2020-2021年高二数学暑期作业(4)

2019-2020年高二数学暑期作业（4）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应
．．．．．
位置上
．．．．
1．设集合则▲．
2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____▲____．3．计算复数＝▲（为虚数单位）．
4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是▲．
5．若，则的最小值是___▲______.
6．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则.
其中正确命题的序号是▲．
7．已知满足约束条件
10
10
x y
x y
x
+-≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≥
⎩
,则的最大值为▲ .
8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是____▲____.
9．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____▲____．10．若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为▲ .
11．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲ .
12．已知函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心
为，……，由此推测函数1111
12
y x
x x x n
=++++
+++的图像的对称中心为 ▲ ．
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝
0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．
14．已知是锐角的外接圆圆心，，
cos cos 2sin sin B C
AB AC m AO C B
⋅+⋅=⋅，
则 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分14分）
如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E 是AB 的中点． （I ）求证：平面；
（II ）若，求证：．
E
O
C 1
A 1
B 1
C
B
A
16．(本小题满分14分) 已知函数()()sin 0,4f x x x R πωω⎛⎫
=-
>∈ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为. （I ）求.
（II ）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数在区间上的图象,并根据图象写出其在上的单调递减区间.
17. (本小题满分14分)
光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。

强度分别为a,b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，在连结两光源的线段AB （不含端点）上有一点P ，设PA=，P 点处的“总照度”等于各照度之和。

（I ）若a =8，b =1，d =3，求点P 的“总照度”的函数表达式; （II ）在（1）问中，点P 在何处总照度最小？
18．(本小题满分16分)
已知椭圆的左顶点为，点，为坐标原点．
（I）若是椭圆上任意一点，，求的值；
（II）设是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
（Ⅲ）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
19．(本小题满分16分)
设数列的首项为常数，且．
（I）若，证明：是等比数列；
（II）若，中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．（Ⅲ）若是递增数列，求的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知函数.
（I）求函数在区间上的最值；
（II）若
x mx
m
x
f
x
g
ln 4
4
)
(
)
(2-
+
=(其中m为常数)，且当时，设函数的3个极值点为a,b,c,且a<b<c,证明：0<2a<b<1<c，并讨论函数的单调区间（用a，b，c表示单调区间）
高二数学暑假作业（四）参考答案
1、 2、150人 3、 4、 5、7 6、①③ 7、2 8、283 9、 10、11、 12、 13、2 14、
15．证明：（Ⅰ）连结．
∵侧面是菱形，与交于点∴为的中点
∵E是AB的中点∴；………………3分
∵平面，平面∴平面
………………7分
（Ⅱ）∵侧面是菱形∴
∴平面………………12分∵平面∴．………………14分E
O
C1
A1
B1
C
B
A
16.(Ⅰ)由题意：
2,2,()sin(2)4
f x x π
π
πωω=∴=∴=-…………2分 62
()sin()634
f πππ
-∴=-=
…………4分 (Ⅱ)因为所以…………6分
…………8分
图像如图所示：
…………12分
由图像可知在区间上的单调递减区间为。

…………14分 17、（Ⅰ） …………4分 ……………………6分
（Ⅱ）23333
16218(2)(612)
'()(3)(3)x x x I x x x x x --+=-+=
--……………………8分 令I ’（x ）=0,解得：x=2……………………10分 列表：
……………………12分
因此，当x=2时，总照度最小。

……………………14分
18、解：（Ⅰ）()22,OP mOA nOB m n m n =+=-+，得…………2分 ，即………………4分
（Ⅱ）设，则()()6,2,QS QR x y x y ⋅=-----
()()()()2
2
626214
x x x y x x =-++=-++-
………………6分
∴ 当时，最大值为；
当时，最小值为；
即的取值范围为………………10分 （Ⅲ）（解法一）由条件得，，
平方得22222212121216(4)(4)x x y y x x ==--,
即………………12分
=
故的面积为定值………………16分
（解法二）①当直线的斜率不存在时，易得的面积为………………12分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
()()2
22221
1484104
x y k x ktx t y kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩
由，可得()2121222
418,1414t kt
x x x x k k --+==
++， ()()()22
2
2
121212122
414t k y y kx t kx t k x x kt x x x t k -=++=+++=+………………14分
又，可得 因为，
点到直线的距离
121
22OMN
t S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-
12t == 综上：的面积为定值1………………16分
19、证明：（Ⅰ）因为()()1
11352135
++-
=--n n n
n a a ，所以数列是等比数列；……4分 （Ⅱ）是公比为－2，首项为的等比数列．
通项公式为1
113339(2)(2)55510
n n n n n a a --⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭， …………………6分
若中存在连续三项成等差数列，则必有，
即121
1)2(10
953)2(10953])2(10953[2++-+-++-+=-+n n n n n n 解得，即成等差数列． ………………………………………8分
（Ⅲ）如果成立，即11113333(2)(2)5555n n n
n a a +-⎛⎫⎛⎫+-->+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对任意自然数均成立．
化简得 ………………10分
当为偶数时,
因为是递减数列，所以，即；…12分 当为奇数时，,因为是递增数列，
所以，即；………………………………………14分
故的取值范围为． …………………………………………………16分 20、（Ⅰ）……………………………………………2分 令解得，列表：
…………………………………………………………………4分 所以函数在上单调递减，在上单调递增。

实用文档
124()2,()()f e e f e f e e ===>，所以函数的最大值为，最小值为。

…………………………………………………8分
（Ⅱ）由题意：
令
，可以得到函数在上单调递减，在上单调递增。

…………………………………………………………10分
因为函数的3个极值点，
又min ()()2ln 10,(2)2ln 20,(1)210.h x h m m h m m h m ==+<=<=-<
从而函数的三个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，
因为3个极值点为a,b,c,且a<b<c ,所以，所以
故0<2a <b <1<c 。

…………………………………………………14分
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在 上单调递增。

……………………………………16分。