第二章二次根式与勾股定理综合应用(北师大版)

第二章 重点突破训练：二次根式与勾股定理综合应用

考点体系

考点1：勾股定理常规计算

典例：（2020·的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：

第一步：（计算）=使其中a ，b 都为正整数.你取的正整数a=____，b=________；

第二步：的线段）以第一步中你所取的正整数a ，b 为两条直角边长画Rt △OEF ，使O 为原点，

点E 落在数轴的正半轴上，=90OEF ∠︒，则斜边OF

请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）

第三步：M ，并描述第三步．．．

的画图步骤：_______________________________________________________________.

巩固练习

1．（2020·邯郸市复兴区户村中学初一期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）

A．B．﹣C．﹣1D．1

2．（2020·安徽和县初二期末）如图1是边长为1的六个小正方形组成的平面图形，将它围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是

A．√3B．√2C．1 D．0

3．（2020·河南鹤壁初三一模）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，∠ACB＝90°，点A 在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝8，则AD的长为（）

A．

2

B．8C．D．

4．（2020·河南省实验中学初三其他）如图，在△ABC中，AB＝AC=6，BC=4，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H．再分别以

点G、H为圆心，大于1

2

GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于

点F，则DF的长度为（）．

A．6B．

C．D．8

5．（2020·四川绵阳东辰国际学校初二月考）有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放

入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）

A cm

B

C ．

D ．cm

6．（2020·内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，

分别以点A ，C 为圆心，大于12

AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）

A ．

B ．6

C ．

D ．8

7．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）在△ABC 中，D 为BC 边上一点．

(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)如图②，将△ABC 沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的E 处．

①若DE ⊥AB ，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；

②若AB ＝BC ＝3，∠B ＝45°，求CD 的取值范围．

考点2：勾股定理在网格图中的应用

典例：（2020·山西交城初二期中）ABC ∆学在求面积时先画了一个每个小正方形的边长均为1的正方形网格，再在网格中画出格点ABC ∆（ABC ∆各个顶点都在网格的格点上）.如图1所示，这样借用网格（不需ABC ∆的高）就能算出三角形的面积，这种

方法叫构造法.

（1）ABC ∆的面积为___________________.

（2）若OPQ ∆的三边长分别为OP =OQ =PQ =2的网格中画出OPQ ∆，使得OPQ ∆的三个顶点都在格点上，求此三角形的面积.

方法或规律点拨

本题是开放性的探索问题，考查勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．

巩固练习

1．（2020·广西贵港初二期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上，以A 为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD 的长为

A ．√5

B ．0. 8

C ．3−√5

D ．√13

2．（2020·河北涞源初二期末）如图，将△ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC 中BC 边上的高是（ ）

A ．2

B ．4

C ．5

D 3．（2020·辽宁皇姑初二期末）如图，在9×7的网格中，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，图中A 、B 、D 、

E 均为格点，ABD 为格点三角形．

（1）直接在网格中画▱ABCD ，要求C 点在格点上；

（2）直接在网格中将（1）中▱ABCD的边BC平移，使点B平移到点E的位置，得到线段EF，再以线段EF为一边，在线段EF右侧画出正方形EFGH；

（3）直接填空：（2）中正方形EFGH的周长是（长度单位）．

4．（2020·江苏鼓楼初二期末）在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：

（1）在图①中，以AB为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形；

（2）在图②中，以AB为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋；

（3）如图③，若以AB为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为．

考点3：勾股定理在折叠变换中的应用

典例：（2020·湖南常德初二期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．

（1）当∠B＝28°时，求∠CAE的度数；

（2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长．

方法或规律点拨

本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求