概率论4.3随机变量序列的收敛性(先)资料

§4.3 随机变量序列的收敛性
几种收敛性： i) 依概率收敛； ii) 按分布收敛； iii) 几乎处处收敛； iv) L r收敛
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛) 对于随机变(向)量序列{Yn}来说，若对任意的
>0，有 nlim P d(Yn,Y ) 1
则称随机变(向)量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
基本结论
Yn Lr Y Yn PY Yn a.s.Y Yn PY
Yn PY 存在子列 {Ynk } ，使得 Ynk a.s.Y
更多结果参见《测度与概率》(严士健、刘秀芳)
依概率收敛不能推出以概率1收敛：
例如
令Ω=[0,1], F为[0,1]上所有波雷尔集构成的σ域
P为[0,1]上的勒贝格测度（长度）
证明见P221-223
说明：定理4.3.2的逆命题并不成立。 例4.3.2（P222）
4.3.3 判断弱收敛的方法
定理4.3.4
Xn L X
Xn (t) 特征函数与分布函数的一一对应关系对于 极限运算封闭。
补充1 几乎处处收敛
定义1 (几乎处处收敛) 若
(a, b) 连续，则
g( X n ,Yn ) P g(a, b) 如何证明?
对于更高维的情形也完全类似。
4.3.2 依分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
例4.3.1
设
P( X n
1 ) 1, n
n 1, 2,
, P( X0 0) 1,
则 Xn P X0
因此我们引进如下的收敛概念：
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
Fn(x) W F(x) 相应记 Xn W X 依分布收敛
依概率收敛与依分布收敛的关系
定理4.3.2 定理4.3.3
Xn P X Xn W X Xn P a Xn W a
1
P{| X n b
从而易得
ab
|
} 2
P{|
Xn
a
|
2|
b
}1 |
1 P{| Xn Yn a b | }
P
{|
X
n
Yn
X
n
b
|
}
2
{| X n b a b | 2}
1
即 X n Yn P a b
其他结论大家可自行推导。
更一般地，我们有
若 Xn P a, Yn P b，函数 g(x, y) 在点
P nlimYn Y 1,
则称随机变量序列{Yn}几乎处处收敛于Y, 记为
Yn Y , a.s.
或
Yn a.s.Y
补充2 L r 收敛
定义2 ( L r收敛)
若对某 r 0有
E Yn Y r 0,
则称随机变量序列{Yn} L r收敛于Y, 记为
Yn Lr Y
注：r 2 时， 称为均方收敛。
{|
Xn
Yn
Xn
b
|
} 2
{|
Xn
b
ab
|
} 2
其中
{|
Xn
Yn
Xn
b
|
} 2
{| Xn || a | 1}
{| Yn
b
|
2(|
a
|
} 1)
由此容易看出
P{|
X
n
Yn
X
n
b
|
}
2
1
对于 {| X n
若 b 0, 若 b 0,
b a b | },
2
则显然有 P{| X n
则
b
a
b
|
}
2
{|
Xn
a
|
} 2
{| Yn
b
|
} 2
ii) X n Yn P a b
首先易知：若 Zn P c, 则 P{| Zn c | 1} 1,
进而 P{| Zn || c | 1} 1,
另外容易验证如下基本事实：若 P( An ) 1, P(Bn ) 1 则 P( AnBn ) 1 Why？
又
{| Xn Yn a b | }
令
ni
1, 0,
[(i 1) / n,i / n], [(i 1) / n,i / n].
i=1,2,…,n； n=1,2,….
考虑随机变量序列{
11
,
1 2
,
2 2
,
1 3
,
2 3
,33
,
}，并重新记成
{n}, 则有 n P 0 ，但 n ()极限几乎处处不存在
Yn P Y
大数定律讨论的就是依概率收敛.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b, 则
(1) {Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
(2) ( X n ,Yn ) P (a, b)
(1)
i) X n Yn P a b
只需注意到 {（| Xn Yn）（a b）| }
问题：是否对 x R, 均有 FXn (x) FX0 (x) ?
答案是否定的
事实上
FX n
(x)
0,
1,
x 1 n
x 1
n
g
(
x)
0, 1,
x0 x0
并非分布函数
在很多情况下，要想依概率收敛的随机变量序列 对应的分布函数列“点点收敛”到某一分布函数是不 可能的。
但若对“点点收敛”这一要求进行一定程度的减弱， 则是可行的。