分式的概念和性质基础
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
分式和分式的基本性质
分式和分式的基本性质（一）一、知识要点1．分式的意义一般地，如果A﹑B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。
说明：（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起着除号和括号的作用。
（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母中一定要含有字母。
（3）分式的分母不能为0是分式概念的重要组成部分。
2．有理式的概念及分类有理式是整式和分式的统称。
3．分式有意义、无意义、值为零的条件（1）分式AB有意义的条件是：_________________________；（2）分式AB无意义的条件是：_________________________；（3）分式AB值为零的条件是：_________________________。
4．分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示就是______________________________________________________________________。
5．分式的变号法则分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B B B--==-=---。
6．将分数系数化成整数系数分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的数全都化为整数。
7．分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。
8．分式的通分根据分式的基本性质，把几个不同分母的分式化成同分母的分式叫做分式的通分。
说明：（1）最简公分母的概念：异分母通分时，我们常取各分母的系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）求最简公分母的步骤与方法①取各分母系数的最小公倍数；②凡在各分母中出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
分式的概念和性质(基础)
分式的观念战本量（前提）之阳早格格创做【教习目标】1.明白分式的观念，能供出使分式蓄意思、分式偶尔思、分式值为0的条件.2．掌握分式的基赋本量，并能利用分式的基赋本量将分式恒等变形，从而举止条件估计.【重心梳理】知识面一、分式的观念普遍天，如果A、B表示二个整式，而且B中含有字母，那么式子A喊搞分式.其中A喊搞分子，B喊搞分母.B重心诠释：（1）分式的形式战分数类似，但是它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是二个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中皆不含字母.（2）分式与分数是相互通联的：由于分式中的字母不妨表示分歧的数，所以分式比分数更具备普遍性；分数是分式中字母与特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示分歧数的“字母”，但是π表示是整式而不克圆周率，是一个常数，不是字母，如a不迭当做分式.（4）分母中含有字母是分式的一个要害标记，推断一个代是分式，与xy数式是可是分式不克不迭先化简，如2x yx有辨别，xy是整式，即只瞅形式，不克不迭瞅化简的截止.知识面二、分式蓄意思，偶尔思或者等于整的条件1.分式蓄意思的条件：分母不等于整.2.分式偶尔思的条件：分母等于整.3.分式的值为整的条件：分子等于整且分母不等于整.重心诠释：（1）分式有偶尔思与分母有闭但是与分子无闭，分式要精确其是可蓄意思，便必须领会、计划分母中所含字母不克不迭与哪些值，以预防分母的值为整.（2）本章中如果不特殊证明，所逢到的分式皆是蓄意思的，也便是道分式中分母的值不等于整.（3）必须正在分式蓄意思的前提下，才搞计划分式的值. 知识面三、分式的基赋本量分式的分子与分母共乘(或者除以)一个不等于0的整式，分式的值稳定，那个本量喊搞分式的基赋本量，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于整的整式）.重心诠释：（1）基赋本量中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，普遍正在解题历程中不另强调；M≠0是正在解题历程中其余附加的条件，正在使用分式的基赋本量时，必须沉面强调M≠0那个前提条件.（2）正在应用分式的基赋本量举止分式变形时，虽然分式的值稳定，但是分式中字母的与值范畴有大概爆收变更.比方：，正在变形后，字母x 的与值范畴变大了.知识面四、分式的变号规则对付于分式中的分子、分母与分式自己的标记，改变其中所有二个，分式的值稳定；改变其中所有一个或者三个，分式成为本分式的差异数. 重心诠释：根据分式的基赋本量有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的标记规则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为差异数.分式的标记规则正在以去闭于分式的运算中起着要害的效率.知识面五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基赋本量，约去分子战分母的公果式，不改变分式的值，那样的分式变形喊搞分式的约分.如果一个分式的分子与分母不相共的果式（1除中），那么那个分式喊搞最简分式. 重心诠释：（1）约分的真量是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再不公果式.（2）约分的闭键是决定分式的分子与分母的公果式.分子、分母的公果式是分子、分母的系数的最大契约数与相共果式最矮次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其领会果式，使之转移为分子与分母是不克不迭再领会的果式积的形式，而后再举止约分.知识面六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基赋本量，使分式的分子战分母共乘适合的整式，不改变分式的值，把分母分歧的分式化成相共分母的分式，那样的分式变形喊搞分式的通分.重心诠释：（1）通分的闭键是决定各分式的最简公分母：普遍与各分母所有果式的最下次幂的积动做公分母.（2）如果各分母皆是单项式，那么最简公分母便是各系数的最小公倍数与相共字母的最下次幂的乘积；如果各分母皆是多项式，便要先把它们领会果式，而后再找最简公分母.（3）约分战通分恰佳是差异的二种变形，约分是对付一个分式而止，而通分则是针对付多个分式而止.【典型例题】典型一、分式的观念例1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-． 典型二、分式蓄意思，分式值为0例2、下列各式中，m 与何值时，分式蓄意思？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --． 【变式1】正在什么情况下，下列分式不意思?（1）3(7)x x x +；（2）21x x +；（3）222x x ++． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-． 典型三、分式的基赋本量例3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y +-； （2）11341123x y x y +-． 【变式1】如果把分式y x x232-中的y x ,皆夸大3倍，那么分式的值（ ）A 夸大3倍B 稳定C 缩小3倍D 夸大2倍【变式2】挖写下列等式中已知的分子或者分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----． 例4、 不改变分式的值，使下列分式的分子战分母不含“－”号．（1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b c --．典型四、分式的约分、通分例5、 将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-． 【变式】通分：（1）4b ac ，22ab c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -． 【坚韧训练】1．正在代数式22221323252,,,,,,33423x x xy x x x x π+-+中，分式公有( )． 2．使分式5+x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5C ．－5D ．x ≠－5 3.下列推断过失的是（ ）A ．当23x ≠时，分式231-+x x 蓄意思 B ．当a b ≠时，分式22ab a b-蓄意思C ．当21-=x 时，分式214x x+值为0 D ．当x y ≠时，分式22x y y x --蓄意思4．x 为所有真数时，下列分式中一定蓄意思的是（ )A ．21x x +B ．211x x --C ．11x x -+D ．211x x -+ 5．如果把分式yx y x ++2中的x 战y 皆夸大10倍，那么分式的值（ ） A ．夸大10倍B ．缩小10倍C ．是本去的32D ．稳定6．下列各式中，精确的是（ ）A ．a m a b m b+=+ B ．0a b a b +=+ C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y -=-+ 7．当x ＝______时，分式632-x x 偶尔思． 67x--的值为正数，则x 谦脚______． 9．（1）112()x x x --=- （2）.y x xy x 22353)(= 10．（1）22)(1y x y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x 2214a b 与36x ab c的最简公分母是_________. 12. 化简分式：（1）3()x y y x -=-_____；（2）22996x x x -=-+_____． x 为何值时，下列分式蓄意思?（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---． 14．已知分式,y a y b-+当y ＝－3时偶尔思，当y ＝2时分式的值为0，供当y ＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最下的项的系数皆化为正数．（1）22x x y --（2）2b a a -- （3）2211x x x x ---+ （4）2231m m m ---。
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理：1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA做分式。
A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0.2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.3.分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式122x x -+（1）当________时，分式的值为0 ；（2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义.2．填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- ； ()21a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；224488a ba b-=- ；223265a a a a ++=++ ；()()x y a y x a --322= . 5.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数：0.010.50.30.04x y x y -=+ ；y x y x 6.02125.054-+= ；=-+b a ba 41323121 . 6.不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是正数：（1）2211x x x y +++-= ； （2）343223324x x x x -+---= .7.（1）已知：34y x =，则2222352235x xy y x xy y-++-= . （2）已知0345x y m==≠，则x y m x y m +++-= . 8.若||x x x x -+-=+123132成立，则x 的取值范围是 . （二）、选择题：9.在下列有理式221121a x x m n x y x y ya b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410.把分式xx y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 11．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a b a b -+=--C ．0a b a b +=+D ．0.10.330.22a b a ba b a b--=++12.与分式a ba b-+--相等的是 （ ）A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a ba b--+ 13．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a =14．不改变分式的值，使21233xx x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）A ．22133x x x -+- B ．22133x x x +++ C ．22133x x x ++- D ．22133x x x --+ 15．将分式253xyx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ）A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x yx y-+16．下列各式正确的是 （ ）A ．c c a b a b -=-++ B ．c c a b b a -=-+- C ．c c a b a b -=-++ D ．c ca b a b-=-+- 17．不改变分式的值，分式22923a a a ---可变形为 （ ）A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31a a -+ 18．不改变分式的值，把分式23427431a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）A ．23437431a a a a a a -++-+- B ．23347413a a a a a a -+--++C ．23434731a a a a a a +-+--+-D ．23347413a a a a a a -++--++19.已知a b ，为有理数，要使分式ab的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，20.已知113a b-=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4（三）、解答题：21.已知：3x y -=20，求x xy y x xy y 2222323-++-的值.22.已知：x x 210--=，求x x441+的值. 23.化简：x x x x x x 32325396512++-++-. 24.把分式1882483222a b ab a b++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？25. 已知：x y y y +=--=22402，，求y xy-的值.26. 已知：a b c ++=0，求a b c b c a c a b()()()1111113++++++的值. 27.已知：,ac zc b y b a x -=-=-求z y x ++的值.28.已知：,0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求222222cz b y a x ++的值.。
分式的基本概念及性质
分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式的性质
分式的性质一、分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看符合分式概念的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．二、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四、分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六、最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．七、约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．。
分式基本概念与运算法则
乘方与开方的混合运算
乘方与开方的 混合运算是指 将分式的乘方 和开方进行混
合运算
混合运算的步 骤包括：先乘
方，后开方
混合运算的结 果是一个新的
分式
混合运算需要 注意的问题包 括：分式的符 号、分母的变
化等
分式与整式的运算
05
顺序
先乘除后加减的顺序
分式与整式的运算顺序： 先乘除后加减
乘除法运算：先计算乘除 法，再计算加减法
先进行分数与小数的运算
分数与小数的运算顺序：先分数后小数
分数与小数的运算方法：分数与小数可以相互转化，然后进行运算
分数与小数的运算技巧：利用分数与小数的性质和规律，简化运算过 程 分数与小数的运算应用：在实际问题中，分数与小数的运算可以解 决很多问题
先进行根式与分式的运算
根式与分式的运算顺序：先根式后分式 根式与分式的运算方法：根式运算法则、分式运算法则 根式与分式的运算技巧：简化、合并、化简 根式与分式的运算实例：具体例子，如根式与分式的加减乘除运算
乘除混合运算的 注意事项：注意 运算顺序，避免 错误
乘除混合运算的 应用：解决实际 问题，如计算面 积、体积等
04
分式的乘方与开方
分式的乘方法则
分式的乘方： 分式的分子 和分母分别 乘方
分式的开方： 分式的分子 和分母分别 开方
分式的乘除： 分式的分子 和分母分别 乘除
分式的加减： 分式的分子 和分母分别 加减
YOUR LOGO
20XX.XX.XX
分式基本概念与运算法则
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目 录
01 分 式 的 定 义 与 性 质 02 分 式 的 加 减 法 03 分 式 的 乘 除 法 04 分 式 的 乘 方 与 开 方 05 分 式 与 整 式 的 运 算 顺 序02分式的加减法
分式的知识点总结
分式的知识点总结分式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握分式的知识对于数学学习以及实际生活中的应用都具有重要意义。
本文将总结分式的相关概念、性质以及常见的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念分式由分子和分母两部分组成，用分数线隔开，分母不能为零。
分式可以表示一个有理数或未知数的比例关系。
通常表示为：a/b，其中a称为分子，b称为分母。
二、分式的类型1. 真分式：分式的分子小于分母的分式，例如：2/3。
2. 假分式：分式的分子大于等于分母的分式，例如：5/4。
3. 带分数：由整数和真分式组成的分数，例如：1 3/5。
三、分式的化简与约分化简分式是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母没有其他公因式的过程。
约分是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母互质的过程。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法的运算方法相同：①将分式化为通分分式；②对分子进行加、减运算，分母保持不变；③化简结果（如果需要）。
2. 分式的乘法：两个分式相乘时，将分子乘以分子，分母乘以分母，然后化简结果（如果需要）。
3. 分式的除法：两个分式相除时，将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，然后化简结果（如果需要）。
五、分式方程的解法1. 清除分母法：将方程两边的分式的分母去掉，得到一个整式方程；解这个整式方程，找到方程的解；检验这些解是否满足原方程。
2. 相乘法：将方程中的分式两边同时乘以一个适当的整式，消去分式得到一个整式方程；解这个整式方程，找到方程的解；检验这些解是否满足原方程。
六、分式在实际生活中的应用1. 财务计算：分式用于计算各种财务比例，如股息率、盈利能力等；2. 比例问题：分式用于解决比例关系的各种问题，如物件的分配、速度比较等；3. 科学计算：分式用于科学实验和研究中的测量、计算等；4. 经济学：分式用于解决经济学中的各种问题，如经济增长率、通货膨胀率等。
分式的定义和基本性质
分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。
一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。
其中a称为分子，b称为分母。
分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。
分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。
在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。
二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。
例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。
例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。
例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。
例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。
例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。
三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。
将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。
分式函数的基本概念与性质
分式函数的基本概念与性质分式函数是指由两个多项式表达的函数，其中分母不为零。
分式函数既可以是有理函数的特例，也可以理解为多项式除法的推广形式。
在数学中，分式函数有其独特的基本概念和性质，本文将从多个角度来探讨这些内容。
一、基本概念1. 分式函数的定义：分式函数是指可以表达为两个多项式的比值形式，其中分母不为零的函数。
常见的分式函数形式包括有理分式函数和整式函数的除法。
2. 分式的形式：分式函数通常由分子和分母组成，分子和分母都是多项式。
分式函数的一般形式为f(x) = P(x) / Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式。
3. 定义域：由于分式函数中不能出现使分母为零的数值，因此定义域需要排除这些值。
定义域是函数的取值范围，一般使用不等式或条件表示。
二、性质探究1. 零点与奇点：分式函数的零点是指使分式函数取零值的自变量的值。
零点可以通过求解分子为零的方程得到。
分式函数的奇点是指使分母为零的自变量的值，奇点可能导致函数不存在或无穷大。
2. 函数的平移与伸缩：分式函数的平移和伸缩可以通过对分子和分母的多项式进行操作实现。
平移是指在自变量维度上对函数整体进行横向或纵向移动，伸缩是指通过改变分式函数的系数来改变函数的幅度。
3. 函数的性态分析：通过对分式函数的分子、分母进行求导，可以得到函数的导数表达式。
通过导数的符号变化和驻点的分析，可以判断分式函数的增减性、最值和拐点等重要性质。
4. 函数的图像特征：分式函数的图像通常会具有水平、垂直渐近线等特征。
水平渐近线是指当自变量趋近于无穷时，函数趋于某个常数值或无穷大；垂直渐近线是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于无穷大或无穷小。
5. 函数的应用：分式函数在实际问题中具有广泛的应用。
比如在经济学中，利润函数、边际成本函数等都可以表达为分式函数的形式，通过对这些分式函数进行分析，可以帮助决策者在经济活动中进行决策。
综上所述，分式函数作为一个重要的数学概念，具有其独特的基本概念和性质。
分式分式的基本性质
2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。
分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。
定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。
分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。
分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。
分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。
分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。
02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。
分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。
02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。
分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。
通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。
通分后结果通分后的结果是同分母的分式。
分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。
分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。
03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。
异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。
通分分母不变，分子相加减得到结果。
分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。
约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。
通分按照分数的乘除法规则进行计算。
分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
七年级上分式的概念及性质
第一节 分式的概念、性质及运算一、基础知识 1、分式的概念分式概念：一般地，用A 、B 表示两个整式（其中B ≠0），A ÷B 就可以表示为BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA叫做分式。
A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式有意义、无意义，分式的值为零的条件： ① 分式有意义的条件是分式的分母不为0；② 分式无意义的条件是分式的分母为0； ③ 分式的值为0的条件是分子为0，且分母不为0．2、分式性质：若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；即A A M A N B B MB N ∙÷==∙÷,其中M 、N 为整式，且0,0,0B M N ≠≠≠.例：()()339315535x x x x ==分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程叫约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式（1除外），这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算式 （1）分式的乘除法法则：两个分式相乘，将两个分式的分子的乘积作为分子，分母相乘的积作为分母。
即：.BDAC D C B A =⋅ 两个分式相除时，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
即：BCAD C D B A D C B A =⋅=÷.注：计算结果要化为最简分式。
分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.例：22()x y（2）分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
即;cba cbc a ±=±异分母分数相加减，先将它们化为同分母分式，然后再相加减。
bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。
将几个异分母分式化为与原分式值相等的同分母分式的过程叫通分。
分式概念知识点总结
分式概念知识点总结一、分式的概念分式是指一个整体被分成若干个相等的部分，其中每个部分被称为分子，整体被称为分母。
分式通常以 a/b 的形式表示，其中 a 和 b 都为整数，b 不为0。
分数的分母表示被分成的份数，分子表示取了多少份。
例如，2/3 表示整体被分成了3份，取了其中的2份。
二、分式的基本形式1. 真分式：分数的分子小于分母，即 |a| < b。
2. 假分式：分数的分子大于或等于分母，即|a| ≥ b。
3. 显分式：分式中的分子和分母都是已知的数。
4. 隐分式：未知数出现在分子或分母中。
三、分式的性质1. 两个分式相乘：a/b * c/d = ac/bd2. 两个分式相除：a/b ÷ c/d = ad/bc3. 两个分式相加：a/b + c/d = (ad + bc)/bd4. 两个分式相减：a/b - c/d = (ad - bc)/bd四、分式的化简1. 将分子和分母约分到最简形式。
2. 若分数中含有开平方，可将分子或分母的平方根提出来。
3. 若分数中含有负号，可将负号移到分子或分母。
五、分式的运算1. 分式的四则运算：包括加、减、乘、除。
2. 分式的化简：将分数化成最简形式。
3. 分式的混合运算：结合整数和分数进行运算。
六、分式方程1. 单分式方程：方程中只有一个分式。
2. 复分式方程：方程中含有多个分式。
七、分式的应用1. 比例问题：利用分式来描述两个量的比值，解决比例问题。
2. 百分比问题：将百分数化成分式，进行计算和比较。
3. 复利问题：利用复利的计算公式，将利率和时间表示成分式，求解复利问题。
八、分式的图形表示1. 分式在直角坐标系中的图形表示：分数可以表示成长度或面积的比值，可以在直角坐标系中用直线或曲线表示。
2. 分式在统计图中的表示：在统计图中，分数可以表示成比例的形式，用图形表示出来。
九、分式的应用领域1. 数学：在代数、几何、概率等方面，分式的概念和运算都有广泛的应用，是数学中重要的基础知识。
分式的概念及基本性质分式的运算
X X 22X⑴(2)(3)(4)一.知识精讲及例题分析 (一)知识梳理1.分式的概念A形如—(A B 是整式，且B 中含有字母，B 0 )的式子叫做分式。
其中 A 叫分式的分子，B 叫分式 B 的分母。
注:(1) (2) 有理式的分类 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A AM A AM 丄 Mt 、 Q n fl c \------- --------------- ， (M 为整式，且 M 0)B BMB B M分式的约分与通分(1) 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：① 分式的分子、分母都是单项式时 ② 分子、分母是多项式时(2) 通分：把n 个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。
2.下列分式何时有意义分式的概念及基本丿卜匕分式的运算分式的分母中必须含有字母分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 3. 4.5. 通分的关键是准确求岀各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幕的积。
求最简公分母的步骤：① 各分母是单项式时 ② 各分母是多项式时分式的运算乘除运算 分式的乘方 分式的加减运算 分式的混合运算(1) (2) (3) (4) 【典型例题】 1.下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
ab 21 a1;(xy),1-(a yb),XX 22X⑴(2)(3) (4)4xX 213.下列分式何时值为零下列各式中X 为何值时,分式的值为零?|X| 1X 1 X 1 11 41. 2.例1.2. 3. 5.填空。
X (1)—— X 1 X y (3)——L X y (2)（X2 |x| 1)(X 2) F(X0) (2)3xy~2 ■■ ~X 2x0) (4)a 2ab ab不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
1 -X（2）-3- 1—X 2(1) 0.3X y0.02 X 0.5y5.约分(1)56a 2bd X 2 4x 4 (3) —2X(4)1 n2 3y b)63⑵ 3ab(a 12a(b a) (3a 2a 2)(3 2aa 2)(a 2a)(2a 25a 3)6. 通分：（1） 仝r ，4a 2b（2）丄22x 2 7. 分式运算 计算： a 2b (1) ------- 3c 5 6b 2c1 2ac 26cd (云)； 2 c 2X 2xy y (3) y y 计算: (1)( 计算:计算:xy 8 4xxyX 2xy(2)(4)a 8)b)7a 1)6;(2)(4.(弓a a1 a 2)2aa 2 7a 8 ~3~ a4a (ab b 2)a 23a 24 X'2 y2y-)3 X计算:XyX 26. 计算：亠1X 4x(X 1)2X 2 3X 27.计算:(丄 X2y 2 (x y ")8.能力提咼题1. 已知X 2 3X X 2丄的值。
分式的概念及基本性质-（教师版）
分式的概念及基本性质-（教师版）课题：分式的概念及基本性质知识精要：⼀、分式的定义两个整式A 、B 相除，即A B ÷时，可以表⽰为A B ．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式．分式有意义的条件：分母不等于零；分式⽆意义的条件：分母等于零；分式值为零的条件：分母不等于零且分⼦等于零．⼆、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分⼦和分母都乘以（或除以）同⼀个不为零的整式，分式的值不变，即A A M A MB B M B M÷==÷（其中M 、N 为整式，且0B ≠，0M ≠，0N ≠）． 2、约分和通分（1）约分：把⼀个分式的分⼦与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．（2）通分：将⼏个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分． 3、最简分式：如果⼀个分式的分⼦与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式． 4、化简分式的基本步骤：化简分式时，如果分式的分⼦和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最⼤公因数、相同因式的最低次幂．如果分⼦、分母都是多项式，先分解因式，再约分．化简分式时要将分式化成最简分式或整式．精解名题：例1、在有理式22a ，2x y π+，5x a -，234a -，1()5x y -中，分式的个数为（） A ．1； B ．2； C ．3； D ．4．例2、若分式11x x -+的值为0，则x 的值为（） A ．1； B ．1-； C ．1±； D ．0．例3、下列分式2b a ，x y x y +-，22()x y xy y ++，22m nm n +-中，是最简分式的有（）个A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．x y+中的x 、y 都扩⼤到原来的3倍，那么分式的值为（） A ．扩⼤到原来的3倍； B ．缩⼩⼤到原来的13； C ．扩⼤到原来的1 6； D ．不变．例5、若0x <，则22x x --的值为（） A ．1-； B ．0； C ．1； D ．2．例6、若分式1xx -有意义，则x 的取值范围为（）A ．1x ≠；B ．0x >且1x ≠；C ．0x ≠；D ．x ≥0且1x ≠．．例7、下列各式从左到右变形正确的是（）A ．132(1)23x y x y ++=++； B ．0.020.3230.040.545a b a bc d c d --=++； C ．b a a b c b b c --=--； D ．22m n m n c d c d--=++．例8、化简222m n m mn-+的结果是（）A ．2m n m -； B ．m n m -； C ．m n m +； D ．m nm n-+．例9、若1x =-时，分式211x x +-的值为（）A ．0；B ．1；C ．1-；D ．⽆意义．例11、不改变分式的值，使分式115101139()a b a b c c ---=-；②x y x y x x -+-=-；③a b a b c c -++=-；④m n m nm m---=-中，成⽴的是（）A ．①②；B ．③④；C ．①③；D ．②④．例13、分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例14、不改变分式的值，把分式235100.40.5x x +-中的分⼦、分母的各项系数化为整数，可得（） A ．2345x x +-； B ．2325x x +-； C ．2345x x --； D ．4345x x +-．例15、分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（）A ．分式的值为零；B ．分式⽆意义；C ．若13a ≠-时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零．例16、不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分⼦、分母最⾼次项的系数为正数，正确的是（? ） A ．2332523x x x x +++-； B ．2332523x x x x -++-；C ．2332523x x x x +--+；D ．2332523x x x x ---+．例17、下列代数式中：x π，12x y -，22x y x y -+， 1x yx y +-，是分式的有：21a a a -++有意义的条件为______．例19、( )a b a bc d --+=-．例20、当x =________时，分式12x +的值为正数．例21、当m =_________时，2(1)(2)32m m m m -+-+的值为0．例22、若分式313x x-=--，则x 的取值范围是_________．例23、若23a =，则2223712a a a a ---+的值等于______．例24、分式2231x x x +--的值为0，则x 的取值为__________；当x __________时，分式2545x x x ---的值为零．例25、⼀件商品售价x 元，利润率为%a （0a >），则这中商品每件的成本是_____元．例26、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44x x -+；（2）232x x +；（3）221x -；（4）63xx --；（5）11x x-．x x -+；（2）224x x --；（3）222356x x x x ----．例28、（1）当x 有何值时，分式48x-为正；（2）当x 有何值时，分式253(1)xx -+-为负；（3）当x 有何值时，分式23x x -+为⾮负数．例29、不改变分式的值，把分⼦、分母的系数化为整数．（1）12231134x y x y -+；（2）0.20.030.04a ba b-+．例30、不改变分式的值，把下列分式的分⼦、分母的⾸项的符号变为正号．（1）x yx y-+--；（2）aa b---；（3）a b---．例32、已知：115x y+=，求2322x xy y x xy y -+++的值．例33、已知：12x x -=，求221例34、若21(23)0x y x -++-=，求142x y-的值．例35、已知20y x -=，求代数式22222222()()()()x y x xy y x xy y x y --+++-的值？例36、已知34y x =，求2222352235x xy y x xy y -++-的值．例37、对于分式3x m x n +-，当3x =时，分式的值为0，当1x =时，分式⽆意义，求2m n m n+-的值．例38、x 取何值时，分式2661x x +-的值是正整数？例39、⽼师布置⼀道作业题：当x 为何值时，分式211a a --⽆意义？⼩刚解法如下：因为21111(1)(1)1a a a a a a --==--++，由10a +=，得1a =-．所以当1a =-时，分式⽆意义．试问，⼩刚的解法是否有错误？如果有，请你帮助⼩刚找出错误的原因并改正．例40、在学完分式的基本性质后，王⽼师让同桌之间交流⼀下，看看对这部分知识的理解情况，下⾯是两位同学的对话：⼩亮说：“1y x xy =”，⼩红说：“22b ab a=” ．它们互相批评对⽅不对，于是请邻座⼩华评判，她说他们两⼈都对．聪明的同学们，请你们给判断⼀下他们三⼈谁对谁错．巩固练习：1、根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为（） A ．a a b --； B ．a a b +； C ．a a b --； D ．aa b+．x y x yx y x y-+-=--+；B．x y x yx y x y-+--=--；C．x y x yx y x y-++=---；D．x y x yx y x y-+-=-+．3、下列各式中，正确的是（）A．a m ab m b+=+；B．0a ba b1111ab bac c--=--；D．221x yx y x y-=-+．4、下列分式变形中正确的是（）A．2a ab ab=；B．2212111a a aba a+++=--=；D．211b aba a++=．5、不改变分式的值，分式22923aa a---可变形为（）A．31aa++；B．31aa--a+-；D．31aa-+6、当x有何值时，下列分式有意义：（1）163x-；（2）23(1)1xx-++；（3）111x+.7、当x有何值时，下列分式的值为零：xx--+；（2）222565xx x--+.8、不改变分式的值，把下列分式的分⼦、分母的系数化为整数.（1）0.030.20.080.5x yx y-+；（2）30.4511410a ba b+-.9、已知：13x x+=，求2421x x x ++的值.310x x ++=，求221x x +的值．11、已知：113a b -=，求232a ab bb ab a+---的值.12、若2226100a a b b ++-+=，求235a ba b-+的值.13、如果12x <<，试化简2121x xx x x x---+--．14、设0xyz ≠，且3270x y z +-=，74150x y z +-=，求222 22245623x y z x y z --++的值．15、若13+a 表⽰⼀个整数，则整数a 可以取哪些值？16、约分：（1）3222366xy z x y z ；（2）239aa --；（3）22699x x x ++- （4）2232m m m m -+-；（5）22n m m n --；（6）2226x x x x +---． 17、通分：（1）26x ab ，29ya bc （2）2121a a a -++，261a -（3）2c ab -，23b a c ，25ab ca b -，22b b a -；（5）21x x -，212x x x -+，2 22x x --；（6）2a +，12a-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精心整理
分式的概念和性质（基础）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.
【要点梳理】
知识点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
B
叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，
如a
π
是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如
2 x y x
是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
知识点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
知识点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式
子表示是：A A M A A M
B B M B B M
⨯÷
==
⨯÷
，（其中M是不等于零的整式）.
要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须
重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了. 知识点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a -=-.根据有理数除法的符号法则有b b b
a a a
-==--.分
式
a b 与a
b
-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的
系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，
.
.
例例【变式1】在什么情况下，下列分式没有意义?
（1）
3(7)x x x +； （2）21x x +； （3）22
2
x x ++． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．
（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）22
4
x x +-．
类型三、分式的基本性质
例3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．
（1）0.20.020.5x y
x y
+-； （2）11341123
x y
x y +-．
【变式1】如果把分式
y
x x
232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍
）1
2
x +，33423
x x x π+A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2．使分式
5
+x x
值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5
D ．x ≠－5
3. 下列判断错误．．
的是（ ） A ．当23x ≠
时，分式2
31
-+x x 有意义
B ．当a b ≠时，分式
22
ab
a b
-有意义 C ．当21-=x 时，分式21
4x x
+值为0
D ．当x y ≠时，分式22
x y y x
--有意义
4．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )
A ．21x x
+
B ．
2
1
1
x x -- C ．
1
1
x x -+ D ．
2
1
1
x x -+ 5
A C 6A C 二.7．当8.9．（110．（11.12. 化简分式：（1）3
()x y
y x -=-_____；（2）
22996x x x -=-+_____． 三.解答题
13.当x 为何值时，下列分式有意义?
（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）21
1
x x -+；（4）2211x x ---．
14．已知分式
,y a
y b
-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．
15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
（1）2
2x x y --
（2）
2b
a a
--
（3）2
2
11x x x x
---+
（4）2
2
31m m m ---。