专训1 用二次函数解决问题的四种类型(4)

专训1 用二次函数解决问题的四种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．

建立平面直角坐标系解决实际问题

拱桥(隧道)问题

1．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B 和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分1为一段抛物线，最高点C离路面1的距离为8

m，点B离路面1的距离为6 m，隧道宽1为16 m.

(1)求隧道拱部分1对应的函数解析式．

(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．

(第1题)

建筑物问题

2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( )

(第2题)

A．50 m

B．100 m

C．160 m

D．200 m

物体运动类问题

3．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B.有人在直线上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知＝4米，＝3米，网球飞行最大高度＝5米，圆柱形桶的直径为

0.5米，高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．

(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？

(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？

(第3题)

建立二次函数模型解决几何最值问题

利用二次函数解决图形高度的最值问题

(第4题)

4．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为米．

利用二次函数解决图形面积的最值问题

5．如图所示，正方形的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边，运动，与△相应的△在运动过程中始终保持△≌△，B，E，C，G在一条直线上．

(1)若＝a，求的长．

(2)当E点在边上的什么位置时，△的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．

(第5题)

建立二次函数模型解决动点探究问题

6．如图所示，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，

0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线的距离最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离．

(第6题)

建立二次函数模型作决策问题

几何问题中的决策

7．如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的一边为x m，面积为S m2.

(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．

(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，的长是多少米？

(3)能围成面积比45

m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

(第7题)

实际问题中的决策

8．【2016·武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品每件售价

(万元)

每件成本

(万元)

每年其他

费用(万元)

每年最大产

销量(件)

甲 6 a 20 200

乙20 10 40＋0.05x280

其中a为常数，且3≤a≤5.

(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；

(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

答案

(第1题)

1．解：(1)由已知得＝1＝8 m，＝8 m，＝6 m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线1对应的函数解析式为y＝2＋8，将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－，所以y＝－x2＋8(－8≤x≤8)．

(2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2

m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作⊥1于点E.当x＝2时，y＝－×22＋8

＝7，

即，所以＝7 m.

因为7＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．

2．C

(第3题)

3．解：(1)以点O为原点，所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图的直角坐标系，则有M(0

，5)，B(2，0)，C(1，0)，.设抛物线的解析式为y＝2＋c，由抛物线过点M和点B，可得a＝－，c＝5.故抛物线的解析式为y＝－x2＋5.当x＝1时，y＝；当x＝时，y＝.故，两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝(米)．∵＜且＜，∴网球不能落入桶内．

(2)设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得≤0.3m≤，解得7≤m ≤12.

∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12.

∴当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．

4．0.5

5．解：(1)连接，∵△≌△，∴＝，＝，∠G＝∠，

∴＝，∥，∴四边形是平行四边形，∴ ，

∴∠＝∠＝90°.由题意可知，＝＝a.在△中，＝3a－a＝2a，＝a，

∴＝＝a.

(2)设＝x，△的面积为y.

依题意，得y＝S△＋S梯形－S△＝×3a×(3a－x)＋(3a＋x)x－×3a×x，