武汉大学数值分析hermite插值多项式的例题
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为了确定常数 A，对上式求导，得
H ' ( x) f [ x0 , x1 ] A[( x x1 ) ( x x0 )] ，
令 x x0代入， 且注意插值条件 H ( x0 ) f [ x0 , x1 ] A( x0 x1 ) f ( x0 ) ,
' '
f [ x0 , x1 ] f ' ( x0 ) 于是有 A ，即得所求的插值多项式 H ( x ) 为 x1 x0 H ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ]
例
若 f ( x) 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知 f ( x) 在 [a, b] 上两个互异的
点 x0 , x1 上的函数值 f ( x0 ), f ( x1 ) 和一阶导数值 f ' ( x0 ) ，试求满足条件
H ( x0 ) f ( x0 ), H ( x1 ) f ( x1 ), H ' ( x0 ) f ' ( x0 )
， 当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式 H ( x ) 余项为 R( x )
f [ x0 , x1 ] f ' ( x0 ) ( x x0 )( x x1 ) x1 x0
f (3) ( ) ( x x0 )2 ( x x1 ) 。 6
也
满
足
插
值
条
件
N1 ( xi ) f xi
( i
)
, ，( 故 0可 , 设 1
)
1
N ( x)
0A(
x，其中 ( 为待定常数，上式又可记为 x )x 1 )x A
H ( x ) N1 ( x ) A( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] A( x x0 )( x x1 )
的插值多项式，并估计误差。 解 由给定的 3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过 2 次的埃尔米特插值多项式
Байду номын сангаас
H ( x) ，
又有 H ( x ) 应满足插值条件 H ( xi ) f ( xi ) ， (i 0,1) ，而节点 x0 , x1 上的线性插值函数
N1 ( x ) H( x)
H ' ( x) f [ x0 , x1 ] A[( x x1 ) ( x x0 )] ，
令 x x0代入， 且注意插值条件 H ( x0 ) f [ x0 , x1 ] A( x0 x1 ) f ( x0 ) ,
' '
f [ x0 , x1 ] f ' ( x0 ) 于是有 A ，即得所求的插值多项式 H ( x ) 为 x1 x0 H ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ]
例
若 f ( x) 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知 f ( x) 在 [a, b] 上两个互异的
点 x0 , x1 上的函数值 f ( x0 ), f ( x1 ) 和一阶导数值 f ' ( x0 ) ，试求满足条件
H ( x0 ) f ( x0 ), H ( x1 ) f ( x1 ), H ' ( x0 ) f ' ( x0 )
， 当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式 H ( x ) 余项为 R( x )
f [ x0 , x1 ] f ' ( x0 ) ( x x0 )( x x1 ) x1 x0
f (3) ( ) ( x x0 )2 ( x x1 ) 。 6
也
满
足
插
值
条
件
N1 ( xi ) f xi
( i
)
, ，( 故 0可 , 设 1
)
1
N ( x)
0A(
x，其中 ( 为待定常数，上式又可记为 x )x 1 )x A
H ( x ) N1 ( x ) A( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] A( x x0 )( x x1 )
的插值多项式，并估计误差。 解 由给定的 3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过 2 次的埃尔米特插值多项式
Байду номын сангаас
H ( x) ，
又有 H ( x ) 应满足插值条件 H ( xi ) f ( xi ) ， (i 0,1) ，而节点 x0 , x1 上的线性插值函数
N1 ( x ) H( x)