平行四边形的性质和判定讲义

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平行四边形判定PPT课件

两组对边分别相等
四边形中，如果两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形。
一组对边平行且相等
四边形中，如果有一组对边既平行又相等，则该四边形为平行四边形。
角度判定法
两组对角分别相等
四边形中，如果两组对角分别相等，则该四边形为平行四边形。
一组邻角互补
四边形中，如果有一组邻角互补（即两个角的度数之和为 180度），则该四边形为平行四边形。
在水准测量中，可以利用平行四边形对角线互相平分的性质进行高程传递和计算。
05 误区提示与易错点剖析
常见误区提示
误区一
仅根据两组对边分别平行就判定为平行四边形。实际上，还需要考虑其他条件，如对角线是否互相平分等。
误区二
忽视平行四边形的性质，仅根据图形外观判断。平行四边形的性质包括两组对边分别平行且相等、对角线互相平分等，需要综合考虑。
梯形判定
一组对边平行且不相等的四边形是梯形；只有一组对边平行的四边形是梯形。
其他特殊情况
01
等腰梯形判定
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯
形。
02
直角梯形判定
有一个角是直角的梯形是直角梯形。
03
平行四边形与特殊四边形的转化
通过添加辅助线或改变条件，可以将平行四边形转化为矩形、正方形、
正方形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形。正方形具有矩形和菱形的所有性质，此外还具有四个直角和四条相等的边。
菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形具有平行四边形的所有性质，此外还具有四条相等的边和两条垂直且平分的对角线。
02 平行四边形判定方法
边长判定法
两组对边分别平行
四边形中，如果两组对边分别平行，则该四边形为平行四边形。

平行四边形的ppt课件

VS
外角和定理的证明
通过平移、旋转等几何变换，将平行四边形转化为三角形，再利用三角形外角和定理进行证明。
谢谢
THANKS
平行四边形的性质课件
目录
CONTENTS
• 平行四边形的基本概念 • 平行四边形的特殊形式 • 平行四边形与生活中的应用 • 平行四边形的证明实例 • 平行四边形的探究与拓展
01 平行四边形的基本概念
CHAPTER
平行四边形的定义
平行四边形定义
平行四边形是两组对边分别平行的四边形。
平行四边形的符号表示
05 平行四边形的探究与拓展
CHAPTER
平行四边形的面积计算
面积计算公式
平行四边形的面积可以通过底乘高的方式进行计算，其中底为平行四边形的底边，高为该边上的垂直距离。
面积计算的实际应用
面积计算在日常生活和数学领域中都有广泛的应用，如几何图形面积的求解、土地面积的测量等。
平行四边形的内角和
内角和定理
采光
平行四边形的窗户设计能够更好地利用自然光线，提高室内采光效果。
交通标志
方向性
平行四边形形状的交通标志具有明显的方向性，能够清晰地指示车辆前行方向。
易识别性
平行四边形的简单形状和鲜明的颜色使得交通标志易于识别，有助于提高交通安全。
规范性
平行四边形的交通标志符合道路交通规范，能够确保交通秩序和安全。
矩形的四个角都是直角，对角线相等。
判定
如果一个平行四边形有一个角是直角，那么它是矩形。
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质
菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分。
判定

平行四边形标准讲义.doc

学习好资料欢迎下载(1) 演变关系 :(2)从属关系:（一）平行四边形的性质1.平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等 ;（2）平行四边形的对角相等 , 邻角互补 ;（3）平行四边形的对角线互相平分 .（4）平行四边形是中心对称图形 , 对角线的交点是它的对称中心 ;3.平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.( 二) 平行四边形的判定1.平行四边形的判定方法 5 种：两组对边分别平行从边看一组对边平行且相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形从角看 ------两组对角分别相等从对角线看 --- 对角线互相平分2.三角形中位线定理定义 :连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.定理 :三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.结论 :三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一;（三）矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质（1）矩形对边平行且相等；（ 2）矩形四个角都是直角； (3) 矩形对角线互相平分且相等；（4）矩形是轴对称图形 , 有２条对称轴，对称轴是对边中点所在直线；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4.矩形的判定方法（1）有一个角是直角的平行四边形 ;（2）有三个角是直角的四边形 ;（3）对角线相等的平行四边形 .5.矩形的面积公式（类比平行四边形）：矩形面积=底×高（四）菱形1.定义 : 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质 : 菱形具有平行四边形的一切性质：（1）菱形四条边都相等; （ 2）菱形对角相等（3）菱形对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形 , 有２条对称轴，对称轴是对角线所在直线；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 .3.判定 : （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形；4.菱形的面积 :（1）类比平行四边形面积公式:底×高（2）两条对角线乘积的一半. 若a、b分别表示两条对角线的长,则S菱形=1ab2（五）正方形1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.性质：（ 1）边 ------- 四条边都相等 , 对边平行 ;（2）角 -------四个角都相等且都是直角;（ 3）对角线 ----① 相等；② 互相垂直平分；③ 每一条对角线平分一组对角；④两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形.（4）是轴对称图形 , 有 4 条对称轴；是中心对称图形 , 对称中心是两条对角线的交点 .3.判定：（ 1）先证它是矩形 , 再证一组邻边相等；（ 2）先证它是菱形 , 再证一个角是直角 .4.面积：（ 1）正方形的面积等于边长的平方；（2）正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半.结论：周长相等的四边形中,正方形的面积最大.（六）梯形知识点1.定义：一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.特殊梯形的定义：①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.2.等腰梯形的性质 : （ 1）等腰梯形两腰相等 , 两底平行；（2）等腰梯形同一底上的两个角相等；（3）等腰梯形两条对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形 , 有一条对称轴 , 过两底中点的直线是它的对称轴 .3.等腰梯形的判定 : （ 1）定义：即先判定梯形 , 再证明两腰相等；（2）同一底上的两角相等的梯形；（3）对角线相等的梯形 .4.梯形的中位线定理（ 1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．※（ 2）结论：梯形的中位线平行于两底, 且等于两底和的一半 .5. 梯形的面积公式 : （1）S= 1( 上底+下底) ×高2※（ 2）S= 中位线×高解决梯形问题常用的方法在研究梯形的问题中,常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的四边形．梯形中常用的辅助线：① 平移腰② 作高③ 平移对角线④ 延长两腰⑤有一腰中点时 ,作另一腰的平行线⑥有一腰中点时 ,常把一底的端点与中点连接并延长,与另一底的延长线相交⑦有底的中点时 ,常过中点作两腰的平行线A DE A DMMB FC B C EAD A DEB EC B C练习 11 ．菱形的定义： __________________ 的平行四边形叫做菱形．2 ．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______ ：还有：菱形的四条边 ______ ；菱形的对角线 ______ ，并且每一条对角线平分______ ；菱形的面积等于 __________________ ，它的对称轴是______________________________ ．3.若菱形的两条对角线长分别是 6cm ， 8cm ，则它的周长为 ______cm ，面积为______cm 2．4.如图，在菱形 ABCD中， E、F 分别是 AB、AC 的中点，如果 EF＝2，那么菱形ABCD的周长是5.如图，在菱形 ABCD中， E 是 AB 的中点，且 DE⊥ AB， AB＝4．求： (1) ∠ABC的度数； (2) 菱形ABCD的面积．6、菱形的两条对角线的长分别是6cm和 8cm，求菱形的周长和面积7、如图，已知四边形ABCD是菱形，点 E、 F 分别是边 CD、AD的中点，求证： AE=CFA FDEB C练习 21．正方形的定义：有一组邻边______ 并且有一个角是______ 的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______ ，又是一个特殊的有一个角是直角的 ______ ．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都 ______ ；四条边都 ______ 且__________________；正方形的两条对角线 ______ ，并且互相 ______ ，每条对角线平分______ 对角．它有 ______ 条对称轴．3.若正方形的边长为 a，则其对角线长为______4、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2．5、如图，正方形ABCD的边 CD在正方形ECGF的边 CE上，连接 BE、 DG，求证： BE=DGE FA DB C G6、已知：如图，正方形中，点、、N 分别在、、边上，＝，ABCD E M AB BC AD CE MN ∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．7．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交 BC于F．求证： BF＝EC．练习 31．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______ 的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______ 分别叫做上底、下底(与位置无关 ) ，梯形中不平行的两边叫做 ______ ，两底间的 ______ 叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______ ；两腰 ______ 的梯形叫做等腰梯形．2. 已知：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，∠B=72°，∠C=36°，AD=6cm，BC=15cm，求 CD的长A DB C3.在梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC⊥BD，且 AC=5cm， BD=12cm，则梯形中位线的长等于多少4. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知底AD=6cm ，BC=11cm ，腰 CD=12cm ，求这个直角梯形的周长．练习题 41.等腰梯形的性质：等腰梯形中 ______ 的两个角相等，两腰 ______ ，两对角线______ ，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______ 就是它的对称轴．2．等腰梯形的判定：______ 的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______ 的梯形是等腰梯形．3.等腰梯形的上、下底和腰分别是4cm、 10cm和 5cm，则此梯形的高为 ___________，面积为 ____________4、等腰梯形两底之和是10，两底差是4，一底角是45°，则其面积是多少 ?5、已知：如图，梯形ABCD中， AD∥BC， AB＝CD，延长 CB到 E，使 EB＝ AD，连结AE．求证： AE＝CA．四边形期末复习一、选填题1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取 DE=DC，则∠ECB的度数是.2、如图，在ABCD中，已知 AB=9㎝， AD=6㎝， BE平分∠ABC交 DC边于点 E，则 DE等于㎝.2 题1题3、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB // CD ；② AB CD ；③ BC // AD ；④ BC AD ．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（）（A）6 种（B）5种（C）4种（D）3种4、如图，在△ ABC 中，点D、 E、 F 分别在边AB 、BC 、 CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥ BA ．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果BAC 90 ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC 且AB AC ，那么四边形AEDF 是菱形其中，正确的有. （只填写序号）5、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于 O， AE⊥ BD于 E，∠DAE∶∠ BAE=3∶1，则∠EAC=_______.6、矩形ABCD的对角线AC、 BD交于 O，若△ ABC的周长比△ AOB的周长大10cm，则边AD的长是 _______.7、如图 , 菱形 ABCD边长为 4, ∠A=60°,E 、 F 分别为 AD、 BD的中点，点G在 DC上，△EGF的面积为．AECF．若AB＝3，则BC的长为8、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形（）2D．3A．1 B．2 C．学习好资料欢迎下载DCGE FA B5题7 题8 题9、等腰梯形的下底是上底的 3 倍，上底与高相等，则下底角的度数为.10、等腰梯形中位线等于它的腰长，若腰长等于5，则等腰梯形的周长是.11、等腰梯形ABCD中， AD∥BC， BD平分∠ ABC， BD⊥ CD于 D，若梯形的周长为35cm，则AD的长为cm.12、如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、 O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.O2O113、如图，正方形ABCD 中，M 是BC的中点， CM 2 ，点P是BD上一动点，则PM PC 的最小值是.14、如图，平行四边形中， E 是 CD的中点， F 是 AE的中点，FC与 BE交于 G．求证： GF＝ GC．15、若矩形ABCD的一条角平分线BE分 AD边为5cm和4cm两部分，求BE长和矩形 ABCD的面积 .学习好资料欢迎下载A D17、如图，在矩形ABCD中， E、 F 分别是边 BC、AB上的点，且EF＝ED， EF⊥ ED．GEB FC求证： AE平分∠BAD．18、 Rt △ABC，∠A=90°，∠B 的平分线交AC于 D，自 A 作 BC的垂线交BD于 E，自 D?作 DF?⊥BC，求证：四边形AEFD为菱形．19 、如图，已知ABCD 中，AE平分BAD，交DC于 E，DF BC于F，交AE于 G，且DF AD .（1）试说明DE BC ；（2 ）试问 AB 与DG FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由.20、如图，等腰梯形ABCD中， AD∥BC， AB=DC， AC⊥ BD，过 D 点作 DE∥AC交 BC的延长线于A DE点。

新北师大版八年级下册第六章平行四边形讲义及中考题

周长的计算可以帮助我们了解平行四边形的面积和形状，从而更好地应用在数学和实际问题中。
周长的计算是平行四边形的一个重要性质，也是几何学中常用的知识点之一。
掌握周长的计算方法对于解决几何问题、建筑设计等领域的问题具有重要意义。
平行四边形的相似判定
• 定义：两个平行四边形对应角相等，对应边成比例，则这两个平行四边形相似
能力
难题：考察学生的数学思维和创新能力，涉及平行四边形的深入探讨
和拓展应用
易错题：学生容易出错的地方和需要注意
的细节问题
中考题解题技巧
熟悉题型：了解中考数学题目的常见类型和解题方法。掌握基础知识：熟练掌握数学基础知识，如公式、定理、性质等。审题清晰：认真审题，理解题意，明确题目要求。逻辑推理：运用逻辑推理，逐步推导，得出正确答案。细心计算：在解题过程中，要细心计算，避免因计算错误而失分。
机械原理：平行四边形机构可以实现多种运动轨迹
建筑学：平行四边形图案在建筑设计中的应用，如窗户、门等交通工具：汽车、火车等交通工具中的平行四边形结构，如车轮、车架等
平行四边形在数学竞赛中的应用
平行四边形作为几何图形的基本构成元素，在数学竞赛中有着广泛的应用。
平行四边形的性质和定理在解决数学竞赛问题时具有重要的作用。
平行四边形在几何证明题中常常作为主要工具，用于证明各种几何关系和结论。在数学竞赛中，利用平行四边形的性质和定理可以解决一些复杂的几何问题，提高解题效率。
04
平行四边形的拓展知识
平行四边形的面积计算
面积公式：平行四边形的面积公式为底乘高的一半，即S=ah/2，其中a为底边长度， h为高。
面积计算的推导：通过将平行四边形分割成两个三角形，然后利用三角形面积公式推导得出平行四边形的面积公式。

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。

平行四边形定义及性质最全ppt课件

一、平行四边形的概念：
D
C
A
B
1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
2.表示方法：“ ”,如平行四边ABCD记作：
ABCD；读作：平行四边形ABCD
4.有关名称：对边、邻边对角、邻角
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
例2 如图1 ABCD中AB=5，BC=9，BE，CF分别平分∠ABC， ∠BCD，则DE=_____，4 AF=_____4， EF=__1___
注意：
1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形不是平行四边形。
2.用“ ”表示平行四边形时，字母的排列要按一定的顺序，可以顺时针可以逆时针。
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
证明相关性质
已知：如图，在 ABCD中
求证：AB=CD，BC=DA， ∠A=∠C，∠B=∠D.
B
A
D
1
3
4
2
C
证明: 连接AC 在 ABCD中， ∵ AD∥BC、AB∥CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵AC=AC ∴ ABC≌ CDA ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D
又∵∠1=∠2，∠3 =∠4 ∴ ∠1+∠3= ∠2 +∠4 即∠BAD=∠BCD

(完整版)平行四边形专题讲义

平行四边形专题讲义一、学习目标复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的；特殊的平行四边形包括、、。

2．梯形（是否）特殊平行四边形，（是否）特殊四边形。

3．特殊的梯形包括梯形和梯形。

4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有；属于中心对称图形的有。

四、复习过程（一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边，对边；（2）从角看：对角，邻角；（3）从对角线看：对角线互相；（4）从对称性看：平行四边形是图形。

2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（定义）（2）判定2：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（3）判定3：一组对边且的四边形是平行四边形。

（4）判定4：两组对角分别的四边形是平行四边形。

（5）判定5：对角线互相的四边形是平行四边形。

【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是（） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。

平行四边形的性质及判定(四边形)讲义

EOABD C平行四边形的性质及判定一、知识提要1.定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD.2.平行四边形的性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.3.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的，其中，两条平行线间最短的线段长度叫做平行线间的距离.5.平行四边形的判定：共5个①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.二、精讲精练1.(2011广东)已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A. 4B. 12C. 24D. 282.在平行四边形中，四个角之比可以成立的是( )A．1:2:3:4 B．2:2:3:3 C．2:3:3:2 D．2:3:2:33.（2011江苏）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC=6，则线段AO的长度等于________.4.（2011山东）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，3OE cm，则AD的长是＿＿cm.5.（2011湖南）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不．正确．．的是( )A．AC⊥BD B．AB=CDC．BO=OD D．∠BAD=∠BCD6.在平行四边形ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是_______.7.平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必( )A．大于1 B．大于1且小于7C．小于7 D．大于7或小于1A DCOB8. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.10. 在□ABCD 中，AB =3，BC =5，∠B 的平分线AE 交AD 于点E ，则DE 的长为__________.11. 在平面内和直线l 距离为8 cm 的直线有______条. 12. 平行四边形的一组对角的平分线( )A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线13. （2011湖南）如图．下列四组条件中．不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AB =DC ， AD =BCB ．AB ∥DC ，AD ∥BC C ．AB ∥DC ，AD =BCD ．AB ∥DC ，AB =DC14. 如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ， DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形EFGH 是_____．15. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，则四边形BEDF 是___________．16. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，则图中共有平行四边形的个数是( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 617. （2011天津）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，连接DE 、EF 、FD ．则图中平行四边形的个数为__________.18. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件，①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD .从这四个条件中，任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6FEDCBA DCBAHGA BCDEFF EDCBA FA BCDEABECFD 19. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF =CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．20. （2011湖北）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F . （1）证明：∠DFE =∠CBE ；（2）证明：△DFE ≌△CBE ．21. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD及OB 的长．22. (2011四川)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，且AF =CE ，BH =DG ，求证：EG ∥HF .OD CBAH G O E DCBA F E DCB A F三、测试提高【板块一】平行四边形的性质1. （2011重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO =BO ；②OE =OF ； ③△ODM ≌△OBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④2. （2011辽宁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF =45°，则∠EDF 的度数是（） A ．30° B ．45° C ．55° D ．75°3. （2011浙江）如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中有几对全等三角形（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于点E ，交BC 于F ，若AB =4，BC =6，OE =2，那么四边形EFCD 的周长是（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10N MFE ODC BAFEDCBA O ABCDE FF E ODCB A【板块二】平行四边形的判定5. （2011广西）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ， HN ∥AB ，则图中的平行四边形的个数共有( ) A ．12个 B ．9个 C ．7个 D ．5个四、课后作业1. 在□ABCD 中，∠A = 2∠B ，则∠C =________.2. 在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（）. A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶13. 已知平行四边形ABCD 的周长是100cm, AB :BC =4:1,则AB 的长是__________.4. 在平行四边形ABCD 中,∠A :∠B =3:2,则∠C =_______度，∠D =____度.5. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的短边长为____.6. 平行四边形ABCD 的周长32, 5AB =3BC ,则对角线AC 的取值范围为_______.7. 在平行四边形ABCD 中,∠A =65°,则∠D 的度数是_______8. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ).A.周长B. 一腰的长C.周长的一半D. 两腰的和 9. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( ). A. 一组对角相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为180°10. 关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC 和BD 相等.以上四个条件中，可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有______个.11. 四边形ABCD 中,AD ∥BC ,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ). A. ∠A +∠C =180° B. ∠B +∠D =180° C. ∠A +∠B =180° D. ∠A +∠D =180°12. 已知平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .NHE D CBA F13.已知：如图，△ABC中，AB=AC，DE//AC，DF//AB．求证：DE+DF=AB14.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，E，F是BD上的点，BE⊥EC，DF⊥AF，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？15.（2010江苏）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．16.（2011福建）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.求证：AE=CF.FAB C DE OEDCB AFC ABD EFB DAFCE。

(完整)平行四边形全部讲义

平行四边形1、平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2） "表示，平行四边形ABCD ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。

（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.①由定义知平行四边形两组对边分别平行；②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

例1中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.A E DG P HB F C考点二、平行四边形的性质（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。

（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。

例2中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.A BC D 考点三、平行四边形的对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分.例3中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB 的周长为_______。

练习题一、感受理解1．已知 ABCD 的对角线交点,AC=10cm ，BD=18cm ，AD=•12cm ，•则△BOC•的周长是_______．2的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 的面积为2,那么平行四边形ABCD 的面积为_____．3．已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________．4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1。

第18讲平行四边形的判定八年级数学下册讲义(北师大版)(原卷版)

第18讲平行四边形的判定目标导航1．掌握平行四边形性质与判定定理。

2.会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题．知识精讲知识点01 平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【知识拓展】（2021秋•芙蓉区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120°D．100°【即学即练1】（2022•乐清市一模）如图，在▱ABCD中，AB＝BE，∠C＝70°，则∠BAE的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【即学即练2】（2022春•睢宁县月考）▱ABCD的对角线相交于点O，BD＝14，AC＝10，则BC的长可以是（）A．8B．20C．14D．22知识点02 平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．【知识拓展】（2021秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC 上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A．B．3C．3或D．或【即学即练1】（2022春•金华月考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CDC．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD【即学即练2】（2022春•渝中区校级月考）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB∥CD，AD＝BCC．AB＝BC，CD＝DA D．∠A＝∠B，∠C＝∠D【即学即练3】（2022春•丹徒区月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M 是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．知识点03 平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．【知识拓展】（2021秋•仓山区校级期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行B．对角线互相平分C．一组对边相等D．对角线互相垂直【即学即练1】（2021秋•开福区校级期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的长．【即学即练2】（2022春•九龙坡区校级月考）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，BO＝DO．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数．【即学即练3】（2021秋•栖霞市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为．【即学即练4】（2021秋•栖霞市期末）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE ∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【即学即练5】（2021秋•栖霞市期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形．（1）证明：四边形AEFD是平行四边形；（2）求∠DFE的度数．【即学即练6】（2021秋•曲阳县期末）如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是（填字母序号）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．l垂直平分AB，且l垂直平分CDD．AC与BD互相平分【即学即练7】（2022春•渝水区校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t 的所有可能取值为．能力拓展一．选择题（共2小题）1．（2019•湖北自主招生）如图，平行四边形DEFG 内接于△ABC，已知△ADE ，△EFC，△DBG的面积为1，3，1，那么▱DEFG的面积为（）A．2B．2C．3D．42．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3二．填空题（共2小题）3．（2019•湖北自主招生）如图，直线AB、IL、JK、DC互相平行，直线AD、IJ、LK、BC互相平行，四边形ABCD面积为90，四边形EFGH面积为55，则四边形IJKL面积为．4．（2017•金牛区校级自主招生）如图，点P是▱ABCD内一点，S△P AB＝7，S△P AD＝4，则S△P AC＝．三．解答题（共8小题）5．（2017•市南区校级自主招生）如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若AB＝AF，试判断四边形ACFD的形状，并说明理由．6．（2018•西湖区校级自主招生）如果用铁丝围成如图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？7．（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE ＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．8．（2019•麻城市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD 中点．求证：AP＝BC．9．（2019•南岸区自主招生）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．10．（2018•宝山区校级自主招生）AB∥CD，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求S四边形ABCD．11．（2018•江岸区校级自主招生）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．12．（2019•渝中区校级自主招生）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，点F在AB上，连接DF、CF，且BD＝BC，过F点作FE⊥CB交CB的延长线于点E．（1）如图1，当F为AB的中点，∠A＝60°，AD＝2，求CE；（2）如图2，若∠FDB＝2∠FCB，求证：FD＝2BE．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．（2021•南岗区校级开学）在▱ABCD中，若∠A＝38°，则∠C等于（）A．142°B．132°C．38°D．52°2．（2021•唐山一模）证明：平行四边形的对角线互相平分．已知：如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．求证：OA＝OC，OB＝OD，嘉琪的证明过程如图．证明过程中，应补充的步骤是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥BC，AD＝BCC．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD3．（2021秋•襄都区校级期末）平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则AB、BC的长分别为（）A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm4．（2022•大渡口区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠ADC＝（）A．30°B．45°C．60°D．80°5．（2021秋•桓台县期末）如图，在▱ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（）A．110°B．70°C．55°D．35°6．（2022春•洪泽区月考）平行四边形的对角线长为x，y，一边长为14，则x，y的值可能是（）A．8和16B．10和14C．18和10D．10和247．（2021秋•高新区校级期末）如图，点P是平行四边形ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知平行四边形ABCD面积为24，那么△PEF的面积为（）A．12B．3C．6D．4二．填空题（共4小题）8．（2021秋•芝罘区期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为10，则四边形ABCD的周长是．9．（2022春•泰州月考）已知▱ABCD周长是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则CD的长是cm．10．（2022春•玉林月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC ＝4，AC＝10，则平行四边形ABCD的面积为．11．（2022春•洪泽区月考）在▱ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝°．三．解答题（共4小题）12．（2021秋•沂源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．（1）证明：DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形，并说明理由．13．（2022春•泰州月考）如图所示，已知点E，F在▱ABCD的对角线BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．14．（2022春•东台市月考）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．15．（2021秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．题组B 能力提升练一．选择题（共3小题）1．（2022春•盐都区月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2022春•江都区月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（）A．6B．8C．10D．133．（2021秋•莱州市期末）如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点，BE平分∠ABC．若AB＝2，则▱ABCD 的周长是（）A．11B．12C．13D．14二．填空题（共4小题）4．（2022春•宝应县月考）在四边形ABCD中，分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．以其中的两个条件能判定四边形ABCD为平行四边形的有种不同的选择．5．（2022春•沭阳县月考）已知在平面直角坐标系中，有点O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C这四点．以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为．6．（2022春•江都区月考）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝18，则△BOC的周长为．7．（2022春•江都区月考）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是．三．解答题（共4小题）8．（2021秋•莱阳市期末）如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．求证：四边形AGCH是平行四边形．9．（2021秋•东阳市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠A＝60°，点E，G分别在边AB，AD上，且AE＝AB，AG＝AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF与GH交于点O，分别在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，连结PH、QF交于点I．（1）四边形EBHO的面积四边形GOFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）比较∠OFQ与∠OHP大小，并说明理由．（3）求四边形OQIP的面积．10．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．11．（2021秋•莱芜区期末）点E是▱ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．题组C 培优拔尖练一．填空题（共8小题）1．（2021春•贵阳期末）如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是．2．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝．3．（2021春•永嘉县校级期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC 的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为平方单位．4．（2020秋•仓山区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD 的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝．5．（2021春•武汉期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为．6．（2021•太原一模）如图，在▱ABCD中，AD＝6，对角线BD⊥CD，∠BAD＝30°，∠BAD与∠CDB的平分线交于点E，延长DB到点F，使DF＝AD，连接EF，则EF的长为．7．（2020春•鹿城区期中）如图在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为，则平行四边形ABCD面积为．8．（2020•青羊区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP ＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝．二．解答题（共6小题）9．（2020春•北碚区校级月考）在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．10．（2020•南海区一模）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．求证：（1）AC＝EF；（2）四边形ADFE是平行四边形；（3）AC⊥DF．11．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB 和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．（1）若AE＝2，CD＝5，求△BCF的周长；（2）求证：BC＝AG+EG．12．（2019春•阿荣旗期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC ＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？13．（2019春•萧县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．14．（2018秋•东湖区校级期末）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．。

平行四边形性质和判定基础讲义

数学学科辅导讲义【知识点1平行四边形的对角线互相平分】【例1】•如图，在口ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是（）A • AB #CD B • AB =CDC • AC =BD D • OA =OCBC=5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则UOA 的取值范围是解答题：如图所示，在ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点O,点M, N 在对角线AC 上，且AM=CN,求证【例1】•如图，^^ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，若^AOD 的面积是5，则口ABCD 的面积是（）A •10 B. 15 C. 20 D. 25练1：如图，在口 ABCD 中，已知20口人=90 AC=10 cm ，BD = 6 cm ，则AD 的长为（A • 4 cmB. 5 cm C • 6 cm【例2】•如图，口ABCD 的对角线交于点O ，且AB = 5，AOCD 的周长为23，则口ABCD的两条对角线的和是（A • 18B. 28 C • 36 D. 46 练1. o ABCD 的对角线 AC BD 交于点O ，若两条对角线长的和为20 cm ，且BC 长为6 cm ，则4AOD 的周长为cm. 练 2. ^^ABCD 中，AB = 3 ：BM 〃DN.知识点2 平行四边形的面积.3*练 2 •如图，^^ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，若 DO = 1.5 cm ，AB = 5 cm ，BC=4 cm.练3.如图，o ABCD 的对角线交于点O ，＜AB = 5，AOCD 的周长为23，贝U^ABCD 的A -B. 28 C • D. 46【例2】•如图，=ABCD 面积为)A - 60 B C • 20 D. 16 cm 2 例1 •如图，o ABCD 中分的面积为A • 6 C. 12 D. 24B. 求D ABCD 的面积.D两条对角线的和是（）H 口练1 •（柳州中考）如图，^^ABCD 的面积为20，BC=5，则边AD 与BC 间的距离为 A D ，AC ，BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部的对角线AC 的长为10 cm ，NCAB = 30° ，AB 的长为6 cm ，则=ABCD 的随堂检测△AEF 与4DFC 是否全等？为什么？课后练习1.如图，已知BE 〃DF,NADF=NCBE, AF=CE.求证：四边形DEBF 是平行四边形.1.已知□ABCD 的周长为32, AB=4,则U BC= ( A. 4B. 12C. 24 )D. 28 2.如图，OABCD 的对角线交于点O,且AB = 5,AOCD 的周长为23,则 ABCD 的两条对角线的和是（）3.4. 5. 6. A. 18 C. 36 D. 46 在□ABCD 中，AB = 6 cm, BC = 8 cm 如图如图如图在□ABCD 中，NA=120°,则ND = 在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,若AC=14, BD = 8, AB = 10,则^OAB 的周长为四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD,^ F 在AD 上，AF=AB.那么 Q2.如图，已知D是4ABC的边AB上一点，CE〃AB, DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段 AE的大小关系和位置关系，并证明你的结论.第12。

平行四边形的性质与判定讲义

1、平行四边形的定义2、平行四边形的对边相等重点：使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。

练习1、平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为3.平行四边形的对角相等重点：使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1、已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

求证：∠ADF=∠CBE。

练习1、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、4、平行四边形的对角线互相平分重点：使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例1. 如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。

练习1.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。

例2、如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？练习2、如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.5、平行四边形的面积1）、如图（1），，也就是边长×高=ah2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

如图（2），例1. 中，∠A=150°，AB=8cm，BC=10cm，求：四边形ABCD的面积。

练习1.如图，已知的对角线相交于O，是等边三角形，AB=4cm，求这个四边形的面积。

6、平行四边形的判定定理（1）两组对边分别平行的四变形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例1.如图在四边形ABCD中，BC∥AD，AE∥DC，AB=DC，求证：∠B=∠C。

《平行四边形判定》课件

VS
应用2
在解决一些与图形变换有关的问题时，可以利用平行四边形的性质来找到变换后的图形。例如，在解决一些与旋转或平移有关的问题时，可以利用平行四边形的性质来找到变换后的图形。
在数学竞赛中的应用
应用1
在数学竞赛中，常常会涉及到平行四边形的问题。这些问题往往比较复杂，需要考生具备扎实的数学基础和灵活的思维。例如，在解决一些与几何图形有关的问题时，需要考生利用平行四边形的性质来找到解决问题的方法。
难点
理解并应用平行四边形的性质和判定定理。
对学生的建议与指导
01
建议学生多做练习题，加深对平行四边形判定的理解。
02
指导学生如何运用平行四边形的性质和判定定理解决实际问题。
下节课预告
下节课将学习三角形的基本性质和判定方法。
请同学们提前预习相关内容，准备好学习资料。
THANK YOU
感谢聆听
详细描述
在四边形中，如果对角线互相平分，则说明这个四边形是一个平行四边形。这是因为对角线互相平分意味着这个四边形是一个平行四边形。
03
平行四边形判定的应用
在几何证明中的应用
应用1
在几何证明中，常常需要使用平行四边形的性质来证明一些结论。例如，利用平行四边形的对角线性质，可以证明两个三角形是否相似或全等。
详细描述
根据平行线的性质，如果一个四边形的两组对边都分别平行，则这两组对边之间的夹角都相等，因此这个四边形是一个平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
总结词
如果一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形。
详细描述
在四边形中，如果两组对边分别相等，则说明这两组对边都平行且等长，因此这个四边形是一个平行四边形。

证明(三)-平行四边形复习讲义

北师大版数学九年级上第三章、证明（三）-平行四边形、梯形复习讲义一、要点概况1、平行四边形的定义：两组对边分别的四边形叫做平行四边形。

平行四边形是对称图形，其对称中心是。

2、平行四边形的特征（性质定理及推论）（1）性质1：平行四边形的对边平行且相等。

（2）性质2：平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）性质3：平行四边形的对角线互相平分。

（4）推论1：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

（5）推论2：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积。

（6）推论3：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的识别（判定定理及推论）（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形。

5、等腰梯形的性质定理：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；（2）从边看：等腰梯形两腰相等；（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．6、等腰梯形的判定定理：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（3）两条腰相等的梯形是等腰梯形．6、等腰梯形的推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

7、梯形的中位线：（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h8、梯形常见辅助线的作法：作法图形延长两腰，转化为三角形ABCD E平移一腰，转化为三角形、平行四边形ABCD E作高，转化为两直角三角形和一矩形(ABCD E F平移一对角线，转化为三角形、平行四边形ABCDE倍长中线，构造全等三角形1ABCD EF倍长中线，构造全等三角形2梯形内平移两腰,转化为两个平行四边形和一三角形作中位线（两腰的中点的连线）二、典例精讲及变式训练（一）平行四边形中命题的判断例1：下列说法中，错误的是（）A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C、四个角都相等的四边形是矩形D、邻边相等的矩形是正方形变式训练1：如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是A.①②B.②③C.②④ D.③④（二）平行四边形性质的运用与考查例2：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是。

平行四边形性质及定理PPT课件

的平衡和美感。
图案设计
02
平行四边形在图案设计中也有广泛应用，如纺织品、壁纸、地
毯等的设计。
舞台布景和道具设计
03
在舞台布景和道具设计中，平行四边形也常被用于创造视觉效
果和空间感。
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感谢您的观看
一组对边平行
总结词
如果一个四边形中有一组对边平行，则该四边形是平行四边形。
详细描述
这是平行四边形的一个基本判定定理。如果一个四边形的对边平行，则这个四边形必然是平行四边形。
一组对边相等
总结词
如果一个四边形中有一组对边相等，则该四边形是平行四边形。
详细描述
这也是平行四边形的一个基本判定定理。如果一个四边形的对边相等，则这个四边形必然是平行四边形。
窗户和门的形状设计
平行四边形因其独特的对边平行和相对边相等的特性，常被用于创造空间感和视觉效果。
窗户和门的形状设计经常采用平行四边形，以实现采光和通风的最佳效果。
建筑结构的稳定性
平行四边形的对角线互相平分，这使得它在建筑结构设计中具有稳定性，如桥梁、房屋的支撑结构等。
机械设计中的应用
机械零件的形状设计
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contents
目录
• 平行四边形的基本性质 • 平行四边形的判定定理 • 特殊平行四边形 • 平行四边形在实际生活中的应用
01 平行四边形的基本性质
对边平行
总结词
平行四边形的对边是平行的。
详细描述
这是平行四边形的基本性质之一，即相对的两条边是平行的，不会相交于一点。
直角三角形斜边中线定理，矩形的对角线相等
且互相平分。

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综合练习题
总结词：综合运用
详细描述：设计一些涉及多个知识点和复杂情境的题目，要求学生综合运用平行四边形的性质和判定来解决，旨在提高学生的综合运用能力和问题解决能力。
谢谢观看
对角相等
总结词
这是平行四边形的一个重要性质，也是判定一个四边形是否为平行四边形的重要依据。
详细描述
在平行四边形中，相对的两个角是相等的。也就是说，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形就是平行四边形。这个性质在解决几何问题时非常有用，可以通过测量或比较角的大小来确定一个四边形是否为平行四边形。
对边相等
总结词
这是平行四边形的另一个重要性质，也是判定一个四边形是否为平行四边形的重要依据。
详细描述
在平行四边形中，相对的两边是相等的。也就是说，如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形就是平行四边形。这个性质在解决几何问题时非常有用，可以通过测量或比较边的大小来确定一个四边形是否为平行四边形。
04
练习与巩固
基础练习题
总结词：掌握基础
详细描述：设计一系列与平行四边形性质和判定相关的基础题目，难度较低，主要目的是帮助学生掌握基础知识，理解平行四边形的定义、性质和基本判定方法。
提升练习题
总结词：能力提升
详细描述：在基础题目之上，增加一些难度稍大的题目，着重考察学生对平行四边形性质和判定的理解和应用能力，以及他们的逻辑推理和问题解决能力。
02
平行四边形的判定
一组对边平行
总结词
如果一个四边形一组对边平行，则该四边形是平行四边形。
详细描述
根据平行四边形的定义，如果一个四边形有一组对边平行，则该四边形的相对边也平行，满足平行四边形的性质。

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平行四边形的性质
目录
• 平行四边形的定义 • 平行四边形的性质 • 平行四边形的判定 • 平行四边形的面积与周长 • 平行四边形在几何中的应用
01
平行四边形的定义
定义与性质
定义
平行四边形是一个四边形，其中相对的两边平行。
性质
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。
平行四边形的分类
对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分，将平行四边形分成两个面积相等的三角形。
对角线相等
在平行四边形中，相对的两个角是补角，因此其对角线长度相等。
对角线与边的关系
平行四边形的对角线可以用来计算其面积，公式为面积 = 对角线1 × 对角线 2 ÷ 2。
对边性质
对边平行
平行四边形的定义就是两组对边平行，这是平行四边形的基本性质。
了矩形，其周长计算方法与矩形相同。
05
平行四边形在几何中的应用
在几何证明中的应用
1 2
平行四边形的对角线互相平分
利用这一性质，可以证明线段的相等关系。
平行四边形的对角相等
利用这一性质，可以证明角度的相等关系。
3
平行四边形的邻角互补
利用这一性质，可以证明角度的和为90度。
在几何作图中的应用
利用平行四边形的性质，可以方便地作出平行线。
对边相等
在平行四边形中，相对的两边长度相等，即对边相等。
对边与角的关系
平行四边形的对角线与对边之间存在角度关系，可以通过对角线来计算其他角度。
对角性质
对角相等
在平行四边形中，相对的两个角大小相等，即对角相等。
邻角互补
对角与边长关系
在平行四边形中，对角的大小与边的长度之间存在一定的关系，可以通过对角来计算边的长度。