双因素试验的方差分析

B 铜含量
A 试验温度
0 .2 %
0 .4 %
0 .8 %
Ti
36 .7
31.4
Ti 2
1346 .89
985 .96
20 ℃
0℃
10.6
7 .0
11.6
11.1
14.5
13.3
20 ℃
40 ℃
4 .2
4 .2 26
6 .8
6 .3 35.8
11.5
8 .7 48
22 .5
19.2
SE ST S A SB 130.75 64.5767 60.74 5.4333，
23
S A 自由度： r 1 3 ， S B 自由度： s 1 2 ， S E 自由度： r 1s 1 6 ，
于是，
64.5767 3 FA 3 23.7707， SE 5.4333 6 6 64.5767 SB 2 FB 2 33.5376． SE 5.4333 6 6 SA
506 .25
368 .64 3207 .74
T j
T 2 j
676
1281 .64
2304
4261 .64
21
解：
2 X ij 1135.42， T X ij 109.8 ， r 4 ， s 3 ． i 1 j 1 i 1 j 1 r s r s
2 2 T 109 . 8 2 所以， ST X ij 1135 .42 130.75 ， rs 43 i 1 j 1 r s
3.2 双因素试验的方差分析
材料科学与工程学院 赵 娜 ２０１５.１０.０９1
上一节介绍了单因素试验的方差分析方法．然而 在许多问题中，还需对多个因素的影响进行分析．
在制定农业增产的生产规划时，发生这样的情况： 采用最优的种子与肥料类型，可能由于搭配得当而获 得较高的亩产量．因而不仅需要分别研究不同品种的 种子和不同类型肥料对亩产量影响，还需要研究各品 种的种子与各类型肥料的不同搭配对亩产量的影响， 这便是双因素试验的方差分析要研究的问题．
t 1 ．
12
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r 个不同的水平
A1, A2 , , Ar ，
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , , Bs ．
在水平组合 Ai ,

Bj 下进行 t 次试验。
13
试验结果用
X ijk
k 1,
2, , t 2, , t
s 1
( r 1) ( s 1)
SS E (r 1)(s 1)
总 和 SS T
rs 1
二、双因素重复试验 的方差分析
1
在无交互作用时，对因素 A ， B 各水 平的每种组合只进行一次试验，即 t 1 ． 当 要 考 虑 因 素 间 的 交 互 作 用 A B 时， 在各水平组合下需要做重复试 验．设每种水平组合下试验次数均为 t
2, , r ，
1 r t X j X ijk ， j 1, 2, , s ． rt i 1 k 1
16
总离差平方和
ST X ijk X
r s t i 1 j 1 k 1 s t r
2
X ijk X ij X i X X j X X ij X i X j X
1
r
s
rs

1
A i 水平时所有试验值的算术平均值 B j 水平时所有试验值的算术平均值
i
s
x ij ， j
1
s
j
j

1
r
x ij i
1
r
双因素无重复试验数据表
8 A水平 B水平
B1 X11 X21 … Xr1
B2
…
Bs X1s X2s … Xrs
A1 A2 … Ar
（1）计算离差平方和
X12 … X22 … … Xr2 …
2
SS T
X ij i j
r s
1 1
X
其中 ST 称为总离差平方和，简称为总平方和， 也称为总变差平方和．
其中
SS e
X ij i j
r s
1 1
Xi X j X
2
2
SS A s X i X
表示， 我们把试验结果 X ijk k 1, 看作是取自正态总体 X ij ~ N
,
ij
2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
14
因素
B 各水平

B1
B2
因素
A 各水平
Bs

A1
X111 , X112 , , X11t
X121 , X122 , , X12t
X1s1 , X1s 2 , , X1st
r s i 1 j 1
2
SE S A SB S A B
17
在许多情况下，水平组合 Ai ,

Bj 的这种效应并不等
于水平 Ai 的效应和 B j 的效应之和．我们把 Ai 的效应与
B j 的效应差称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效
应，简称交互效应．在多因素试验中，通常把因素 A 与 因素 B 对试验指标的交互效应设想为某一新因素的效 应．这个新因素记作 A B ，称这个新因素 A 与 B 的交 互作用．
15
1 r s t X X ijk ， rst i 1 j 1 k 1
1 t X ij X ijk ， t k 1
i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s ，
1 s t X i X ijk ， st j 1 k 1
i 1,
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r 个不同的水平
交互作用：若因素A的数值 和水平发生变化时，试验指 Ar ， B的变化规律发生 标随因素 变化，反之，若因素B的数 值和水平发生变化时，试验 指标随因素A的变化规律也 发生变化，则称因素A、B间 Bs ． 有交互作用，记为 AXB。

A2

X 211 , X 212 , , X 21t

X 221 , X 222 , , X 22t
X 2s1, X 2s 2 , , X 2st



Ar
X r11, X r12 , , X r1t
X r 21 , X r 22 , , X r 2t
X rs1 , X rs 2 , , X rst
因素 A B
r 1s 1
rst 1
rst 1
S A B
SE r 1s 1
SE rst 1
误差
SE
ST
SE
总和
20
例 1 试验某种钢不同的含铜量在各种温度下的冲击值 kgm cm2 ， 其实测数据如下表， 试在 0.01 下 检验差异性是否显著？ 表 某种钢的铜含量与不同温度下的冲击值表
i 1 j 1 k 1
2
X ijk X ij st X i X rt X j X
r s t 2 r 2 s i 1 j 1 k 1 i 1 j 1
2
t X ij X i X j X
18
其中
r s t 2 S E X ijk X ij i 1 j 1 k 1 r S st X X 2 A i i 1 s 2 S B rt X j X j 1 r s 2 S A B t X ij X i X j X i 1 j 1
B2
-3 1 8 6 36 -11 -10 7 -6 -4 -3
B3
2 -1 0 -18 324 -2 4 -8 5 4 3
B4
18 6 16 75 5625 2 20 1
Ti
27 51 29 107 7921
Ti 2
729 2601 841 4171
A1
A2
A3
T j
T 2 j
A1, A2 , ,
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , ,
在水平组合 Ai ,

Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
如果A、B两因素相互独立，则称之为双因素无重复实验； 如果A、B两因素有交互作用，则称之为双因素重复试验。 3
一、双因素无重复试 验的方差分析
1
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r 个不同的水平
19
有交互作用的双因素试验方差分析表
方差来源 因素 平方和 自由度 均方
F
值
临界值
显著性
A
SA SB
A B
r 1
因素 B
s 1
SA r 1 S SB B s 1 SA
FA FB FA B
F r 1, rs t 1 F s 1, rs t 1
F r 1 s 1 , rs t 1
28
为计算
X
B
2 ijk
，将上表中的 Ai ,

Bj 的平方数据列成下表
表
A
B1 A1
A2
144 1 81
2 ijk
B2
24
表
方差来源 因素 平方和 自由度
试验数据方差分析表
均方
F
值
临界值
显著性 显著 显著
A
64 .5767 60.74 5.4333
3
2
21 .5256 30.37 0.90555
23 .7707 33.5378
F0.01 3, 6 9.78 F0.01 2, 6 10.92
因素 B 误差 总和
X ij ．此外，在假定每个水平组合 Ai , Bj 下进行一
次实验。
6
双因素无重复试验数据表
7 A水平 B水平
B1 X11 X21 … Xr1
B2
…
Bs X1s X2s … Xrs
xij ， i j
1 1
A1 A2 … Ar
（1）计算平均值
所有试验值的算术平均根
i
X12 … X22 … … Xr2 …
22
1 r 2 T2 1 1 S A Ti 3207 .74 109.82 64.5767， s i 1 rs 3 12
1 s 2 T2 1 1 SB Tj 4261 .64 109.82 60.74 ， r j 1 rs 4 12
6
11
130 .75
所以，认为试验温度的各个水平有显著性差异， 认为铜含量的各个水平有显著性差异．
25
例 2 四种施肥方案与三种深翻方案配合成 12 种育苗方案， 作杨树苗试验， 获得苗高数据如下 表．在显著性水平 0.05 下，检验施肥方案之间的差异是否显著？深翻方案之间的差异是否显 著？交互作用是否显著？ 表 施肥 第一方案 深翻 第一方案 第二方案 第三方案 52 41 49 43 47 38 39 53 42 48 50 36 37 41 48 29 30 47 34 36 37 42 39 40 38 44 32 45 44 43 58 46 56 42 60 41 第二方案 第三方案 第四方案
r i 1
s
SS B r X j X
j 1
2
9
双因素无重复试验方差分析表
10
差异源 ＳＳ 因素A SS A 因素B SS B 误 差
SS e
自由度
r 1
均
MS A
MS B
MS e
方
SS A r 1
SS B s 1
F检验
FA
FB
MS A MS e
MS B MS e
A1, A2 , , Ar ，
因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2 , , Bs ．
在水平组合 Ai ,

Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
5
我们假定
X ij
i 1,
2, , r ;
j 1, 2, , s
相互独立，且服从正态分布 N
,
ij
2 ，
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也 就 是 说 ， 我 们 共 有 rs 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体
26
解： 设深翻因素为 A ， 分 3 个水平 A 1, 分 4 个水平 B1, 施肥因素为 B ， A2 , A3 ；
B2 , B3 , B4 ；每水平搭配 Ai , B j ，各做 3
次试验，即 t 3 ．
27
为简化计算，令 X Y 40 ，得新数据表 表
B A
B1
12 1 9 3 7 -2 44 1936 -1 13 2 8 10 -4