特征函数

⑺ Ψ~A(x)＝1ΨA(x) 在上性质中取 B＝~A，
则有 1＝ΨB(x)＝ΨA(x)+Ψ~A(x) ΨΦ(x)， 故Ψ~A(x)＝1ΨA(x)。 ⑻ ΨAB(x)＝ΨA∩~B(x)＝ΨA(x)·Ψ~B(x)＝ΨA(x) ΨA∩B(x) ΨA(x) ΨA∩B(x)＝ΨA(x) ΨA(x)·ΨB(x) ＝ΨA(x)[1ΨB(x)] ＝ΨA(x)·Ψ~B(x) ＝ΨA∩～B(x)＝ΨAB(x)
【例5.21】设 E＝{a, b, c}, E 的子集是：Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} 和 {a, b, c}。试给出 E 的所有子集的特征 函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。
解：E 的任何子集 A 的特征函数的值由下表给出。
ΨA(x)
A
由集合的特征函数可知，从 E 到 {0, 1} 的任一函 数，都能唯一地确定一个 E 的子集合，如果元素 x 的函 数值为 1，则 x 属于此集合，否则，x不属于此集合。如 果考虑的是从 E 到区间 [0, 1]的函数，此时，按照已知 集合的概念可知，这样定义的函数已不能再理解为集合的
特征函数。因为，假定次函数也定义了一个集合 A，当 。 x∈E 的函数值为 0.5 时，无法解释 x 是否属于所考虑的
因此 f 是满射。
综上可知，f 是双射。
定义5.15 设 E 是全集，AE，于是把ΨA：E→{0, 1} 定 义为： 1 若 X∈A ΨA(x)＝ 0 若 XA 并称 ΨA(x) 为集合 A 的特征函数。
【例5.19】设全集 E＝{a, b, c}，它有 8 个子集。 对于子集 {a} 有 Ψ{a}(a)＝1, Ψ{a}(b)＝0, Ψ{a}(c)＝0， 于是子集 {a} 的特征函数为 Ψ{a}＝{＜a, 1＞, ＜b, 0＞, ＜c, 0＞}。 对于子集 {a, b}，有 Ψ{a,b}(a)＝1, Ψ{a,b}(b)＝1, Ψ{a,b}(c)＝0， 故子集 {a, b} 的特征函数为 Ψ{a,b}＝{＜a,1＞, ＜b,1＞, ＜c,0＞}。 对于空集Φ有ΨΦ(a)＝0, ΨΦ(b)＝0, ΨΦ(c)＝0， 故Φ的特征函数为ΨΦ＝{＜a,0＞, ＜b,0＞, ＜c,0＞}。 同理可求出其余子集的特征函数。
全集 E 分为不相交的四个子集：
A∩B, A∩~B, ~A∩B, ~A∩~B，则
① 若 x∈A∩B，则ΨA∪B(x)＝1，ΨA(x)＝1， ΨB(x)＝1，ΨA∩B(x)＝1，
显然ΨA∪B(x)＝ΨA(x) ΨB(x) ΨA∩B(x) ② 若 x∈A∩~B, 则ΨA∪B(x)＝1，ΨA(x)＝1，
ΨB(x)＝0，ΨA∩B(x)＝0， 显然ΨA∪B(x)＝ΨA(x) ΨB(x) ΨA∩B(x) ③ 若x∈~A∩B, 则ΨA∪B(x)＝1，ΨA(x)＝0，
ΨB(x)＝1，ΨA∩B(x)＝0， 显然ΨA∪B(x)＝ΨA(x) ΨB(x) ΨA∩B(x)
④ 若x∈~A∩~B，则ΨA∪B(x)＝0， ΨA(x)＝0，ΨB(x)＝1，ΨA∩B(x)＝0， 显然ΨA∪B(x)＝ΨA(x) ΨB(x) ΨA∩B(x) 综合①，②，③，④，该性质成立。
应用特征函数的一些性质，也可以证明集合恒等式。
【例5.20】试证明 (A∪B) C＝(AC)∪(BC)
证明： Ψ(AC)∪(BC)(x) ＝ΨAC(x) ΨBC(x) ΨAC(x)·ΨBC(x) ＝ΨA(x) ΨA(x)·ΨC(x) ΨB(x) ΨB(x)·ΨC(x) ΨA(x)·ΨB(x) ΨA(x)·ΨB(x)·ΨC(x) ＝ΨA∪B(x) (ΨA(x) ΨB(x) ΨA(x)·ΨB(x))·ΨC(x) ＝ΨA∪B(x) ΨA∪B(x)·ΨC(x) ＝Ψ(A∪B)C(x)
有了特征函数的概念，集合之间的关系就可以用其特征函 数之间的关系来表达。
定理5.14 给定全集 E，AE 和 BE，于是对所有的 x∈E， 下列关系式都成立。
(1) ΨA(x)＝0A＝Φ (2) ΨA(x)＝1A＝E (3) ΨA(x)≤ΨB(x)AB (4) ΨA(x)＝ΨB(x)A＝B (5) ΨA∩B(x)＝ΨA(x)·ΨB(x) (6) ΨA∪B(x)＝ΨA(x) ΨB(x) ΨA∩B(x) (7) Ψ~A(x)＝1ΨA(x) (8) ΨAB(x)＝ΨA∩~B(x)＝ΨA(x)·Ψ~B(x)
在 E 的幂集与 {0, 1}E 之间存在一个双射函数。事实 上只要取下述对应即可：对于 E 的子集 A，令其对应于 函数ΨA(x)。ΨA(x) 定义为：
1 若 X∈A
ΨA(x)＝
0 若 XA
由此可见，这样的函数能够刻画集合，这种函数通
常称为集合的特征函数。
定理5.13 在 E 的全体子集（ 记为(E) ）与全体特征
函数（记为 {0, 1}E ）之间存在着双射
f：(E)→{0, 1}E。
证明：对任意的集合 AE，令 f(A)＝ΨA，对 E 的任意 子集 A 和 B，若ΨA＝ΨB，
则 x∈AΨA(x)＝1ΨB(x)＝1x∈B， 所以 A＝B，f 是单射。
对每一个特征函数 φ：E→{0, 1}， 均有集合 S＝{x|φ(x)＝1}，使得 φ＝φS，
集合 A。
正是这一点上，美国控制论专家扎德（L. A. Zadeh） 教授提出了把 0.5 理解成属于集合 A 的程度，也就是说， x 既不是完全属于所考虑的集合 A，也不是完全不属于集 合 A。按照这样的理解，集合 A 与以前所讨论过的集合 是不同的。于是，从 E 到闭区间 [0, 1] 的一个函数，定 义了一个新的集合，对于这个集合可能有一些元素部分地 属于它。这样一来，把集合的特征函数取值的范围从 {0, 1} 扩大到闭区间 [0, 1]，定义出了与已讨论过的集合概 念不同的集合，称为模糊（Fuzzy）子集。关于模糊集合 的详细讨论参照后面的7.2节。
为证AB，假设 AB，从而存在 x∈A，但 xB，
于是ΨA(x)＝1，ΨB(x)＝0，故ΨB(x)＜ΨA(x)， 这与对任意 x∈E，均有ΨA(x)≤ΨB(x)相矛盾，
从而 AB。
⑷ ΨA(x)＝ΨB(x)A＝B
是性质(3)的推论。
⑸ ΨA∩B(x)＝ΨA(x)·ΨB(x) 若 x∈A∩B，即 x∈A 且 x∈B，则
ΨA∩B(x)＝1＝1·1＝ΨA(x)·ΨB(x)，
若 x A∩B，一方面ΨA∩B(x)＝0。
另一方面， x∈~A 或者 x∈~B，
即 ΨA(x)＝0 或者ΨB(x)＝0， 从而 ΨA(x)·ΨB(x)＝0。
综上可知，ΨA∩B(x)＝ΨA(x)·ΨB(x)。
⑹ ΨA∪B(x)＝ΨA(x) ΨB(x) ΨA∩B(x)
5.3 特征函数
设 E 是全集，考虑从全集 E 到集合 {0, 1} 的函 数的全体所构成的集合，按照 5.1 节中所给出的记号， 可表示为 {0, 1}E，亦即
{0, 1}E＝{f | f：E→{0, 1}}
对于 E 的任何一个子集，均可以有 {0, 1}E 中的 一个函数与之对应，且不同的子集对应不同的函数。此 外，任一函数也必存在一个子集与之对应。也就是说，
＝ΨA(x) ΨA∩B(x)
其中特征函数间的运算，，·就是通常数字之间的算术运算，，。
证明：⑴ ΨA(x)＝0A＝Φ 根据特征函数的定义，显然成立。 ⑵ ΨA(x)＝1A＝E 根据特征函数的定义，显然成立。 ⑶ ΨA(x)≤ΨB(x)AB 若 AB，则可分下列三种情况：
① x∈A，x∈B，ΨA(x)＝1＝ΨB(x) ② x∈~A，x∈B，ΨA(x)＝0＜1＝ΨB(x) ③ x∈~A，x∈~B，ΨA(x)＝0＝ΨB(x) 综合 ①，②，③，即有ΨA(x)≤ΨB(x)。 反之，若ΨA(x)≤ΨB(x) 对任意 x∈E 成立，
x
Φ {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, 0 1
1
0
1
b 00 1 0 1
0
1
1
c 00 0 1 0
1
1
1
如果规定元素的次序为 a, b, c，则每个子集 A 的特征函 数与一个三位二进制数相对应。如Ψ{a,c}(x)101。
令 B＝{000,001,010,011,100,101,110,111}，那么表亦 可以看作从 E 的幂集到 B 的一个双射。