向量空间的基、维数与坐标

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高等代数第三节基

加法封闭
(km lm )αm V
(2)对αV ,k R
数乘封闭
kα (kk1)α1 (kk2)α2 (kkm )αm V
V 是向量空间。
2. 向量组生成的向量空间
定义 V x k1α1 k2α2 kmαm | k j R, j 1,2, , m
称为由α1, α2, , αm生成的向量空间,记为L(α1, α2, , αm ) 或span(α1, α2, , αm ).
证毕
2. 基的性质
4. V 可由基α1, α2, , αr所生成，即
V L(α1, α2, , αr ).
证明
α1, α2, , αr是V的基，
αV , 数l1,l2, ,lr ,使
α l1α1 l2α2 lrαr ,
α L(α1, α2, , αr ) V L(α1, α2,
, αr ).
α1, α2决定的平面.
z
z
L
α
y
y
x x
(3)设αR3且α 0, Lα为过原点O,方向为α的直线.
(4) R3 Lε1, ε2, ε3 .
3. 子空间
定义对两(1)个Vn1维V向2,量集合V1与V2 , 若
(2) V1,V2都是向量空间，
例则称 4 (V11)是设Vm2的n子, α空i 间R（n. i 1,2, , m）,则
秩r1 秩r2, 即dimV1 dimV2.
证毕
2. 基的性质
7. F n中任意n个线性无关的向量1，2 n组成一组基；
8. Fn中的向量组S是基 S=｛1，2 n｝由n个线性无关的向量组成.
9. n维向量空间V中的任意线性无关子集S可以扩充为V的基.

线性代数53向量空间的基和维

例设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基并求b1 b2在这个基中的坐标
解要说明a1, a2, a3是R3的一个基，只要证a1, a2, a3线性无关，即A E
设b1 x11a1 x21a2 x31a3, b2 x12a1x22a2 x32a3, 则
r1 r2
由基的定义知两组向量组都线性无关，即
r1 s, r2 t 从而 s t
定义向量空间V 的任一基向量的个数, 称为空间V 的维（dimension）, 记这个数为 dimV
由于Rn有一组明显的自然基，
1 0
0
e1
0,
e2
1,
en
0
0
0
1
故有 dim Rn = n , 即Rn是n维向量空间.
Ax O
的解集 N(A) 是向量空间，现在进一步指出：它的通解中元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(A) 就是 N(A) 的维数 dimN(A), 即
dim N( A) n r( A)
dim N( A) dim R( A) n
基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成N(A).
即
A
y1 y2 y3
B
z1 z2 z3
于是
z1 z2 z3
B1A
y1 y2 y3
这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式
定理设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两组基，则必有 s=t. 证利用等价向量组根据向量空间基的定义可知两组基等价的，从而其秩相等：
注（1）只有零向量的向量空间没有基规定其维数为0 （2）若把向量空间V看作向量组则向量空间V的基就是

线性代数4-7章

零向量与任何向量正交.
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续5)
定理2 设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量. 则 α1，α2，…，αs线性无关证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 两边与 αi 作内积,得： ki(αi，αi)=0, ∴ki=0, i=1,2,...,s.
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续7) Schmidt正交化方法
设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.
1.正交化：
取
1 1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
a1 b1 a2 b2 的内积定义：n维向量 , a b n n
( , ) a1b1 a2b2 anbn T T
2.( , ) ( , ) ( , );
(i ,i ) 0
∴ α1， α2，…，αs线性无关.
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续6)
定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一组基,且两两正交,则称 α1，α2，…，αs为V的一组正交基. 若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称 α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.
1
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续4) 定理1 | ( , ) ||| || || || .
当α， β均非零向量时，定义α与 β的夹角：
( , ) , arccos || || || ||
(α, β)=0时，称α与 β正交.

线性代数—3.3 向量空间

§3.3 向量空间
一、向量空间的概念二、向量空间的基和维数三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)

维数、基与坐标

(k) k ()
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空间V中的两组基.由基的定义，它们必可以互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B

向量空间

例4
2 2 1
1 4
设
A
(a1
，a2
，a3
)
2
1
1 2
2 2
，B
(b1
，b2 )
0 4
3 。验证 2
a1 ，a2 ，a3 是 R3的一组基，并求 b1 ，b2 在这组基中的坐标。
解设 b1 x11a1 x21a2 x31a3 ，b2 x12a1 x22a2 x32a3 ，即
是向量空间，称为由向量 1 ，2 ，，m 生成的向量空间，记为 L(1 ，2 ，，m ) 。
例3 如果向量组 1 ，2 ，，s 与向量组 1 ，2 ，，r 等价，则
L(1 ，2 ，，s ) L(1 ，2 ，，r )
证若 L(1 ，2 ，，s )，则可由 1 ，2 ，，s 线性表示，
特别地，在 n 维向量空间 Rn中，取单位坐标向量组 e1 ，e2 ，，en 为基，则以 x1 ，x2 ，，xn 为分量的向量 x，可表示为
x x1e1 x2e2 xnen 可见，向量在基 e1 ，e2 ，，en 中的坐标就是该向量的分量。因此，e1 ，e2 ，，en 称为Rn 中的自然基。
是一个向量空间。
定义2 设V1 ， V2 是两个向量空间，如果V1 V2 ，则称 V1 ，
是V2 的子空间。单独由一个零向量构成的集合{0} 也是一个向量空间，称
为零空间。设 1 ，2 ，，m 为一组 n 维向量，容易证明它的线性组合 V { k11 k22 kmm | ki R，1 i m}
经济数学
向量空间
1
向量空间的概念
3
2
基变换与坐标变换
基、维数与坐标
1.1 向量空间的概念

向量空间的结构

T T T T T
杨建新
第三节向量空间的结构
二、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
第三章维向量空间 n
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
杨建新
第三节向量空间的结构
，结论若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式则Dr 所在的r列即是列向量组的一个极大无关组，
第三章维向量空间 n
Dr 所在的r行即是行向量组的一个极大无关组 .
如阶梯形矩阵说明
1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
1, 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a1 1 a2 2 an n , a1 , a2 , , an R n 则数组 a1 , a2 , , an ，就称为在基 1 , 2 , , n
设下的坐标，记为 (a1 , a2 ,
选出r个向量 i1 , i2 ,, ir ，满足（1）向量组 A0 : i1 , i2 ,, ir 线性无关；（2）向量组 A中任意 r 1个向量线性相关
（如果 A中有r 1个向量的话） ;
那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关向量组 (简称极大无关组)；极大无关组所含向量个数r称为向量组的秩; 向量组A : 1 , 2 ,, s的秩也记作
(a1 ,, a s ) Kx 0 有非零解，即(b,, br ) x 0有非零解，这与B0组
线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.

02 第二节维数、基与坐标

. 显然，是的倍数. 向量组与向量组等价，并且线性无关，进而是的一组基，所以.
例6 (E04) 证明维线性空间与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵有因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中解易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线性无关的向量？
元素有序数组定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。

线性代数与空间解析几何01-第34节向量空间的基、维数与向量的坐标_34

T
T
,
n
中任一向量都可由这个向量组ε1,ε2 ,,εn线性表
示,
所以
ε ,ε 12
, ,εn是Rn的一个基,
dim
Rn
n.
而向量空间
V1
x
0,
x 2
, ,
x n
T
|
x2
, ,
xn
∈R
的维数是n-1, dimV1 n 1.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标 1. 向量空间的基与维数概念说明（:1）规定零空间的维数是0.
（2）若把向量空间V看作向量组, 那末V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩.
（3）由 1,2,,m所生成的向量空间
V x 1122mm|1,,mR
与向量组1,2,,m等价, 向量组1,2,,m
的极大无关组是V的一个基, 其秩就是V的维数.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
称向量组 1,2, ,r是向量空间 V 的一个基，数r
称为向量空间V的维数, 记为dimV ，并称V为
r 维向量空间.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
1. 向量空间的基与维数概念
ε2
(例0,1如,, ,R0)n中,的,基ε 本 (单0,位0,向,1量) 组线性ε1 无(1关,0,,且,0R)nT
但这两个坐标向量有着必然联系.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
3. 基变换公式和过渡矩阵
设1,2, ,n及1,2, ,n为 n维向量
空间 Rn 的两个基，并且

维数,基,坐标

引问题Ⅰ （基的问题）入如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
线性空间的“元”叫向量，因此把第三章“数组向量”的线性相关性的相关结论移植到“线性空间的向量”上来，就是线性空间中向量之间的线性关系。
k1, k2, , kr 使得
k11 k22 krr =0（线性空间的零元，零向量）则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
若 k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 kr 0 时才成立，
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
例2 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
续解：②
A

a11 a21
a12 a22

试写出A
2 0
6 -8
在此基下的坐标。
a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
a11
（E11，E1基2，E21，E22）
a12 a21 a22
1 (1,0,0),2 (0,1,0),3 (0,0,1) 是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
解：
坐标基
坐标基
上述例子表明
注意：
① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个线性无关的向量都是V的一组基．
但是，在不同基下的坐标一般是不同的．
3. 确定有限维空间基，维数的充分条件

线性代数空间向量的基和维

2 0 −5 −7 α1 = β1 − β 3 = 1 , α 2 = β 2 − β 3 = 0 −1 3 0 −1
容易验证他们线性无关，容易验证他们线性无关，从而构成基础解系．从而构成基础解系．对应齐次方程组通解：对应齐次方程组通解： c1α1 + c2α 2 非齐次方程组通解：非齐次方程组通解： x = β1 + c1α1 + c2α 2
2 3 = + , x1 7 x 3 7 x 4 便得令x3 = c1 , x4 = c2 , =5 +4 . x x x 2 7 3 7 4
x1 2 7 3 7 x2 = c 5 7 + C 4 7 1 2 x 1 0 3 0 1 x4
∴ r ( A) = r ( A).
反之，反之，若 r ( A) = r ( A) ，则方程组（则方程组（2-12” 12”）有解，有解，因此 b∈R(A) .
定理8 设m × n相容非齐次方程组(2(2-12′)的解集为S，对应齐次方程组的解空间为N(A),则有若已知 x1、x2 ∈ S , 则 (1) A( x1 + x2 ) = 2b
dim N ( A) = n − r ( A)
dim N ( A) + dim R ( A) = n
或（5-20）
例1 求齐次线性方程组 x1 + x2 − x3 − x4 = 0 2 x1 − 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 0 7 x − 7 x + 3 x + x = 0 2 3 4 1 的基础解系与通解. 解对系数矩阵 A 作初等行变换，作初等行变换，变为行最简矩阵，变为行最简矩阵，有

n维线性空间的基与向量的坐标

621
线性代数讲稿
α = x1α 1 + x 2 α 2 + L + x n α n = [α 1
α2
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ L αn ] ⎢ 2 ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦
成立，则称这组有序数 x1，x2，……，xn 为元素α 在基α1 ，α2 ，……，αn 下的坐标，记作(x1，x2，……，xn )T，称为坐标向量．
⎡1 2⎤ 2.例子：V = R2×2 中的元素 α = ⎢ ⎥ ，则 ⎣3 4⎦ ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ + 2⎢ + 3⎢ + 4⎢ α=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = [E 1 ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎡1 ⎤ ⎢ 2⎥ E4 ] ⎢ ⎥ ， ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4⎦
讨论所成矩阵的秩： A = [X 1
⎡1 ⎢1 X3]= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1
X2
1 − 1⎤ ⎡1 ⎢0 ⎥ 0 0⎥ →⎢ ⎢0 1 2⎥ ⎢ ⎥ 0 3⎦ ⎣0
0 0⎤ ⎡1 ⎥ ⎢0 1 − 1⎥ →⎢ ⎢0 1 2⎥ ⎥ ⎢ 0 3⎦ ⎣0
0 0⎤ 1 − 1⎥ ⎥ ， 0 3⎥ ⎥ 0 0⎦
即 R( A ) = 3，所以 X1 , X2 , X3 线性无关，从而α1 , α 2 , α 3 也线性无关．四、基变换与坐标变换 1.同一线性空间中，两个（实为两套）基之间的变换矩阵称为过渡矩阵—— 设线性空间 V 中，有两个基α i 与β i ，i = 1, 2, ……, n ；其关系写成矩阵式：
线性代数讲稿
§6.2 n 维线性空间的基与向量的坐标
一、线性空间的基与维数[P.185] 若在线性空间 V 中存在 n 个线性无关的向量α1 ，α2 ，……，αn 使得 V 中的任何元素α 都可由它们表出，则称 α1 ，α2 ，……，αn 为 V 的一个基，基所含向量的个数 n 称为线性空间 V 中的维数，记为 dimV，并称 V 为 n 维线性空间． 1.简单的例子 ① 二维线性空间 R2（平面），常用基向量 i = ( 1, 0 )，j = ( 0, 1 ) ． ② 三维线性空间 R3，常用基向量 i = ( 1, 0, 0 )，j = ( 0, 1, 0 ) ，k = ( 0, 0, 1 ) ． ③ n 维线性空间 Rn，常用基向量 e1 = ( 1, 0, …, 0 )，j = ( 0, 1, …, 0 ) ，……，k = ( 0, 0, …, 1 ) ． 2.抽象的例子 ① V 的元素是二阶方阵 A = ( a i j )2×2 ，方阵的元素 a i j 是实数 R ；F 为实数 ⎡0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡1 0⎤ 域 R ．可用基 E1 = ⎢ ， E2 = ⎢ ， E3 = ⎢ ， E4 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ； ⎣0 0 ⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ 可知为 4 维线性空间；记 R2×2 ． ② V 的元素是所有实系数多项式，F 为 R ．可用基 1，x，x2，……，xn，……；为无限维线性空间． 3.有关定理 ① 子空间的维数 dimW ≤ 母空间的维数 dimV ． ② 向量组 α1 ，α2 ，……，αn 的生成子空间的维数等于该向量组的秩． dimL( α1 ，α2 ，……，αn ) = R{ α1 ，α2 ，……，αn } ． ③ V 中向量组 α1 ，α2 ，……，αn 可以作为基的充分必要条件，是 V = L( α1 ，α2 ，……，αn ) ．二、向量在基下的坐标 1.定义[P.188]：设 α1 ，α2 ，……，αn 为 n 维线性空间 V 的一个基，若取 α ∈V，总有且仅有一组有序数 x1，x2，……，xn 使得

线性代数第五章向量空间

称为n元向量空间。
,an P
向量空间---基和维数
向量空间V中若向量组 1 ,2 , ,k 为极大
向线性无关组，则称其为向量空间V的一组基
量维数：基中所含向量的个数，dimV k.
空 Pn 的基和维数：由n个n元向量组成的极大
间
线性无关组。故基不唯一。
1,2, ,n , i 0,0, ,1, ,0T
m2 n 2

mn1n , mn2n ,
m11
M=

m21

mnnn .

mn1
m12 m22
mn2
m1n
m2
n

mnn

1 2
n 1 2
n M
M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）
向量空间---过渡矩阵
(I ) 1,2, ,n; (II) 1, 2, , n 是 Pn
间
Байду номын сангаас
k31 3 , 1 / 1, 1 ; k32 3 , 2 / 2 , 2 ;
3 3
3 , 2 2 , 2
2
3, 1 1, 1
1.
向量空间---作业
向 P139 6 量 P142 3(1), 3(2) 空 P147 6,7
, , , ;
, 0, 且 , 0 O.
, , 是 Rn 中任意向量，k为任意实数。
向量空间---内积和标准正交基
向量的长度：|| || ,
向
单位向量： || || 1
向的两组基，向量在基(I)、(II)的坐标分

线性代数课件3-3

kx1 = ( kλ1 )a + ( kµ 1 )b ∈ V . k ∈ R
这个向量空间称为由向量a , b所生成的向量空间 . 一般地，生成的向量空一般地，由向量组 a1 , a 2 , L , a m 所生成的向量空间为
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + L+ λmam λ1 , λ2 ,L, λm ∈ R}
x1 y1 x2 y2 ⇒ ξ = (α 1 α 2 L α n ) = (β1 β 2 L β n ) M M x y n n ⇒ AX = BY = ACY ⇒ X = CY .
例6 已知 R3 的两组基 T T T α 1 = (1, 0, −1) , α 2 = ( 2, 2,1) , α 3 = (1,1,1)
二、向量空间的基与维数
定义2 定义是向量空间，设 V 是向量空间，如果 r 个向量 α1 ,α2 , L,αr ∈V ，且满足
(1) α 1 , α 2 , L , α r 线性无关 ;
( 2) V中任一向量都可由 α 1 , α 2 , L , α r 线性表示 .
那末，那末，向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α r 就称为向量 V 的一个
六、练习题
1、设 V1 = ( x1 , L , xn ) x1 , L , xn ∈ R且x1 + L + xn = 0
V2
{ = {( x , L , x ) x , L , x
1 n 1
n
∈ R且x1 + L + xn
(C M X ) 行变换→(E MY )
思考题
1、空间解析几何中,向量 =(x,y,z)的坐标、空间解析几何中,向量α ( )的坐标x,y,z是什是什么基下的. 么基下的 2 向量空间的基是唯一的吗？ 2、向量空间的基是唯一的吗向量空间的基是唯一的吗解： 1、在基i=(1,0,0) 2、不唯一. j=(0,1,0) k=(0,0,1)下的坐标

二向量空间的基与维数

设 b1 = x11α1+x21α2+x31α3
b2 = x12α1+x22α2+x32α3 即
( b1,b2 )＝ (α1,α2,α3 )
x11
x21
x31
x12
x22
,
x32
记作 B = AX。
对矩阵（A|B）施行初等行变换，若 A 能变为 E，则
α1,α2,α3为R3的一个基，且当 A变成 E 时，B 变为X = A-1B.
1 c111 c212
2
c121
c22 2
n c1n1 c2n2
cn1n cn2n
cnnn
即(β1 , β2 ,… , βn ) = (α1 , α2 , … , αn )C. 称矩阵 C 为由基α1 , α2 , … , αn到基 β1 , β2 ,… , βn的过渡矩阵。其中Fra bibliotekx1
y2
C 1
x2
.
yn
xn
例7 已知R3的两组基分别为
a 0 0
A
: 1
1
,2
b
,3
0
,
1
1
c
1 y 1
B
:
1
1
,
2
1
,
3
z
,
x 1 1
且由基 α1,α2,α3到基 β1, β2, β3 的过渡矩阵为
1 1 1
C
0
0
1 2
2 0
,
求a、b、c、及x、y、z。
解由基变换公式
1 y 1 a 0 0 1 1 1
1
1
z
1
b

向量空间的基和维数

为什么唯一
8
例如：在 R3 中，
= (2, －3, 1)T
= 2ε1－3 ε2 + 1 ε3
注：1、基并不是唯一的 2、向量在不同基坐标也不同
9
例求向量 (x1, x2在,如下x基n下) 的坐标 1 (1, 0,K 0),2 (1,1,K 0),K n (1,1,K 1)
10
5
注1：若将向量空间V看成无穷个向量组成的向量组，其基就是其极大
线性无关组，其维数就是其秩。
注2：零空间 { } 没有基，规定其维数为0。
6
例如：对于Rn
(1) 基本单位向量组
是一1 ,组 2基,K，称, 为n 标准基。
(2) 1 = (1, 0, 0,…, 0), 2 = (1, 1, 0,…, 0), …，n = (1, 1,…, 1) 也是基。
x1 y1 (x2 y2 ) x3 y3 0, V1
k (kx1, kx2 , kx3 )T , kx1 kx2 kx3 k(x1 x2 x3 ) 0, k V1
4
二、向量空间的基与维数
定义
设V为向量空间，若存在1, 2, …, r V.
且满足： (1) 1, 2, …, r 线性无关； (2) V 中任一向量都可以由1, 2, …, r 线性表示；则称1, 2, …, r 为V的一组基底，简称基， r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
向量空间、基和维数
1
Hale Waihona Puke 一、向量空间概念定义设V是非空的n维向量的集合，如果
（1）V对加法运算具有封闭性，
即
，有
（2） V对数乘运算具有封闭性，
即
, V
V
R, V ,有 V

向量空间线性代数的课堂PPT

中的坐标. 中的坐标
向量空间
向量空间的概念向量空间的基、向量空间的基、维数与坐标
一、向量空间的概念
维向量的集合，定义设 V 为 n 维向量的集合，并且 V 满足集合非空； ⑴ 集合非空；对于加法运算封闭； ⑵ 对于加法运算封闭；对于数乘运算封闭； ⑶ 对于数乘运算封闭；向量空间. 那么称集合 V 为向量空间
λ乘 3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R 3 . 维向量，
类似地，类似地， n维向量的全体 R n，也是一个向量空间.
R = {α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) ai ∈ R}
n T
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例2 判别下列集合是否为向量空间
V1 = x = (0, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
因此，V1是向量空间 .
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
{
}
解 V2不是向量空间 .
因为若α = (1, a 2 ,⋯, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 ,⋯,2a n ) ∉ V2 .
x = k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k rα r , 数组 k1 , k 2 , ⋯ , k r 称为向量 x 在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α r 中的坐标坐标. 中的坐标 ⇔ 线性表示的系数
• 基底改变，则相应的坐标随着改变. 基底改变，则相应的坐标随着改变.

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所以 4 1 1 ( 1) 2 2 3 因此 4 在基 B : 1 , 2 , 3 下的坐标为
( 4 )B (1, 1, 2).
12 上一页下一页返回
例5 设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 V x a b , R
第三节向量空间的基、维数与坐标
一二三四向量空间向量空间的基、维数与坐标基变换与坐标变换小结
1 上一页下一页返回
一、向量空间
定义3.18 设 V 是非空 n 维向量的集合，若 V 对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 V 为一个向量空间．说明集合V 对于加法及乘数两种运算封闭是指
9 上一页下一页返回
R n 空间的一组规范基为
ε1 (1,0,,0) ,ε2 (0,1,,0) , ,εn (0,0,,1)
向量 (a1 , a2 ,..., a n ) 在此规范基下的坐标为
(a1 ,a2 ,...,a n ).
因为
α a1ε1 a2 ε2 ... an εn .
11 上一页下一页返回
由行阶梯矩阵知 r ( A) 3, 且 1 , 2 , 3 线性无关, 知其为 R 3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
2 1 0 0 1 1 1 1 A ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 2
La1,a2,,am x | x 1a1 2a2
mam 1,2,,m R
向量组 a1 , a 2 , , a m的极大无关组即为 L 的基； a1 , a 2 , , a m的秩即为 L 的维数.
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三、基变换与坐标变换
6 上一页下一页返回
说明（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．（2）若把向量空间 V看作向量组，那末 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩. （3）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一个基，则V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r R
试判断集合V是否为向量空间.
解 V 是一个向量空间. 因为若 x 1 1a 1b, x 2 2 a 2 b，则有 x1 x 2 ( 1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx1 ( k1 )a ( k 1 )b V .
10 上一页下一页返回
例 4 设 1 (1, 1,1), 2 (1, 2, 0), 3 (1, 0, 3),
4 (2, 3, 7), 证明 1 , 2 , 3 是 R 3 的一组基
并求 4 关于基 B : 1 , 2 , 3 的坐标. 解
由 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) A1 有 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) A1 B
21 上一页下一页返回
所以过渡矩阵 P A1 B .通过计算可得:
T T
有
0, a2 b2, , a n bn V1
T
0, a2 ,,下一页返回
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, x n x2 ,, x n R
T

1 1 T T T T A (1 , 2 , 3 , 4 ) 1 1 1 1 2 1 1 ~ 0 3 1 1 ~ 0 1 0 1 2 5 0 0
1 1 2 2 0 3 0 3 7 1 2 2 5 7 14
x1 x1 x x 2 P 1 2 或 xn xn
（ 2）
上式就是在两组基下的坐标变换公式.
19 上一页下一页返回
例6
设 R 4 中的两组基：
1 (1, 2, 1, 0)T， 1 (2,1, 0,1)T， T T (1, 1,1,1) ， 2 2 (0,1, 2, 2) ， (1) (2) T T ( 1, 2,1,1) ， 3 3 ( 2,1,1, 2) ， ( 1, 1, 0,1)T； (1, 3,1, 2)T . 4 4

解 V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,, a n V2 ,
T
则2 2,2 a2 ,,2 a n V2.
T
对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.
5 上一页下一页返回
二、向量空间的基、维数与坐标
定义3.19 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 ,
坐标记为
( x1 , x2 , , xr ).
8 上一页下一页返回
特别，若 1 , 2 , , r 是向量空间 V 的一组基，且 1 , 2 , , r 两两正交，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交基；若 1 , 2 , , r 两两正交且为单位向量，称 1 , 2 , , r 为V 的一组规范基 .
15 上一页下一页返回
其矩阵形式为：
p11 p , e2 , , en ) ( e1 , e2 , , en ) 21 ( e1 pn1
P

p12 p22 pn 2
p1n p2n pnn
（ 1）
P
称为
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例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x 2 , , x n x 2 , , x n R
T

解 V1是向量空间 .
因为对于 V1的任意两个元素
0, a2 ,, a n , 0, b2 ,, bn V1 ,
y1 x1 y x 2 P 1 2 y3 x3 y4 x4
由基 e1 , e2 , , en 的到基 e1 , e2 , , en
过渡矩阵
前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？
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设向量在上述两组基下的坐标分别为
, x2 , , xn ), 即 ( x1 , x2 , , xn ) 和 ( x1 e1 x x1e1 x2e2 xn en x1 2 e 2 xn en x1 x 2 ( e1 , e2 , , en ) xn x1 x , e2 , , en ) 2 ( e1 xn
1 1 P 0 0
所以
0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
P 1
0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
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若在基（1）下的坐标为 x1 , x2 , x3 , x4 ，在基（2）下的坐标为 y1 , y2 , y3 , y4 ，则由坐标变换公式有
求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求坐标变换公式. 解取 R 4 中的第三组基为规范基 1 , 2 , 3 , 4 , 则有
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( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) B 其中 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 ; B A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 3 ; 1 2
上一页
p1 n x1 x p2 n 2 pnn xn
18 下一页返回
所以有
x1 x1 x x 2 P 2 xn xn
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将（1）式代入上面方程得
x1 x 2 ( e , e , , e ) 1 2 n xn p11 p 21 ( e1 , e2 , , en ) pn1 p12 p22 pn 2
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若 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一组基，则对 V ,存在唯一一组有序数 x1 , x2 , , xr 使得
x11 x2 2 xr r ，
x1 , x2 , , xr 称为向量在基 1 , 2 , , r 下的
由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化. 设 e1 , e2 , , en 与 e1 , e2 , , en 是 n 维向量空间的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性表示 p11e1 p21e2 pn1en , e1 两组 e2 p12 e1 p22 e2 pn 2 en , 基的变换公式 p1n e1 p2 n e2 pnn en . en
, r V , 且满足
（1） 1 , 2 , , r 线性无关；（2） V 中任一向量都可由 1 , 2 , , r 线性表示. 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间的 V
r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维一组基，