抽象函数奇偶性对称性周期性总结
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。
如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。
如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。
如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。
如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。
需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。
例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。
练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。
练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。
要求求出f(7.5)的值。
由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。
又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。
故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
从抽象函数形式看函数性质
从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。
则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。
推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。
②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。
()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。
③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。
联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。
11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。
-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。
专题三：抽象函数的周期性与对称性(培优)
镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……专题三：抽象函数的奇偶性与对称性编辑，整理：冉春1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在x ＝0处有定义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(4)若y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；若y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．2．周期性的几个常用结论对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，周期为T ，则 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ＞0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)．3．函数的图象的对称性(1)函数y ＝f (x )，若其图象关于直线x ＝a 对称(a ＝0时，f (x )为偶函数)，则 ①f (a ＋x )＝f (a －x )；②f (2a ＋x )＝f (－x )；③f (2a －x )＝f (x )．(2)函数y ＝f (x )，若其图象关于点(a,0)中心对称(a ＝0时，f (x )为奇函数)，则 ①f (a ＋x )＝－f (a －x )；②f (2a ＋x )＝－f (－x )； ③f (2a －x )＝－f (x )．(3)函数y ＝f (x )，若其图象关于点(a ，b )中心对称，则①f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ；②f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b ；③f (2a －x )＋f (x )＝2b . (4)函数f (x )与g (x )的图象关于直线x ＝a 对称，则g (x )＝f (2a －x )． (5)函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝a 对称，则g (x )＝2a －f (x )．1、（1）已知奇函数()f x 在(2,2)- 上单调递增，且()(21)0f t f t +->，则实数t 的取值范围是（ ）A. 1(,2)3B. 13(,)32 C . 1(,2)3- D. 13(,)22-（2）设奇函数0)()(,0)1(0)(＜则不等式）上为增函数，且，在（xx f x f f x f --=∞+的解集为（ ）A ．-1,01+（）∪（，∞）B ． -,-1（∞）∪（0，1）C ． -,-11+（∞）∪（，∞）D ．-1,0（）∪（0，1）（3）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]（4）记max{a,b}=⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max{x+1,2x}，则函数f （x ）的解析式为________2、（1）已知)2(+x f 是偶函数，当212x x ＜＜时，0)()(1212）＞）（（x f x f x x --恒成立，设),4(),3(),21(f c f b f a ===则的大小关系是c b a ,,( ) A 、c b a ＜＜ B 、c a b ＜＜ C 、a c b ＜＜ D 、a b c ＜＜镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……（2）已知)2(+x f 是偶函数，则)(x f 图像关于________对称（3）已知)2(－x f 是偶函数，则)(x f 图像关于________对称（4）已知)2(－x f 是奇函数，则)(x f 图像关于________对称3、（1）已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图象的交点为)(1,1y x ,),(22y x ···，（m m y x ,），则=+∑=mi i iy x1)(（ ）A. 0B. mC. 2mD. 4m（2）下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+（3）已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则=+++m 21...x x x ( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m（4）定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=4−f (x )，若函数y =1x +2与函数y =f (x )的图象的交点的坐标是(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2)),…(x 30,f (x 30))，记x i +f (x i )=p i （其中i =1,2,…，30），则p 1+p 2+⋯+p 30=（ ） A ．15 B ．30 C ．60D ．120（提示：具有某相同对称属性的两个函数，其交点也具有该对称属性）4、（1）已知定义在R 上的奇函数f x 满足3f x f x ，且21f ，则20162017f f ________（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31xf x =-，则镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……()2015f =________（3）已知在R 上是奇函数，且满足，当时，，则________（4）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f = ________（5）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 021)＝( )A ．2 021B ．0C ．1D ．－1（6）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f ________（7）函数对于任意实数满足条件，若，则________（8）定义在上的偶函数满足，对且，都有，)81(),64(),49(f f f 由小到大的顺序排列为（9）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－1f (x )，且()x f ()()x f x f -=+5()5,0∈x ()x x x f -=2()=2016f )(x f x )(1)2(x f x f =+5)1(-=f =))5((f f R ()f x (3)()f x f x -=-12,[0,3]x x ∀∈12x x ≠1212()()0f x f x x x ->-镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 021)＋f (2 019)的值为（10）定义在实数集R 上的函数满足，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线2x =对称；③是偶函数.其中正确的序号是5、（1）若)(x f y =在[)+∞∈,0x 上的表达式为)1()(x x x f -=，且)(x f 为奇函数，则(]0,∞-∈x 时)(x f =（2）若)(x f y =在[)+∞∈,0x 上的表达式为)1()(x x x f -=，且)(x f 为偶函数，则(]0,∞-∈x 时)(x f =6、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ∈R,恒有f (x ＋2)＝－f (x )， 当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2022)7、已知函数()f x 图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有xx f 1)(=，则当x ∈(－∞，－2)时，求)(x f 的解析式镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……8、已知函数f (x )的定义域为R ，并且对一切实数x ,都有f (−x )+f (x )=0,f (−x −2)=−f (x )成 立 .当x ∈(0,1)时，f (x )=sin πx +1. （1）.求f (0),f (1)的值；（2）.当x ∈(11,13)时，求f (x )的解析式.9、（1）已知函数f (x )是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f (2)＝－1，则满足 1)12(＞－-x f 的实数x 的取值范围是（2）设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（3）设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是__ ______（4）定义在R 上的偶函数()f x 在[0,+∞）内单减，(2)=0f ，若(1)0f x -＞，则x 的取值范围是__（5）定义在R 上的奇函数()f x 在[0,+∞）内单减，(2)=0f ，若(lg )0f x ＞，则x 的取值范围是__（6）已知定义在R 上的偶函数()f x 在（—∞，0]上单减，且(1)=2f ，则不等式2)(log 2＞x f 的x 的取值范围是__镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……（7）定义在R 上的奇函数()f x 在（—∞，0）单减，且(2)=0f ，则(1)0x f x ⋅-≥的x 的取值范围是__ ____（8）已知奇函数f (x )在x ＞0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}10、设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈，都有(1)(1)f x f x +=-，已知当[]0,1x ∈时，1()2x f x -=，有以下结论：①2是函数()f x 的一个周期；②函数()f x 在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0.5； ④当(3,4)x ∈时，3()2xf x -=．正确的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．411、的值域为用判别式法求函数3274222++-+=x x x x y （ ） A ．(]4.5,1--B ．[5.5,2)C ．[ 4.5,2)-D ．( 4.5,2)2-∪（，1]12、设函数g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.13、（ 1）函数)(x f f (在定义域(-∞，+∞)上是增函数,且对任意的实数x 恒有2)1)((3=+--x x x f f 成立，则)1(-f =（ ）A.-1B.-2C.-3D.-4（2）已知函数()f x 是定义在0+)（，∞ 上的单调函数，且对任意），（∞+∈0x 都有1)2)((-=+xx f f 恒成立，则=)1(f （ ）A. -1B. -4 C . -3 D. 0镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○…… 14、（1）定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，则方程f (x )=0在闭区间[-T , T ]上的实数根的个数可能是（ ） A. 1 B.3 C. 0 D. 5（2）定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，则方程f (x )=0在闭区间[-2T , 2T ]上的实数根的个数可能是（ ） A. 1 B.5 C. 9 D. 1215、函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7216、设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x ＋1)＝f (x －1)；③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……(2)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 021)＋f (2 022)＝________.(3)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.17、函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．18、（1）函数()ln 1f x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）函数||2x y =的部分图像大致为（ ）AB C D（3）函数||2log x y =的图像大致是（ ）19、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．1[,2]2C ．(]0,8D ．1[,8]8镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……20、若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f (x )＝2x ＋11＋2x ，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．(0,2)C ．(0,1)D ．{－1,0,1}22、已知函数)()6(,)(x f x f R x R x f -=+∈恒有上的奇函数，对任意是定义在， 且在（-3，-1）内单调递增。
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性
复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性抽象函数的奇偶性、周期性和对称性是数学中重要的概念，它们用来描述函数的特点和性质。
在本文中，我们将对这些概念进行复习和详细解释。
首先，我们来复习抽象函数的奇偶性。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)有相反的符号。
奇函数的图像关于原点对称，通常呈现出关于原点对称的特点。
例如，f(x)=x^3是一个奇函数，因为f(-x)=-x^3、对于奇函数，如果其函数图像在原点通过，则其图像也必然经过一些关于原点对称的点。
与奇函数相对的是偶函数。
偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)相等。
偶函数的图像关于y轴对称，通常呈现出关于y轴对称的特点。
例如，f(x)=x^2是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2、对于偶函数，如果其函数图像在y轴通过，则其图像在整个y轴上对称。
接下来，我们来复习抽象函数的周期性。
周期函数是指满足f(x+T)= f(x)的函数，其中T是一个常数，称为函数的周期，函数定义域内的任意x都满足这个条件。
周期函数的特点是其函数图像在横坐标上以一定的间隔重复出现。
例如，f(x) = sin(x)是一个周期函数，它的周期是2π，即对于任意x，f(x+2π) = sin(x)。
最后，我们来复习抽象函数的对称性。
对称函数是指满足f(x)=f(-x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(x)与f(-x)相等。
对称函数的图像有一个对称轴，即对于任意在对称轴上的点x，其关于对称轴的对称点也属于函数的图像。
例如，f(x)=x^4是一个对称函数，因为f(x)=f(-x)=x^4、对称函数的对称轴可以是y轴、原点或其他直线。
综上所述，奇偶性、周期性和对称性是抽象函数重要的特性。
它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像，并在解决问题中起到指导作用。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 (1)
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
(完整版)函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全,推荐文档
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)(x f y =都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周)()(x f T x f =+)(x f y =期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义（略），请用图形来理解。
3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+也可以写成 或 )()(x a f x a f -=+)2()(x a f x f -=)2()(x a f x f +=- 简证：设点在上，通过可知，),(11y x )(x f y =)2()(x a f x f -=，即点上，而点与点)2()(111x a f x f y -==)(),2(11x f y y x a =-也在),(11y x 关于x=a 对称。
得证。
),2(11y x a - 若写成：，函数关于直线对)()(x b f x a f -=+)(x f y =22)()(ba xb x a x +=-++=称（2）函数关于点对称)(x f y =),(b a ⇔bx a f x a f 2)()(=-++ 或 b x f x a f2)()2(=-++上述关系也可以写成bx f x a f 2)()2(=+- 简证：设点在上，即，通过可知，),(11y x )(x f y =)(11x f y =b x f x a f 2)()2(=+-，所以，所以点b x f x a f 2)()2(11=+-1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-也在上，而点与关于对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
抽象函数周期性、对称性、奇偶性
抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。
抽象函数重要结论(学生版)
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
2、复合函数的奇偶性（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)（3）y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=（2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。
①))(2,)(2(),(),(2222//BA C By AxB y B AC By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222BA C By Ax A x fB AC By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线0=++C By Ax 成轴对称。
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2、奇函数 与 图象关于原点对称函数
3、函数 与 图象关于X轴对称
4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称
5、函数 与 图象关于直线 பைடு நூலகம்称
推论1:函数 与 图象关于直线 对称
推论2:函数 与 图象关于直线 对称
推论3:函数 与 图象关于直线 对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
把 沿 轴平移 个单位，即按向量 平移即得 在其他周期的图像： 。
2、奇偶函数：
设 或
；
。
分段函数的奇偶性（略）
3、函数的对称性：
（1）中心对称（即：点对称）
（2）轴对称（对称轴方程为 ）
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）
若 ，则 具有周期性；
若 ，则 具有对称性：
推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称
推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
设a是非零常数，
若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，
①f(x＋a)＝f(x－a)；②f(x＋a)＝－f(x)；③f(x＋a)＝1/f(x)；④f(x＋a)＝－1/f(x)。
C．奇函数又是周期函数D．奇函数但不是周期函数
六、巩固练习
1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象（ ）
A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)=
C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）
例2、（2001年理工类第22题）设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。
答案： 。
2、比较函数值大小
例3.若 是以2为周期的偶函数，当 时 试比较 、 、 的大小.
解：∵ 是以2为周期的偶函数，
又∵ 在 上是增函数且 ，
∴
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）
设 是定义在区间 上且以2为周期的函数，对于 ，用 表示区间 已知当 时， 求 在 上的解析式.
解：设
时，有
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a－x)＝f(x)；③f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a－x)＝－f(x)；③f(2a＋x)＝－f(－x)
6、函数对称性的应用
（1）若 ,
即
（2）例题
1、 ;
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 。
3、若 的图像关于直线 对称。
设
则 .
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期
2、 的周期为
3、 的周期为
4、 的周期为
5、 的周期为
6、 的周期为
6、在数列中的应用
例8.在数列 中， ，求数列的通项公式并计算
分析：此题的思路与例2思路类似.
解：令 则
不难用归纳法证明数列的通项为： 且以4为周期.
于是有1，5，9…1997是以4为公差的等差数列，
，由 得总项数为500项，
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第 天是星期几？
分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.
“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、 图象关于直线 对称
推论1： 的图象关于直线 对称
推论2、 的图象关于直线 对称
推论3、 的图象关于直线 对称
2、 的图象关于点 对称
推论1、 的图象关于点 对称
推论2、 的图象关于点 对称
推论3、 的图象关于点 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)= ，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.
例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)是减函数，求证当 时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.
5、确定函数图象与 轴交点的个数
例7、设函数 对任意实数 满足 ， 判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数 图象关于直线 和 对称，
又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 上，
故 图象与 轴至少有2个交点.而区间 有6个周期，
故在闭区间 上 图象与 轴至少有13个交点.
7、 的周期为
8、 的周期为
9、 的周期为
10、若
11、 有两条对称轴 和 周期
推论：偶函数 满足 周期
12、 有两个对称中心 和 周期
推论：奇函数 满足 周期
13、 有一条对称轴 和一个对称中心 的
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，
它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.
下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）
设 是 上的奇函数， 当 时， ，则 等于（）
（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）
若 是定义在实数集上的函数且 ， 求 的值.
③“y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数”等价于：
“单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）”
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称
5、在数列 求 =-1．
参考答案：D，B，C，T＝2。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念:
抽象函数是指未给出具体函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足条件的函数,
如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等。
它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,
由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，
说明：
①复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，
复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
②两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；
y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)
解：
为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故 天为星期四.
8、复数中的应用
例10.（上海市1994年高考题）
设 ，则满足等式 且大于1的正整数 中最小的是
（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.
分析：运用 方幂的周期性求值即可.
解： ，
9、解“立几”题
例11.ABCD— 是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是 黑蚁爬行的路线是 它们都遵循如下规则：所爬行的第 段所在直线与第 段所在直线必须是异面直线（其中 .设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是
即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+ =401个根.
例1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D）
A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称
做抽象函数题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
若对于函数 定义域内的任意 都存在非零常数 使得 恒成立，
则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，且 也是 的周期。
所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。
分段函数的周期：
设 是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: 。
例3、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例4、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C）
A．偶函数又是周期函数B．偶函数但不是周期函数
例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10