第4章 频率分析法汇总
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第4章频率分析 Microsoft PowerPoint 演示文稿
• 其中，Gm和Pm分别为系统的幅值裕量和相位裕 量，而Wcg和Wcp分别为幅值裕量和相位裕量处 相应的频率值。
• 3．半Bode图的绘制 • 只需要求开环对数幅频特性曲线,可用Semilogx函数实现， 其调用格式为 • Semilogx(w，L) • 其中L=20*log(abs(mag))。 • 4. Nichols图的绘制 • 在MATLAB中绘制Nichols图的函数调用格式为 • [mag,phase,w]=nichols(num,den,w) • Plot(phase,20*log10(mag))
第4章频域特性分析法
本章的主要内容包括： 1系统频率响应的获取 2系统Nyquist图的绘制及分析 3系统Bode图的绘制及其分析 4Nichols图的绘制
• 系统频率响应计算 • 取频率响应数据的函数freqresp( )，其调 用格式为 • F＝freqresp(num,den,sqrt(-1)*w) • 式中，F为频率响应，w为给定的角频率向 量。
• • • • • •
Nyquist图的绘制及分析 绘制系统的Nyquist图的函数的调用格式为 nyquist(num,den) nyquist(num,den，w) [Re, w]=nyquist(num,den) 其中，Re和Im为奈氏曲线的实部和虚部向量。
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• Bode图的绘制及分析
• • • • • • • 1．Bode图的绘制 在MATLAB中，绘制Bode图的函数调用格式为 Bode(num,den) w的范围自动设定 bode(num,den，w) w的范围可以由人工给定 2．幅值裕量和相位裕量 求系统的幅值裕量和相位的函数调用格式为 [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den)
系统的频率特性分析
系统的型号:一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少 来对系统进行分类的方法
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
第四章 频率分析法
与引例4-1类似， A()和()的物理意义在于： 稳态输出的幅值是输入的A()倍，而与输入的相位 差为()，即此时系统的稳态输出为
lim c(t ) G ( j ) sin(t ( ))
t
需要指出的是，对于物理上可实现的系统，其 传递函数的分母多项式阶次n总是大于或等于分子 多项式的阶次m，即nm。 因此，不可能出现当 →∞时系统输出的幅值也趋于无穷大的情况。 G(j)的幅频、相频特性和实频、虚频特性之 间具有下列关系：
上式写成幅值和幅角表达式为
U 1 1 1 o U i 1 jT 1 jT 1 jT 1 1 T
2 2
arctan ω
则RC网络的幅频特性为
A( )
相频特性为
1 1 T
2 2
( ) [ arctanT ]
可以证明，从RC网络得到的这一重 要结论，对于任何稳定的线性定常系统 都是正确的。设系统的传递函数为
同理，幅频特性A()是的偶函数，而相 频特性()则是的奇函数。
G(j)的极坐标图绘制时需要取的增量逐 点作出，因此不便于手工作图。一般情况下， 根据作图原理，可以粗略地绘制出极坐标图的 草图。
G(j)的极坐标图通常用于频域稳定性分析中。
2、对数坐标图
通常也称为波德(Bode)图、对数频率特性图。 它具有方便实用的特点，因而被广泛地应用于控 制系统的分析和设计中。 波德图是根据频率特性的矢量表达式
P( ) A( ) cos ( ) Q( ) A( ) sin ( )
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( ) Q ( ) ( ) arct an P ( )
4-1-2 频率特性的定义
从直观上看，可以把频率特性定义为 系统的稳态正弦输出信号的复数符号与输 入正弦信号的复数符号之比，即
频率分析法
i =1
n
表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 BODE 上可由环节特性叠加而得到。 上可由环节特性叠加而得到。 同样， 同样，相频特性也具有这个特点
) ) ∠G( jω) = ∑∠( jτ iω +1 + + ∑∠( jTiω +1 −
Y ( jω ) ∠ = ∠ G ( jω ) X ( jω )
为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下： 为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下：
Y ( jω) = G( jω) X( jω)
线性定常系统的频率特性， ω取代其传递函数中s即 线性定常系统的频率特性，用jω取代其传递函数中 即得。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。
纸张张力控制系统
I = Ie jψi
正弦输入信号下系统的稳态输出
40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号， 给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号，响应如下
结论： 结论：
Ar=1 ω=0.5
线性定常系统是稳定的情况下，系统的正弦响应在 线性定常系统是稳定的情况下， 稳定的情况下 稳态时，输出与输入是同频率 而幅值和相角皆随 同频率， 稳态时，输出与输入是同频率，而幅值和相角皆随 ω而变的正弦。 而 的正弦。
Ae
即
jω t
jω
ωe j (π / 2)
A ωe
j ( ωt + π / 2 )
n
表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 BODE 上可由环节特性叠加而得到。 上可由环节特性叠加而得到。 同样， 同样，相频特性也具有这个特点
) ) ∠G( jω) = ∑∠( jτ iω +1 + + ∑∠( jTiω +1 −
Y ( jω ) ∠ = ∠ G ( jω ) X ( jω )
为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下： 为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下：
Y ( jω) = G( jω) X( jω)
线性定常系统的频率特性， ω取代其传递函数中s即 线性定常系统的频率特性，用jω取代其传递函数中 即得。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。
纸张张力控制系统
I = Ie jψi
正弦输入信号下系统的稳态输出
40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号， 给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号，响应如下
结论： 结论：
Ar=1 ω=0.5
线性定常系统是稳定的情况下，系统的正弦响应在 线性定常系统是稳定的情况下， 稳定的情况下 稳态时，输出与输入是同频率 而幅值和相角皆随 同频率， 稳态时，输出与输入是同频率，而幅值和相角皆随 ω而变的正弦。 而 的正弦。
Ae
即
jω t
jω
ωe j (π / 2)
A ωe
j ( ωt + π / 2 )
《自动控制理论教学》四频率分析法
当需要绘制精确对数幅频 特性时，可按误差曲线对 近似曲线加以修正。
29.06.2021
整理课件
惯性环节对数幅频特性 用渐近线时的误差曲线21
惯性环节具有低通滤波器特性。
在对数幅频特性和相频特性中，是以与T的乘积 T的形式出现的。当时间常数变为nT， 变为 /n时，T保持不变，幅值和相角就不变。
变为/n，相当于横坐标移过－lgn的距离。因 此当惯性环节的时间常数T变化时，对数幅频特 性及相频特性左右移动，但形状不变。
输出：电流 i
对于稳态线性电路，输出量和输入量之间有以下关系：同频、
变幅、移相：
U • U j te
•
I
U ej( t )
R 2 (L )2
arc L tan R
29.06.2021
整理课件
R-L串联电路 （惯性环节）
5
•
定义：
G(j)
I
•
A()ej()
U
A() 1
()arctLan
频率特性：
G 1 ( j ) A1 ( )e j1 ( )
G 2 ( j ) A2 ( )e j2 ( )
A 1 ( ) A 2 1 ( ) L 1 ( ) L 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )
只要把积分环节、惯性环节、振荡环节的对数频率特性曲 线上下倒过来，就得到微分环节的对数频率特性。
0 90 180
相频特性对于＝1/T， ＝－90的点是斜对称的。
29.06.2021
整理课件
振荡环节的对数频率特性30
特殊点的值：
0 A()1 ()0 1/T A()1/2 ()/2 A()0 ()
极坐标图的形状与阻尼比有 关，与T无关。
29.06.2021
整理课件
惯性环节对数幅频特性 用渐近线时的误差曲线21
惯性环节具有低通滤波器特性。
在对数幅频特性和相频特性中，是以与T的乘积 T的形式出现的。当时间常数变为nT， 变为 /n时，T保持不变，幅值和相角就不变。
变为/n，相当于横坐标移过－lgn的距离。因 此当惯性环节的时间常数T变化时，对数幅频特 性及相频特性左右移动，但形状不变。
输出：电流 i
对于稳态线性电路，输出量和输入量之间有以下关系：同频、
变幅、移相：
U • U j te
•
I
U ej( t )
R 2 (L )2
arc L tan R
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R-L串联电路 （惯性环节）
5
•
定义：
G(j)
I
•
A()ej()
U
A() 1
()arctLan
频率特性：
G 1 ( j ) A1 ( )e j1 ( )
G 2 ( j ) A2 ( )e j2 ( )
A 1 ( ) A 2 1 ( ) L 1 ( ) L 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )
只要把积分环节、惯性环节、振荡环节的对数频率特性曲 线上下倒过来，就得到微分环节的对数频率特性。
0 90 180
相频特性对于＝1/T， ＝－90的点是斜对称的。
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整理课件
振荡环节的对数频率特性30
特殊点的值：
0 A()1 ()0 1/T A()1/2 ()/2 A()0 ()
极坐标图的形状与阻尼比有 关，与T无关。
第四章 频率分析法
2
(1 + T2 )
2 2
A ( )
1 + T2
2
( ) arctan T1 9 0 arctan T 2
24
第四章 系统的频域特性分析
Nyquist草图绘制小结
1、保持准确曲线的重要特征：如起点、终点、与实轴、虚 轴的交点 2、在重要点附近有足够的准确性。
，求系统的频率特性
4）频率特性可用实验方法求取。
9
第四章 系统的频域特性分析
4.2 频率特性的图示方法
一、频率特性极坐标图（又称Nyquist图）
当频率从∞变到+∞时，向量G(j)的幅值和相位也随之作 相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 相角的符号规定：从正实轴开始，顺时针为负，逆时针为正。 据G(j)的定义，用实频特性和虚频特性表示
A ( ) e
j
j
1
( ) e
j
( rad )
57 . 3 ( )
奈氏图特点：在单位圆上作 无限循环。
20
第四章 系统的频域特性分析
2、Nyquist图的草图绘制
（1）由G(jω)求其实部、虚部、A(ω), ψ(ω)表 达式。 （2）计算若干特征点
传递函数：G (s) 设
U 0 (s) U i (s)
1 RCs 1
1 Ts 1
R
u i ( t ) U i sin t U i (s) U i s
2 2
ui
i
C u0
2
第四章 系统的频域特性分析
则
Uo(s)=
1 Ts+1
(1 + T2 )
2 2
A ( )
1 + T2
2
( ) arctan T1 9 0 arctan T 2
24
第四章 系统的频域特性分析
Nyquist草图绘制小结
1、保持准确曲线的重要特征：如起点、终点、与实轴、虚 轴的交点 2、在重要点附近有足够的准确性。
，求系统的频率特性
4）频率特性可用实验方法求取。
9
第四章 系统的频域特性分析
4.2 频率特性的图示方法
一、频率特性极坐标图（又称Nyquist图）
当频率从∞变到+∞时，向量G(j)的幅值和相位也随之作 相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 相角的符号规定：从正实轴开始，顺时针为负，逆时针为正。 据G(j)的定义，用实频特性和虚频特性表示
A ( ) e
j
j
1
( ) e
j
( rad )
57 . 3 ( )
奈氏图特点：在单位圆上作 无限循环。
20
第四章 系统的频域特性分析
2、Nyquist图的草图绘制
（1）由G(jω)求其实部、虚部、A(ω), ψ(ω)表 达式。 （2）计算若干特征点
传递函数：G (s) 设
U 0 (s) U i (s)
1 RCs 1
1 Ts 1
R
u i ( t ) U i sin t U i (s) U i s
2 2
ui
i
C u0
2
第四章 系统的频域特性分析
则
Uo(s)=
1 Ts+1
频率分析法
i 1 j 1
( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1)
k
m1
m2
Go ( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gk ( j ) Gi ( j )
i 1
Go ( j ) G1 ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) G2 ( j ) Gi ( j ) Gi ( j )
( ) j 90
4-2-4 惯性环节
Nyquist图
1
1 G( j ) 1 Ts
s j
1 1 jT
T 1 G( j ) j arctan T 2 2 2 2 2 2 1 T 1 T 1 T 1 A( ) 1 2T 2
G( j ) G( j ) e j ( ) Im[G( j )] ( ) G( j ) arctg Re[G( j )]
G( j ) G( j ) e j ( ) G( j ) e j ( )
e j[ t ( )] e j[ t ( )] yn (t ) X G ( j ) 2j X G ( j ) sin[ t ( )]
()是单调减的，且以转折频率为 中心，两边反对称
① ② ③
最大误差
L( ) 20 lg 1 1 2T 2
1 / T
1 20 lg 3.01(dB) 2
误差修正曲线
4-2-5 一阶微分环节 G ( j ) 1 T s s j 1 jT
Nyquist图 Bode图
幅频特性与相频特性----系统的频率特性。
频率特性与传递函数的关系
s p
j
G ( j ) G ( s ) s j
( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1)
k
m1
m2
Go ( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gk ( j ) Gi ( j )
i 1
Go ( j ) G1 ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) G2 ( j ) Gi ( j ) Gi ( j )
( ) j 90
4-2-4 惯性环节
Nyquist图
1
1 G( j ) 1 Ts
s j
1 1 jT
T 1 G( j ) j arctan T 2 2 2 2 2 2 1 T 1 T 1 T 1 A( ) 1 2T 2
G( j ) G( j ) e j ( ) Im[G( j )] ( ) G( j ) arctg Re[G( j )]
G( j ) G( j ) e j ( ) G( j ) e j ( )
e j[ t ( )] e j[ t ( )] yn (t ) X G ( j ) 2j X G ( j ) sin[ t ( )]
()是单调减的，且以转折频率为 中心，两边反对称
① ② ③
最大误差
L( ) 20 lg 1 1 2T 2
1 / T
1 20 lg 3.01(dB) 2
误差修正曲线
4-2-5 一阶微分环节 G ( j ) 1 T s s j 1 jT
Nyquist图 Bode图
幅频特性与相频特性----系统的频率特性。
频率特性与传递函数的关系
s p
j
G ( j ) G ( s ) s j
第四章 系统的频率特性分析
61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
第4章频率分析法
第四章 频率分析法
频率特性包括幅频特性和相频特性， 频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频 包括幅频特性 率域里全面地描述了系统输入和输出之间的 关系即系统的特性。 关系即系统的特性。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 是指系统对正弦输入的稳态输出 频率特性和频率响应是两个联系密切但又有 区别的概念。 区别的概念。
Y(ω) A(ω) = X
（4-2） ）
它描述了在稳态情况下， 它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义： 系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的 的变化， 相位之差随频率ω的变化，记为ϕ(ω)。 。 它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特 按照正弦信号的旋转矢量表示方法， 性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定 ϕ(ω)按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向 按逆时针方向旋转为正值， 按逆时针方向旋转为正值 旋转为负值。 旋转为负值。 幅频特性A( 和相频特性 统称为系统的频 幅频特性 ω)和相频特性ϕ(ω)统称为系统的频 统称为系统的 率特性，记作G(j 。频率特性G(j 是一个以 率特性，记作 ω)。频率特性 ω)是一个以 为自变量的复变函数，它是一个矢量。 频率ω为自变量的复变函数，它是一个矢量。
dy(t ) x(t ) = C + ky(t ) dt
系统的传递函数
式中 T=c/k=10/10=1（s） （） 系统的频率特性
Y(s) 1/ k 1/ k G(s) = = = X(s) c Ts + 1 s +1 k
1/ k 0.1 G(jω) = = 1+ jωT 1 + jω
频率特性包括幅频特性和相频特性， 频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频 包括幅频特性 率域里全面地描述了系统输入和输出之间的 关系即系统的特性。 关系即系统的特性。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 是指系统对正弦输入的稳态输出 频率特性和频率响应是两个联系密切但又有 区别的概念。 区别的概念。
Y(ω) A(ω) = X
（4-2） ）
它描述了在稳态情况下， 它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义： 系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的 的变化， 相位之差随频率ω的变化，记为ϕ(ω)。 。 它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特 按照正弦信号的旋转矢量表示方法， 性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定 ϕ(ω)按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向 按逆时针方向旋转为正值， 按逆时针方向旋转为正值 旋转为负值。 旋转为负值。 幅频特性A( 和相频特性 统称为系统的频 幅频特性 ω)和相频特性ϕ(ω)统称为系统的频 统称为系统的 率特性，记作G(j 。频率特性G(j 是一个以 率特性，记作 ω)。频率特性 ω)是一个以 为自变量的复变函数，它是一个矢量。 频率ω为自变量的复变函数，它是一个矢量。
dy(t ) x(t ) = C + ky(t ) dt
系统的传递函数
式中 T=c/k=10/10=1（s） （） 系统的频率特性
Y(s) 1/ k 1/ k G(s) = = = X(s) c Ts + 1 s +1 k
1/ k 0.1 G(jω) = = 1+ jωT 1 + jω
第4章 频率响应法h1
结论
Ar=1 ω=0.5
=1
=2
=2.5
=4
3
稳定的线性系统： 输出与输入r(t)具有 稳定的线性系统：C (t)输出与输入 具有相同频率 的正弦信号 输出与输入 具有相同频率
一、基本概念
频率特性定义： 频率特性定义：零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。 | C ( jω ) | | G ( jω ) |= C ( jω ) | R( jω ) | G ( jω ) = R( jω )
13
幅相频率特性（极坐标图） 4.2 幅相频率特性（极坐标图）
Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的开环频 提出了一种根据闭环控制系统的开环频 率特性，确定闭环控制系统稳定性的方法。 率特性，确定闭环控制系统稳定性的方法。
R(S)
E(S )
B(S)
任何一个复杂系统都是 由有限个典型环节组成。 由有限个典型环节组成。
A(ω )
G ( j ω ) = G ( s ) s = jω
实验测得
Im
ω =0→∞
G ( jω )
G( jω) = A(ω)e
jϕ (ω )
ϕ (ω )
Re
变化时， 当输入信号的频率 ω → 0 ~ ∞ 变化时，向量 G ( jω ) 的幅值和相位也随之作相应的变化， 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平 面上移动的轨迹称为极坐标图，或奈奎斯特 面上移动的轨迹称为极坐标图，或奈奎斯特 (Nyquist) 图 。
jω +1 Φe ( jω) = jω + 2
7
jω +1 Φe ( jω) = jω + 2
第四章 频率特性分析1
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
线性定常系统对谐波输入的响应为：
xo (t ) = A(ω ) sin[ωt + ϕ (ω )]
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如图4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形
9
例1
设系统的传递函数为G ( s) =
K Ts + 1
输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 得
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
物理频率分析知识点总结
物理频率分析知识点总结一、傅立叶级数和傅立叶变换1. 频率分析的重要工具之一是傅立叶级数和傅立叶变换。
傅立叶级数是将周期信号分解成多个谐波信号的叠加形式，而傅立叶变换则适用于非周期信号的频率分析。
2. 傅立叶级数的基本公式为：f(x) = a0/2 + ∑ (an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中a0/2表示直流分量，an和bn分别表示正弦和余弦谐波分量，n表示谐波次数，ω表示基波角频率。
3. 傅立叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫ f(t)*exp(-jωt)dt，其中F(ω)表示傅立叶变换，f(t)表示时域信号，exp(-jωt)表示复指数信号，ω表示频率。
4. 傅立叶级数和傅立叶变换都可以将时域信号转换成频域信号，从而实现频率分析和滤波处理。
二、频谱分析1. 频谱分析是指将时域信号转换成频域信号，以便对信号的频率特性进行研究和分析。
常用的频谱分析方法有离散傅立叶变换（DFT）、快速傅立叶变换（FFT）等。
2. 离散傅立叶变换（DFT）将连续信号采样后，通过傅立叶变换将离散信号转换成频域信号，从而获得信号的频谱分布情况。
3. 快速傅立叶变换（FFT）是一种高效的频谱分析方法，可以在较短的时间内对信号进行快速的频率分析，并且适用于数字信号处理系统中。
4. 频谱分析可以用来分析信号的频率成分、谱线强度、频谱分布等信息，有助于了解信号的频率特性和频域特征，对于振动分析、通信系统、音频处理等领域有重要应用。
三、功率谱密度分析1. 功率谱密度是指信号在频域上的能量分布情况，描述了信号的功率在不同频率段的分布情况。
功率谱密度分析是频率分析的重要工具之一。
2. 信号的自相关函数和互相关函数可以用来计算信号的功率谱密度，通过傅立叶变换将时域自相关函数转换成频域功率谱密度。
3. 功率谱密度分析可以用来判断信号的频率成分、频谱形状、功率分布情况，对信号的频率特性和频域特征进行研究和分析。
四、数字滤波1. 数字滤波是应用数字信号处理技术对信号进行频率分析和滤波处理的方法，常用于消除噪声、去除干扰、提取特定频率成分等。
第4章 线性系统的频域分析
第4章线频域分析法频域分析方法是根据系统的频率特性来分析系统的性能，也常称为频率特性法或频率法。
频域分析法有以下特点，首先是频率特性有明确的物理意义。
系统的频率响应可以用数学模型算出，也可以通过实际的频率特性实验测出。
这一点在工程实践上价值很大，特别是对结构复杂或机理不明确的对象，频率分析法提供了一个处理这类问题的有效方法。
频率法计算简单，只用很小的计算量和很简单的运算方法，再辅以作图，便可以完成分析与综合的工作。
当前已有一套完整便捷的基于频率法的计算机辅助设计软件，可以代替人工完成绝大部分的设计工作。
频率法也有其缺点和局限性。
频率法只适合用于线性定常系统。
从原理上讲频率法不能用于非线性系统或时变系统。
虽然在研究非线性系统时也借用了频率法的一些思想，但只能在特定的条件下解决一些很有局限性的问题。
本章研究频率特性的基本概念、图示方法、控制系统的稳定性判据、系统性能的频域分析方法。
4.1 频率特性系统的频率特性描述了线性系统在正弦信号输入下其稳态输出和输入的关系。
为了说明频率特性的概念，下面分析线性系统在正弦输入信号的作用下，其输出信号和输入信号间的关系。
设线性定常系统输入信号为()r t ，输出信号为()c t ，如图4-1所示。
图中G(s)为系统的传递函数。
即 1011111()()()mm m m n n n nb s b s b s b C s G s R s s a s a s a ----++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++ （n m ≥） （4-1）若在系统输入端作用一个时间的谐波函数，即0()s i n ()r t r t ωϕ=⋅+ ，式中，0r 是振幅；ω是频率；ϕ是相角。
为简便起见，假设0ϕ=，则0()sin r t r t ω=⋅ 图4-1 一般线性定常系统由于0022()()()r r R s s s j s j ωωωωω==++- （4-2）系统输出()C s 为10110111()()()()()m m m m n n n n b s b s b s b r C s G s R s s a s a s a s j s j ωωω----++⋅⋅⋅++==⋅++⋅⋅⋅+++-1()ni i i C B Ds s s j s j ωω==++-+-∑（4-3）式中，i s 为系统特征根，即极点（设为互异）；C i ，B ，D 均为相应极点处留数。
《频率分析法》课件
频率分析法的原理
1
计算频率
2
通过统计每个元素在数据样本中出现
的次数，计算出其频率。
3
数据收集
首先，收集需要分析的数据样本。
绘制频率分布图
将元素频率绘制成柱状图、饼图等可 视化图表，以便更直观地展示数据特 征。
频率分析法的优缺点
1 优点
快速、简单易行的分析方法，可以发现数据中隐藏的特征和规律。
2 缺点
《频率分析法》PPT课件
欢迎来到我们的《频率分析法》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍频率 分析法的原理、应用领域以及其优缺点。接下来，我们将通过实例和其他检 测分析方法的比较，帮助您更好地理解并掌握这一方法。
频率分析法的介绍
频分析法是一种用于分析数据中成分频率分布的方法。通过统计数据中各个元素出现的频率，我们可 以揭示出数据中的重要特征和趋势，从而为进一步的分析提供依据。
对数据样本的选择和样本量的大小敏感，可能存在样本偏差和统计误差。
频率分析法的实例
股票市场分析
通过对历史股票交易数据进行 频率分析，可以揭示出股票市 场的波动特征和趋势。
客户购买分析
将客户的购买行为数据进行频 率分析，可以识别出客户的偏 好和潜在需求。
网站流量分析
通过对网站访问数据进行频率 分析，可以了解用户访问模式 和流量来源。
频率分析法与其他检测分析方法的比较
频率分析法
通过统计元素出现的频率， 揭示数据的特征和趋势。
回归分析
通过建立数学模型，分析变 量之间的关系。
聚类分析
通过将数据分组，寻找相似 性和差异性。
总结和展望
通过频率分析法，我们可以更好地理解和分析数据中的特征和趋势。未来， 随着数据分析技术的发展，频率分析法将在更多领域发挥重要作用。
基本频率分析知识点总结
基本频率分析知识点总结1. 什么是频率分析频率分析是一种统计方法，用于研究数据中不同数值出现的次数，并将这些次数以频率的形式呈现出来。
通过频率分析，我们可以了解数据中的分布规律和趋势变化，从而更好地理解数据的特征和含义。
2. 频率分析的基本概念在频率分析中，我们常常会遇到以下几个基本概念：- 绝对频数：指某个数值在数据中出现的次数，也就是该数值的绝对频率。
- 相对频率：指某个数值在数据中出现的次数与总次数的比值，也就是该数值的相对频率。
- 累积频数：指小于或等于某一数值的所有数值的频数之和。
- 累积频率：指小于或等于某一数值的所有数值的相对频率之和。
3. 频率分析的应用领域频率分析在各个领域都有广泛的应用，例如在统计学、金融学、市场营销、社会学、心理学、医学等领域，都可以看到频率分析的身影。
在具体的应用中，频率分析可以帮助人们更好地理解数据的特征和规律，从而进行有效的决策和分析。
4. 频率分析的常见方法在实际应用中，频率分析可以通过多种方法来进行，主要包括：- 单变量频率分析：通过对单个变量的频数和频率进行统计分析，来了解单个变量的分布情况。
- 多变量频率分析：通过对多个变量的频数和频率进行统计分析，来了解多个变量之间的关系和相互影响。
- 累积频率分析：通过对数据进行累积频数和累积频率的计算，来了解数据的累积变化情况。
- 百分位数分析：通过计算数据的百分位数，来了解数据中特定位置的数值所占的比例。
5. 频率分析的常见指标在频率分析中，我们通常会用到一些常见的指标来描述数据的分布情况，主要包括：- 众数：指数据中出现次数最多的数值，也就是数据中的最常见数值。
- 中位数：指数据中按升序排列后位于中间位置的数值，也就是数据的中间值。
- 平均数：指数据中所有数值的总和除以数值的总个数，也就是数据的平均值。
- 分位数：指将数据按大小顺序排列后，将其分为等份的数值，如四分位数、中位数等。
6. 频率分布表在频率分析中，我们通常会使用频率分布表来展示数据的频率分布情况。
第四章 频率分析法2
2.积分环节
1 1 G ( j ) j j
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1
L(w)/dB
20
-20dB/dec
20 lg
0.1
1
w
φ (w)°
( ) arctg
V ( ) 90 U ( )
w
-90°
3．微分环节
G( j ) j
w
-90°
-180°
7.二阶微分
G( j ) T 2 ( j ) 2 2Tj 1
L(w)/dB
L( ) 20 lg A( ) 20 lg [1 (T ) ] ( 2T )
2 2 2
40dB/dec 0
1/T
φ (w)°
w
( ) arctg
V ( ) 2 T arctg U ( ) 1 (T ) 2
L(w)/dB 20 [-20] 10 2 0
0.4 1 20dB/dec 10 40 100
[0]
[-20]
1
w
L1(w)=20lg3=9.5dB 各环节的转折频率 j0.5w+1 w1=1/T=2 1/(j2.5w+1) w2=1/T=0.4 1/(j0.025w+1) w3=1/T=40
-20
45°
1/T w
6．振荡环节
1 1 G ( s) 2 2 T ( j ) 2T ( j ) 1 1 (T ) 2 j 2T 1 (T ) 2 j 2T [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
例：已知系统开环传函为
试绘制其开环伯德图 解： 比例
频域分析法
➢ 奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频 率特性图）
G( j) Re[G( j)] j Im[G( j)] P() jQ() G( j) e jG( j) A()e j()
其中，P()、Q()分别称为系统的实频特
性和虚频特性。显然：
A() P()2 Q()2
() arctg Q() P( )
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第四章 频域分析法
○、概述 一、频率特性的基本概念 二、典型环节的频率特性图 三、系统开环频率特性图 四、频域稳定性判据 五、闭环控制系统的频率特性 六、频域指标与时域性能指标间的关系 七、用系统开环频率特性分析闭环系统性能 八、频域特性的计算机辅助分析 九、小结
1
第四章 频域分析法
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31
第四章 频域分析法
➢ 一阶微分环节的Nyquist图
实频特性： Im
=
P() 1
1 22
虚频特性：
Q()
0
=0
Re
arctg 1
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32
第四章 频域分析法
➢ 一阶微分环节的Bode图
注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性
互为倒数( = T )，根据对数频率特性图的
A() 1/T () -90
11
第四章 频域分析法
➢ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。
尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
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第四章 频域分析法
G( j) Re[G( j)] j Im[G( j)] P() jQ() G( j) e jG( j) A()e j()
其中，P()、Q()分别称为系统的实频特
性和虚频特性。显然：
A() P()2 Q()2
() arctg Q() P( )
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第四章 频域分析法
○、概述 一、频率特性的基本概念 二、典型环节的频率特性图 三、系统开环频率特性图 四、频域稳定性判据 五、闭环控制系统的频率特性 六、频域指标与时域性能指标间的关系 七、用系统开环频率特性分析闭环系统性能 八、频域特性的计算机辅助分析 九、小结
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第四章 频域分析法
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第四章 频域分析法
➢ 一阶微分环节的Nyquist图
实频特性： Im
=
P() 1
1 22
虚频特性：
Q()
0
=0
Re
arctg 1
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第四章 频域分析法
➢ 一阶微分环节的Bode图
注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性
互为倒数( = T )，根据对数频率特性图的
A() 1/T () -90
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第四章 频域分析法
➢ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。
尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
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第四章 频域分析法
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（4-1）
研究频率响应的意义：当信号频率变化时，幅值Y() 与相位差()也随之变化。
系统的幅频特性定义：输出信号与输入信号的幅值之比， 记为：
A() Y ()
X
（4-2）
它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值
比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的
中，实频特性和虚频特性又分别称为同相分量和 异相分量。
显然有：
A() |G(j)| Re2() Im2 ()
(4-5)
( ) G(j ) arctan Im() Re( )
(4-6)
例4-1 机械系统如图4-3所示： 弹簧刚度系数k=10N/m，阻 尼系数f=10N·s/m，输入幅 值为 1N的正弦力，求两种 频率下即：x(t)=sint和 x(t)=sin100t时，系统的位移 y(t)的稳态输出。
记为：
G( j) | G( j) | e jG( j) A() e j() (4-3)
由于频率特性G(j)是一个 Im
复变量，因此它还可以写成 实部和虚部之和，即：
Im(ω)
G(j) Re() jIm( )
(4-4)
O
|G(jω)| G(jω)
∠G(jω) Re(ω) Re
式中Re()是G(j)的实部，称为实频特性；Im() 是G(j)的虚部，称为虚频特性。在机械测试技术
Re(
)
1
0.1
2
Im(
)
0.1 12
系统的幅频特性为
A()
Re()2 Im( )2
1
0.1
2
2
0.1 12
2
0.1
12
系统的相频特性为
( )
arctg
Im( )
0.1 12
arctg( )
Re( ) 0.1
1
2
当x(t)=sint 即 =1(rad/s)时，G(j)的模和幅角为：ຫໍສະໝຸດ 第一节 频率特性的基本概念
一、频率特性及物理意义 系统在正弦函数输入作用下的稳态响应称为频率响 应。 线性系统传递函数为G(s)，若对该系统输入一幅值
为X，频率为的正弦信号：x(t)=Xsint，则系统的
稳态输出即为对应微分方程的稳态解。频率与输入 的正弦信号相同，只是幅值和相位与输入不同。对 于给定的系统，当输入正弦信号的频率一定时，输 出的幅值和相位也确定了。
相位之差随频率的变化，记为()。
它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特 性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定
()按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向
旋转为负值。
幅频特性A()和相频特性()统称为系统的频 率特性，记作G(j)。频率特性G(j)是一个以 频率为自变量的复变函数，它是一个矢量。
矢量G(j)的模|G(j)|即为系统的幅频特性A()；矢量 Ｇ(j) 与正实轴的夹角∠G(j)即为系统的相频特性 () 。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，
预定2016.6.4（周六 ）7-8节考试
第四章 频率分析法
频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频 率域里全面地描述了系统输入和输出之间的 关系即系统的特性。
频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 频率特性和频率响应是两个联系密切但又有 区别的概念。
频率特性分析方法具有如下特点：
➢ 可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得 系统的动态特性。
稳态位移输出为
y(t) 0.1 1sin(100t 89.4 ) 0.001sin(100t 89.4 ) 100
系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时 位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。
频率特性G(j)的物理意义
(1)由例4-1机械系统的频率特性可以看出该系统频
率特性的幅值A()随着频率的升高而衰减，换句
➢ 频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法 获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学 模型的系统或环节，具有非常重要的意义。即使 对于那些能够用分析法建模的系统，也可以通过 频率特性实验对其模型加以验证和修改。
➢ 不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研 究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。
，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的 复数比即得系统的频率特性。
X Y
X(s) G(s) Y(s) O
x(t)＝X sint
( )
y(t) Y ( )sin t
t
输出信号的幅值Y()是的函数，它正比于输入信号
的幅值，输出信号与输入信号之间的相位差()也是
的函数，它与幅值无关。线性系统在正弦函数输入
下的稳态响应记为：
y(t)=Y()sin[t+ ()]
A() 0.1 0.1 m/N
1 12 2
() arctan( 1) 45
稳态位移输出为 y(t) 0.1 1sin(t 45 ) 0.07 sin(t 45 ) 2
当x(t) sin100t即 100 rad/s时， A() 0.1 0.1 m/N 1 1002 100 () -arctan100-89.4°
(3) 频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数 (如机械系统的k、c、m)给定以后，频率特性就完全确
定，系统随变化的规律也就完全确定。就是说，系
统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与 外界因素无关。
二、频率特性的求法
频率特性的求法有三种 １．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入
话说，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信 号的“复现能力”或“跟踪能力”。在频率较低
时, T<<1时，输入信号基本上可以按原比例在输
出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被 抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然 形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相 位滞后作用。
(2) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。 实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储 能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系 统显示出不同的特性。
解：系统的微分方程为
dy(t ) x(t) C ky(t)
dt
系统的传递函数
G(s) Y (s) 1/ k 1/ k X (s) c s 1 Ts 1 k
式中 T=c/k=10/10=1（s）
系统的频率特性
G(j ) 1 / k 0.1 1 jT 1 j
系统的实频特性为 系统的虚频特性为