必修五不等式 题型

不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)

(5)倒数法则：b

a a

b b a 1

10,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒

>>n N n b a b a n n

且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆，则不等式的解的各

种情况如下表： 0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根

)(,2121x x x x < 有两相等实根

a

b x x 221-

==

无实根

的解集)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅

∅

2、简单的一元高次不等式的解法：

标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()

f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()

如：x x x

+--<

1120

23

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0

()()

0()()0;0

()0

()()

f x

g x

f x f x

f x

g x

g x

g x g x

≥

⎧

>⇔>≥⇔⎨

≠

⎩

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A

x

f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()

min

f x A

>

若不等式()B

x

f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()

max

f x B

<

（三）基本不等式

2

a b

ab

+

≤

1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.

2．如果a,b是正数，那么).

"

"

(

2

号

时取

当且仅当=

=

≥

+

b

a

ab

b

a

变形：有:a+b≥ab

2；ab≤

2

2

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛+b

a

,当且仅当a=b时取等号.

3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值P

2;

如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值

4

2

S

.

4.常用不等式有：（1222

2211

a b a b ab

a b

++

≥≥≥

+

(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c∈R，222

a b c ab bc ca

++≥++（当且仅当a b c

==时，取等号）；（3）若0,0

a b m

>>>，则

b b m

a a m

+

<

+

。

不等式主要题型讲解

（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质

1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①2

2

,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2

2

； ③2

2

,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 11,0<<<则若； ⑤b

a

a b b a ><<则

若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b

c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

练习：设函数,4)1(2,2)1(1,)(2

≤≤≤-≤+=f f bx ax x f 则)2(-f 的取值范围是 。

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设2a >，1

2

p a a =+

-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

4. 若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .

（二） 解不等式 题型三：解不等式

5. 解不等式

6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。