第4章 频率分析法汇总
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预定2016.6.4（周六 ）7-8节考试
第四章 频率分析法
频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频 率域里全面地描述了系统输入和输出之间的 关系即系统的特性。
频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 频率特性和频率响应是两个联系密切但又有 区别的概念。
频率特性分析方法具有如下特点：
➢ 可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得 系统的动态特性。
，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的 复数比即得系统的频率特性。
解：系统的微分方程为
dy(t ) x(t) C ky(t)
dt
系统的传递函数
G(s) Y (s) 1/ k 1/ k X (s) c s 1 Ts 1 k
式中 T=c/k=10/10=1（s）
系统的频率特性
G(j ) 1 / k 0.1 1 jT 1 j
系统的实频特性为 系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的虚频特性为
➢ 频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法 获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学 模型的系统或环节，具有非常重要的意义。即使 对于那些能够用分析法建模的系统，也可以通过 频率特性实验对其模型加以验证和修改。
➢ 不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研 究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。
记为：
G( j) | G( j) | e jG( j) A() e j() (4-3)
由于频率特性G(j)是一个 Im
复变量，因此它还可以写成 实部和虚部之和，即：
Im(ω)
G(j) Re() jIm( )
(4-4)
O
|G(jω)| G(jω)
∠G(jω) Re(ω) Re
式中Re()是G(j)的实部，称为实频特性；Im() 是G(j)的虚部，称为虚频特性。在机械测试技术
稳态位移输出为
y(t) 0.1 1sin(100t 89.4 ) 0.001sin(100t 89.4 ) 100
系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时 位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。
频率特性G(j)的物理意义
(1)由例4-1机械系统的频率特性可以看出该系统频
率特性的幅值A()随着频率的升高而衰减，换句
X Y
X(s) G(s) Y(s) O
x(t)＝X sint
( )
y(t) Y ( )sin t
t
输出信号的幅值Y()是的函数，它正比于输入信号
的幅值，输出信号与输入信号之间的相位差()也是
的函数，它与幅值无关。线性系统在正弦函数输入
下的稳态响应记为：
y(t)=Y()sin[t+ ()]
第一节 频率特性的基本概念
一、频率特性及物理意义 系统在正弦函数输入作用下的稳态响应称为频率响 应。 线性系统传递函数为G(s)，若对该系统输入一幅值
为X，频率为的正弦信号：x(t)=Xsint，则系统的
稳态输出即为对应微分方程的稳态解。频率与输入 的正弦信号相同，只是幅值和相位与输入不同。对 于给定的系统，当输入正弦信号的频率一定时，输 出的幅值和相位也确定了。
话说，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信 号的“复现能力”或“跟踪能力”。在频率较低
时, T<<1时，输入信号基本上可以按原比例在输
出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被 抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然 形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相 位滞后作用。
(2) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。 实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储 能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系 统显示出不同的特性。
（4-1）
研究频率响应的意义：当信号频率变化时，幅值Y() 与相位差()也随之变化。
系统的幅频特性定义：输出信号与输入信号的幅值之比， 记为：
A() Y ()
X
（4-2）
它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值
比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的
A() 0.1 0.1 m/N
1 12 2
() arctan( 1) 45
稳态位移输出为 y(t) 0.1 1sin(t 45 ) 0.07 sin(t 45 ) 2
当x(t) sin100t即 100 rad/s时， A() 0.1 0.1 m/N 1 1002 100 () -arctan100-89.4°
(3) 频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数 (如机械系统的k、c、m)给定以后，频率特性就完全确
定，系统随变化的规律也就完全确定。就是说，系
统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与 外界因素无关。
二、频率特性的求法
频率特性的求法有三种 １．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入
中，实频特性和虚频特性又分别称为同相分量和 异相分量。
显然有：
A() |G(j)| Re2() Im2 ()
(4-5)
( ) G(j ) arctan Im() Re( )
(4-6)
例4-1 机械系统如图4-3所示： 弹簧刚度系数k=10N/m，阻 尼系数f=10N·s/m，输入幅 值为 1N的正弦力，求两种 频率下即：x(t)=sint和 x(t)=sin100t时，系统的位移 y(t)的稳态输出。
相位之差随频率的变化，记为()。
它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特 性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定
()按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向
旋转为负值。
幅频特性A()和相频特性()统称为系统的频 率特性，记作G(j)。频率特性G(j)是一个以 频率为自变量的复变函数，它是一个矢量。
矢量G(j)的模|G(j)|即为系统的幅频特性A()；矢量 Ｇ(j) 与正实轴的夹角∠G(j)即为系统的相频特性 () 。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，
Re(
)
1
0.1
2
Im(
)
0.1 12
系统的幅频特性为
A()
Re()2 Im( )2
1
0.1
2
2
0.1 12
2
0.1
12
系统的相频特性为
( )
arctg
Im( )
0.1 12
arctg( )
Re( ) 0.1
1
2
当x(t)=sint 即 =1(rad/s)时，G(j)的模和幅角为：
第四章 频率分析法
频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频 率域里全面地描述了系统输入和输出之间的 关系即系统的特性。
频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 频率特性和频率响应是两个联系密切但又有 区别的概念。
频率特性分析方法具有如下特点：
➢ 可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得 系统的动态特性。
，求其稳态解，取其输出的稳态分量与输入正弦的 复数比即得系统的频率特性。
解：系统的微分方程为
dy(t ) x(t) C ky(t)
dt
系统的传递函数
G(s) Y (s) 1/ k 1/ k X (s) c s 1 Ts 1 k
式中 T=c/k=10/10=1（s）
系统的频率特性
G(j ) 1 / k 0.1 1 jT 1 j
系统的实频特性为 系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的虚频特性为
➢ 频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法 获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学 模型的系统或环节，具有非常重要的意义。即使 对于那些能够用分析法建模的系统，也可以通过 频率特性实验对其模型加以验证和修改。
➢ 不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研 究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。
记为：
G( j) | G( j) | e jG( j) A() e j() (4-3)
由于频率特性G(j)是一个 Im
复变量，因此它还可以写成 实部和虚部之和，即：
Im(ω)
G(j) Re() jIm( )
(4-4)
O
|G(jω)| G(jω)
∠G(jω) Re(ω) Re
式中Re()是G(j)的实部，称为实频特性；Im() 是G(j)的虚部，称为虚频特性。在机械测试技术
稳态位移输出为
y(t) 0.1 1sin(100t 89.4 ) 0.001sin(100t 89.4 ) 100
系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时 位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。
频率特性G(j)的物理意义
(1)由例4-1机械系统的频率特性可以看出该系统频
率特性的幅值A()随着频率的升高而衰减，换句
X Y
X(s) G(s) Y(s) O
x(t)＝X sint
( )
y(t) Y ( )sin t
t
输出信号的幅值Y()是的函数，它正比于输入信号
的幅值，输出信号与输入信号之间的相位差()也是
的函数，它与幅值无关。线性系统在正弦函数输入
下的稳态响应记为：
y(t)=Y()sin[t+ ()]
第一节 频率特性的基本概念
一、频率特性及物理意义 系统在正弦函数输入作用下的稳态响应称为频率响 应。 线性系统传递函数为G(s)，若对该系统输入一幅值
为X，频率为的正弦信号：x(t)=Xsint，则系统的
稳态输出即为对应微分方程的稳态解。频率与输入 的正弦信号相同，只是幅值和相位与输入不同。对 于给定的系统，当输入正弦信号的频率一定时，输 出的幅值和相位也确定了。
话说，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信 号的“复现能力”或“跟踪能力”。在频率较低
时, T<<1时，输入信号基本上可以按原比例在输
出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被 抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然 形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相 位滞后作用。
(2) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。 实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储 能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系 统显示出不同的特性。
（4-1）
研究频率响应的意义：当信号频率变化时，幅值Y() 与相位差()也随之变化。
系统的幅频特性定义：输出信号与输入信号的幅值之比， 记为：
A() Y ()
X
（4-2）
它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值
比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的
A() 0.1 0.1 m/N
1 12 2
() arctan( 1) 45
稳态位移输出为 y(t) 0.1 1sin(t 45 ) 0.07 sin(t 45 ) 2
当x(t) sin100t即 100 rad/s时， A() 0.1 0.1 m/N 1 1002 100 () -arctan100-89.4°
(3) 频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数 (如机械系统的k、c、m)给定以后，频率特性就完全确
定，系统随变化的规律也就完全确定。就是说，系
统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与 外界因素无关。
二、频率特性的求法
频率特性的求法有三种 １．根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入
中，实频特性和虚频特性又分别称为同相分量和 异相分量。
显然有：
A() |G(j)| Re2() Im2 ()
(4-5)
( ) G(j ) arctan Im() Re( )
(4-6)
例4-1 机械系统如图4-3所示： 弹簧刚度系数k=10N/m，阻 尼系数f=10N·s/m，输入幅 值为 1N的正弦力，求两种 频率下即：x(t)=sint和 x(t)=sin100t时，系统的位移 y(t)的稳态输出。
相位之差随频率的变化，记为()。
它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特 性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定
()按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向
旋转为负值。
幅频特性A()和相频特性()统称为系统的频 率特性，记作G(j)。频率特性G(j)是一个以 频率为自变量的复变函数，它是一个矢量。
矢量G(j)的模|G(j)|即为系统的幅频特性A()；矢量 Ｇ(j) 与正实轴的夹角∠G(j)即为系统的相频特性 () 。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，
Re(
)
1
0.1
2
Im(
)
0.1 12
系统的幅频特性为
A()
Re()2 Im( )2
1
0.1
2
2
0.1 12
2
0.1
12
系统的相频特性为
( )
arctg
Im( )
0.1 12
arctg( )
Re( ) 0.1
1
2
当x(t)=sint 即 =1(rad/s)时，G(j)的模和幅角为：