断裂力学讲义ch5-J积分_58907430 (2)

5.2 HRR 场（Hutchinson, Rice 和 Rosengren） ——塑性幂硬化材料平面问题的静止裂纹尖端场 线弹性断裂力学在裂纹尖端存在渐近解，可以用单参数应力强 度因子 K 来表征其强度，渐近场称为 K 场。 非线性的幂硬化弹塑性断裂力学在裂纹尖端也存在渐近解，可 以用 J 积分表征强度，渐近场称为 HRR 场。

证明在超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且材料沿 x1 方向均匀时
u t t
d d wdA 0 超弹性材料 （或形 A 移 dt ij x1 , x2 w ij ij d ij 变塑性不卸载）保
0
d , x2 , t , x2 dA wx1 , x2 , t dA wx1 , x2 , t dA w ij x1 A移 t A移 t dt A移 材料沿 x1 方向均 , x2 , t , x2 , t ij x1 w ij x1 匀， 但本构可以是 dA ij dA A移 A 移 t t ij x2 的函数
※J 积分应用示例 1【习题 5-1】 J1 wn1 n u ,1 d 讨论 J 积分的路径无关性带来的优点是可以选择最容易计算的路径
h
有错误， 请按平面应变和平面应 力分别推导
※J 积分应用示例 2：J 积分与 Dugdale－Barenblatt 模型 COD 的关系
J 积分作为断裂参量的优点（续） ： 1. 对 J 积分进行量测的试件尺寸小于对 K IC 进行量测的试件尺 寸 小范围屈服（SSY） K IC 量测要求
KI a, c, B 2.5 s
测量 J IC 再利用
K IC

2
EJ IC 1 2 只要求
KI a , c, B s
A
an
Amov
O'
x1
x
' 1

w dA A t x1 , x2
t x1 at x1 x 2 x2
w w dA dA A t A t x1 , x2 x1 , x2 0
x1 , t , x2 , t w x1
w w w a t x1 , x2 t x1 , x2 x1
U Qdq ， U Qq qdQ 0 0 Q，q 分别为广义力和广义位移 q Q U J dq 0 a a q
Q q J dQ 0 a a Q 测试多个不同裂纹长度的试件
q
Q
J1 wn1 n u ,1 d

沿围道 cz 有 n1 0 （假设屈服带无限薄）
a R a u u2 u2 J t d x1 dx1 x1 dx1 cz a a R x1 x1 x1
w x , x , t dA A移 t 1 2 A移 t w ij x1, x2 , t , x1 at , x2 dA 上述推导不成立！
J 积分概念引入推导思路总结 能量释放率的引入从整个系统的作功与能量平衡关系得到 =>固定围道内的能量转化 =>如何在随裂尖移动的坐标及围道下表示，在满足一定条件的 前提下， 下述积分就是能量释放率， 转化为围道上信息的积分。
由虚功原理知（怎么来的？） （推导过程中要用到无体力条件）
证 w 为单值
u t t
, x2 x1
d ij
A移
, x2 , t ij x1 t
dA 0
若材料沿 x1 和 x2 方向均不均匀， w w ij , x1 , x2


也用了高斯 定理
上式右端第二项 jk , j uk ,i 0 因为（2，3） 下面我们证明右端第一和第三项可以抵消
w jk 1, 4,5 w,i jk jk xi
1
1 u j ,k u k , j 2 1 u u 1 u 1 u jk j , ki k ,ij jk j , ki jk k ,ij xi 2 2 2
J1 wn1 n u ,1 d

满足下述条件之一
1） 定常裂纹扩展 2） 无限小围道（第一项

2
0
r 1/ 2 rd 0 ）
3） 超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且材料 沿 x1 方向均匀
再看看 J 积分的定义，应该与路径无关？开口围道 Vs 闭口围道 t u d Ga
（由实验知）
2
2. J 积分表征裂纹尖端处的场强度，且即可得裂尖场，类似于 线弹性断裂力学的 K 值（由下一讲可知）
※J 积分的理论局限性 J 积分路径无关性的一个重要前提是 超弹性材料（或形变塑性不卸载） 当裂纹未起裂时，这个条件能严格满足，故 J 积分断裂准则是 准确和严格的。当含有塑性变形的裂纹扩展时，在裂纹尾岸有 塑性卸载，需意识到再使用 J 积分断裂准则只是近似，需要用 实验或理论来验证其适用性。
1 1 1 1 kj u j ,ki jk u k ,ij jk u k ,ij jk u k ,ij jk u k ,ij 2 2 2 2
得证
1.超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且材料沿 xi 方向均匀; 2.无体力作用;3.准静态 4.围道内无奇点;5.小变形
一个移动的围道的能量平衡
（无裂纹，无奇异点）
a(t )
x2
Asta
O
x
' 2
d d wdA a wn1d t u A dt mov w w n j ij ui d dA a dA A t A x , x2 x1 1 w w i , j d ij u a dA A A t x1 x1 , x2 ij dA ij
J i wni n j jk uk ,i d Pij n j d Pij, j dV

V
P ij, j w, j ij jk , j uk ,i jk uk ,ij w,i jk , j uk ,i jk uk ,ij


0 ，d：无量纲材料参数组合， 0 ：参照应力
【习题 5-2】计算 I、II 型 K 场 J 积分，取圆形围道 J 积分小结
J i wni n j jk uk ,i d 0

从另一个角度可以理解能量释放率与加载方式无关 只需当前状态就能计算 J 积分。
※J 积分的另一种通过能量的定义—便于实验量测

所以 J 积分与路径无关
对于J1，显然在l＋和l－段的积分为零，为什么？
证明 J i
wn n
i j
jk
uk ,i d 0 ：总的思路将环路积分转换为面内积
分。引入能动量张量（Eshelby） ：
P ij w ij jk uk ,i ， 则 P ij n j w ij n j n j jk uk ,i ni w n j jk uk ,i
x2 ,t
u
u t
a
, x2 x1
u x1
a(t )
x2 ,t
x2
Asta
O
' x2
an
Amov
O'
t u d Ga

u t t
, x2 x1
d wn1d wdA a A dt mov u d wn1d d wdA a a A x ,t x1 dt mov 2 u d t t x2 ,t
另一个叉画在哪儿？
如有软化怎么办？
※以 J 积分作为断裂参量的断裂准则 J J IC J 积分作为断裂参量具有下述优点： 1. J 积分与路径无关，便于计算； 2. J 积分代表驱动裂纹平移延展的广义能量力； 3. J 积分在线弹性情况下， 为 Griffith 的能量释放率 （ 【习题 5-2】 利用 K 渐近场及 K 与 G 的关系证明） ； 在非线性弹性情况下， 为能量释放率。 4. 在塑性形变理论不卸载的情况下，J 积分具有能量差率（解 释） 5. J 积分与 COD 有简明的对应关系； 6. 可直接由裂纹试件来实验测定 J 积分值（后面详细讲）
d wdA A dt 固 u u d d wdA a wn1d t a A t x , x x ,t x1 dt 移 1 2 2 u u d wn1 t a d t d wdA x ,t x1 t x1 , x2 dt A移 2
J 积分 0 流入围道的能通量 1） 定常裂纹扩展 2 与 Griffith 能量释放率在满 1/ 2 r rd 0 ） 2 ） 无限小围道（第一项 0 足右列条件之一时相等 第二项如何？ 已将能量释放率变成一条线上 3） 超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且材料 的积分！ ！ ！ 沿 x1 方向均匀（见下页证明）

a R
a
中 a t 。理想弹塑性时 s ，＝> J s t 其他材料
t d
J
a R a t x1 x1 u2 u2 dx1 x1 dx1 d d 其 a a R 0 x1 x1
x1
x1'

u wn1 t a x1
d d wdA dt Amov , x2 x1
J 积分 0 流入围道的能通量 1） 定常裂纹扩展 2 与 Griffith 能量释放率在满 1/ 2 r rd 0 ） 2 ） 无限小围道（第一项 0 足右列条件之一时相等 第二项如何？ 已将能量释放率变成一条线上 3） 超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且材料 的积分！ ！ ！ 沿 x1 方向均匀（见下页证明）