：D = ( x,0)T x ∈ R 表示 x 轴上的点． 轴上的点． 1
T 2
{ ( D = { 0, y)
未必是凸集，而凸集的和集是凸集． 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
} y ∈ R}表示 y 轴上的点． 轴上的点．
凸集-----凸锥 凸集-----凸锥 (Convex Cone) Cone)
定义 锥、凸锥
S x 设 ⊆ R , x0 ∈ S，如果对一切 ∈S
n
x S 及 > 0, 有 0 + λx∈S, 则称 是 λ x . S又是凸集， 以 0为顶点的锥 如果 又是凸集， S . 则称 为凸锥
凸集-----凸集分离定理 凸集-----凸集分离定理
设A∈ Rm×n , B∈ Rp×m , 则关系式组 Ax < 0, Bx = 0 (2.1.8) 无解当且仅当存在 ∈Rm , u ≥ 0和v ∈Rp , 满足 u ATu + BTy = 0. (2.1.9)
设A∈ R
m×n
, b∈R , 则下列两个关系式组
n T
有且仅有一组有解： 有且仅有一组有解： Ax ≤ 0, b x > 0; A y = b, y ≥ 0.
T
(2.1.4) (2.1.5)
凸集-----凸集分离定理应用 凸集-----凸集分离定理应用
Farkas引理 Farkas引理 – 几何解释
β 是凸集， 是一实数， (2) 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的
凸集-----性质 凸集-----性质
推论： 是凸集， 推论 设 Di , i = 1,2,L, k是凸集， ∑βi Di 则 也是凸集， 其中 βi 是实数． 是实数． 也是凸集，
i =1 k
是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 (4) S 是凸集当且仅当 中任意有限个点的凸 组合仍然在S中 组合仍然在 中.
定义 分离 (Separation)
S 是非空集合， p 设 1 , S2 ⊆ Rn是非空集合，如果存在 ∈Rn , p ≠ 0及 ∈R, 使 a S2 ⊆ H+ S1 ⊆ H− = x∈Rn pTx ≤ a ,
n T
H 则称超平面 = x∈Rn
{
{ x = { ∈R
} p x ≥ a} p x = a} 分离 和 . S S
m m
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
m i =1
i =1
i=1
λi xi , 其中 i ∈ R+ , xi ∈ Rn , i = 1,2,...m. λ ∑
凸集---定义 凸集---定义
例
二维情况下，两点x 二维情况下，两点x1, x2 的 (a)线性组合为全平面； (a)线性组合为全平面； 线性组合为全平面 (b)仿射组合为过这两点的直线； (b)仿射组合为过这两点的直线； 仿射组合为过这两点的直线 (c)凸组合为连接这两点的线段； (c)凸组合为连接这两点的线段； 凸组合为连接这两点的线段 (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥. (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥. 凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥
凸集-----凸集分离定理 凸集-----凸集分离定理
定理2.1.6 凸集分离定理 定理2.1.6
是非空闭凸集， y 设S ⊆ R 是非空闭凸集， ∈R \ S,
n n
p 则存在唯一的 ∈R , p ≠ 0及a∈R , 使得
n
pTx ≤ a < pTy, ∀x∈S,
H y 即存在超平面 = x∈R | p x = a 分离 和S.
m m H ( S ) = ∑ λi xi xi ∈ S , λi ≥ 0, i = 1,2..., m , ∑ λ i = 1, m ∈ N i =1 i =1
定理2.1.4 的凸集的交集. 定理2.1.4பைடு நூலகம்H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集. 的最小凸集.
• 多胞形的表示定理 (Polytope) • 凸函数 (Convex Function) • 凸规划 (Convex Programming)