高一数学人教版A版必修二：4.3.1 空间直角坐标系

解析答案
5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直 棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|. 试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标. 解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1 为x轴、y轴、z轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 依题设， B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、
BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝ 1 4
|CD|，H为C1G的中点，试建立适
当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.
解析答案
类型二 已知点的坐标确定点的位置 例2 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6). 解 方法一 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位， 第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位， 第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P. 方法二 以O为顶点构造长方体， 使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上， 且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.
答案
3.空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用 有序实数组(x，y，z)来表示，有__序__实__数__组__(x_，__y_，__z_) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 (x，y，z)，其中 x 叫做点M的
横坐标， y 叫做点M的纵坐标， z 叫做点M的竖坐标.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 求空间点的坐标 例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5， |AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.
解析答案
(2)在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系. ①写出四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标； ②写出棱PA的中点M的坐标.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知点P(2,3，－1)，求： (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； 解 设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′， 则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同， 而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数. 所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1). 同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为 (－2,3，－1)，(2，－3，－1).
解析答案
(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；
解 设点P关于x轴的对称点为Q，
则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，
而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的
坐标互为相反数.
所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1).
同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于( A )
A.xOz平面内
B.yOz平面内
C.y轴上
D.z轴上
解析 因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内.
解析答案
类型三 空间中点的对称问题 例3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标. 解 过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1). 过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B， 使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)， ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)， 关于x轴对称的点为B(1，－2,1).
(－2,3,1)，(－2，－3，－1).
(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.
解 点P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1).
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达标检测
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1.点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( D )
A. a2＋b2
B.|a|
C.|b|
D.|c|
解析 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.
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解析答案
规律与方法
1.空间中确定点M坐标的三种方法： (1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标， 再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标. (2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的 位置，可以确定点M的坐标. (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或 坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标.
2.求空间对称点的规律方法 (1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
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►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
第四章 § 4.3 空间直线坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
学习目标
1.了解空间直角坐标系的建系方式； 2.掌握空间中任意一点的表示方法； 3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点 空间直角坐标系
思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标 系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意 一点的位置，需要几个实数？ 答案 三个. 思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？ 答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直.
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
答案
1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长 度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个 空间直角坐标系Oxyz . (2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴，通过 每 两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向 y轴 的正 方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射 影的点的坐标是_(_0_,2_，__－__3_)_. 解析 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知， 点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3).
解析答案
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4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_(_1_,_1_，__－__1_) __；点P1关于 z轴的对称点P2的坐标为_(－__1_，__－__1_，__－__1_)__. 解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)， 点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，－1).
解析答案
2.点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是( C )
A.(4,2,2)
B.(2，－1,2)
C.(2,1,1)
D.(4，－1,2)
解析 设点P与Q的中点坐标为(x，y，z)，
1＋3
4－2
Hale Waihona Puke Baidu
－3＋5
则 x＝ 2 ＝2，y＝ 2 ＝1，z＝ 2 ＝1.
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解析答案
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