必修五不等式 题型
数学必修五不等式基础测试(不包含线性规划)
《必修五》第三章不等式测试卷姓名：一、选择题（每题4分,共32分。
）（ ）1.若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是A ．c b c a +≥+B ．bc ac >C ．ba 11< D ．0)(2≥-cb a （ ）2.若41,21<<-<<b a ，则b a -的取值范围为A ．60<-<b aB ．02<-<-b aC ．20-<-<b aD ．33<-<-b a （ ）3.不等式0)3)(1(>--x x 的解集为A. }1|{<x xB. }3|{>x xC. }31|{><x x x 或D. }31|{<<x x （ ）4.不等式0322>-+x x 的解集是A ．}31|{<<-x xB ．}31|{>-<x x x 或C ．}13|{<<-x x D. }13|{>-<x x x 或 （ ）5.二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是A.⎩⎨⎧>∆>00aB.⎩⎨⎧<∆>00aC.⎩⎨⎧>∆<00aD.⎩⎨⎧<∆<00a （ ）6．下列结论正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,42+<<时无最小值 （ ）7．已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是 Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10（ ）8．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是（21-，31），则a b +的值是 A ．10 B ．10- C ．14 D ．14-二、填空题（每小题4分，共16分）9. 已知10<<x ，则函数)21(x x y -=的最大值是_____ __.10.已知2>x ，则y ＝21-+x x 的最小值是_____ __. 11.已知0<x ，则x x y 4+=得最大值是_____ __. 12.14、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是_____ __.三、解答题（6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
必修五不等式练习题及参考答案
一、选择题。
1. 元二次不等式 A. 10 B. 2. 3、 必修五不等式练习题及参考答案ax 2 bx 2 0的解集是 10 C. 14 D. F 列各函数中，最小值为 x 23 C . y亍 元二次不等式mx 1丄），则a b 的值是（2 3 14 2的是 mx sin x sin x （0,-）A 、 m c 、 m3 -,n 23尹4、不等式 2x 3 x 2A.{x|-1 v x v 3} C.{x|-3 v x v 1} 0的解集是x|3,n 3230的解集是B . 5、若对于任何实数，二次函数 2y=ax -x+x 1 ,贝U m , n 的值分别是{x|x > 3 或 xv -1}D.{x|x>1 或 xv -3}c 的值恒为负，那么 a 、c 应满足 口 1 A 、a >0 且 acw 4 1C 、av 0 且 ac> 4 B 、av 0 且 acv -4D 、a v 0 且 acv6、在坐标平面上，不等式组 3,所表示的平面区域的面积为（A . 28B . 16C .39 47、不等式（x 5)(3 2x)6的解集是 ()99A 、{ x | x 1,或x -}B 、{x | 1 x -}22C 、{x |x9,或x 1} f , 9 D 、{x | x 1}222 0x y D . 1211 A •最小值—和最大值123C .最小值一而无最大值43B .最大值1和最小值-4D .最大值2而无最小值o&如果实数x, y 满足x1，则(1 xy)(1 xy)有()9、不等式竺」2 x1的解集是 2B . x|4 3x 2 C . x | x 2或 x — D . x | x 2410、关于x 的方程 ax 2+ 2x — 1 = 0至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（A . a 》0B . — 1 w a v 0 D . a >—11、、对于任意实数 X ,不等式（a 2)x 2 2(a2）x 4 0恒成立，则实数 a 取值范围是,2 ,2C 、 （一2,2）2,2A . a 7,或 a 24B. a7,或a 24C. 7 a 24D. 24a 7二填空题。
高中数学必修5常考题型基本不等式 Word版含解析
基本不等式【知识梳理】．重要不等式当，是任意实数时，有＋≥，当且仅当＝时，等号成立．．基本不等式（）有关概念：当，均为正数时，把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数．（）不等式：当，是任意正实数时，，的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当＝时，等号成立．()变形：≤，＋≥(其中＞，＞，当且仅当＝时等号成立)．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例】已知，，∈，求证：＋＋≥＋＋.[证明]由基本不等式可得：＋＝()＋()≥，同理：＋≥，＋≥，∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥＋＋，从而＋＋≥＋＋.【类题通法】．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】．已知，是正数，求证≤.证明：∵＞，＞，∴＋≥＞，∴≤＝，即≤(当＝时取“＝”).题型二、利用基本不等式求最值【例】()已知，＞，且＋＝，求的最大值．()已知＞，求()＝＋的最小值；()设＞，＞，且＋＝，求＋的最小值．[解]()∵，＞且＋＝，所以由基本不等式可得≤＝＝，当且仅当＝＝时，取到最大值.∴的最大值为.()∵＞，∴－＞，＞，于是()＝＋＝－＋＋≥＋＝，当且仅当－＝即＝时，()取到最小值.()法一：∵＞，＞＋＝，∴＋＝＋＝＋＋≥＋＝＋，当且仅当＝，即＝时，等号成立，解得＝－，＝－，∴当＝－，＝－时，＋有最小值＋.法二：＋＝·＝(＋)＝＋＋≥＋＝＋，以下同解法一．【类题通法】．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即()一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，>，>；()二定：化不等式的一边为定值；()三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【对点训练】．()已知＋＝，求＋的最小值；()已知＞，＞，且＋＝，求的最大值．。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
人教版必修五：不等式恒成立问题经典例题(共22张PPT)
例2：不等式x²-2ax+2≥a当x∈[-1,+∞)时恒成立，求a 的范围。
解：原不等式可化为：
x22a xa20
令 f( x ) x 2 2 a a x 2 ,x 1 ,
xa f x的图像开口向上，且对称轴为
由题意得：
a1
f 1a30 或
a1
f aa2 a20
所以 3a1
不等式恒成立问题的解题原理：
f(a ) fx 下 x 限 D
不等式恒成立问题的一般步骤： （1）明确变量和参数（求谁的范围谁是参数，谁的范 围已知谁是自变量），合理变形（一次二次不等式的标 准形式或变量参数的分离式 ）。 （2） 构建函数,注意标明自变量范围。 （3)求函数的最值或限值，利用最值或限值构建关于参 数的不等式求出参数的范围。 注意事项： （1）形式上的一元二次不等式要对二次项系数等零不 等零进行讨论。 （2）指对不等式在底数不确定时要对底数进行讨论。 （3）如最值或限值总在定义域的两端点处产生时，不 必讨论。
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/112021/8/112021/8/11Aug-2111- Aug-21
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/112021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
2
求实数k的取值范围. (2 2,2 2)
2.函数 f(x)log1(x2kx2)的值域为R,
2
求实数k的取值范围.
( , 22 ][22 , )
例1：不等式 x2a x40当 x(1,2) 时恒
成立，求a的范围。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高一数学必修5不等式题型总结
含参数的一元二次不等式的解法1 当 a1,或 0 a 1 时,{x|a x -}a解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:2一、按X 项的系数a 的符号分类，即 例1解不等式：ax 2 a 2x分析：本题二次项系数含有参数, 系数进行分类讨论。
0,a 0 a 2 2 0, a 0;2 4a a 4 0，故只需对二次项解：： 4a a 2 解得方程ax 20两根 二当 0时,解集为0时，不等式为 2x 1 0时，解集为 x|分析 解解不等式ax 2 0，5x 因为aa(x 2 X 12a2 ^2 4,X 2a 2a 2 4 2a 2aa 2 4或或x 0 ,解集为X| X2.. a 2 4 2aa 2 a 2 4 2a2 ,a 2 42a5ax 6a 0 a 0 0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
6) a x当a 0时，解集为x | x 二、按判别式 的符号分类，即例3解不等式x 分析本题中由于2 x 2或x0, a 2 二不等式的解集为例4解不等式2解因m 1；当a0,0时，解集为x | 2 0 ;ax 42X 的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
16m 2 0,二当a4,4即0,此时两根分别为 X1a a 2 16 十 或xX 2 4x 12 24)4 m0时，解集为R ；当a4即厶=0时，解集为 xx R 且 xa . a 2 16 X 2a A ，显然X 1X 2 ,a .a 21643 2m ，所以当-3，即0时，解集为当m■. 3或 m . 3，即0时，解集为 R o三＞按方程ax 2 bx c0的根X 1, X 2的大小来分类，即X 1 X 2,X 1X 2,X 1 X 2 ;例 5解不等式x 2(a bx a1 0 (a 0)分析：此不等式可以分解为： X a(x 1a)0， 故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
高中必修5不等式练习题及答案
［基础训练A组］一、选择题1.若一2/+5兀一2>0,则丁4/-4・丫 + 1+2卜-2|等于（）A. 4x —5B. — 3C. 3D. 5 —4兀2.函数y=log丄（x+古+1）（x > 1）的最大值是（）A. —2B. 2C. —3D. 33人一13.不等式一的解集是（）2—x3 3 3A. {x|—WxW2}B. {x| —Wx V2}C・ {x|x>2 或x W —} D. {x|xV2}4 4 44.设a>l>b>-l,则下列不等式中恒成立的是（）A. — < —B. — > —C・ a>b* D・ £>2ba h a b5.如果实数x，y 满足x2 3+y J=l,则（1—xy）（1+xy）有（）1 3A.最小值一和最大值1B.最大值1和最小值二2 43C.最小值；而无最大值D.最大值1而无最小值46.二次方程/+ （a s+l）x+a-2=0,有一个根比1尢另一个根比一1小,则a的取值范围是（)A・一3 <a<l B. -2<a<0 C. -l<a<0 D. 0<a<2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）x > -21.不等式组、r的负整数解是______________________O兀>一3■2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为__________ oV2 +13.不等式一<0的解集是 _______________________ o2-x4.当尤= ____________ 时，函数y =，（2-小）有最_______值，其值是___________ 。
5・若f（n） = V«2+l 一亿g（n）=舁一J宀1,0（〃）=丄⑺已N）,用不等号连结起来为______2n2 不等式---------- ----------- V0的解集为R,求实数m的取值范围。
高二数学必修五不等式测试题(含答案)
不等式测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1.设a <b <0，则下列不等式中不能成立的是( )A ．1a >1bB ．１a-b ＞1aC ．a bD ．a 2>b 22.设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是( )A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>3.假如正数a b c d ，，，满意4a b cd +==，那么（ ）A ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一B ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一C ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一D ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一4.已知直角三角形的周长为2，则它的最大面积为（ ）A ．3－2 2B ．3＋2 2C ．3－ 2D ．3＋ 25.已知0,0a b >>，则11a b ++ ）A ．2B ．C ．4D ．56.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a bb +C ．1221a b a b +D ．127.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ） A.2 B.23 C.4 D.438.下列不等式中，与不等式“x <3”同解的是（ ）A ．x (x +4)2＜3(x +4)2B ．x (x -4)2＜3(x -4)2C ．x +x-4 ＜3+ x-4D ．x +21-21x x +＜3+2121x x -+ 9.关于x 的不等式(x-2)(ax-2)＞0的解集为｛x ︱x ≠2,x ∈R ｝，则a=( )A ．2B ．-2C ．-1D ．110.不等式∣x 2-x-6∣>∣3-x ∣的解集是（ ）A ．（3，+∞）B ．(－∞，-3)∪（3，+∞）C ．(－∞，－3)∪（－1，+∞）D ．(－∞，－3)∪（－1，3）∪（3，+∞）11.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（ ） A ．174 B ．2 C ．265D ．以上均不对12.若方程x 2－2x ＋lg(2a 2－a)=0有两异号实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(12 ，+∞) ∪(－∞，0)B ．(0，12) C ．(－12 ，0) ∪(12，1) D ．(－1，0) ∪(12 ，+∞)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学必修5不等式试题
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
高中数学必修五 第3章 不等式 经典习题(含答案)
1、 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为_________.2、 不等式0212<---x x 的解集为 .3、 解不等式2024x x <--<.4、 若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有2-，问k 应取怎样的值？ 5、 已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于 （ ）（A ）{}|02x x ≤≤ （B ）{}|02x x << （C ）{}|02x x x <>或 （D ）{}|02x x x ≤≥或6、（2010全国卷2文数）不等式32x x -+＜0的解集为 （ ） （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 7、不等式252(1)x x +≥-的解集是_________. 8、解关于x 的不等式：123x x +≥-. 9、（杭州质检）已知关于x 的不等式220(1)x x a x a+>-++. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）当2a >-时，求次不等式的解集. 10、（四川内江模拟）已知函数2()x f x ax b=+(a b 、为常数）且方程()12f x x =0-+有两个实根123,4x x ==.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设1k >，解关于x 的不等式：(1)()2k x k f x x +-<-. 11、（2010全国卷1文数）不等式22032x x x ->++的解集是 . 12、记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q . （1）若3a =，求P ；（2）若Q P ⊆,求正数a 的取值范围.13、设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）2314、（2010重庆文数）设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）615、(2010浙江文数)若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为（ ）（A ）9 （B ）157 （C ）1 （D ）71516、设,x y R ∈,且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）9 17、若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 .18、已知实数,x y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最小值是___________.19、（2010安徽文数）设,x y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =+的最大值是（A ）3 （B ） 4 （C ） 6 （D ）820、（2010江苏卷）设实数,x y 满足2238,49x xy y ≤≤≤≤，则34x y 的最大值是 21、已知,x y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的最大值和最小值分别是（ ）（A ）13，1 （B ）13，2 （C ）13，45 （D5 21、函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过顶点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>，则11m n+的最小值为_________. 22、已知：,a b 均为正数，142,a b+=则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围是_______. 23、若0,0,,a b a b >>得等差中项是12，且11,a b a bαβ=+=+，则αβ+的最小值为__________.24（海口调研）若正实数,x y 满足条件ln()0x y +=，则11x y+的最小值是_______. 25、当1x >时，函数11y x x =+-的最小值为_________. 26、设0x >，则1322y x x =--+的最大值等于__________.。
必修五不等式练习题含答案
不等式练习题 第一部分1. 下列不等式中成立的是（)A. 若a b ，则 2 ac bc 2B.若 a b ，则 a 2b 2 C. 若a b 0, 则a 2 abb 2D.若a b 0，则1 1 a b1 13已知 3 33 43 42. a,b,c，则a,b,c 的大小关系是（ )552(A) .c a b (B) a b c (C) b a c (D) c b a 3.已知a,b,c 满足c b a 且ac 0，下列选项中不一.定.成立的是（ ）(A ) ab ac (B ) c b a0 (C ) cb 2 ab 2(D ) ac(a c) 0 4. 规定记号表示--种运算, 定义 a © b= . ab ab (a , b为正实数），若1O k 2<3,则k 的取值范围为 ( )A. 1 k 1 B .0 k1C1 k 0D . 0 k 25. 若a,b,c 为实数，则下列命题正确的是（)A. 若 a b ，则 ac 2 bc 2B. 若a b 0，则a 2 ab b 2C. 若a b 0，则丄1a bD. 若a b 0，则baab6. 设 a 2 0.5， b log 3 ，c log 4 2，则（ )A. b a cB. b ca C. abc D. a c b7.在R 上定义运算 :x y x(1 y ），若不等式（x a ） (x a ） 1对任意实数x成 、立 ，则实数a 的取值范围是（ ).A. {a| 1 a 1} B .{a| 0 a 2}C. 13、{a^- a -} D.{a|311 a ~}2 2228. 已知正实数x,y 满足 x 2y 4，则丄丄 的最小值为4x y9. 设x, y 为正实数，a..x 2 xy y 2,bp.、xy,c xy . 试比较 a 、c 的大小.6.10 •已知不等式ax 2 5x 2 0的解集是M •(1) 若2 M ，求a 的取值范围； (2)若M x\2 x 2，求不等式ax 2 5x a 2 1 0的解集第二部分1 •给出以下四个命题:1 12 2①若a>b ,则-<匚; ②若ac >bc ，则a>b ；a b ③若 a>| b|，则 a>b ； ④若 a>b ,则 a 2>b 2. 其中正确的是(1 1 7•设a>0, b>0.若•.3是3a 与3b 的等比中项，则b 的最小值为( )A. 82 6A.②④B •②③C .①② D.①③2.设 a , b € R, A. b -a>0 B若a — | b|>0，贝U 下列不等式中正确的是()C . b + a>0D . a 2— b 2<0 3.在下列函数中，最小值是 2的是()A.x + 2 .y = x +1(x >0)C. y = sin x + cscx , x € (0 ,4. 已知log a (a 2+ 1)<log a 2a<0，则a 的取值范围是( A. (0,1) 1)C.+ x)5. f (x) = ax 2+ ax — 1在R 上满足f (x)<0，则a 的取值范围是( )A. (",0]B. (—x,— 4)C. (—4,0)D. (—4,0]B. D.B. 41C. 1 D48. ________________________________________________________________ 已知当x>0时，不等式x2—m灶4>0恒成立，则实数m的取值范围是_________ .9. 已知A= {x| x2—3x + 2<0}, B= {x| x2—(a+ 1)x + a<0}.(1)若A B,求a的取值范围；⑵若B? A,求a的取值范围1 910. 已知x>0, y>0，且- + -= 1,求x+ y的最小值.x y11. 已知a, b, c都是正数，且a+ b+ c = 1.求证：(1 —a)(1 —b)(1 —c) >8abc.证明••• a、b、c都是正数，且a+ b+ c= 1,/. 1 —a= b+ c>2 bc>0,1 —b = a+ c>2 ac>0,1 —c = a+ b>2 ab>0.(1 —a)(1 —b)(1 —c) >2 bc ・2 . ac ・2 ab= 8abc.212. 不等式kx —2x+ 6k<0(k工0).(1) 若不等式的解集为｛x|x< —3或x> —2｝，求k的值；(2) 若不等式的解集为R,求k的取值范围.2. D 【解析】C 选项不一定成立.故选C. 4. A【解析】根据题意1e k 2 魔2 1 k 2 3化简为k 2 k 2 0,对k 分情况去 绝对值如下:当k 0时，原不等式为k k 2 0解得2 k 1，所以 0 k 1 ； 当k 0时, 原不等式为 2 0成立，所以k0 ；当k 0时, 原不等式为k 2k 2 0，解得1 k 2，所以 1 k 0 ；综上, 1 k 1，所以选择 A. 5. B【解析】对于A,当c 0时，不等式不成立，故 A 错；对于C,因为a b 0 ,111 1两边同时除以ab 0，所以丄丄，故C 错；对于D,因为a b 0 , --0 ,a bba所以a b ，故D 错，所以选B.b a6. A【解析a 2 0.5, b log 3 , c log 42 , 1> 2°.5 =丄 > -,罷21. D.【解析】对于A ,若c 不成立；对于C,若a1所以丄a参考答案 第一部分0 ,显然ac 2 b 0，则 a 2 ;故选Dbc 2不成立；对于B ,若b a 0，则a 2 ab b 2，所以C 错；对于D,若a bb 233 4 2 3. C 【解析】1所以c综上,所以答案为: D.c, ac 0,0,a (1) Qbc,a0,ab ac;⑵Qba, 0,0, c b0 ；(3)Q c a,,Q ac 0, ac a•⑷b a 且c 0, a 0, 0或b 0或b 0,cb 2和ab 2的大小不能确定,即1 、log3>1, log42= - b>a>c .故选：A.27. C【解析】根据题意化简不等式为(x a)(1 (x a)) 1,即x2 x (a2 a 1) 0对任意实数x成立,所以根据二次恒成立0,解得1 a -.2 28. 1【解析】由x 2y 4 化为y 4 x代入y 1得2 4x y4 x 1 1 1 1 1 1 x 2y 12 4x y 2x y 8 2x y 4 81 y x 51 ，因为x 0,y 0，所以4 x y 2 8y 1 1 y x 5 1 1亠1厂x 5 12-g 14x y 4 x y 2 8 4 V x y 2 8(当且仅当“ x y - ”时，取“ ”)，故最小值为1.32 2 2 2 2 2 2 29. a2 x2 xy y2, c2 x2 2xy y2 c2 a2 xy ；x 0, y 0, xy 0,即 c a ;110. (1) a 2 (2) x 3 x 1【解析】(1)由2 M，说明元素2满足不等式ax2 5x 2 0，代入即可求出a 的取值范围；(2)由M xg x 2，i,2是方程ax2 5x 2 0的两个根，由韦达定理即可求出a 2，代入原不等式解一元二次不等式即可；2(1)v 2 M，二 a 2 5 2 2 0，••• a 22 v M x|1 x 2 ,二1,2是方程ax2 5x 2 0 的两个根，1•••由韦达定理得21 2a解得a 22第二部分由 a —|b|>0? |b|va? — a<b<a? a + b>0,故选 C. x 2y = 2+ —的值域为(一x,— 2] U [2 ,+x )；2 Xx + 2 ------ 1 y = x +1= x + 1+ x + 1>2(x >0)； 1 y =sinx +cscx =sinx +snr 2(0<sin x <1)；y = 7x + 7一x >2（当且仅当x = 0时取等号）.a +b 1 = 2?1 1=二》匚=4.ab 1 4所以 x + y = (x + y)( 1+ 9) = y + 翌 + 10>2x y x y y 9x 1 9当且仅当x =「时，等号成立，又因为x +-=1.入 y入 y4•不等式ax 2 5xa 20即为：2x 2 5x 3 0其解集为x7.解析 .3是 3a 与3b 的等比中项? 3a ・3b = 3a +b =3? a + b = 1, •/ a>0,b>0, /. ab2.解析3.解析 1 1 a + b …a + b = ab11.解析因为 x>0, y>0, x + 9=1,9x-9-+ 10= 16. y1所以当x = 4, y = 12 时，(x + y)min= 16.函数y = 3x + x^+1的最小值是()A.C.。
必修五解不等式练习题
必修五解不等式练习题一、一元一次不等式1. 解不等式：3x 5 > 2x + 12. 解不等式：4 2(x 3) ≤ 5x + 73. 解不等式：5 3(x + 2) > 2x 44. 解不等式：2(3x 1) 4(x + 3) < 7 x5. 解不等式：7 4(x 2) ≥ 3x + 1二、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 02. 解不等式：2x^2 3x 2 < 03. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 04. 解不等式：x^2 + 6x + 9 > 05. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0三、分式不等式1. 解不等式：\(\frac{1}{x2} > \frac{3}{x+1}\)2. 解不等式：\(\frac{2}{x+3} ≤ \frac{1}{x4}\)3. 解不等式：\(\frac{3}{x5} + \frac{2}{x+2} < 0\)4. 解不等式：\(\frac{4}{x+4} \frac{1}{x3} > 0\)5. 解不等式：\(\frac{5}{x1} = \frac{2}{x+5}\)四、含绝对值的不等式1. 解不等式：|2x 3| > 52. 解不等式：|3x + 4| < 73. 解不等式：|4 x| ≥ 24. 解不等式：|5x 2| ≤ 35. 解不等式：|x + 6| = 8五、综合练习1. 解不等式组：\(\begin{cases} 2x 3 > 0 \\ x + 4 < 7\end{cases}\)2. 解不等式组：\(\begin{cases} x^2 5x + 6 ≤ 0 \\ 3x +2 > 0 \end{cases}\)3. 解不等式组：\(\begin{cases} |x 2| < 3 \\\frac{1}{x+1} > 0 \end{cases}\)4. 解不等式组：\(\begin{cases} 4x 7 < 0 \\ |2x + 5| ≥ 3 \end{cases}\)5. 解不等式组：\(\begin{cases} x^2 4x + 3 > 0 \\\frac{2}{x1} ≤ 1 \end{cases}\)六、不等式的应用1. 某企业的年利润为x万元，若年利润增加1万元，则需增加投资20万元。
必修5不等式题型总结
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如练习一、：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法； 5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)
基本不等式 知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学必修5不等式训练(含详细答案)
高中数学必修5不等式训练(含详细答案)第三章 不等式一、选择题.1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )．A. a 2 + 1＞aB.112+a ＜1C. a 2 + 9＞6aD. lg (a 2 +1)＞lg|2a |2. 下列函数中，最小值为 2 是( )．A. y =xx 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x+x lg 1，1＜x ＜10C. y = 3x + 3-x ，x ∈RD. y = sin x+x sin 1，2π0＜＜x3. 不等式组 表示的平面区域的面积等于( )．A. 28B. 16C.439 D. 1214. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )．x ≤3 x + y ≥0 x - y + 2≥0A. ⎪⎭⎫⎝⎛11001， B. (100，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛11001，∪(100，＋∞)D. (0，1)∪(100，＋∞)5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )．A. x ≥2，或 x ≤-2B. -2≤x ≤2C. x ＜-3，或 x ＞3D. -2＜x ＜2 6. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )．A. 10B.C.D. 7. 若 x ＞0，y ＞0，且 281x y+=，则 xy 有( )．A. 最大值 64B. 最小值164C. 最小值12D. 最小值648. 若 ，则目标函数 z = 2x + y 的x ≤2 y ≤2x + y ≥1取值范围是( )．A. [0，6] B . [2，4] C. [3，6] D. [0，5] 9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )．A. α1＜x ＜β1B. -β1＜x ＜-α1C. -α1＜x ＜-β1D. β1＜x ＜α110. 若 a ＞0，b ＞0 ，且1a b +=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．A. 9B. 8C.7D. 6二、填空题. 1. 函数y 的定义域是 ．2. 若 x ，y 满足 ，则x y 的最大值为____________________，最小值x + 2y - 5≤0x ≥1y ≥0 x + 2y - 3≥0为_________________．3. 函数y=的最大值为．4. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是．5. 若集合A = {(x，y)| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y)|(y-x)(y+x)≤0}，M = A∩B，则M的面积为___________．6. 若不等式2x - 1＞m(x2 - 1)对满足-2≤m≤2 的所有m都成立，则x的取值范围是．三、解答题．1. 若奇函数f(x)在其定义域(-2，2)上是减函数，且f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，求实数a的取值范围．2. 已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值．3. 设实数 x ，y 满足不等式组 ．（1）作出点(x ，y )所在的平面区域； （2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．1≤x + y ≤4y + 2≥|2x - 3|4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为200 m2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．参考答案一、选择题． 1. A【解析】A ：a 2 - a + 1 = a 2- a +4341+=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．B ：当 a = 0 时，左 = 右．C ：当 a = 3 时，左 = 右．D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．lg x =1，即x =10时，y min = 2． 此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +x31≥2．x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2．当 sin x =xsin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π． 3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)．∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 21×8×4 = 16． 4. D 【解析】∵∴ x ＞0． ∵ lg x 2＜lg 2x ， ∴ lg 2x - 2lg x ＞0． ∴ lg x ＞2 ，或 lg x ＜0， ∴ x ＞100 ，或 0＜x ＜1． 5. A【解析】∵（x 4 - 4）-（x 2 - 2）≥ 0，∴ x 4 - x 2 - 2≥0，∴（x 2 - 2）（x 2 + 1）≥0.x 2＞0，x ＞0，∴ x 2≥2．∴ x ≥2，或 x ≤-2． 6. D【解析】 3x + 3y ≥2yx33⋅= 2yx +3，∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183，当 x = y =25时，等号成立．7. D 【解析】 yx 82+≥2yx 82⋅= 8xy 1，当yx 82=，即 时，8xy1取最大值，即 xy取最小值 64． 8. A【解析】 据不等式组画出可行域．易知 A (-1，2)，B (2，2)．将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，z min = 0，当直线过 B 点时，z max = 6． 9. Cx = 4， y = 16【解析】由题知， 且 a ＜0.∴ b = -a (α + β )， c = a (αβ )．∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a ＞0．∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1＜0． ∴(αx + 1)(βx + 1)＜0． ∵ 0＜α＜β，∴ -α1＜-β1． ∴ -α1＜x ＜-β1． 10. A 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a b a --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1=ab 2+1≥222⎪⎭⎫⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9．二、填空题． 1. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜xα + β = ab- α β = ac＜8，即(-8，8)．2. 2，0.【解析】 据不等式组画出可行域．由图可知，2max=⎪⎭⎫⎝⎛xy ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛m inxy 0．3. 21． 【解析】设 x = cos ， ∈[0，π]． ∴ y = cos sin =21sin 2 ． ∵ ∈[0，π]，∴ 2 ∈[0，2π]，∴ y max =21，此时 =4π，x = cos 4π=22． 4. 21-．【解析】如图，r =21-+b a =212-+b a ≤21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b =22时， r max =212-．5. 1．【解析】如图，M 为阴影部分. M 的面积为()2221⨯= 1．6. 271+-＜x ＜231+． 【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数．由于 -2≤m ≤2 时，f (m )＜0 恒成立，x 2 - 1＞0 x 2 - 1＜0 ∴ 或f （2）＜0 f （-2）＜0解得 1＜x ＜231+，或271+-＜x ＜1，又x = 1 时，亦符合题意．∴ 271+-＜x ＜231+． 三、解答题．1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，得 f (1 - a )＜- f (1 - a 2). 又因为函数f （x ）为奇函数，所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1)．∴ f (1 - a )＜ f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2，2)上是减函数，1 - a ＞a2 – 1 -2＜a ＜1 ∴ -2＜1 - a ＜2 解得 -1＜a ＜3-2＜a 2 - 1＜2 -3＜a ＜3∴ a ∈（-1，1）．2. 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0，∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫⎝⎛-+．∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a ≥22264a a ⋅= 16．当且仅当 a 2 =264a，b = a - b ， 即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．3. （1）（-3，7） 【解析】（2） 最大值为7+3a ，最小值为4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为x200m ，水池外圈周壁长2x + 2 · x 200（m ），中间隔墙长2 · x200（m ），池底面积200（m 2）．∴ y = 400⎪⎭⎫⎝⎛+⋅x x 20022+ 248 · x 200 · 2 + 80×200 = 800⎪⎭⎫⎝⎛+x x 324+ 16 000- 1- 2a , -1＜a ≤2 1 - 3a , a ＞2≥1 600xx 324+ 16 000 = 44 800．当且仅当 x =x324，即 x = 18，x 200=9100时，y min = 44 800．答：当污水池长为 18 m ，宽为9100m 时，总造价最低，最低为 44 800元．。
高中数学必修5不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5不等式精选题目（附答案）一、一元二次不等式(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．1. (1)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}(2)解关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3＞0.1.[解析] (1)由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12.[答案] A(2)解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax 2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为a ＋－3a a ，a －－3a a ，∴此时不等式的解集为x a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a. 综上所述，当a ≥0时，不等式的解集为R ；a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a . 注：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．2．函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3) 解析：选D 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1， 即⎩⎨⎧ 1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：24．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.二、简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．5.(1)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元5.[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC ，目标函数的几何意义是区域内的点与点P (0，－1)连线的斜率，显然图中AP 的斜率最小．由⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3解得点A 的坐标为(2,1)，故目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为1＋12＝1.(2)设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.[答案] (1)A (2)B注：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．6．不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.7．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________. 解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：18．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则⎩⎨⎧ 3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为z＝9x ＋6y . 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33,7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 7三、基本不等式基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．9.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.54[解析] (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.[答案] (1)C (2)C注：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．10．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4 x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝y x ，即x ＝y ＝4时取等号．11．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：912．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x>25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．巩固练习：1．若1a＜1b＜0，则下列不等式不正确的是()A．a＋b＜ab B.ba＋ab＞0C．ab＜b2D．a2＞b2解析：选D由1a＜1b＜0，可得b＜a＜0，故选D.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析：选A∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时等号成立． 4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎨⎧ x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C.94 D ．3 解析：选B 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4y x ≥4，即xy z ≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1， 当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示， ∵y x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大．由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最大值为3.答案：38．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ________log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥ t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .答案：≤9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－110．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)．(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎨⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f (n )＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6.②f (n )＝－2(n －10)2＋128.当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．12．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值． 解：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意f (x )在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，∴⎩⎨⎧ f (0)≥0，f (1)≤0，f (2)≥0，即⎩⎨⎧ b ≥0，a＋2b ＋1≤0，a ＋b ＋2≥0，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图．由⎩⎨⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，即C (－3,1)．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．又B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.。
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不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x+--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()Axf>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()minf x A>若不等式()Bxf<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()maxf x B<（三）基本不等式2a bab+≤1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+baabba变形：有:a+b≥ab2；ab≤22⎪⎭⎫⎝⎛+ba,当且仅当a=b时取等号.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值P2;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值42S.4.常用不等式有：（12222211a b a b aba b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c∈R，222a b c ab bc ca++≥++（当且仅当a b c==时，取等号）；（3）若0,0a b m>>>，则b b ma a m+<+。
不等式主要题型讲解（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______练习：设函数,4)1(2,2)1(1,)(2≤≤≤-≤+=f f bx ax x f 则)2(-f 的取值范围是 。
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小4. 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .（二） 解不等式 题型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
7. 解不等式25123xx x -<---8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<题型四：恒成立问题11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.13. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
（三）基本不等式2a bab +≤题型五：求最值14. （直接用）求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x15. （配凑项与系数）（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。
16. （耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
17. （用耐克函数单调性）求函数224y x =+的值域。
18. （条件不等式）（1） 若实数满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是 .（2） 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++22220. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc21. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型七：数形结合求解22.设不等式0)1(2≥--+p p px x 对任意正整数x 都成立，则实数p 的取值范围23.已知函数)545lg()(m x f x x++=的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） ),4.(+∞-A ),4.[+∞-B )4,.(--∞C ]4,.(--∞D。