解排列组合题的几种常见方法(一)

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高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

数学排列组合

排列组合的体型总结与解题方法一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

排列组合常见的九种方法

排列组合常见的九种方法
1. 直接排列法：将元素按照一定次序排列，每种排列方案都是一个不同的结果。

例如，3个元素的排列数为 3! = 3 × 2 × 1 = 6。

2. 递归法：将问题逐步分解成每一步只有相对简单的子问题，从而不断求解。

通过递归，经过一系列不同的子过程，得到最终的结果。

3. 循环法：使用循环来枚举所有的可能的排列组合情况。

通常用于数组、字符串等元素的排列组合问题。

4. 分组排列法：将待排列的元素按照一定属性分组，再对每组内的元素进行排列组合，最终将每组的结果进行组合得到最终的结果。

5. 交换法：通过元素间的交换，对所有可能的排列组合进行枚举。

该方法需要注意元素交换时的顺序。

6. 邻项对换法：将相邻的两项进行对换，直到所有项都被排列组合了一遍。

7. 插入法：将新的元素依次插入已有元素的任意位置，直到所有元素都被排列组合了一遍。

8. 非递增排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最大的开始进行排列组合。

9. 非递减排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最小的开始进行排列组合。

排列组合常见15种解题方法

排列组合常用的十五种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C；.〔I.然后排首位共有C：, 甲最后排其它位置共有& | | J由分步计数原理得C：C；A； = 288 C] A：C；练习题：1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有疋斎崙=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题：2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_____________ 三•不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有&种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种犹不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有貳处____________ 种元素相离问题可先把没有位宜要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：3.某班新年联欢会原定的5个节目己排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _______四•定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A；丽法。

排列组合问题的几种解题方法

排列组合问题的几种解题方法排列、组合问题，在高考中通常是以选择题或填空题的形式考察，它联系实际，题型多样，解法灵活。

自2010年新课改以来，这类问题的难度有所降低，只要掌握恰当的解决方法问题就可以迎刃而解。

备考中有效的方法是将题型与解法归类，识别模型、熟练运用。

下面我将排列組合中的常规题型及解法总结如下：一、相邻元素捆绑法所谓“捆绑法”，就是在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将视为一个“大元素”.例1. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有种.解析：因甲、乙两人要排在一起，故甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有种排法，但甲、乙两人之间有种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法.二、相离问题插空法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入到空隙及两端位置，故称“插空法”.例2. 6个男同学和4个女同学排成一列照相，任何两个女同学不相邻，问有多少种不同的排法？解析：现将6个男同学排好，其不同的排法为种，这6个男同学的空隙及两端共七个位置中再排4个女同学共有种排法，由分步计数原理可知，任何两个女同学不相邻的排法共有种.三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.例3. 信号兵红旗与白旗挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是解析：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能作一次挂法，故共有不同信号的种数是=10种.四、定位问题优先法所谓“优先法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑.例4. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）种A. B.C. D.解析：先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有放法，再考虑油画与国画本身各有与种放法，故排列的方法为，故选D.五、至少（至多）问题间接法含“至少”、“至多”的排列组合问题，是分类问题，可用间接法。

排列组合问题的常见方法

排列组合问题的常见方法排列组合问题中, 若某些元素或某些位置有特殊要求, 那么, 一般先安排这些特殊元素或位置, 然后再安排其它元素或位置,这种方法叫特殊元素（位置）分析法。

1. 元素分析法先安排有约束条件的元素, 元素找位置。

例1 ：某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育六门课, 如果第一节不排体育, 最后一节不排数学, 一共有多少不同的排法？解把六门课看成元素, 把课表节次看成位置, 元素找位置。

由于数学体育这两个元素有附加条件, 为此优先加以考虑, 若以数学课排法进行分类：①数学排在第一节,A55 ; ②数学排在第二、三、四、五节情况一样, 都是A 14 A 44 ；根据加法原理, 共有A55 +4A 14 A 44 =504 不同排法。

2. 位置分析法例题同上。

先安排有约束条件的位置, 位置选元素。

解：以第一节排法进行分类：①第一节排数学,A55 ; ②第一节排语文英语物理化学, 都是A 14 A 44 根据加法原理, 共有A55 +4A 14 A 44 =504 不同排法。

小结：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素, 再处理其它元素。

若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。

若有多个约束条件, 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

二、间接剔除法有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的反面, 再从整体中淘汰。

例题同上。

解：不考虑任何限制条件, 共有种不同的排法, 但其中所括：数学排在最后一节的排法。

A55 种; 体育排在第一节的排法。

A55种; 这两种情况下, 都包含了数学排在最后一节, 体育排在第一节的情况, 这种情况共有A55 种不同的排法．因此, 不同的排法共有A66 -2A 55 +A 44 =504 种。

说明：用淘汰法解排列组合问题都是先不考虑约束条件, 求出所有的排列种数, 然后减去不合题目要求的排列种数。

排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析：（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个，
个，合并总计300个,
或
个。
5.不相邻问题插空法: 对于某两个元素或者几个元素要条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可 .
解析：方法一（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）
解析：把4名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到3所学校
有种,则不同的保送方案共有
种
解决排列组合问题的一般过程如下： 1、认真审题弄清要做什么事。 2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。 4、解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一些常用的解题方法，根据题目的条件，我们就可以选取不同的方法来解决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。
人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的
选法共有
。
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。

五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。

例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。

例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。

例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。

排列组合解题方法

排列组合解题方法排列组合题在高考试题中占据较大比例，或单独命题，或与概率内容相结合，由于排列组合题抽象性较强，解题思路灵活，方法多样，切入点多，学生在解题过程中往往容易出现思维遗漏、或重复的错误。

下面就是小编给大家带来的排列组合解题方法，希望大家喜欢！相离问题插空法主要用来解决 2 个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。

它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

例 1 在一张节目单中原有 6 个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去 3 个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：该题若直接进行解答较为麻烦，此时可以借助相离问题插空法，可以使问题迎刃而解。

先将原来的6 个节目排列好，这时中间和两端有 7 个空位，然后用一个节目去插 7 个空位，有 A 种方法;接着再用另一个节目去插 8 个空位，有 A 种方法;将最后一个节目插入到 9 个空位中，有 A 种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法 AAA=504 种。

例 2 停车场划出一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好 8 辆车有 A 种方法，要求空位置连在一起，则在每 2 辆之间及其两端的9 个空当中任选一个，将空位置插入其中有 C 种方法。

故共有 AC 种方法。

相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。

例 3 有 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有多少种？解析：由于甲、乙两人必须要排在一起，故可将甲、乙两人捆绑起来作为一个整体进行考虑，即将两人视为一人，再与其他四人进行全排列，则有 A 种排法，甲、乙两人之间有 A 种排法。

排列组合问题经典题型与通用方法 (1)

排列组合问题经典题型与通用方法（一）排序问题1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种。

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法.16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n 个普通排列：12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a - 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有!n n种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有44A 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式5242768⨯=种不同站法.说明：从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m nA m种不同排法.17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.解析：先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 种排法，故共有222542120C C A =种.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。

例谈解答排列组合问题的三种方法

考点透视常见的排列组合问题有分组问题、排队问题、分配问题、计数问题等.解答排列组合问题，需重点讨论完成一件事情所需要的步数、方法数，通常需灵活运用分类计数原理和分步计数原理来求解.那么对于不同的事情，如何计算步数、方法数呢？下面介绍三种方法.一、优先法若题目中的元素有特殊要求，则需采用优先法求解.首先分析题目中有特殊要求的元素的排列方式，再分析题目中其他没有特殊要求的元素的排列方式，最后利用分步计数原理进行求解.例1.小明有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 7个不同的小球，现将这7个小球放进标号分别为1、2、3、4、5、6、7的盒子里，每个盒子只装1个小球.若A 小球必须放进4号盒子里，有多少种不同的放法？剖析：本题中的特殊元素为A 小球，则需采用优先法，优先考虑A 小球的位置，再考虑剩下的6个小球以及盒子的放置顺序.解：先将A 小球放进4号盒子里，有1种放法；再将剩下的6个小球任意放进6个盒子里，有A 66=720种放法；所以一共有A 66A 11=720种不同的放法.二、捆绑法有些题目中要求几个元素必须相邻排列，此时可以运用捆绑法求解.先将必须相邻排列的元素捆绑起来看成“一个整体”，当做1个元素，与其他元素一起排列；然后考虑这个“整体”内部元素的排列顺序；最后根据分步计数原理求解.例2.小明有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 7个不同的小球，现将这7个小球放进标号分别为1、2、3、4、5、6、7的盒子里，每个盒子只装1个小球.若放A 、B 、C 小球的3个盒子的标号相邻，则一共有多少种不同的放法？剖析：根据题意可知，要使放A 、B 、C 小球的3个盒子的标号相邻，需将放有A 、B 、C 3个球的盒子捆绑起来，视为一个“整体”，采用捆绑法求解.解：将放有A 、B 、C 3个球的盒子捆绑起来，视为一个“整体”，与其他4个盒子一起排列，有A 55=120种放法；将A 、B 、C 3个小球放进标号相邻的盒子，有A 33=6种放法；因此一共有A 55A 33=720种不同的放法.三、插空法有些题目要求某些元素不能相邻排列，对于这类问题，需运用插空法求解.先将没有要求的元素排列；再将要求不能相邻排列的元素插入已排列好的元素间的空隙中；最后利用分步计数原理求解即可.例3.小明有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 7个不同的小球，现将这7个小球放进标号分别为1、2、3、4、5、6、7的盒子里，并按照盒子的顺序摆成一排，每个盒子只装1个小球.要求放A 、B 、C 3个小球的盒子的标号不相邻，且也不放在第一个位置，则一共有多少种不同的放法？剖析：由题意可知，要使放A 、B 、C 3个小球的盒子的标号不相邻，则需采用插空法，先将放D 、E 、F 、G 4个小球的盒子排列好，再将放A 、B 、C 3个小球的盒子放在其他盒子间的缝隙中.解：先将放D 、E 、F 、G 4个小球的盒子的顺序排列，有A 44=24种方法；这4个盒子之间有3个空隙，加上最后的位置，有4个位置，再将装有A 、B 、C 3个小球的盒子任意放置在这4个位置中，有C 34=4种放法；所以一共有A 44C 34=96种不同的放法.优先法、捆绑法、插空法都是解答排列组合问题的常用方法，但每种方法的适用情形不同，优先法适用于求解有特殊要求的元素问题；捆绑法适用于求解元素相邻问题；插空法适用于求解元素不相邻问题.同学们在解题时，要仔细审题，先明确题目对元素的要求，确定是否有特殊元素，元素是否相邻，然后再选择与之相应的方法进行求解.（作者单位：湖北省十堰市竹山县第一中学）李家森42Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

解答排列组合问题常用的几种途径

体，即为一个“对象”，4 本不同年级的物理书也看成一
个整体，即为另一个“对象”，把两个“对象”排成一排
有
A2 2
种排法；
第二步，对数学书、物理书两个“对象”内部的元素
分别进行排列，数学书“对象”内部的元素有
A3 3
种排列
方法，物理书“对象”内部的元素有
A
4 4
种排列方法.
因此，符合题意的排列方法共有
同元素.将这 10 个相同元素排成一排，元素之间有 9 个
空，选出 2 个空插入隔板，可把 10 个元素分成 3 份，分
配给每个班级，所以共有
C2 9
=
36种
分配方案.
本题为相同元素的分配问题，可采用隔板法对问
题进行求解.隔板法的适用范围较窄，同学们在解题时
需首先确定问题是否为相同元素的分配问题，再采用
A22∙A33∙A
4 4
=
288种
.
本题中要求数学书必须相邻，物理书也必须相
邻，则本题即为相邻问题，可采用捆绑法对问题进行
求解.
二、运用插空法
若问题中要求几个元素不能相邻，则需采用插空
法，即先将无限制条件的元素全排列；再将指定的不
能相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从
而将各个元素按照题目要求排列好.
隔板法求解.
四、借助倍缩法
有些问题中要求部分元素有固定的顺序，此时我
们可用倍缩法进行求解.先将所有元素进行全排列；然
后用所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数，
即可得到问题的答案.
例 4.现将 4 名男生、3 名女生（身高各不相同）这 7
名学生排成一行.若女生按照从矮到高的顺序排列（从

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。

n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。

排列组合题型及解题方法

排列组合题型及解题方法
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算对象的不同排列或组合的数量。

在解决排列组合问题时，可以使用以下几种常见的方法：
1. 计数法：根据问题的条件，逐步计算出排列或组合的数量。

例如，如果要求从n个不同的元素中选取r个元素进行排列，可以使用计数法计算出排列的数量为n(n-1)(n-2)...(n-r+1)。

2. 公式法：排列组合问题有一些常用的公式，可以直接使用这些公式计算出排列或组合的数量。

例如，排列的数量可以使用阶乘计算，组合的数量可以使用组合公式计算。

3. 递归法：对于一些复杂的排列组合问题，可以使用递归的方法进行求解。

递归法的基本思想是将问题分解为更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。

4. 动态规划法：对于一些具有重叠子问题的排列组合问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

动态规划法的基本思想是将问题划分为多个阶段，并通过保存中间结果来避免重复计算。

在实际应用中，排列组合问题常常与概率、统计、组合优化等领域相关。

解决排列组合问题需要灵活运用数学知识和方法，同时也需要具
备一定的逻辑思维能力。

排列组合问题的解题方法总结学生版(1)

排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题“捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？二、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。

例2：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有个.三、特殊元素（或位置）“优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。

例3：在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个．分析根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位；第二步；排首位；第三步：排中间两位。

解排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。

排列组合解题方法(一)

排列组合解题方法(一)排列组合解题方法什么是排列组合?排列组合是数学中的一个重要概念，用于解决问题中的选择和安排。

排列是指从一组元素中取出若干个元素进行安排，而组合是指从一组元素中取出若干个元素进行选择。

排列和组合的计算方法有很多种，下面将详细介绍几种常用的方法。

方法一：公式法1.排列：–公式：A n m=n!(n−m)!–解释：从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数。

2.组合：–公式：C n m=n!m!(n−m)!–解释：从n个元素中取出m个元素进行组合的方法数。

方法二：迭代法1.排列：排列，直到选择完所有元素。

–代码示例：def permutation(nums, path, res): if len(path) == len(nums):res.append(path[:]) # 注意此处要使用path的副本returnfor num in nums:if num in path:continuepath.append(num)permutation(nums, path, res)path.pop()# 使用示例nums = [1, 2, 3]res = []permutation(nums, [], res)2.组合：组合，直到选择完所有元素。

–代码示例：def combination(nums, start, k, path, res):if k == 0:res.append(path[:]) # 注意此处要使用path的副本returnfor i in range(start, len(nums)):path.append(nums[i])combination(nums, i + 1, k - 1, path,res)path.pop()# 使用示例nums = [1, 2, 3]res = []combination(nums, 0, 2, [], res)方法三：动态规划法1.排列：–算法：使用动态规划计算排列的方法数。

解高中排列组合题的常用方法

解高中排列组合题的常用方法排列组合是高中数学的重点和难点之一,也是高考必考的内容.学好排列组合对同学有两方面的益处,一方面为同学进一步学好概率知识打下坚实的基础;另一方面使同学进一步理解和掌握分类讨论思想、转化思想和对称思想等数学思想.由于排列组合问题不仅内容抽象,题型多样,解法灵活,而且解题过程中极易出现重复或者遗漏的错误,针对这些问题,下文介绍了八种解排列组合题的常用方法,并且结合一些2009年数学高考题来阐述一下这些方法的具体运用.一、分类法(分类问题)对于可分成若干类完成的排列组合问题,把问题分成若干类(使得每类不重不漏),分别计算出每类的排列组合数,再根据加法原理把各类的排列组合数相加即可.例1 甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种解析此问题可分为两类,第一类是:由甲组中选出一名女生,有C15•C13•C26=225种选法,第二类是:由乙组中选出一名女生,有C25•C16•C12=120种选法,从而共有225+120=345种选法,故选D.例2用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)解析此问题可分为两类,第一类是:个位、十位和百位上的数字都是偶数的四位数有C23A33C14+A33C13=90个,第二类是:个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数的四位数有C23A33C14+C13C23A33C13=234个,故个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有90+234=324个.评注对于分类问题,关键是正确地分类和准确地计算出每类的排列组合数.练习在11名同学中,有5人只会打篮球,4人只会打乒乓球,另外2人既会打篮球也会打乒乓球,现从11人中选4人打篮球,4人打乒乓球,问共有多少种不同的选法?(答案:185)二、分步法(分步问题)对于可分成若干步完成的排列组合问题,把问题分成若干步,分别计算出每步的排列组合数,再根据乘法原理把各步的排列组合数相乘即可.例3 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有()A. 120种B. 96种C. 60种D. 48种解析此问题可分为四步完成,第一步是:5人中选4人共有C45种,第二步是:星期五选一人有C14种,第三步是:星期六选两人有C23种,第四步是:星期日选一人有C11种,则不同的选派方法共有C45C14C23C11=60种,故选C.例4 甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).解析此问题可分为两步完成,第一步是:先排甲有7种情况,第二步是:再排乙、丙,此步又分为两类,第一类是:当乙和甲站在同一个台阶有1种情况时,丙站在其它六个台阶之一有6种情况,第二类是:当乙站在其它六个台阶其中之一有6种情况时,丙可以任意站有7种情况,则第二步有1×6+6×7=48种情况,故不同的站法种数是7×48=336种.评注对于分步问题,关键是正确地分步和准确地计算出每步的排列组合数.练习n+1本不同的书分给n个人,每人至少一本,问有多少种不同的分法?(答案:C2n+1Ann)三、排除法/间接法(限制条件问题)对于关于有限制条件的排列组合问题,首先求出不加限制条件的排列组合数,然后减去其中不符合条件的排列组合数.例5 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种解析两人各选2门的情况有C24C24种,两人所选两门都不相同的情况有C24C22种,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有C24C24-C24C22=36-6=30种,故选C.例6 某地政府召集5家企业人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A. 14B. 16C. 20D. 48解析不考虑是否来自同一企业的种数是C36,而3人有来自同一企业的种数是C22C14,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为C36-C22C14=20-4=16,故选B.评注对于有限制条件或出现“至少”“至多”之类字眼的题目适合用排除法,就是让不考虑限制条件得到的总排列组合数减去不符合题中限制条件的排列组合数.练习某班有10名中共党员,其中4名男同学,6名女同学,要从这10人中评选出3名“三好学生”,并且至少有1名男同学,问有多少种选法?(答案:100)四、优先法(指定位置问题)对于某几个元素要排在指定位置的排列组合问题,一般应先考虑这些特殊元素,再考虑其他元素.例7 从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为()A. 432B. 288C. 216D. 108解析由于是奇数,优先考虑末尾数字从1,3,5,7中取,有种情况;再从剩余三个奇数中选取一个,有C13种情况;从2,4,6三个偶数中选取两个,有C23种情况,再进行十位、百位和千位三个位置的全排列,有A33种情况,则共有C14C13C23A33=216个,故选C.评注上题中要求的是奇数,所以优先考虑末尾数字,再考虑其他位置的数字.练习广东宏远篮球队的10名队员中有3名主力球员,派5名参加比赛,3名主力球员安排在中锋、组织后卫和进攻后卫位置上,从其余7名球员中选2名排在小前锋和大前锋位置,那么不同的出场顺序有多少种?(答案:252)五、插空法(不相邻问题)对于某几个元素不相邻的排列组合问题,可先将其它元素排好,再将这些不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入.例8 5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有种.解析除甲乙外先排其他三人有A33种情况,再将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中有A24种情况,故甲、乙两不相邻的排法有A33A24=72种.评注上题中由于甲、乙不相邻,所以先排其他人,再把甲和乙插进去.练习n个男生要m(m≤n)和个女生合影,要求m个女生两两不相邻,问有多少种不同的排法?(答案:AnnAmn+1)六、捆绑法(相邻问题)对于某几个元素相邻的排列组合问题,可将相邻的元素捆绑在一起,看作一个整体元素与其它元素排列组合,然后再在这个整体元素内部进行排列组合.例9 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A. 60B. 48C. 42D. 36解析有两位女生相邻可从名女生中任取人捆绑在一起记作a,(a共有C23A22=6种不同排法),剩下一名女生记作b,两名男生分别记作甲、乙,则男生甲必须在a、b之间(若甲在a、b两端,则为使a、b不相邻,只有把男生乙排在a、b之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(a左b右和a右b左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,则共有12×4=48种不同排法,故选B.评注上题中由于有两名女生相邻,所以要把这两名相邻女生捆绑在一块看成一个整体.练习5名同学要和2名校长合影,要求排成一排,2名校长相邻且不排在两端,问有多少种不同的排法?(答案:960)七、集合法(交叉问题)对于某些排列组合部分之间有交集的排列组合问题,可用集合中求元素个数公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A ∩B)来求解.例10 50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为()A. 50B. 45C. 40D.35解析由公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B),得两项都参加的学生人数为:Card(A∩B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∪B)=30+25-50=5,则仅参加了一项活动的学生人数为:50-5=45,故选B.评注关键是把公式中的每个量准确地求出来.练习从6名运动员中选出4名参加4×100m接力赛,其中甲不跑第二棒,乙不跑第三棒,共有多少种不同的参赛方法?(答案:252)八、概率法(概率问题)对于几种情况出现概率相同的排列组合问题,只要求出其中一种情况排列组合数,乘以情况总数就可得到总体情况排列组合数;或者只要求出总体情况排列组合数,除以情况总数就可得到每种情况排列组合数.例11 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).解析由于三个乡镇甲、乙、丙都有可能得到两名大学生,这三种情况出现的概率相同,从而我们不妨只考虑乡镇甲分到两名大学生,乡镇乙、丙各分到一名大学生的情况,这种分配方案有C24C12C11=12种,故总的分配方案有3C24C12C11=3×12=36种.评注关键是搞清楚每种情况发生的概率,再选其中一类特殊情况进行讨论.练习由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,其中个位数小于十位数的共有多少个?(答案:2160) 解排列组台题的方法很多,以上只是对常用方法进行了分析,这里只起抛砖引玉的作用,望大家解题时不断积累经验,总结解题规律,掌握方法和技巧,最终达到灵活运用.责任编校徐国坚。

排列组合问题的解题方法总结很非常好的方法(高三复习很合适)全

排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解：因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。

例2：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。

1717解排列组合问题常用方法(二十种)

17 解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

由分步计数原理得113344288C C A =。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

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