历年全国高中数学联赛《向量复数》专题真题汇编

历年全国高中数学联赛《向量复数》专题真题汇编

1、设

5sin

5cos

π

π

ωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 （ ）

(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+

x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0 【答案】B

2、设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→

OB +3→OC=→0，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( )

A ．2

B ．32

C ．3

D ．53

【答案】C

【解析】如图，设∆AOC=S ，则∆OC 1D=3S ，∆OB 1D=∆OB 1C 1=3S ，∆AOB=∆OBD=1.5S ．∆OBC=0.5S ，⇒∆ABC=3S ．选C ．

3、空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC 则BD AC ⋅的取值（ ）

A ．只有一个

B ．有二个

C ．有四个

D ．有无穷多个 【答案】A

【解析】注意到,9711301132

222+==+由于,0ρ=+++则

2

2DA DA ==

-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(22222

22

),()+⋅即CD AB BC AD ⋅∴=--+=⋅,022222只有一个值得0，故选A 。

5、复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23

-I,则z 1z 2= 。 【答案】3072

1313i

-

+

ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13． 故ｚ１·ｚ２＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］ ＝－（30／13）＋（72／13）ｉ．

1

6、已知复数Z 1,Z 2满足|Z 1|=2, |Z 2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则

2

121z z z z -+= 。

【答案】7133

【解析】由余弦定理得|Z 1+Z 2|=19, |Z 1Z 2|=7,

2

121z z z z -+=7133

7、若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .

8、在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若

2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则与BC 的夹角的余弦值等于 2/3 。

9、设P 是函数

2

y x x =+

（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向

直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r

的值是 ．

【答案】-1

【解析】方法1:设

0002(,),

p x x x +

则直线PA 的方程为0002

()(),y x x x x -+=--即

002

2.y x x x =-++

由00

000011(,).22y x

A x x y x x x x x =⎧⎪

⇒++⎨=-++⎪⎩

又002(0,),

B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-u u u r u u u

r 故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-u u u r u u u r

10、设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=1

2+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)

对应的不共线的三点．证明：曲线 Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．