6-1弹性力学平面问题(基本理论)
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平面问题的基本理论
平⾯问题的基本理论弹性⼒学⽹上辅导3平⾯问题的基本理论⼀、两类平⾯问题1.平⾯应⼒问题。
这类问题的条件是：弹性体是多厚度的薄板,体⼒、⾯⼒和约束都只有xy 平⾯内的量，都不沿Z向变化；并且⾯⼒和约束只作⽤于板边，在板⾯上没有任何⾯⼒和约束的作⽤。
平⾯应⼒问题特征是：⑴由于板⾯上⽆⾯⼒和约束作⽤，以及薄板很薄，可以得出（σz，τzx和τxy）=0（在平⾯域A内）。
因此，只有σx，σy，τxy三个平⾯内的应⼒分量。
⑵由于物体形状和外⼒、约束沿z向均不变化，因此应⼒分量只是X，y两变量的函数。
以后还可从物理⽅程得出，应变分量也只是X，y的函数；⽽从⼏何⽅程积分求位移可见，位移与Z有关。
归纳起来讲，所谓平⾯应⼒问题，就是只有平⾯应⼒分量（σx，σy和τxy）存在，且仅为X，y的函数的弹性⼒学问题。
例如，厚度较薄的浅梁和深梁，受上部荷载及⾃重的墙，以及有分缝的重⼒坝等，都属于平⾯应⼒问题，凡是符合上述这两点的问题，均属于平⾯应⼒问题。
2.平⾯应变问题这类问题的条件是：弹性体为常截⾯的很长柱体，体⼒、⾯⼒和约束条件与平⾯应⼒问题相似，只有xy平⾯内的体⼒、⾯⼒和约束的作⽤，且都不沿z向变化。
这个问题可以简化为平⾯应变问题。
平⾯应变问题特征是：⑴假想柱体为⽆限长时，则任⼀截⾯（z⾯）都是对称⾯，于是ω=0，只有平⾯位移分量u和v存在，因此，此问题可称为平⾯位移问题；同样由于对称性，εz =0和γzx，γzy=0（相应的τzx，和τzy=0），只有平⾯应变分量εx ，εy, τxy存在，所以此问题⼜称为平⾯应变问题。
⑵由于截⾯形状、体⼒、⾯⼒及约束沿z向均不变，因此，它们只是X，y 的函数。
由此可见，所谓平⾯应变问题，就是只有平⾯应变分量（εz ，εy和τxy，）存在，且仅为x，y的函数的弹性⼒学问题。
进⽽可认为，凡是符合这两点的问题，也都属于平⾯应变问题。
⼆、平衡微分⽅程平衡微分⽅程表⽰区域内任⼀点（x，y）的微分体的平衡条件。
弹塑性力学第六章
26
§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
2019/10/28
27
§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
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1
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
1.1 平面应力问题
受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
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7
§6-1平面问题的分类
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
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35
弹性力学 第二章平面问题的基本理论
体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4
弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
弹性力学_第6章_平面问题的变分法
x
对于其余各项也进行同样的处理，则
U l x m xy u l xy m y v dS x xy xy y u v dxdy
A
x
将上列两方程中的应力分量通过物理方程用形变分量 表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化后即 得：
E 2 A 1 E 2 A 1
2u 1 2u 1 2 v 2 X um dxdy 0 2 2 y 2 xy x 2 v 1 2 v 1 2u Y vm dxdy 0 2 2 2 x 2 xy y
E
三
外力势能
弹性体在域 A 所受的体力 X , Y 和边界 S 所受的 面力 X , Y ，在实际位移上所做的功，称为外力功。
W
A
( X u Yv)dxdy
S
( X u Yv)ds
将外力能做功的状态看作是具有能做功的势能。 所以，外力功等于外力势能的减小。将无位移的状态 下的势能作为零势能状态，则外力势能为
U X u Y v dxdy
A S
X u Y v ds
这个方程就是所谓位移变分方程。其中X,Y为体力分 量， X , Y 为面力分量。
三
极小势能原理 由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中， 外力的大小和方向可以当做保持不便，只是作用点有 了改变。利用变分的性质，位移变分方程可改写为：
1 U1 x x y y xy xy 2
比能用应力分量表示
U1 1 2 2 2 x 2 2 1 y x y xy 2E
弹性力学-第二章
(a)
(b)
y
o
z
a
b
x
(c) 刚性槽
2.平面问题的应力边界条件 设在S 部分边界上给定了面力分量 f x ( s) 和 f y ( s) ， 则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力 与面力之间的关系式。
0 o y P y
tyx txy
x
B
y
fx
A
x
P
x
fy
fx
n
fy
f
斜面上的应力
由式 (2-3)
x=-b为负x 面
l cos n, x cos180 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xb f x , (t xy ) x b f y
n
b a x
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
应力边界条件的两种表达式： （1）公式写法 公式写法通常只用于 边界为非坐标面时
x=a为正x 面
l cos n, x cos 0 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xa f x , (t xy ) xa f y
b a x
n
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
当边界面为坐标面时
(l x mt xy ) s f x ( s) (m y lt xy ) s f y ( s)
( 2) 斜边 y x tan
l cos n, x cos 90 sin
m cos n, y cos
弹性力学平面问题总结
P
思考题
① 试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是
1 2 v x u . y
② 当应变为常量时，x=a, y=b, xy=c, 试 求对应的位移分量。
第二章 平面问题的基本理论
2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 物理方程
物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间
z
x
y
z
x
y
xy
zx
zy
1 G 1 G 1 G
xy ,
xy
) E
0,
xy ,
zx ,
zx
zy .
zy
0.
物理方程
平面应力问题的物理方程：
x
y
1 E 1 E 2(1
x
y
, ,
y
x
) E
xy
xy .
此外， z
E
x
y
,
zx
zy
0.
平面应力问题，虽然 σz=0，但一般 εz≠0。
物理方程
平面应变问题： z
0,
(在V 中)
xy 存在。
故只有平面应力 σx , σy ,
平面应力问题
(2) 由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变， 故应力 x , y , xy 仅为 f x , y 。
所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 x , y , xy 存在；
b.且仅为 f x , y 。
几何方程
平面问题中的几何方程：
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u . y
当弹性体的位移分量完全确定时，应变分 量即完全确定。反之，当应变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。
8-弹性力学-第6章6-1至6-6---用有限单元法求平面问题1-6
yj , ym
bi 1 0 2A ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
1 yj bi , 1 ym ci 1 xj 1 xm , (i, j , m)
ε(
u v v u T ) x y x y ui vi 0 uj cm Bδe . a vj bm um v m
1、结构的离散化； 2、单元分析； 3、整体分析。
1. 结构离散化
• 结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元 (杆件)之间除结点铰结外，没有其他联系(图(a))。
(c) 深梁（离散化结构）
弹力研究的对象，是连续体(图(b))。 • 将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有 限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用 绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。
上堂课第五章主要内容
差分公式及 应力函数的差分解
应力函数差分解的实例 最小势能原理 位移变分方程及位移变分法
本堂课
第六章 有限单元法解平面问题 （一）
6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 6-2 有限单元法的概念
6-3 单元的位移模式与解答的收敛性 6-4 单元的应变列阵和应力列阵
6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵 6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
u 1 2 x 3 y, v 4 5 x 6 y。
由此可列出6个方程式，联立可求出
a
插值公式(a)在结点 xi , yi (i, j, m) 应等于结点位移值 ui , vi (i, j, m) 。
1 ~ 6
将式(a)按未知数 ui , vi ,归纳为:
《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论
o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z
E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x
弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答
界条件即可。平面问题的静力边界条件为：
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。
因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是，当所考察的物体（结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维）问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。
1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6。
1—1)1。
2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1—2） 由式(6。
1—2)可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 （6.1—3） 1。
3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6。
1—4a ） 或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。
弹性力学中的平面问题
设任意点P的位移为：
u ( x, v( x,
y) y)
点A的位移为：uv((xx,,
dx
xy
xy
x
dx
x
x x
dx
yx y
o
x
平衡方程
?
平面问题的静力平衡方程：
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
注：未知数三个：x 、y 、xy=yx
?
§3.5 平面问题的几何方程
目标：建立形变分量与位移分量之间的关系
物体内任意一点P，沿x和y轴方向取微小长度PA=dx、PB=dy，变形后点P、A、 B移动到P’、A’、B’，
x
dx
x
x
x
dx
o
x
力平衡
?
1、力矩平衡：Mc=0
( xy
xy
x
dx) dy
dx 2
L xy
dy
dx 2
L
y
x
(
yx
yx
y
dy) dx
dy 2
L
yx
dx
dy 2
L
0
xy
Q
o
xy
1 2
xy
x
dx
yx
1 2
yx
y
dy
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
c dy
dx
xy
xy
Q
F
V p
体力的量纲是[力][长度]-3
o
y
x
?
2、面力： 是分布在物体表面上的力。如流体力、接触力
平面问题基本理论
Differential Equations of Equilibrium
几何方程 物理方程
再考虑边界条件(Boundary 求出所有未知量。
（3个） （3个）
Conditions )，即可
Geometrical Equations Physical Equations
边界条件分为位移边界条件、应力边 界条件和混合边界条件。 边值问题的求解： 位移法－位移为基本未知量 应力法－应力为基本未知量 混合法－一部分位移和一部分应力为基 本未知量。
The remaining stress components x ，y，xy， may be considered to be functions of x、y only，such a problem is called a plane stress problem.
平面应力问题有那些应变分量和位移分量？
2.2
解的叠加原理及解的惟一性定理
1 解的叠加原理 在小变形和线弹性情况下，作用在物体 上的几组荷载产生的总效应等于每一组 荷载单独作用的效应总和。
1 解的惟一性定理（Kirchhoff)定理 在给定的荷载作用下处于平衡状态的弹 性体，其内部各点的应力、应变的解是 惟一的，如果刚体位移受到约束，则位 移解也是惟一的。
According to Boundary Conditions，elasticity problems are classified as displacement boundary problems， stress boundary problems， mixed boundary problems.
应力分量：x、y、z、xy、xz、yz
应变分量：x、y、z、xy、xz、yz
几何方程 物理方程
再考虑边界条件(Boundary 求出所有未知量。
（3个） （3个）
Conditions )，即可
Geometrical Equations Physical Equations
边界条件分为位移边界条件、应力边 界条件和混合边界条件。 边值问题的求解： 位移法－位移为基本未知量 应力法－应力为基本未知量 混合法－一部分位移和一部分应力为基 本未知量。
The remaining stress components x ，y，xy， may be considered to be functions of x、y only，such a problem is called a plane stress problem.
平面应力问题有那些应变分量和位移分量？
2.2
解的叠加原理及解的惟一性定理
1 解的叠加原理 在小变形和线弹性情况下，作用在物体 上的几组荷载产生的总效应等于每一组 荷载单独作用的效应总和。
1 解的惟一性定理（Kirchhoff)定理 在给定的荷载作用下处于平衡状态的弹 性体，其内部各点的应力、应变的解是 惟一的，如果刚体位移受到约束，则位 移解也是惟一的。
According to Boundary Conditions，elasticity problems are classified as displacement boundary problems， stress boundary problems， mixed boundary problems.
应力分量：x、y、z、xy、xz、yz
应变分量：x、y、z、xy、xz、yz
第6章弹性力学的平面问题
2
2
+
∂y
2
4
=0
有
x d f d f1 d f2 d f + x 4 + 4 +2 2 = 0 4 2 dy dy dy dy
4
值上式都满足， 由于对于任何 x值上式都满足，所以各次 幂的系数都应为零 即
x
d4 f d4 f1 d4 f2 d2 f = 0, = 0, +2 2 = 0 4 4 4 dy dy dy dy
2 2 2
本构方程
τxy 1 ' εx = （ x − µσy） εxy = σ ' E 2G 1 ' εy = （ y − µσx） σ ' E
材料常数
E ’ E = E 1− µ2
平 应 面 力 平 应 面 变
µ ’ µ = µ 1− µ
平 应 面 力 平 应 面 变
代入平面问题本构方程可以得到： 将 ϕ代入平面问题本构方程可以得到： ∂2ϕ ∂2ϕ εx = E ’ 2 −µ ’ 2 y ∂ x ∂
εy εxy
∂2ϕ ∂2ϕ =E ’ 2 −µ ’ 2 x ∂ y ∂ 1 ∂2ϕ =− ⋅ 2 G ∂ ∂ x y
将上式代入应变协调方程
6.3 平面问题应力函数
在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为： 在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为：
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y
由平衡方程有
∂ τ yx ∂σ y ∂ τ xy ∂σ x =− (1) =− (2) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂A ∂A =σx =− yx τ 引入 ∂y ∂x
2
+
∂y
2
4
=0
有
x d f d f1 d f2 d f + x 4 + 4 +2 2 = 0 4 2 dy dy dy dy
4
值上式都满足， 由于对于任何 x值上式都满足，所以各次 幂的系数都应为零 即
x
d4 f d4 f1 d4 f2 d2 f = 0, = 0, +2 2 = 0 4 4 4 dy dy dy dy
2 2 2
本构方程
τxy 1 ' εx = （ x − µσy） εxy = σ ' E 2G 1 ' εy = （ y − µσx） σ ' E
材料常数
E ’ E = E 1− µ2
平 应 面 力 平 应 面 变
µ ’ µ = µ 1− µ
平 应 面 力 平 应 面 变
代入平面问题本构方程可以得到： 将 ϕ代入平面问题本构方程可以得到： ∂2ϕ ∂2ϕ εx = E ’ 2 −µ ’ 2 y ∂ x ∂
εy εxy
∂2ϕ ∂2ϕ =E ’ 2 −µ ’ 2 x ∂ y ∂ 1 ∂2ϕ =− ⋅ 2 G ∂ ∂ x y
将上式代入应变协调方程
6.3 平面问题应力函数
在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为： 在平面问题中，当忽略体力时，平衡方程可简化为：
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + =0 ∂x ∂y
由平衡方程有
∂ τ yx ∂σ y ∂ τ xy ∂σ x =− (1) =− (2) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂A ∂A =σx =− yx τ 引入 ∂y ∂x
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
弹性力学基本理论及平面问题的求解
在P点的面力 分量.以沿着坐标轴正向为正;沿着坐
》 标轴负向为负. 它的量纲( dimension)是L-1MT-2.
2
4. 内力、平均应力和应力
（1）内力ΔF ：是物体本身内部不
同部分之间相互作用的力；
《
《弹 性 土力 学
（2）平均应力p：设作用在包含P点
某一个截面mn上的单元面积ΔA 上
的内力为ΔF ，则ΔF/ΔA 称为ΔA 上
切应力τ：应力在作用截面切线方向的分量。
《弹 性 土力 学
6．正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正 平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长 度分别为dx, dy, dz.正平行六面体应力
力与
学》有 限 元
》
ij
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
4
(1) 应力的表示
》
9
2.2 弹性力学平面问题的直角坐标解答
两类平面问题
《
《弹 性 土力 学
• 平面应变问题 • 平面应力问题
力与
学》有 限 元
》
10
平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上
受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束。同时,
《
《弹 性
体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
土力 学 力与
《
《弹 性
正应力用σ表示. 它的下标表示作用方向.如σx 表示正应 力沿着 x 方向;剪应力用 τ表示, 它有两个下标, 例如τxy 表示 剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向.
土力 学 力与 学》有 限 元
(2)应力的符号 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向, 这个面就称
》 标轴负向为负. 它的量纲( dimension)是L-1MT-2.
2
4. 内力、平均应力和应力
（1）内力ΔF ：是物体本身内部不
同部分之间相互作用的力；
《
《弹 性 土力 学
（2）平均应力p：设作用在包含P点
某一个截面mn上的单元面积ΔA 上
的内力为ΔF ，则ΔF/ΔA 称为ΔA 上
切应力τ：应力在作用截面切线方向的分量。
《弹 性 土力 学
6．正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正 平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长 度分别为dx, dy, dz.正平行六面体应力
力与
学》有 限 元
》
ij
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
4
(1) 应力的表示
》
9
2.2 弹性力学平面问题的直角坐标解答
两类平面问题
《
《弹 性 土力 学
• 平面应变问题 • 平面应力问题
力与
学》有 限 元
》
10
平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上
受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束。同时,
《
《弹 性
体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
土力 学 力与
《
《弹 性
正应力用σ表示. 它的下标表示作用方向.如σx 表示正应 力沿着 x 方向;剪应力用 τ表示, 它有两个下标, 例如τxy 表示 剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向.
土力 学 力与 学》有 限 元
(2)应力的符号 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向, 这个面就称
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l2 cos( N , y) cos
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
滚柱
厚壁圆筒
x
z 1
任取一横截面（与 z 无关）， b 因无限长，可视为对称面，则其 上任一点w 0。仅存u、v，且与 z 无关。 所以
由物理方程
显然
只与x、y有关。 可由 表出
所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。
即 但 （3）位移分量 通过几何方程分析 由 可知： u、v仅为x、y的函数
当为理想平面应力问题（t 0）时，
若为稳定平衡（不发生翘曲）， 则 w 0 当为广义平面应力问题（t 0）时， 由
（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解
是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条
件，才是唯一正确解。
例6-1 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变 场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场 与位移可能应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 （1） x x y ， y y ， xy xy 3； 2 4
比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？
四. 应力法
仿Beltrami-Michell位移方程推导
平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为
Fbx Fby ( x y ) (1 ) x y 平面问题的平衡微分方程为 x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
l1 cos 2 cos 1 sin 1 l2
x y xy 0
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
例6-4 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。 左侧面： x h l1 1, l2 0 代入应力边界条件公式
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
三. 两种平面问题物理方程的关系
根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程 对于平面应力问题，由z 0
对于平面应变问题，由 z xy)
与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题
2
u v w G v ( G ) Fb y 0 y x y z
2
G 、 E 、
E 2 2u 1 2u 1 2 v Fbx 0 2 2 2 2 y 2 xy 1 2 x E 2 2 v 1 2 v 1 2u Fby 0 2 2 2 2 x 2 xy 1 2 y
一. 平面应力问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸小得多。
b x t y a y z
t a ， t b
—— 等厚薄平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 2. 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚 度方向（z方向）不变化。 3. 简化分析 （1）应力分量 如图选取坐标系，以板的中 面为xy平面，垂直于中面的任一 直线为z轴。
§6-2
平面问题的基本解法
一. 平面问题基本方程
1. 平衡微分方程
x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
2. 几何方程
u x 应变协调方程 v y y v u xy x y
x
x 2 2 xy y x
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 无面力作用。即
px p y 0 AB 边界： l1 cos 1 , l2 sin 1
由应力边界条件公式，有
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
2
2 y
2 xy
3. 物理方程
或
当为平面应变问题时，E1E、1 。
二. 边界条件
1. 位移边界条件 2. 应力边界条件
u S u
v S v
( x ) S l1 ( yx ) S l2 px ( xy ) S l1 ( y ) S l2 p y
式（b）满足相容方程，∴（b）为位移可能的应变分量。
例6-2
如图所示，试写出其边界条件。
p(x) A
(1) AB段（y 0）： l1 0, l2 1 代入边界条件公式，有
p0
B
x px 0, p y p( x) p0 l
N l C
x
h
x 0 xy (1) 0 y (1) yx 0 p( x)
3 3
—— 满足
式（a）是静力可能的应力场
将式（a）代入相容方程： 2 2 2 3 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 ( y y ) 2 2 ( x y y ) 3 y 3x 3 y 0 4 y 2 y x x ∴ 式（a）不是一组实际可能的应力场。
可见，w可由u、v表出； 且因 t 很小， w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。
（4）结论
平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。 即
但
简化的主要依据是
二. 平面应变问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。
平面问题用位移表示的应力边界条件
E 1 2 E 1 2平面 Nhomakorabea题的位移边界条件
u v 1 u v l1 l2 p x x y S 2 y x S v u 1 v u l1 l2 p y y x S 2 x y S
2
（平面应变用1替换）
平面问题的应力边界条件
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
平面问题的位移边界条件
(u ) Su u ( v) Su v
问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题
说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。
2 2 2 xy y x （2） 将式（b）代入应变表示的相容方程： 2 2 xy y x 2 2 2 xy 2 x y xy 2 y 2 x 2 2C 2C 0 2C 2C 0 2 2 2 xy xy y y x x
第六章
§6-1
弹性力学平面问题
平面问题的概念
§6-2
§6-3
平面问题的基本解法
应力函数与应力函数解法
§6-4
§6-5
平面问题在直角坐标系下求解
平面问题在极坐标系下求解
§6-1
平面问题的概念
应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3 类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则 将该类问题称为平面问题。 平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的 二维问题。 弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。
x cos 1 xy sin 1 0
y sin 1 xy cos 1 0
（ 1）
（ 2）
x cos 1 xy sin 1 0 y sin 1 xy cos 1 0
AC 边界：
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
b x t y a y z
z z t
板面无面力，则
zx z t
2
0 因板很薄，且外力
0
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的 0 各点都有：
2
zy z t 2
由切应力互等定理 因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。 故认为各应力分量与z无关 所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。 即 （2）应变分量
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
滚柱
厚壁圆筒
x
z 1
任取一横截面（与 z 无关）， b 因无限长，可视为对称面，则其 上任一点w 0。仅存u、v，且与 z 无关。 所以
由物理方程
显然
只与x、y有关。 可由 表出
所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。
即 但 （3）位移分量 通过几何方程分析 由 可知： u、v仅为x、y的函数
当为理想平面应力问题（t 0）时，
若为稳定平衡（不发生翘曲）， 则 w 0 当为广义平面应力问题（t 0）时， 由
（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解
是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条
件，才是唯一正确解。
例6-1 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变 场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场 与位移可能应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 （1） x x y ， y y ， xy xy 3； 2 4
比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？
四. 应力法
仿Beltrami-Michell位移方程推导
平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为
Fbx Fby ( x y ) (1 ) x y 平面问题的平衡微分方程为 x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
l1 cos 2 cos 1 sin 1 l2
x y xy 0
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
例6-4 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。 左侧面： x h l1 1, l2 0 代入应力边界条件公式
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
三. 两种平面问题物理方程的关系
根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程 对于平面应力问题，由z 0
对于平面应变问题，由 z xy)
与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题
2
u v w G v ( G ) Fb y 0 y x y z
2
G 、 E 、
E 2 2u 1 2u 1 2 v Fbx 0 2 2 2 2 y 2 xy 1 2 x E 2 2 v 1 2 v 1 2u Fby 0 2 2 2 2 x 2 xy 1 2 y
一. 平面应力问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸小得多。
b x t y a y z
t a ， t b
—— 等厚薄平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 2. 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚 度方向（z方向）不变化。 3. 简化分析 （1）应力分量 如图选取坐标系，以板的中 面为xy平面，垂直于中面的任一 直线为z轴。
§6-2
平面问题的基本解法
一. 平面问题基本方程
1. 平衡微分方程
x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
2. 几何方程
u x 应变协调方程 v y y v u xy x y
x
x 2 2 xy y x
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 无面力作用。即
px p y 0 AB 边界： l1 cos 1 , l2 sin 1
由应力边界条件公式，有
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
2
2 y
2 xy
3. 物理方程
或
当为平面应变问题时，E1E、1 。
二. 边界条件
1. 位移边界条件 2. 应力边界条件
u S u
v S v
( x ) S l1 ( yx ) S l2 px ( xy ) S l1 ( y ) S l2 p y
式（b）满足相容方程，∴（b）为位移可能的应变分量。
例6-2
如图所示，试写出其边界条件。
p(x) A
(1) AB段（y 0）： l1 0, l2 1 代入边界条件公式，有
p0
B
x px 0, p y p( x) p0 l
N l C
x
h
x 0 xy (1) 0 y (1) yx 0 p( x)
3 3
—— 满足
式（a）是静力可能的应力场
将式（a）代入相容方程： 2 2 2 3 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 ( y y ) 2 2 ( x y y ) 3 y 3x 3 y 0 4 y 2 y x x ∴ 式（a）不是一组实际可能的应力场。
可见，w可由u、v表出； 且因 t 很小， w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。
（4）结论
平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。 即
但
简化的主要依据是
二. 平面应变问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。
平面问题用位移表示的应力边界条件
E 1 2 E 1 2平面 Nhomakorabea题的位移边界条件
u v 1 u v l1 l2 p x x y S 2 y x S v u 1 v u l1 l2 p y y x S 2 x y S
2
（平面应变用1替换）
平面问题的应力边界条件
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
平面问题的位移边界条件
(u ) Su u ( v) Su v
问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题
说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。
2 2 2 xy y x （2） 将式（b）代入应变表示的相容方程： 2 2 xy y x 2 2 2 xy 2 x y xy 2 y 2 x 2 2C 2C 0 2C 2C 0 2 2 2 xy xy y y x x
第六章
§6-1
弹性力学平面问题
平面问题的概念
§6-2
§6-3
平面问题的基本解法
应力函数与应力函数解法
§6-4
§6-5
平面问题在直角坐标系下求解
平面问题在极坐标系下求解
§6-1
平面问题的概念
应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3 类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则 将该类问题称为平面问题。 平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的 二维问题。 弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。
x cos 1 xy sin 1 0
y sin 1 xy cos 1 0
（ 1）
（ 2）
x cos 1 xy sin 1 0 y sin 1 xy cos 1 0
AC 边界：
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
b x t y a y z
z z t
板面无面力，则
zx z t
2
0 因板很薄，且外力
0
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的 0 各点都有：
2
zy z t 2
由切应力互等定理 因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。 故认为各应力分量与z无关 所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。 即 （2）应变分量