框架柱计算长度系数的总结

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系数的另一个含义:它反映的是柱子的一个抗侧刚度系数,指出构件有一些初始的变形并不
会对柱子的弹性抗侧刚度有可见的影响,从而对柱子的计算长度系数影响也是不大的。
2.多层框架中梁的轴力非常小，完全可以忽略，轴力较大结构主要是单层框架和单跨二
层框架，前者梁内轴力影响不大，后者如果顶层框架梁截面较小，可能导致框架梁的对称失 稳[3]。
2.37 0.97 1.818
3
220363
边柱 0.087 0.043
3.90 0.97 2.202
d)据公式（6）、(7),具体计算见表二。
表
二
层数
中 柱 1边 柱 中 柱 2边 柱 中 柱 3边 柱
ϕ1
∑ ∑ 3(1.2 Nbi − N0i ) / KN ϕ
λn
λ
µ
ϕ0
0.980 0.910 0.980 0.891
解:a)梁柱截面几何特征:
梁:惯性矩 Ib = 2.05×108 mm4 ；面积 Ab = 1.204 ×104 mm2 ；
柱:惯性矩 Ic = 1.135×109 mm4 ；面积 Ac = 1.72 ×104 mm2 ；回转半径i = 256.9mm 。
b)当支撑采用交叉斜杆时,利用式 Sb
=
2EAd lz2l ld3
表
一
层数
K1
K2
Sb
µ0 µb
µ
中柱 0.141 10.0 1
边柱 0.048 10.0
1.63 0.72 1.339 218975
1.84 0.73 1.435
中柱 0.127 0.141
2.71 0.95 1.933
2
220363
边柱 0.043 0.048
4.52 0.98 2.284
中柱 0.255 0.127
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框架柱计算长度系数的总结
迟朝娜，朱召泉
江苏南京河海大学土木工程学院（210098）
E-mail：lovelyzhaona@163.com
摘 要：对各种类型框架柱的计算长度系数进行了分析、归纳，并给出了规范没有明确给出 的计算长度系数公式，最后通过工程实例对结果进行了对比，对设计人员有较高的参考价值。 关键词：计算长度系数 弱支撑框架 剪切型支撑框架 弯曲型支撑框架
2. 框架柱稳定分析方法
目前对框架柱的稳定分析主要采用计算长度法、二阶分析法。 计算长度法采用如下假定：
1．各柱的 kl 值均相同；
2．不计横梁轴心力的影响; 3．框架中所有柱同时丧失稳定，即各柱同时达到临界荷载； 4．当柱开始失稳时，相交于同一节点横梁对柱提供的约束弯矩，按柱线刚度分配给柱； 5．在无侧移失稳时，横梁两端的转角大小相等、方向相反；在有侧移失稳时，横梁两 端的转角大小相等、方向相反。 由于这种方法根据一些理想化的假定得到的，所以计算长度法遭到不少批评,因为: 1.实际结构梁柱都存在弯矩,梁柱都有弯曲,而不是理想的无初弯曲的结构； 2.也不仅仅柱子上承受轴力； 3.实际结构是整层甚至是整个结构的失稳,而不是单个柱子的失稳； 对于这些批评，目前已经有了很大的改进： 1.计算长度的几何意义是柱子失稳模态上反弯点之间的距离，文献[2]得到了计算长度
∑ Hh
（1）当采用一阶弹性分析法计算内力时，柱计算长度系数按本规范附录 D 表 D－2 计算
长度系数，也可以用实用计算公式确定:
µ0 =
7.5K1K2 + 4(K1 + K2 ) + 1.52 7.5K1K2 + K1 + K2
(1)
（2）当采用二阶弹性分析方法计算内力时，且在每层柱顶施加水平力 Hni ,柱计算长度
当 λn
>
0.215
时， ϕ
=
1 2λn2
⎡⎣(a1
+
a3λn
+
λn2 ) −
(a2
+
a3λn
+
λn2 )2
−
4λn2
⎤ ⎦
，得
当ϕ
<
0.97 时， λn
=
2ϕ
1 (1 −
ϕ
)
⎧ ⎨ ⎩
⎡⎣
4a2ϕ
3
+ (a32
− 4a2
− 4)ϕ 2
1
+ 4ϕ ⎤⎦ 2
−
a3ϕ
⎫ ⎬
（7）
⎭
各式中系数 a1 、 a2 、 a3 ，根据规范表 5.1.2 的截面分类，按表 C－5 采用。有式（6）、
2)弯曲型支撑框架
对设有弯曲型支撑的钢框架结构的稳定性,国内外尚无研究,文献[6]对其进行整体弹性
稳定分析，但并没有直接给出框架柱的计算长度系数 µ 的计算公式，而只给出了临界荷载的
公式，
Pcr
=
Pcr ,0
+ (Pcr,∞
−
Pcr,0 )
R Rth
（10）
式（8）、（10）中, Pcr,0 为无支撑框架结构的临界荷载值, Pcr,∞ 为完全支撑框架结构的临
系数取 1.0。这是因为框架有侧移失稳是二阶效应中的竖载－侧移效应造成的。
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H ni
=
ayQi 250
0.2 + 1 ns
(2)
Qi：第i楼层的总重力荷载设计值
ns :框架总层数，当
0.2 +
1 ns
>1 时，取值为 1
ay ：钢材强度影响系数
2.2 有支撑框架柱计算长度系数
长度系数，对于弱支撑框架，规范只给出了框架柱的轴压杆的稳定系数ϕ ，并没有明确指出
其计算长度系数，更没有明确给出剪切型支撑与弯曲型支撑的具体计算长度系数，相关文献 只是分别对各种情况进行了分析和公式验证，给设计人员的查阅参考造成了一定的麻烦，本 文参考有关文献对计算长度系数公式进行了归纳，以更方便设计人员参考。
（7）计算出 λn ，再由 λ =
πλn = µl ，得 µ = iπλn
fy
i
E
l
fy E
3.剪切型与弯曲型支撑框架柱的计算长度系数 弱支撑框架（非完全支撑）又可以分为剪切型支撑框架与弯曲性支撑框架，弯曲型支撑 与剪切型支撑的不同在于:剪切型支撑只影响到相邻层,而弯曲型支撑的所有层都与其余各 层存在相互作用,这种相互作用使得弯曲型支撑的框架稳定性分析更为复杂. 多高层钢结构 采用剪力墙、电梯井、竖向桁架等作为支撑体系以增强结构的整体侧向刚度。支撑体系与框 架协同工作,改善了框架的稳定性。随着建筑高度的增加,支撑体系的变形形式从以侧向剪切 型变形为主,逐步变为弯曲型变形为主。 1)剪切型支撑框架 对剪切型支撑框架的稳定性,文献[5]已作了详细的分析，并推荐给出了框架柱的临界荷
∑ ∑ ϕ = ϕ0 + (ϕ1 −ϕ0 ) 3(1.2
Sb Nbi −
Noi )
（5）
ϕ1 和ϕ0 分别是框架柱按无侧移和有侧移框架的柱计算长度系数，得出的轴心压杆稳定
系数。
∑ ∑ Nbi 、 Noi ：按无侧移和有侧移框架算得的第 i 层柱稳定承载力之和
Sb ：产生层间单位位移角的水平力
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界荷载值， G 、 R 为相对支撑高度， Gth 、 Rth 为门槛高度，由两式可见格式相同，因此计 算长度系数 µ 也与式（9）相同。
3. 计算实例
由上文可知，对于弱支撑框架柱的计算长度系数有两种计算公式，以是由文献[8]由规 范推导的式（6）与（7），二是文献[5]推荐使用的式（9），本文将简化文献[7]中的实例来 分析对比这两个推荐公式。
规范规定，当满足下式时，框架柱为强支撑框架；不满足下式时，称为弱支撑框架。
∑ ∑ Sb ≥ 3(1.2 Nbi − Noi )
(3)
∑ ∑ Nbi 、 Noi ：按无侧移和有侧移框架算得的第 i 层柱稳定承载力之和
Sb ：产生层间单位位移角的水平力
1．强支撑框架，即完全支撑框架，发生无侧移失稳。柱计算长度系数按本规范附录 D 表 D－1 计算长度系数，也可以用实用计算公式确定:
4. 结论
对于框架柱的稳定分析，常常需要把求解临界荷载换算成等效长度的两端铰接轴心受压 柱的屈曲荷载，因此求解计算长度系数对框架柱的稳定分析有重大意义，如果错用,可能引 起工程事故,所以设计人员一定要重视。
本文给出了各种支撑形式的计算长度系数公式，尤其对于弱支撑框架，本文依据规范及 有关文献给出了几个公式，通过计算实例对结果进行对比，经文献论证都可以用于框架柱设 计。
得:
首层 Sb = 218975KN ;其他层 Sb = 220363KN 。
其中， Ad 为支撑杆的面积， lz 为支撑跨的跨度， d 为支撑杆长度， l 为该层的层高
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c）由 1 = 1 + ( 1 − 1 ) Sbl2 µb2 得出计算长度系数计算表见表一 µ 2 µ02 µb2 µ02 EIπ 2
232855
0.976 0.192 14.73 0.788 0.975 0.196 15.04 0.805
0.970 0.816 0.941 0.594
373243
0.907 0.408 31.31 1.676 0.799 0.662 50.79 2.718
0.970 0.856 0.969 0.668
1. 引言
钢材稳定性能是决定其承载力的一个特别重要的因素,而稳定性能与构件的计算长度密 切相关。框架分为有支撑框架和无支撑纯框架，有支撑框架又分为强支撑（完全支撑）框架 和弱支撑（非完全支撑）框架，弱支撑框架可以分为剪切型支撑框架和弯曲型支撑框架。新 钢结构设计规范[1](下文简称‘规范’)已经明确给出了无支撑纯框架与强支撑框架的计算
例：某三层框架,首层层高 4.8ｍ,二、三层高为 3.9ｍ,横向三跨,跨度为(8.1+4.2+8.1) ｍ,横向采用抗弯框架,纵向采用支撑承受水平力和保证稳定性。由于建筑要求,只能设 4 片 支撑,支撑采用交叉支撑,规格为 2L45×4,柱子截面为 H600×360×10×16,梁截面为 H300× 300×10×15,采用 Q345B 钢材,依据上述两种方法计算该结构各层柱子的计算长度系数。
载与计算长度系数 µ 应按下式确定：
Pcr
=
Pcr ,0
+ (Pcr,∞
−
Pcr ,0
)
G Gth
（8）
其中 G
=
Sbl 2
EI
， Gth
= u12
=
π2 µb2
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1 µ2
=
1
µ
2 0
+
(
1 µb2
−
1
µ
2 0
)
Sbl 2 µb2 EIπ 2
（9）
µb
=
0.64K1K2 + 1.4(K1 + K2 ) + 3 1.28K1K2 + 2(K1 + K2 ) + 3
(4)
K1 表示所研究柱上端的梁的线刚度之和与柱的线刚度之和的比值
K2 表示所研究柱下端的梁的线刚度之和与柱的线刚度之和的比值
2．弱支撑框架，即非完全支撑框架，此时框架柱的稳定承载力介于强支撑框架与纯框 架之间。规范并没有直接给出弱支撑柱的计算长度系数，而是给出了柱的轴压稳定系数(5） 式：
是两种方法的考虑途径有所不同。
2.1 无支撑框架柱计算长度系数
规范指出：框架分为有支撑框架与无支撑的纯框架，有支撑的框架根据抗侧移刚度的大
小又分为强支撑框架与弱支撑框架。
对于无支撑框架，发生有侧移失稳。
∑ N ⋅ ∆u
如果
≤ 0.1，可以采用计算长度法；
∑ Hh
∑ N ⋅ ∆u
如果
> 0.1，需要较精确的考虑二阶效应
的作用，即不稳定作用。这一效应对层数多而侧向刚度不大的框架影响十分明显，对一、二
层框架影响不大。
严格地讲，考虑结构的稳定问题就必须采用二阶分析，因为分析结构的稳定性就是要在
结构变形以后的位置上建立平衡关系，也就必须要考虑二阶效应。因此，框架柱设计无论采
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用计算长度系数法还是二阶分析设计法进行稳定性设计时，都必须考虑二阶效应的影响，但
由式（5）可以计算出ϕ 值,再由规范附录 C 中轴心受压构件的稳定系数ϕ 与长细比 λn 之
间的关系曲线推导出 λn 的表达式[7]:
由附录 C 中公式:
当 λn
=
λ π
f y E ≤ 0.215 时，ϕ = 1− a1λn2 ，得：
当ϕ ≥ 0.97 时， λn =
1
1
(1 − ϕ )2
a1
（6）
3.实际结构大部属于有侧移失稳，有侧移失稳是一整层的失稳，用单个柱稳定性不能反
映整体失稳的特点，也就是不能反映同一层各个柱子之间的相互作用，但现在已有成熟的改
进方法，考虑层与层和同层各柱的相互作用后各个柱子的计算长度系数在文献[2]、[4]有详
细的介绍，在此就不赘述。
二阶分析法不同于一阶分析法考虑了竖向荷载的 P－ ∆ 效应，P－ ∆ 效应具有增大侧移
339266
0.930 0.340 26.09 1.396 0.864 0.519 39.82 2.131
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通过表一、二计算结果的对比，发现由文献[5]计算出的计算长度系数值（表一）相对 大，也偏安全，这是由于文献在计算过程中有一定的误差，采用了近似值，但相比较而言给 计算会带来方便。