提公因式法
11,2 提公因式法 第一课时七年级数学下册课件(冀教版)
知识点 2 提公因式法分解因式
1. 多项式ma＋mb＋mc 有几项？每一项的因式都有哪
些？这些项中有没有公共的因式？若有，是哪个？
2. 多项式a 2b 2－2a 2b 的两项中，有没有公共的因式？
知识点 1 公因式的定义
我们知道， m (a＋b)＝ma＋mb，反过来，就有 ma＋mb＝m (a＋b).应用这一事实，怎样把多项式2ab ＋4abc 分解因式？
归纳
一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. (1)公因式必须是多项式中每一项都含有的因式． (2)某个或某些项中含有而其他项中没有的因数或因式不能 成为公因式的一部分．
这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
(1)提公因式法就是把公因式提到括号外边与剩下的多 项式写成积的形式．
(2)提公因式法实质上是逆用乘法的分配律． (3)提取公因式就是把一个多项式分解成两个因式积的
形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因 式是多项式除以这个公因式所得的商． (4)提公因式的一般步骤：第一步找出公因式；第二步 确定另一个因式；第三步写成积的形式．
1 多项式8x 2y 2－14x 2y＋4xy 3各项的公因式是( B )
A．8xy
B．2xy
C．4xy
D．2y
2 式子15a 3b 3(a－b)，5a 2b (a－b)的公因式是( C )
A．5ab (a－b)
B．5a 2b 2(a－b)
C．5a 2b (a－b)
D．以上均不正确
3 下列各组式子中，没有公因式的是( B )
提公因式法口诀
提公因式法口诀
以下是五个符合要求的口诀：
《提公因式法口诀一》
一提二看要记清，公因式它要找明。
首先观察多项式，相同部分就是它。
就像寻找好朋友，手牵手儿一起走。
提取出来放前面，后面式子再化简。
大家快来一起练，提公因式不再难。
《提公因式法口诀二》
一提公因式别着急，先把各项仔细瞧。
数字系数也有份，字母相同要抓牢。
指数最小不能忘，如同宝藏要找到。
找到之后提出来，式子变得更美妙。
小朋友们认真学，数学知识轻松搞。
《提公因式法口诀三》
公因式呀要寻找，一找系数公因数，二找字母共有的，三看指数最低的。
就像猎人寻猎物，一个一个不马虎。
找到之后往外提，式子简化真有趣。
学会这个小窍门，数学成绩往上提。
《提公因式法口诀四》
提公因式有妙招，一步一步要记牢。
一看系数能约分，二瞧字母都含啥。
然后确定最低次，公因式就被找到啦。
好像拼图找关键，一块一块拼整齐。
努力练习多尝试，数学难题都跑光。
《提公因式法口诀五》
要想学好提公因式，这个口诀要牢记。
一找公因第一步，相同部分不能漏。
二把公因提出来，剩下式子接着来。
如同拆礼物般妙，层层揭开见分晓。
小朋友们加油干，数学之路光闪闪。
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
提公因式法的概念
提公因式法的概念提公因式法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解。
通过找出多项式中的公因式，并提取出来，可以简化多项式的形式，使之更易于理解和计算。
该方法通常应用于代数运算和解方程等数学问题中。
提公因式法的核心思想是将多项式表达式中的每一项进行因式分解，找出它们之间的公因子，并提取出来。
通过这种方式，可以将多项式分解为更简单的形式，使之更易于处理和分析。
具体应用提公因式法进行因式分解的步骤如下：1.首先，将多项式按照加减号分成多个项，如将3x^2 + 5x -2x^3 + 6按照加减号分成四个项。
2.然后，观察每个项之间是否存在公因子。
公因子是指每一项都能够整除的因子。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，3是第一个项和第四个项的公因子，而x是第一个项和第三个项的公因子。
3.确定了公因子后，将这个公因子提取出来，并将其乘以剩余的部分，得到分解后的形式。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，公因子3可以提取出来，得到3(x^2 + 5/3x - 2x^3/3 + 2)。
4.进一步分解剩余部分的多项式，重复上述步骤，直到无法再分解为止。
提公因式法的优点是可以大大简化多项式的形式，使之更易于处理和计算。
通过找出公因子，并将其提取出来，可以将多项式的求解问题转化为更简单的形式，例如可以将求解方程转化为求解一次方程或二次方程的问题。
此外，提公因式法还可以用于多项式的乘法和约分运算。
在进行多项式的乘法运算时，可以通过提取公因子的方法，将复杂的运算转换为简单的乘法运算。
而在进行多项式的约分运算时，也可以利用公因子提取的方法，将多项式约分为最简形式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式之间存在公因子的情况。
当多项式之间没有公因子时，无法通过提取公因子的方法进行因式分解。
此时，可以尝试其他的因式分解方法，如配方法、二次差分等。
综上所述，提公因式法是一种数学方法，通过找出多项式中的公因子，并将其提取出来，将多项式进行因式分解。
提公因式法 课件
(2)4a2 1 b2 9
(1)16 25 x2
42 (5x)2
=(4+5x)(4-5x)
(2)4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
把一个多项式化为几个整式的乘积的形 式,这就是因式分解.
公因式的概念：
多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b， 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
例如： b是多项式ab+bc各项的公因式。 b是多项式mb²+nb-b各项的公因式。 x是多项式3x²+x各项的公因式。
提公因式法：
(x 5y)(x 5y) ( y 3z)( y 3z)
回顾与思考:
上面运用了那个乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b2
事实上把这个公式反过来 就得到: a2 b2 (a b)(a b)
(1) 多项式x2 25和9x 2 y 2 他们有什么
共同特征?
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
例2 分解因式： (4x 1)2 (3x 1)2
9(a 2b)2 4(a 2b)2
若 x2 y2 44, x y 11, 求 x y 的值
3
3
例2 :把下列各式分解因式
(1)4(m n)2 (m n)2
(2)3x3 12 x
(1)4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
2 提公因式法
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)源自C．5a2b(b－a)D．以上均不正确
新课讲解
知识点2
提公因式法
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ (2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同
伴交流.
新课讲解
确定一个多项式的公因式时，要从__数__字__系__数____ 和___字__母__及__其__指__数_____分别进行考虑 . 数字系数
母最低次幂；
新课讲解
典例分析
例 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (42) 8xy3－
9
27
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
x3y2；
新课讲解
解：(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；
有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因 式是3y.
新课讲解
添括号法则： (1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不
变. (2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改
变符号.
新课讲解
典例分析
例 把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个
因式是( B )
A．a－b
B．a＋b
C．x＋y
D．x－y
分析：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转化为 ＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，由此可确
5
5
因式1 是－
5
ab，那么另一个A因式是( )
A．c－b＋5ac
B．c＋b－5ac
C．c－b＋ 1 ac
5
ac
1D．c＋b－
因式分解———提公因式公式法
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
提公因式法ppt课件
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
提公因式法
⑴提公因式法各项都含有得公共得因式叫做这个多项式各项得公因式。
如果一个多项式得各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积得形式,这种分解因式得方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都就是整数时,公因式得系数应取各项系数得最大公约数;字母取各项得相同得字母，而且各字母得指数取次数最低得;取相同得多项式,多项式得次数取最低得。
如果多项式得第一项就是负得，一般要提出“-”号，使括号内得第一项得系数成为正数。
提出“－”号时，多项式得各项都要变号.口诀:找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守;提负要变号,变形瞧奇偶。
例如：-am+ｂm+ｃm=-m(ａ—ｂ－c）；a(x-y）＋b（ｙ-x)=a（ｘ-y）—b（x—y)＝（x-y)（a—ｂ）。
注意：把2a+1/２变成2(a+1/４）不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：a^2－b^2=（ａ+b）(a－b）；完全平方公式:a^２±2ab+b^2=（a±b）^2；注意:能运用完全平方公式分解因式得多项式必须就是三项式,其中有两项能写成两个数（或式）得平方与得形式,另一项就是这两个数（或式）得积得2倍。
立方与公式：a^3＋b^3＝（a+ｂ）（a^2－ａb＋b^２);立方差公式:a＾3－b^3=（a—ｂ）（a＾２＋ab＋b^2）；完全立方公式：a＾3±3a＾2b＋3ab^2±ｂ＾3=（a±b)^3.公式：a+b+c-３abc=（a＋b+c）(a＋b+c-ａb-bc-cａ）例如：ａ^２+４aｂ+4b^2 ＝(ａ+２b）＾２。
（3）分解因式技巧1、分解因式与整式乘法就是互为逆变形.2、分解因式技巧掌握:①等式左边必须就是多项式;②分解因式得结果必须就是以乘积得形式表示；③每个因式必须就是整式，且每个因式得次数都必须低于原来多项式得次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
【课件】2 提公因式法因式分解(2)
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法一、提公因式法. a 2-b 2=(a+b)(a -b)；a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．二、运用公式法. a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；三、分组分解法. a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+-原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
因式分解—提公因式法
因式分解—提公因式法一、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，也叫做把这个多项式分解因式。
是整式乘法的逆运算。
如：a2-b2=（a+b）(a-b)同类演练一：（1）2m(m-n)=2m2-2mn；（2）x2-2x+1=x（x-2）+1；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）4x2-4x+1=(2x-1)2；（5）3a2+6a=3a（a+2）；（6）m2-1+ n2=（m+1）（n-1）二、提公因式法公因式：多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同的因式叫做各项的公因式。
如：ma+mb+mc 每项都含有m，则m是这个多项式的公因式。
把这个公因式提到括号外面，这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c),即ma+mb+mc= m(a+b+c)。
这种因式分解的方法叫做提公因式法。
（用公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式）。
归纳方法：如何确定多项式各项的公因式？1．定系数：找多项式各项系数的最大公约数．2．定字母：找多项式各项相同的字母．3．定指数：相同字母的最低的次数．同类演练二：1、找出下列多项式的公因式：（1）4ax-8ay；（2）5y3+20y2；（3）a2b-2ab2+ab；（4）-4a3b2-6a2b+2ab；（5）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）．2、因式分解：（1）24a3m-18a2m2；（2）5y2-15y +5；（3）28x3-14x2+7x．3、因式分解：对于首项是带有负号的多项式分解因式，多项式第一项的系数是负数，通常先提出“-”号，且括号内各项都要变号．（1）-7ab+49ab2c；（2）-6ax2+9axy -3a；（3）-2a3b2-ab3c +3abc巩固练习1、将分解因式时，应提取的公因式是( )A.a2B.aC.axD.ay2、因式分解（1）；（2）－12a2b+24ab2；（3）xy－x2y2－x3y3；（4）．2．已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab2．3．若x2＋3x－2＝0，求2x3＋6x2－4x的值．4．先分解因式，再求值：4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3．能力提升5、．因式分解（1）；（2）；（3）；（4）．。
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3
课堂练习三
(1)2a( p q) 3b( p q) (2)2a( y z) 3b( z y) (3)a( y 2 z 2 ) b( y 2 z 2 )
（4）先分解因式，再求值。 3′30″ 4a²（x＋7）－3（x＋7），其中 a=-5， x=3 观察 思考 疑问 作答 引导 分析 强化
1′30″
m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc (乘法的分配律) ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) (因式分解)
观察 回答
3′10″
例 1: 找出 3 x²－6 x 的公因式。 课堂练习一 指出下列各多项式中各项的公因式
分析讲解 引起学生 注意
观察、回 答
公因式是 3x
4′50″
①ax＋ay＋a
②3mx－6nx
课堂练习二 把下列各式分解因式： 2′30″ ⑴ x²＋x
6
；⑵ 8m²n＋2mn；
分析强调 总结
观察 思考 作答 聆听
⑴ x²＋x ＝ x²(1＋x ) ⑵ 8m²n＋2mn＝2mn(4m＋1) ⑶ 12xyz－9x²y² =3xy(4z－3xy)
6
4
⑶ 12xyz－9x2y² 分析强调 1′20″ 例 3：把 2a(b＋c) －3(b＋c)分解因式 观察思考 解： 2a(b+c)－3(b+c) = (b+c)(2a-3) 注意：公因式可以是数字，字母， 也 可以是单项式， 还可以是多 项式。
1′30″
2′10″
有其它的列式算法吗？这两种列式不 一样，但是结果怎么样？
3′20″
如果 m＝36,a＝99,b＝100,c＝101,那 么上面的式子又可以表示成什么呢？
PPT 演示
2
2′30″
ma＋mb＋mc 这个多项式有什么特征？
提出问题 引发学生 思考 引起学生 注意
思考 回答
m 是这个多项式各项都含有的因式. 注意： 公因式是多项式中各项都含有的 公共的因式 。 像这样,将多项式 ma＋mb＋mc 写成 m(a＋b＋c)的形式，这种分解因式 的方法叫做提公因式法。 用提公因式法来分解因式，它的关 键是找到公因式 。
（4）4a²（x＋7）－3（x＋7） ＝（x＋7） （ 4a²－3） 当 a＝－5，x＝3 时， 原式＝（3＋7） 〔4×（－5）²－3〕 ＝10×(100 －3) ＝970
议一议 1′30″ 是不是所有的多项式都可以 用提公因式法来分解因式？ 若不是所有的多项式的都可 以，那你能举些例子出来吗？ 课堂小结：小结与反思 1、什么叫因式分解？ 1′30″ 2、 确定公因式的方法是什么？ 3、提公因式法分解因式步骤有哪些？ 4、提公因式法分解因式应注意的问题 是什么？ 作业： 强化 30″ 课本 P124 习题 14.3 第 1 题;第 4 题的(1);第 5 题（2）（4） PPT 演示 总结、引 起学生注 意 回忆 回答 强化 提高
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些 是因式分解? (1) x²－4y²＝(x＋2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y) ＝2x²－6xy (3) (5a－1)2＝25a²－10a＋1 ； (4) x²＋4x＋4＝(x＋2)² ； (5) (a－3)(a+3) ＝a²－9 (6) m²－4＝(m+2)(m－2) ； (7) 2π R+ 2π r＋ 2π (R+r).
4′30″
（因式分解）
近年来，由于过度采伐森林和破坏植 被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的 侵袭，我国土地沙漠化问题严重，有 3 队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次 植物造林活动。每队都种树 36 行，其 中一队种树 99 列，二队种树 100 列， 三队种树 101 列，完成这次植树活动共 需要多少棵树苗？ 引起学生 注意、激 发学生的 认知需要 并形成学 习期待 提问引起 学生注意 形成学习 期待 提问引起 学生注意 形成学习 期待 36×(99+100+101) 观察 作答 思考 讨论 交流 作答 36×99+36×100+36×101 ＝36×(99+100+101) 观察 作答 36×99+36×100+36×101
²
③4a²b＋10ab² ⑤12x²yz－9x³y² ④x³y²＋x²y³
引导
观察 作答
找公因式的方法： ①系数取各系数 的最大公约数； ②字母取各项的相同字母，而且 各字母的指数取次数最低的。
分析讲解 引起学生 注意 2′30″ 例 2：把 8a³b²＋12ab³c 分解因式 .
观察 思考 聆听
8a³b²+12ab³c =4ab²×2a²+ 4ab²×3bc = 4ab ²× (2a²+ 3bc) 注意： 提公因式后,另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样； ②不再含有公因式。
2′30″
观察“回忆”与“探究”，你能发现它 们之间的联系与区别吗？
观 察 对 比、 回 答
(x＋1)(x－1)
整式乘法
1
(1) x²－4y²＝(x＋2y)(x－2y)； （因式分解） 提问、引 起学生注 意、促进
学生的参 与
(2) 2x(x－3y) ＝2x²－6xy （整式乘法） (3) (5a－1)2＝25a²－10a＋1 ； （整式乘法） 观察、思 （4) x²＋4x＋4＝(x＋2)² ； 考、 讨论、 发现问题 （因式分解） 并作答 (5) (a－3)(a+3) ＝a²－9 （整式乘法） (6) m²－4＝(m+2)(m－2) ； （因式分解） (7) 2π R+ 2π r＝2π (R+r).
教 学 重 难 点
时 间 分 配
教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 教学难点：运用提取公因式法分解因式。
老师的教学行为 （讲解、提问的内容）
技能要素
学生行为 （预想的 问题）
教学媒体板书内容
回忆 运用已学过的知识填空: 3′20″ ⑴ x(x＋1) ＝ ⑵ (x＋1)(x－1) ＝ ⑶ (a＋b)² ＝ 探究 2′40″ ⑴ x²＋x＝ ⑵ x²－1＝ ⑶ a²＝2ab＋b²＝ ; ; . 提问、形 成学习期 待 把一个多项式化为几个整式的乘 积形式，像这样的式子的变形叫做 把这个多项式因式分解，也叫做把 这个多项式分解因式。 因式分解 x²－1 ; ; . ⑴ x²＋x＝ 促进学 生的参与 观察、回 忆并作答 ⑵ x²－1＝ ⑶ a²＝2ab＋b²＝ ; ; . 促进学生 的参与 观察、回 忆并作答 ⑴ x(x＋1) ＝ ⑵ (x＋1)(x－1) ＝ ⑶ (a＋b)² ＝ ; ; .
解： (1)2a( p q) 3b( p q) ( p q)(2a 3b)
(2)2a( y z ) 3b( z y) 2a( y z ) 3b( y z ) (2a 3b)( y z )
(3)a ( y 2 z 2 ) b( y 2 z 2 ) (a b)( y 2 z 2 )
4
板书设计
1、什么是因式分解 因式分解 x-1 整式的乘法 2、什么是公因式 定系数 3、确定公因式的方法 定字母(因式) 定指数 (x+1)(x-1) (x=
4、提公因式法的步骤 5、提公因式法应注意的问题 (1)公因式要提尽 (2)不遗漏 1 项 (3)多项式的首项取正号
5
《提公因式法》微格教学设计
年级：八年级
科目：数学
课题：提公因式解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解并熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法目标：
在教学过程中，体会类比的数学思想，逐步形成独立思考、主动探索的习惯。 情感态度、价值观目标： 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。