多体动力学讲稿6 多刚体系统拉格朗日动力学
动力学中的拉格朗日方程
动力学中的拉格朗日方程在物理学和工程学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的重要工具。
拉格朗日方程由法国数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，它能够将系统的动力学问题转化为一组方程，进而方便地求解系统的运动规律。
本文将介绍拉格朗日方程在动力学中的应用，以及其原理和推导方法。
一、拉格朗日方程的原理拉格朗日方程是从一种被称为“拉格朗日力学”的理论体系中得出的。
在拉格朗日力学中，系统的运动被描述为一种能量的变化过程。
拉格朗日方程的原理是基于系统的动能和势能的概念。
系统的动能可以用质点的质量和速度来表示，而势能则是系统中各个物体相对于某一参考点的位置所具有的能量。
根据能量守恒定律，系统的总能量在运动过程中保持不变。
拉格朗日方程的基本思想是，系统的动能和势能之间存在一种函数关系，称为拉格朗日函数。
通过对拉格朗日函数求取变量的极值，可以得到系统的运动方程。
这就是拉格朗日方程的原理。
二、拉格朗日方程的推导方法要推导拉格朗日方程，需要首先确定系统的拉格朗日函数。
拉格朗日函数可表示为系统的动能与势能之间的差异。
以单个质点为例，其拉格朗日函数可表示为L = T - V，其中T为动能，V为势能。
对于多个质点构成的系统，拉格朗日函数的表达式包含了各个质点的动能和相互作用势能。
然后，通过对拉格朗日函数对各个质点的运动变量求取变分，可以得到相应的运动方程，即拉格朗日方程。
三、拉格朗日方程的应用拉格朗日方程在经典力学和动力学中有广泛的应用。
它可以用于描述各种复杂力学系统的运动，如振动系统、弹性体、刚体等。
通过求解拉格朗日方程，可以精确地得到系统的运动规律，并且相较于牛顿力学的方法，具有更加简洁明了的形式。
在求解拉格朗日方程时，一种常见的方法是利用拉格朗日方程的守恒量。
当系统具有某些对称性时，拉格朗日方程会出现某些守恒量，如动量、角动量等。
这些守恒量能够更加简化运动方程的求解过程，并提供对系统运动性质的重要信息。
多刚体系统动力学理论概述
多刚体系统动力学理论概述多刚体系统动力学的研究方法包括Lagrange方法、Newton－Euler方法、Roberson－Wittenburg方法、Kane方法和变分法等。
基于第一类Lagrange方程建立带乘子的最大数目动力学方程，对推导任意多刚体系统的运动微分方程提供了一种规范化的方法，其主要特点有：为减少未知量数目，选择非独立的笛卡儿广义坐标；运动微分方程中不包含约束反力，利于求解；在方程中引入动能和势能函数，求导计算量随分析系统的刚体数目增加而大增。
此方法由于方便计算机编译通用程序，目前使用广泛，已被一些多体动力学软件作为建模理论而采用。
一、笛卡儿广义坐标下的各参量笛卡儿方法是以系统中每个物体为单元，在物体上建立随体坐标系。
体的位形均相对于一个公共参考系定义，位形坐标统一为固连坐标系原点的笛卡儿坐标系与坐标系的姿态坐标。
规定全局坐标系OXYZ，其基矢量为e＝［e1，e2，e3］T，过刚体任意一点O（基点）建立与刚体固连的随体坐标系oxyz，其基矢量为e′＝［e′1，e′2，e′3］T。
随体坐标系能够确定刚体的运动，采用3个笛卡儿坐标以及3个方位坐标。
坐标变换矩阵A表示随体坐标相对于全局坐标系的关系。
如图1.1所示，假设刚体从OXYZ变换到oxyz，随体坐标系oxyz 相对于全局坐标系OXYZ的姿态可以由三次有限转动（绕体轴3－1－3顺序）确定，即先绕OZ轴转ψ角度，再绕ON轴转θ角度，最后绕oz转φ角度。
其中，θ为章动角；ψ为进动角；φ为自转角。
图1.1 坐标系转换示意图将ψ、θ和φ这3个描述刚体姿态的坐标称为欧拉角坐标。
三次转动的坐标变换矩阵分别为从随体坐标系oxyz到全局坐标系OXYZ的坐标变换矩阵为式中，cψ＝cosψ，其余类推。
根据角速度叠加原理，刚体的角速度矢量ω为将该矢量投影到全局坐标系中，写成矩阵形式，有其中求导角速度表达式可得到角加速度的表达式：如上所述，刚体的位形由随体坐标系的平动以及相对全局坐标系的转动确定。
多体系统动力学基本理论
多体系统动力学基本理论第2章多体系统动力学基本理论本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。
通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。
2.1 多体系统动力学研究状况多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。
从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。
本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。
2.1.1 多体系统动力学研究的发展机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。
计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。
数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。
计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。
两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。
多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。
多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。
它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。
《刚体动力学》课件
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应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
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应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
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公式：F=ma
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注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
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刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
机械多体系统动力学
机械多体系统动力学机械多体系统动力学是研究多个物体之间相互作用和运动规律的一门学科。
它涉及到刚体、弹性体等物体的运动学和动力学问题，是机械工程、航天航空等领域的重要基础理论之一。
在机械多体系统动力学中，我们关注的是多个物体之间的相对运动以及受力情况。
为了描述这些物体的运动，我们需要建立数学模型来表示它们的位置、速度和加速度等物理量。
通过对这些物理量的分析，我们可以得到物体之间的相互作用力以及它们的运动规律。
在机械多体系统中，物体之间的相互作用力可以分为两类：内力和外力。
内力是指物体内部不同部分之间的相互作用力，例如弹簧的弹力、杆件的轴向力等。
外力则是物体受到的外部作用力，例如重力、摩擦力等。
通过对这些力的分析，我们可以得到物体的受力情况，并进一步推导出物体的运动规律。
机械多体系统动力学的研究方法主要有两种：拉格朗日方法和牛顿-欧拉方法。
拉格朗日方法是一种基于能量原理的方法，通过建立广义坐标和广义力的关系，可以得到物体的运动方程。
牛顿-欧拉方法则是一种基于牛顿定律的方法，通过建立每个物体的受力平衡方程，可以得到物体的运动方程。
在实际应用中，机械多体系统动力学可以用于分析和设计各种机械系统，例如机械臂、汽车悬挂系统、飞机起落架等。
通过对这些系统的动力学分析，我们可以评估它们的运动性能和稳定性，并进行优化设计。
除了机械多体系统的动力学分析，我们还可以通过数值模拟和实验验证来验证和验证我们的理论分析。
数值模拟可以通过计算机仿真的方式来模拟物体的运动，从而得到物体的运动轨迹和受力情况。
实验验证则是通过实际测量和观察来验证我们的理论分析结果。
总的来说，机械多体系统动力学是一门研究多个物体之间相互作用和运动规律的学科。
通过对物体的运动学和动力学分析，我们可以得到物体之间的相互作用力以及它们的运动规律。
这对于机械工程、航天航空等领域的设计和研究具有重要的意义。
同时，数值模拟和实验验证也是验证和验证我们的理论分析的有效手段。
多体动力学
多体动力学摘要多刚体系统的位置、姿态、运动及受力分析。
目录引言 (3)1 矢量 (4)1.1 矢量的定义及符号 (4)1.2 矢量的基本运算 (5)1.3 单位矢量的定义和符号 (6)1.4 零矢量的定义和符号 (6)1.5 平移规定 (6)习题一 (6)2 坐标系 (7)习题二 (8)3 矢量的坐标阵和坐标方阵 (8)习题三 (10)4 方向余弦矩阵 (10)4.1 方向余弦矩阵的定义 (10)4.2 方向余弦矩阵的用途 (11)4.3 方向余弦矩阵的性质 (14)习题四 (16)5 欧拉角 (16)5.1 欧拉角的定义 (16)5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系 (17)5.3 欧拉角的奇点 (19)5.4 确定欧拉角的几何法 (19)习题五 (20)6 矢量在某参照物内对时间的导数 (21)习题六 (23)7 角速度 (24)习题七 (25)8 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (25)习题八 (28)9 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (28)习题九 (29)10 角速度叠加原理 (30)习题十 (31)11 角加速度 (31)习题十一 (31)12 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (32)习题十二 (34)13 点的速度和加速度 (34)习题十三 (36)14 刚体上固定点及动点的速度与加速度 (36)14.1 刚体上固定点的速度与加速度 (36)14.2 刚体上动点的速度与加速度 (39)习题十四 (40)15 刚体的动力学方程 (40)15.1 并矢 (40)15.2 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (43)15.3 达朗贝尔原理和动力学方程 (45)习题十五 (46)16 约束方程 (46)习题十六 (48)参考文献 (48)引言多体动力学的研究对象是由多个物体通过约束及力元件连接起来的空间机构。
将机构中的物体抽象为柔体，则得到多柔体系统，抽象为刚体则得到多刚体系统。
这里只涉及多刚体系统。
多体系统动力学基本理论
The orientation cosine matrix is A A1 A2 A3 (i j k i3 j3 k3 )
k 2 (k3 ) k (k1 )
j3
j2
1
i
j
k i1 k2 k k1 sin j2 cos k2 sin (sin i3 cos j3 ) cos k3 i1 i2 cos i3 sin j3 k2 k3
i1 j1 k1
cos sin 0 A1 sin cos 0 0 0 1
i
i1 (i2 ) i3
j
i1 j1 k1
i1 i2 j j 1 A2 2 , k1 k 2
(i1 )
i2 j2 k2
0 0 1 A2 0 cos sin 0 sin cos
i2 j2 k2
(k 2 )
i3 j3 k3
i2 i3 cos sin 0 j2 A3 j3 , A3 sin cos 0 k 2 k3 0 0 1 i i1 i2 i3 j j j j A1 1 A1 A2 2 A1 A2 A3 3 k k1 k 2 k3
Name DADS ADAMS Formulation method Newton Euler First Lagrange Results Time history Animation Time history Animation Frequency Response Time history
机械设计中的多体系统动力学分析与优化
机械设计中的多体系统动力学分析与优化随着科技的进步和工程的发展，机械设计的复杂性也日益提高。
在许多机械系统中，多个刚体或刚体组件的相对运动对系统性能、寿命和稳定性产生重要影响。
因此，对多体系统的动力学行为进行分析和优化变得至关重要。
本文将探讨机械设计中的多体系统动力学分析与优化的关键问题，并提出一些解决方案。
一、多体系统的动力学分析多体系统是由相互关联的刚体或刚体组件构成的机械系统。
在进行动力学分析时，我们需要考虑以下几个方面：1. 刚体模型建立：基于机械系统的几何形状和运动特性，我们可以建立相应的刚体模型。
刚体模型可以是简单的几何形体，也可以是更为复杂的三维模型。
2. 运动学分析：通过解析几何和运动学方程，我们可以获得每个刚体的位置、速度和加速度等参数。
这些参数对于后续的动力学分析至关重要。
3. 动力学分析：根据牛顿定律和欧拉动力学方程，我们可以建立多体系统的动力学方程。
通过求解这些方程，我们可以得到刚体受力和受力矩的值，从而了解系统的受力情况。
4. 约束分析：在多体系统中，可能存在一些约束条件，如接触约束、几何约束和运动学约束等。
通过分析约束，我们可以确定系统自由度，并简化动力学模型。
5. 仿真与分析：利用计算机仿真技术，我们可以对多体系统进行动力学分析。
通过分析仿真结果，我们可以得出系统的运动规律、振动频率和应力分布等信息。
二、多体系统的优化在进行机械设计时，我们经常需要优化多体系统的性能和功能。
多体系统的优化可以包括以下几个方面：1. 尺寸优化：通过改变刚体的尺寸和形状，我们可以改善多体系统的性能。
如增加结构的刚度、降低质量、减小空间占用等。
2. 材料优化：选择合适的材料可以显著改善多体系统的性能。
通过选择耐磨材料、高强度材料或轻质材料等，我们可以提高系统的寿命、强度和效率。
3. 运动学优化：通过调整多体系统的运动规律，我们可以优化系统的性能。
如调整连杆机构的运动曲线、改变驱动方式等。
4. 控制策略优化：合理的控制策略可以改善多体系统的动力学性能。
多体系统动力学Lagrange方法的进展
多体系统动力学Lagrange 方法的进展1)1)国家自然科学基金、国家教委博士点基金和航空科学基金资助课题.王 琪 陆启韶 黄克累(北京航空航天大学应用数理系,北京 100083)王琪,1959年2月出生于北京,1982年毕业于北京航空航天大学飞行器设计与应用力学系,同年留校任教,后获得一般力学硕士和博士学位.现任北京航空航天大学应用数理系副教授、国家教委课程指导委员会委员.近年来发表多体系统动力学方面的论文十多篇. 摘要 本文综述了近年来L agrange 方法在多体系统动力学研究中的进展.介绍了3种形式的L a 2grange 动力学方程及其数值计算方面新的研究成果.关键词 多体系统,正则方程,隐式算法1 引 言多体系统动力学是一门新兴的交叉性学科,它是刚体力学、分析力学、弹性力学、矩阵理论、图论、计算数学和自动控制理论等多学科相结合的产物,被认为是应用力学最活跃的领域之一.近十几年来,多体系统动力学的研究之所以受到重视,一方面是由于它对机械、车辆、机器人、航空和航天等工程领域有重要的实用价值,另一方面,在学术和理论上也很有意义,推动了许多学科的进一步发展和多学科的相互渗透.L agrange 方法创建于19世纪,目前是建立多体系统动力学方程的普遍方法之一.随着多体系统动力学研究内容的不断深入,研究范围的逐步扩大,使L agrange 方法得到不断的发展.本文就L agrange 方法在多体系统建模理论和数值算法方面近年来的进展做一综述.2 多体系统动力学研究的范畴多体系统动力学的研究包括建模方法和数值算法两个方面.两者的研究内容既相互独立又相互联系.所谓建模是指根据实际工程问题的需要,将实际系统抽象成多刚体、多柔体或刚2柔耦合多体系统,对系统中有关物理量进行分析和描述,然后利用相关的数学力学理论和方法推导出多体系统动力学方程.多体系统(无论是多刚体系统还是多柔体系统或刚柔耦合多体系统)的动力学方程,多数情况下是非线性常微分方程组或微分2代数方程组,一般是通过计算机数值仿真得到方程的数值解,然后通过对数值解的分析了解多体系统的动力学特性.随着科学技术的不断发展,所要研究的系统越来越复杂,不仅使得多体系统的位形空间的维数增大,导致动力学方程的维数增大,同时由于多种运动的相互耦合,使得动力学方程产生严重的刚性(stiff )问题,如何提高数值计算的精度,不会因计算误差使得数值结果失真,是数值算法研究的重要问题.另外,有些系统的动力学仿真要求具有实时性(如机器人的实时控制,车辆或飞行器的实时仿真),因此提高多体系统动力学方程的计算速度也是数值算法研究的主要内容.随着并行计算机的广泛使用,多体系统动力学方程的并行计算已成为数值算法的研究内容之一.13 多体系统Lagrange 方程几种形式传统的L agrange 方程可分为第一类和第二类,前者适用于带约束方程的质点系动力学,其方程为微分2代数方程;后者用于广义坐标独立的质点系动力学,其方程为常微分方程.目前L a 2grange 方法是建立多体系统动力学方程的主要方法.对于具有完整、定常约束的树形结构多体系统,当广义坐标取铰链坐标和变形体的模态坐标时,系统的广义坐标是独立的,应用第二类L a 2grange 方程可得到系统的动力学方程M q β=Q +5T 5q -M αq α(1)其中M ,q 分别为系统的广义质量矩阵和广义坐标列向量.T 为系统的动能,Q 为广义力列向量.该方程为2阶n 维(n 为系统的广义坐标数)常微分方程.系统动能和广义力的推导与系统的拓扑结构有密切关系,对于复杂的多体系统,各部件运动的相互耦合,很难找到通用的规范化的推导方法,用上述方法推导树形多体系统动力学方程是相当繁琐的.对于非树形结构的多体系统,铰链坐标将不再独立,因此上述方法的应用受到很大的限制.为了得到适用性广、规范化程度高的方法,人们采用全笛卡尔坐标[1,2](fu ll Cartesian coo r 2dinates )做为系统的广义坐标q ,此时广义坐标是不独立,根据系统的拓扑结构和铰链类型建立系统的约束方程5(q )=0,5∈R m (m 为约束方程数),用规范化的方法建立每个物体(刚体或柔性体)的动能和广义力[3],然后利用第一类L agrange 方程可得到系统的动力学方程d d t 5T 5q α-5T 5q +5T q Κ=Q 5(q )=0(2)其中5q ,Κ分别为约束方程的Jacob i 矩阵和L agrange 乘子列向量,方程(2)为微分2代数方程组,利用约束方程的B aum garte 稳定化方法[4],可将(2)转化为常微分方程组M5T q 5q 0q βΚ=Q +5T 5q -M αq α-5αq q α-Α5α-Β5(3)其中Α,Β为正常数,方程(3)虽然适用性广,既适用于树形多体系统,也适用于非树形多体系统,但方程维数较高,计算量较大,并且存在一定程度的约束方程违约问题.不难看出,方程(3)要有唯一解,必须其左边矩阵中的矩阵5q 的秩rank (5q )=m ,多数情况下,这个条件是可以满足的,但有些系统在运动过程中出现奇异位置[5,6],此时rank (5q )<m .给方程(3)的数值计算带来困难.为了得到能适用于具有奇异位置的多体系统的动力学方程,人们对约束提出了一种新的研究方法.A rno ld 认为:如果有一个很强的指向约束面的力场,在具有无穷大力场的极限情况下,质点必留在约束面上[7].人们利用这一思想,将L agrange 方程进行了改造.得到了一种修正的L agrange 方程[6,8,9].下面以平面单摆为例说明该方法的建模思想.图1(a )为摆长为L 的单摆,摆杆2力学与实践为刚性杆(质量不计),摆锤A 可视为被约束在5(x )=x -L =0的曲线上.其运动方程为Η=Η(t ).如果将摆杆换成无质量的弹簧(刚度系数为Α),如图1(b )所示,弹簧原长为L ,此时摆锤可被视为无约束的自由质点,在重力和弹簧力的作用下,在铅垂面内运动.当弹簧的刚度系数Α→∞时,图1(a )和图1(b )的物理模型是等价的.但在数值计算时由于图1(b )所示系统的两种运动图1 (x (t ),Υ(t ))的相互耦合,使得x (t )在弹簧原长附近作高频振动.为使这种运动能迅速衰减,在弹簧上再加一个阻尼系数为c =ΛθΑ的阻尼器,当Α,c 充分大,并且x (t 0)=L ,Η(t 0)=Υ(t 0)时,则有x (t )→L ,Υ(t )→Η(t ).B ayo 将这种思想方法推广到多体系统[8],在系统中引入一个“罚势能”和一个虚构的R ayleigh 耗散力列向量V =12Α5T 5, G =-ΛΑ5α由H am ilton 原理得到下列L agrange 方程M q β=Q +5T 5q -5T q Α(5+Λ5α)-M αq α(4)该方程当Α,Λ较大时,方程(4)存在较强的刚性问题,为了缓解这一矛盾,B ayo 和Ku rdila 等人又将方程(4)进行了改进[6,9],在系统中引进了“罚动能”12Β5αT 5α,其中Βθ是充分大的正数,将系统的动能表示成T 3=T +12Β5αT 5α应用H am ilton 原理得到下列方程M 3q β=Q +5T 5q -M α3q α+Β5αT q 5α-Α5T q (5+Λ5α)(5)其中M 3=[M +Β5T q 5q ],无论5q 是否行满秩,M3的逆总是存在的,因此该方程适用于具有奇异位置的多体系统.文献[9]对该方程的收敛性做了严格的理论证明.方程(1)、(3)和(5)是L agrange 多体系统动力学方程的3种基本形式.3个方程各有其特点,方程(1)适用于树形多体系统,方程的维数与系统的自由度数相同,与其它两种方程相比,计算量较小.但当系统的3第19卷(1997年)第3期自由度较大时,给出系统的动能T 和广义力Q 将是非常繁琐的.方程(3)既适用于树形多体系统也适用于含闭链的多体系统,当选用全笛卡尔坐标描述物体的刚性位移时,广义质量矩阵M 和广义力Q 将有统一规范的表达形式,便于方程的建立,方程(3)的维数大于系统的自由度数,计算量较大,并且在数值计算中存在约束方程的违约问题,在使用时要求约束方程的Jacob i 矩阵行满秩.方程(5)与方程(3)的特点基本相同,只是方程中无L agrange 乘子,并对约束方程的Jacob i 矩阵没有任何限定条件,但方程存在较强的刚性问题.4 多体系统Lagrange 方程在数值计算中的进展多体系统动力学方程的形式不同,对其计算效率将产生一定的影响.对于树形多体系统动力学方程(1)通常是2阶n 维常微分方程组,用自然降阶法可得到1阶2n 维常微分方程组,用广义动量做为新的变量同样可得到正则形式1阶2n 维常微分方程组.设广义动量p =5T 5q α,方程(1)可写成q α=M -1pp α=Q +5T5q (6)该方程可用矩阵形式表示成[10,11]q α=M -1p =deff 1p α=Q +12M q (I f 1)T f 1=def f 2(7)其中 为Kronecker 积[12].从方程(7)不难看出,只要给出系统的广义质量矩阵及其偏导数和广义力列向量,然后通过有关的矩阵运算,就可得到系统的动力学方程.方程(7)与方程(1)相比,要少计算M αq α项.可节省O (n 2)的计算量[11].带乘子的Lagrange 方程(3)也可写成正则形式,但计算量较大,为得到计算效率较高的正则方程,设新的Lagrange 乘子列向量为Ρ,新的广义动能为T =T +5αT Ρ,令p =5T5q α,由Ham il -ton 原理可得到[6]q α=M-1(p -5T q Ρ)p α=5T 5q+Q +5αT q Ρ(8)Bau m garte 稳定化的约束方程可写成5α+Χ5=5T q q α+Χ5=0(9)其中Χ为正常数.方程(8)第一式和(9)可写成矩阵形式M 5q T 5q0q αΡ=p -Χ5(10)4力学与实践由方程(10)可求出Ρ,将其代入方程(8),便可得到以q 和p 为变量的1阶2n 维常微分方程组.方程(8)为带乘子Lagrange 方程的正则形式,用矩阵形式可表示成[11]q α=M-1(p -5T q Ρ)=def f 1p α=12[M q (I f 1)]T f 1+Q +[5T qq (I Ρ)]f 1=def f 2Ρ=m -1(Χ5+5q M -1p )(11)式中m =5q M -15T q ,方程(11)与方程(3)相比,同样可节省O(n 2)的计算量.对于修正的Lagrange 方程(5),若设p =5T 3 5q α,其中T 3=T +125αT 5α,由Ham ilton 原理可得到正则形式的动力学方程[6],用矩阵形式它可写成[11]q α=M +Β5T q 5q -1p =def f 1p α=Q +12M q (I f 1)T f 1+Β5T qq [I (5q f 1)]f 1-Α5T q (5+Λ5q f 1)=def f 2(12)方程(12)与(5)相比,少计算M α3q α,该项的计量为O (m ×n 2).若设z T =[q T ,p T ],f T =[f 1T ,f 2T ],则上述3个正则方程均可表示成常微分方程组z α=f (z ,t )(13) 上述3种多体Lagrange 方程的正则形式,不仅计算量少,表达式简练便于编程计算,而且可利用f 1和f 2在计算上的先后顺序,避免相同内容的重复计算,可大大提高计算效率.同时用矩阵和向量形式描述多体系统的动力学方程,便于编程计算,特别是易于实现并行计算[11,13],为并行计算方法在多体系统动力学方程数值计算中的应用,提供良好的数学模型.一般来说,常微分方程组的数值解法是比较成熟的,理论比较完整,也有很多方法可供选择.但是对于刚性方程,由于快变分量和慢变分量相互耦合,许多方法,特别是显式方法,难以用于刚性方程的数值求解.目前刚性常微分方程组初值问题数值计算方法绝大多数是隐式算法[12],每积分一步都要用Newton 法解一个2n 维非线性代数方程组,因此要计算f 的Jacob i 矩阵,当n 较大时,Jacob i 矩阵的推导工作量和计算工作量都是相当巨大的.虽然通过离散Newton 法(New -ton -Steffon sen 方法),用差商代替偏导数,可避免Jacob i 矩阵的推导,但差商的计算量还是相当大(2n 倍f 的计算量).并且该方法自校正能力差,给数值计算带来很大困难.而N ew ton 迭代法,收敛速度快,自校正能力高,如果能利用多体系统动力学方程的特点,推导出f 的Jacob i 矩阵,并提高该矩阵的计算效率,则N ew ton 迭代法将是相当理想的方法.多体系统建模的研究始于70年代初,显式算法的应用研究几乎与其同步进行,而隐式算法的应用研究则始于80年代末90年代初[1,10,14～16],严重滞后于建模研究和显式算法研究.其主要原因有两个方面,从相互关系上看,隐式算法的研究是建立在建模研究和显式算法研究基础上的,从研究的难易程度上看,隐式算法的研究要难于显式算法的研究.但由于隐式算法在数值计算的稳定性和计算精度上明显高于显式算法,因此,逐步得到计算多体系统动力学研究者的重视.文献[1,10,14～16]已将隐式算法应用到多体系统动力学方程的数值计算上,但只有文献[1]给出了隐式梯形公式的计算方法和所用的Jacob i 矩阵的具体表达式,首次将隐式算法简便易行地应用于多体系统动力学方程的数值计算.然而由于隐式梯形公式和其它隐式算法如线性多步法、隐式R unge 2Ku tta 法、Gear 法相比存在着阶数低,截断误差大等缺点,并且它给出的Jacob i 矩阵仅适用于多刚体系统,所以在实际应用上受到一定限制.文献[10,11,15]给出了上述3种正则方程的隐式算法和所用的Jacob i 矩阵,其主要思想是通过分块定义和推导Jacob i 5第19卷(1997年)第3期矩阵,简化了推导过程,揭示了子矩阵间数值计算的内在联系,提高了该矩阵的计算效率,并且便于将各种隐式算法用于多体系统动力学方程的数值计算.文献[10,11]中的计算结果表明,在用相同数量级的CPU时间的条件下,计算精度(约束方程的漂移和能量误差)可提高两个数量级.以上着重介绍的是多体系统L agrange方程增广法的数值算法.其他形式的数值算法,文献[4]已做了较全面的综述.5 结束语本文仅对L agrange方法在多体系统动力学研究中的进展做了介绍,并着重介绍了动力学方程增广法的数值计算方法.文献[4,17～20]对近年来多体系统动力学的发展给出了较全面的论述,反映了近年来多体系统动力学主要的研究内容和近期研究的发展方向.多体系统动力学推动了分析力学和其它相关学科的发展,并在多学科相互渗透的基础上日趋完善.参 考 文 献1 Bayo E.A n efficient computati onal m ethod fo r real ti m em ultibody dynam ic si m ulati on in fully Cartesian coo rdinates.Co mp u ter M ethod s in A pp l M ech E ng,1991,92:377～3952 V ukasovic N,Celigueta J T,Garcia de Jalon J,Bayo,E.F lexiblem ultibody dynam ics based on a fully Cartesian system of suppo rtcoo rdinates.J M echanical D esig n,1993,115:294～2993 Shabana A A.D ynam ics of M ultibody System s.John W iley and SonsInc.19894 潘振宽,洪嘉振等.多体系统动力学微分 代数方程数值计算方法.力学进展,1996,26:28～405 Ider S K, Am irouche F L M.N um erical stability of theconstraints near singular po siti ons in the dynam ics of m ulti2 bodysystem s. Co mp u ters and S tructu res,1989,33(1):12921376 Bayo E,A vello A.Singularity2free augm ented L agrangian algo rithm s fo r constrained m ultibody dynam ics.N onlinear Dy2 nam ics,1994,5:209～2317 A rno ld V I.M athem aticalM ethods of C lassicalM echanics.Sp ringer2V erlag,19788 Bayo E,D e Jalon J G,SernaM A.A modified L agrangian fo rm ulati on fo r the dynam ic analysis of constrained m echanical system s.Co mp u ter M ethod s in A pp lied M echanics and E ng ineering,1988,71:183～1959 Kurdila A J,Junkins J L,H su S.L yapunov stable penalty m ethods fo r i m po sing ho lonom ic constraints in m ultibody system dynam ics.N onlinear Dy nam ics, 1993,4:51～8210 王琪.树形多体系统动力学的隐式算法.力学学报,1996(6)11 王琪.多体系统动力学的L agrange算法研究.北京航空航天大学博士论文,199612 袁兆鼎等.刚性常微分方程初值问题的数值解法.北京:科学出版社,198713 李晓梅等.并行算法.长沙:湖南科学技术出版社,199214 Koh A S,Park J P.O bject o riented dynam ics si m ulato r.Co mp u tational M echanics,1994,14:277～28715 王琪.带约束平面多刚体系统动力学方程的隐式算法.应用力学学报,1997(3)16 F lo rian A.po tra,Jeng Yen. I mp licit num erical integrati on fo r Euler2L agrange equati ons via tangent space param eteri2 zati on.M ech S truct and M ach,1991, 19(1):77～9817 洪嘉振.多体系统动力学2理论、计算方法和应用.上海:上海交通大学出版社,199218 黄文虎,陈滨,王照林主编.一般力学(动力学、振动与控制)最新进展.北京:科学出版社,1994.91～122 19 陆佑方等.柔性多体系统动力学2理论和应用的一个活跃领域.力学与实践,1994,16(2):1～920 Bayo E,L edes m a R.A ugm ented L agrangian and m ass2o rthogonal p ro jecti on m ethods fo r constrained m ultibody dynam2 ics.N onlinear Dy nam ics,1996,9:113～130(1996年7月18日收到第1稿,1996年11月28日收到修改稿)6力学与实践。
动力学方程拉格朗日方程教学内容
mi
பைடு நூலகம்
ri q
ri
q
q
q
1
s
1
n i 1
mi
ri q
优r学ti课堂q
1 2
n i 1
mi
ri t
2
22
n
i1
n
i1
n
i1
mi
ri q
mi
ri q
mi
ri t
ri q
a
ri t
a
2 a
则
T
1 2
s
1
a
q
q
s
a q
可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。
另外 x r sin , x r cos
优学课堂
10
Q
Fx
x
Fy
x
r(Fx sin Fy cos )
上式 括号中的第一项为 Fx
在 j 方向的投影，第二项 是 Fy在 j 方向的投影。
所以两者之和就是 F 在 j
y
Fy
视广义坐标的选择而定。 n 而广义力： Q i1
Fi
ri q
广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而
定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直
接计算，另一种方法是从主动优力学课所堂 作的虚功来计算。
6
1、从主动力所作的虚功来计算
W
n i 1
Fi
ri
s 1
s
1
d dt
T q
q
s
T
1 q
q
s
V
1 q
q
其中第一项中
多体动力学讲义-应用篇
（应用篇） 2011 年冬
目录
第一章 平面多体系统运动学.........................................................................................................3 1.1 预备知识.............................................................................................................................3 1.1.1 多元函数微分..........................................................................................................3 1.1.2 斜对称矩阵..............................................................................................................4 1.2 几种典型铰链的约束方程.................................................................................................5 1.3 移动准则............................................................................................................................7 1.4 平面多刚体的运动学分析................................................................................................8 1.4.1 坐标变换..................................................................................................................8 1.4.2 位置、速度、加速度分析......................................................................................9 1.5 刚体上动点的运动分析..................................................................................................12 1.6 平面约束运动学...............................................................................................................14 1.6.1 绝对坐标................................................................................................................14 1.6.2 运动约束................................................................................................................14 1.6.3 运动学驱动系统与动力学驱动系统（欠约束系统） ........................................16 1.6.4 约束法的运动学分析............................................................................................16 例题 1.1...........................................................................................................................17 例题 1.2...........................................................................................................................21
Multibody_lesson6
铰链约束力所做的虚功为:
其中 Qci 为广义约束力矢量．
根据前面的推导，广义惯性力作的虚功为： 将式(2.105),(2.107),(2.108)代入式(2.104)有， 整理得 由上式， 由式(2.106)上式可展开为：
(2.104) (2.105) (2.106) (2.107) (2.108) (2.109) (2.110) (2.111)
惯性力和惯性力矩所作的虚功为：
其中：
(2.76)
(2.77)
图 2.7 作用在刚体质心上的惯性力和力矩可由作用在刚体上其它参考点上的力和力矩等效替代，但 两个参考点下的力和力矩所作的虚功应该相等。选择参考点的原则是使计算简化。令刚体上 任意一点 Pi 如图 2.7 所示，Pi 点在大地坐标下的相对于刚体质心的位置矢量可表示为：
0 0 1
m 0 0
0
0 m L2 3 L sinθ i
1 0 L sinθ i
0
0 1
⎤ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢
R&&xi R&&yi
⎤ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢
0 − mg
⎤ ⎥ ⎥
−
L
cosθ 0
i
⎥ ⎥
⎢θ&&i ⎢
⎥⎢ λ1
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢⎢−
L
0 cosθ
iθ&i 2
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
0
1
− L cosθ i
上式可简写为： 其中 C 定义为：
(2.117) (2.118)
该约束方程的雅可比矩阵可写为：
(2.119)
第六章拉格朗日动力学
1 2 3 n 1 2 3 n
2. 定常约束和非定常约束
, r , r , , r 0 f r1 , r2 , r3 , , rn ; r1 2 3 n
3. 双侧约束和单侧约束
约束方程是等式表示为双侧约束；若约束方程含有不 等式为单侧约束。 单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的 运动则是完全自由的. 例如单摆的不可伸长的悬绳限制 摆球不得向绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动 却是自由的.
s 62 4
四. 广义坐标
在给定的约束条件下确定力学系统空间位置的一组 独立变量，称为广义坐标，用 q1 , q2 ,, qs 表示,其对时 间的导数为广义速度: q 广义坐标 q i 可以是长度、面积、体积、分子内能、熵、 热量和电极化强度等广延量,摆脱了牛顿力学对坐标限制. 坐标变换方程:
3)虚功原理只涉及到主动力,包括外力和内力中的主动力, 而未涉及未知的约束力,从而给解决受有理想约束的多 约束力学系统的静力学问题带来极大的简化.
4)虚功原理中的主动力所做的虚功之和为零,是对任意的 虚位移而言,而不是特殊的虚位移.
二. 广义平衡方程
运用虚功原理,导出广义平衡方程,即得到力学系统的 平衡位置或静平衡时各个主动力间的关系.
ri Q Fi 0 q i 1
n
对于主动力均为保守力的有势系，广义平衡方程为：
主动力均为有势力的力学体系(有势系)
V V ( xi , yi , zi ) V V ( q1 , q2 , qs , t )
V V V 而Fix , Fiy , Fiz xi yi zi
n
ri 由Q Fi q i 1
02-课件：5-6 拉格朗日法动力学建模(四连杆机械臂)
质点速度的计算 任一机械手上一点的速度平方为：
v
2
dr
2
dt
i Trace
Ti
j 1 q j
qj i r i Ti k 1 qk
q r T i k
Trace i i Ti i r i r T Ti Tqq
j 1 k 1 qk
qk
kk
四连杆机械手
动能和位能的计算 令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能为：
k
i
Tra
1
ceqTi Ik
TiT q I q
i q p k
ap p
n
i p
j
i 1
i k 1
Tra
c
e
i q
2T I
jq
k
i
i
TqiTqq
j
k
n
i p
j
i 1
i k 1
Tra
c
e
i
2T I
q p q
k
i
i
TqiTqq
j
k
n i
p
k
i
Tra
1
ce
qTi Ik
Ti T q I q
i q p k
动力学方程的推导
n
66
Ti Dij qj I ai qi
Dijk qj qk Di
j1
j 1 k 1
式中，取n=6：
Dij
6
pmaxi,
j
Trace
Tp q j
Ip
TpT qi
Dijk
6
pmaxi,
j
,k
Trace
q
多体系统动力学简介20081202
多体系统动力学简介多体系统动力学研究对象——机构工程中的对象是由大量零部件构成的系统。
在对它们进行设计优化与性态分析时可以分成两大类一类为结构——正常工况下构件间没有相对运动（房屋建筑，桥梁等）——关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定一类为机构——系统在运动过程中这些部件间存在相对运动（汽车，飞机起落架。
机器人等）——力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统多体系统动力学俄研究的对象——机构（复杂机械系统）不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其变化速度和加速度的关系典型案例：平面和空间机构的运动分析系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起数学模型：各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力典型案例：机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，整车设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为平稳性与操纵稳定性的研究打下基础数学模型：非线性微分代数方程组讨论载荷和系统运动的关系研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题动力学正问题——已知外力求系统运动的问题动力学逆问题——已知系统运动确定运动副的动反力，是系统各部件强度分析的基础动力学正逆混合问题——系统的某部分构件受控，当它们按照某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动数学模型：非线性微分代数方程组机械系统的多体系统力学模型在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需要建立它的多体系统力学模型。
对系统如下四要素进行定义：•物体•铰链•外力（偶）•力元实际工程中的机械系统多体系统力学模型的定义取决于研究的目的模型定义的要点是以能揭示系统运动学与动力学性态的最简模型为优性态分析的求解规模与力学模型的物体与铰的个数有关物体——定义多体系统中的构件定义为物体多体系统力学模型中物体的定义并不一定与具体工程对象的零部件一一对应。
拉格朗日动力学
根据诺特定理有∑
∂L ∂ q˙
Q
'
=const.
因为
Q' ≡lim 0
Q −Q0 =1,
Q'≠=0
⇒
p
=
∂L ∂ q˙
=const.
证毕 .
广义动量积分
注：也可直接用拉格朗日方程证明 ......( 可遗坐标、循环坐标 )
例题 3 自由质点在重力场中运动，试分析其广义动量积分
解：建立 Oxyz 本征系， z 轴竖直向上。广义坐标可取 x,y,z ，则
rn q
Q' =const.
∑
∂ rn ∂ q
Q ' = l
⇒∑n ∂∂rL˙ n⋅l =const.
∑ L=
n
mn 2
r˙ n2−V
r n , t
⇒
∂ ∂
L r˙ n
=
mn
r˙ n
∑ ∑ ⇒ pl= n mn r˙ n ⋅l = n mn r˙ n⋅l =const.
此即沿 l 方向的动量守恒 . （证毕）
【推论】若力学系统具有绕空间固定轴的转动不变性，则
系统对该固定轴的角动量守恒 .
l
证明：设该固定轴对应单位矢量 l. 在轴上取
O 为原点，把转动前第 n 质点位矢记为 r n
用广义坐标表示为 rnq , t
,t)
假定转动无限小角度，广义坐标变化
r(q α
q Q
位矢变化
rn
q
,
t
rn
Q
,
t
=
rn
2r2
˙ 2
r
2
sin
2
˙
多刚体系统运动学与动力学
如图 1 所示，设有矢量 P，它在坐标系 O0x0y0z0 下的表达式为 P = x0 i 0 + y 0 j0 + z 0 k 0 它在坐标系 O1x1y1z1 下的表达式为
(1)
P = x1 i1 + y1 j1 + z1 k1
因此有
(2) (3) (4) (5) (6)
x0 i 0 + y 0 j 0 + z 0 k 0 = x1 i1 + y1 j1 + z1 k1
[0 1 0 0 0] T 和[0 0 1 0] T 分别表示了 x、y 和 z 轴的无穷远点。当齐次坐标中最后 一个元素趋近于 0 时， 表示了无穷远点， 它扩大了描述空间， 当这个元素取 1 时， 表示了物理空间的一个点，通常取它为 1。
4 平移齐次变换
图4
平移齐次变换
当两坐标系只有平动没有转动时， 设点 P 在坐标系 O0x0y0z0 下的坐标为[x0 y0
(21)
cos θ 0 R( y, θ ) = − sin θ 0 cos θ sin θ R( z , θ ) = 0 0
(22)
− sin θ cos θ 0 0
(23)
6 平移-旋转齐次变换
图6
平移-旋转齐次变换
当两坐标系既有平移又有旋转时，可以把这种情况看成两个变换的结果。首 先，坐标系 O1x1y1z1 与坐标系 O0x0y0z0 的原点重合，将坐标系 O1x1y1z1 绕坐标系
计 算 多 体 系 统 运 动 学 与 动 力 学(Simplified)
Computational Kinematics and Dynamics of Multi-body Systems