向量空间的基、维数与坐标

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坐标记为
( x1 , x2 , , xr ).
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特别，若 1 , 2 , , r 是向量空间 V 的一组基，且 1 , 2 , , r 两两正交，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交基；若 1 , 2 , , r 两两正交且为单位向量，称 1 , 2 , , r 为V 的一组规范基 .
, r V , 且满足
（1） 1 , 2 , , r 线性无关；（2） V 中任一向量都可由 1 , 2 , , r 线性表示. 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间的 V
r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维一组基，
向量空间．
由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化. 设 e1 , e2 , , en 与 e1 , e2 , , en 是 n 维向量空间的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性表示 p11e1 p21e2 pn1en , e1 两组 e2 p12 e1 p22 e2 pn 2 en , 基的变换公式 p1n e1 p2 n e2 pnn en . en
第三节向量空间的基、维数与坐标
一二三四向量空间向量空间的基、维数与坐标基变换与坐标变换小结
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一、向量空间
定义3.18 设 V 是非空 n 维向量的集合，若 V 对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 V 为一个向量空间．说明集合V 对于加法及乘数两种运算封闭是指
若 V , V , 则 V ; 若 V , R , 则 V .
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例1 3 维向量的全体 R , 是一个向量空间 . 因为任意两个3维向量之和仍然是3 维向量, 数
3
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R 3.
类似地， n维向量的全体 R n，也是一个向量空间.
试判断集合V是否为向量空间.
解 V 是一个向量空间. 因为若 x 1 1a 1b, x 2 2 a 2 b，则有 x1 x 2 ( 1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx1 ( k1 )a ( k 1 )b V .
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将（1）式代入上面方程得
x1 x 2 ( e , e , , e ) 1 2 n xn p11 p 21 ( e1 , e2 , , en ) pn1 p12 p22 pn 2
x1 x1 x x 2 P 1 2 或 xn xn
（ 2）
上式就是在两组基下的坐标变换公式.
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例6
设 R 4 中的两组基：
1 (1, 2, 1, 0)T， 1 (2,1, 0,1)T， T T (1, 1,1,1) ， 2 2 (0,1, 2, 2) ， (1) (2) T T ( 1, 2,1,1) ， 3 3 ( 2,1,1, 2) ， ( 1, 1, 0,1)T； (1, 3,1, 2)T . 4 4
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说明（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．（2）若把向量空间 V看作向量组，那末 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩. （3）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一个基，则V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r R
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例 4 设 1 (1, 1,1), 2 (1, 2, 0), 3 (1, 0, 3),
4 (2, 3, 7), 证明 1 , 2 , 3 是 R 3 的一组基
并求 4 关于基 B : 1 , 2 , 3 的坐标. 解
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例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x 2 , , x n x 2 , , x n R
T

解 V1是向量空间 .
因为对于 V1的任意两个元素
0, a2 ,, a n , 0, b2 ,, bn V1 ,
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R n 空间的一组规范基为
ε1 (1,0,,0) ,ε2 (0,1,,0) , ,εn (0,0,,1)
向量 (a1 , a2 ,..., a n ) 在此规范基下的坐标为
(a1 ,a2 ,...,a n ).
因为
α a1ε1 a2 ε2 ... an εn .
这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量空间.
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一般有设有 n维向量 a1 , a 2 , , a m，则它们的一切
线性组合所成的集合 V x 1a1 2a2 mam 1, 2 ,, m R 称为由向量 a1 , a 2 , , a m 所生成的向量空间，记为 L a1 , a 2 , , a m ,即
y1 x1 y x 2 P 1 2 y3 x3 y4 x4

解 V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,, a n V2 ,
T
则2 2,2 a2 ,,2 a n V2.
T
对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.
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二、向量空间的基、维数与坐标
定义3.19 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 ,
1 1 T T T T A (1 , 2 , 3 , 4 ) 1 1 1 1 2 1 1 ~ 0 3 1 1 ~ 0 1 0 1 2 5 0 0
1 1 2 2 0 3 0 3 7 1 2 2 5 7 14
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其矩阵形式为：
p11 p , e2 , , en ) ( e1 , e2 , , en ) 21 ( e1 pn1
P

p12 p22 pn 2
p1n p2n pnn
（ 1）
P
称为
由基 e1 , e2 , , en 的到基 e1 , e2 , , en
过渡矩阵
前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？
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设向量在上述两组基下的坐标分别为
, x2 , , xn ), 即 ( x1 , x2 , , xn ) 和 ( x1 e1 x x1e1 x2e2 xn en x1 2 e 2 xn en x1 x 2 ( e1 , e2 , , en ) xn x1 x , e2 , , en ) 2 ( e1 xn
T T
有
0, a2 b2, , a n bn V1
T
0, a2 ,, a n V1.
T
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例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, x n x2 ,, x n R
T

Байду номын сангаас
1 1 P 0 0
所以
0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
P 1
0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
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若在基（1）下的坐标为 x1 , x2 , x3 , x4 ，在基（2）下的坐标为 y1 , y2 , y3 , y4 ，则由坐标变换公式有
由 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) A1 有 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) A1 B
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所以过渡矩阵 P A1 B .通过计算可得:
上一页
p1 n x1 x p2 n 2 pnn xn
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所以有
x1 x1 x x 2 P 2 xn xn
所以 4 1 1 ( 1) 2 2 3 因此 4 在基 B : 1 , 2 , 3 下的坐标为
( 4 )B (1, 1, 2).
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例5 设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 V x a b , R
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由行阶梯矩阵知 r ( A) 3, 且 1 , 2 , 3 线性无关, 知其为 R 3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
2 1 0 0 1 1 1 1 A ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 2
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若 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一组基，则对 V ,存在唯一一组有序数 x1 , x2 , , xr 使得
x11 x2 2 xr r ，
x1 , x2 , , xr 称为向量在基 1 , 2 , , r 下的
La1,a2,,am x | x 1a1 2a2
mam 1,2,,m R
向量组 a1 , a 2 , , a m的极大无关组即为 L 的基； a1 , a 2 , , a m的秩即为 L 的维数.
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三、基变换与坐标变换
求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求坐标变换公式. 解取 R 4 中的第三组基为规范基 1 , 2 , 3 , 4 , 则有
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( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) B 其中 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 ; B A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 3 ; 1 2