九九表初探

九九表初探

（辽宁师范大学数学学院09级研究生孙嘉欣科学技术史）

摘要：九九表，在古代又称“九九歌”、“九因数”，是中国古代算筹中进行乘法、除法、开方等运算中的基本规则；大约在公元5～10世纪间，“九九口诀”才扩充到“一一如一”。大约在宋朝（公元11、12世纪），“九九口诀”的顺序才变成和现代用的一样，即从“一一如一”起到“九九八十一”止。元朱世杰著《算学启蒙》一书所载的45句口诀，已是从一一如一”到“九九八十一”，并称为“九数法”。，我们现今的“小九九”，小学初年级的学生以及一些学龄儿童都会背诵。现在的“小九九”是从“一一得一”开始，到“九九八十一”结束；而在古代却是反过来的，从“九九八十一”开始到“二二得四”结束，因此口诀表开头的两个字是“九九”，人们就称它为“九九表”。本文根据原始文献，论述了九九表的起源、世界闻名古国的乘法表比较、九九表的特点以及九九表的作用等。

一、九九表的起源

据说春秋时期齐桓公曾经专门设了一个“招贤馆”来征招各方面有才干的人，但是等了很久也没有人前来应招。一年之后，才来了一个热，就个人把九九表献给齐桓公作为进见的礼物。齐桓公觉得很好笑，对他说：“九九表能做见面礼吗？”这个人回答说：“九九表确实够不上拿来做见面礼，但是如果您对我这个懂‘九九’的人都能重视的话，那么害怕比我高明的人会不接连而来吗！”齐桓公认为他是对的，就把他接近了“招贤馆”，隆重的招待他。果然不到一个月，许多有才干的人从四面八方接连不断地前来应招了。从这个故事，可见在春秋时期，九九表就已经被大家知晓了。在许多流传下来的古书以及考古发现的木简或竹简上也有关于九九表的记载。

1．古代书籍中的九九表。中国使用九九表的时间比较早，大约在春秋、战国时期已经开始流行了。在《荀子》、《管子》、《战国策》等书中能找到“九九八十一”、“八九七十二”、“六六三十六”等语句。《韩诗外传》卷三：“齐桓公设庭燎为便人欲造见者，期年而士不至。于是东野鄙人有以九九见者。桓公使戏之曰：“九九足以见乎？”鄙人对曰：“……夫九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？”……桓公曰：“善！”乃因礼之。期月，四方之士相导而至矣此事《说苑·尊贤》、《汉书·梅福传》亦有称引。在宋洪迈著《容斋随笔》续笔卷七《俗语算数》中有：“三三如九，三四十二，二八十六，四四十六，三九二十七，四九三十六，六六三十六，五八四十，五九四十五，七九六十三，八九七十二，九九八十一，皆俗语算数，然《淮南子》中有之。三七二十一，苏秦说期望之辞也。《汉书·律历志》刘歆典领钟律，奏其辞，亦云八八六十四。杜预住《左传》“天子用八”云八八六十四人，又六六三十六人，四四十六人。如淳、孟康、晋灼注《汉书》，亦有二八十六，三四十二，六八四十八，八八六十四等语。”[1]在《管子·轻重戊》中也有记载：“虙戏作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。”《汉书·梅福传》：“臣闻齐桓之时，有以九九见者，桓公不逆，欲以致大也。”《孙子算经》乘法载此四十五句，亦起九九而讫一一，末言从九九至一一，总成一千一百五十五，是古法始九九之证。以木简及《孙子算经》证之，九九盖即乘法。其术始於九九，故称九九之术。”

2．考古中的九九表

从十九世纪以来，陆续在我国西北发掘出来的许多“竹木简”，也有些记录着九九表。但是这些竹木简由于在地下埋藏了过久，上面的九九表已经不全了，有的只剩下了十几句，甚至有的只剩下了几句。

十九世纪末在中国新疆发现的汉简，经王国维考证，其中一片出土于流沙的汉件，是一个九九表的残简，从九乘九开始，读曰九九八十一，八九七十二，七九六十三，八八六十四、七八五十六、六八四十八……二二而四共1110个字。人们推测之所以以九开始，可能和中国古代《易经》中的崇拜“九”的观念有关，所以以九九开始为由，称为九九歌、九因歌、九九表。

2002年，中国考古学家在湖南一座距今二千多年前的春秋战国时期的遗址内，发现之今最早的九九歌木简残片，我们现在成为里耶秦简。简上有四八三十二、五八四十、六八四十八等字样[5]，奇特的是，每个关于“八”的乘法运算排列也很有规则，它们排成一个横行，而且乘以八的数字从左到右依次递增。此次出土的战国简是中国九九表的最早事物证明，印证了文献中所记载的春秋战国时期乘法和乘法口诀已被运用。[2]

二、世界闻名古国的乘法表比较

西方文明古国的希腊和巴比伦，也有发明的乘法表，不过比起九九表繁复些。巴比伦发明的希腊乘法表有一千七百多项，而且不够完全[1]。由于在十三世纪之前他们计算乘法、除法十分辛苦，所以能够除一个大数的人，会被人视若数学专家[2]。十三世纪之初，东方的计算方法，通过阿拉伯人传入欧洲，欧洲人发现了他的方便之处，所以学习这个新方法。

古希腊、古埃及、古印度、古罗马没有进位制，原则上需要无限大的乘法表，因此不可能有九九表。例如希腊乘法表必须列出7x8，70x8，700x8，700x8，7000x8……。相形之下，由于九九表基于十进位制，7x8=56，70x8=560，700x8=5600，7000x8=56000，只需7x8=56一项代表。

古埃及没有乘法表。考古家发现，古埃及人是通过“累次迭加法”来计算乘积的。例如计算53×17，先将53倍乘（乘2）得53×2=106，再将106倍乘得106×2=212=53×4，再将212倍乘得212×2=414=53×8，再将424倍乘得424×2=848=53×16，最后将848与53加起来得901.这中运算说明，当时人们对53×17的意义是明确的。整个过程虽然可以说是对连加运算的一个初步简化，但是没有创立九九表。对乘数是10的运算，古埃及人采用的是将被乘数的单位符号扩大（升级）。这与我们现在采用在被乘数后面加零或将小数点以为得做法本质是一致的。对乘5的运算，则采取乘10后再除以2的办法。值得注意的是，古埃及人这样的“倍乘迭加法”在许多民族中都先后出现过。例如，俄罗斯农民在很晚以后，还常用这样“倍乘”、“平分”与加法相结合的方法。[3] 巴比伦的乘法要比古埃及现金。据出土的古巴比伦你办考证，大约在公元前2000年以前，巴比伦人已经开始乘法表来运算了。巴比伦算术采用60进位制，原则上一个“59x59”乘法表需要59*60/2=1770项；由于“59x59”乘法表太庞大，巴比伦人从来不用类似于九九表的“乘法表”。考古学家也从来没有发现类似于九九表的“59x59”乘法表。不过，考古学家发现巴比伦人用独特的1x1=1，2x2=4，3x3=9……7x7=49……9x9=81……16x16=256……59x59=3481乘法表，乘法表记录了某个数从1乘起，分别到60的全部答案。只要所求算式中的树木在表中能够查得，那么通过查表和适当的加法运算是不难得到结果的，但是这种表不如九九表那样具有普遍性，也不如九九表那样便于诵读。

古玛雅人用20进位制，跟现代世界通用的十进位制最接近。一个19x19乘法表有190项，比九九表的45项虽然大三倍多，但比巴比伦方法还是简便得多。

用乘法表进行乘法运算，并非进位制的必然结果。巴比伦有进位制，但它们并没有发明或使用九九表式的乘法表，而是发明用平方表法计算乘积。玛雅人的数学是西方古文明中最先进的，用20进位制，但也没有发明乘法表。可见从进