带通信号取样定理

带通信号取样定理

一个连续带通信号受限于[]H L f f ,，其信号带宽为L H f f B -=，且有

kB mB f H += （1）

其中，()[]k f f f m L H H

--=，k 为不超过()L H H f f f -的最大正整数，由此可

知，必有10<≤m 。

则最低不失真取样频率min s f 为

()⎪⎭⎫

⎝

⎛+=+==k m B k kB mB k f f H s 1222min （2）

证明：

取样不失真的基本要求是样值序列的频谱各个谱块不重叠。这样就可以采用带通滤波器恢复原来的带通信号。可见从频域分析，证明直观、清晰。

以下，分两步来证明。

（1）先证明当0=m 时的情况。由公式（1）和（2），有

kB f H =

B f s 2min = （3）

分析一个带通信号()t x ，其频谱为()f X ，如图1所示。

s

f -s

f 2-s f 5.2-s f 3-s

f 4-s

f s f 2s f 5.2s

f 3s

f 4()

f X f

L f H

f L

f -H f -I II s

s s s s s s s

f

s

f -s f 2-s f 3-s f 4-s f s f 2s f 3s

f 4f

()

f X s s

f 2-s f 20

f

s f 5.2-s

f 5.2()

f H s

f 2-s f 5.2-s f 2s

f 5.2()

f X 0

f

I

II

（a ）

（b ）

（c ）

（d ）

（e ）

图1 带通信号kB f H =时的频谱图

其中图（a ）表示()t x 的带通信号频谱，其特点是最高频率H f 为带宽的整数倍k ，这里5=k ，图（b ）表示采用()t s T δ对带通信号()t x 取样，而取样频率

()L H s f f B f -==22，其中()t s T δ的频谱为()f s f δ。图（c ）表示

()()()f f X f X s f s δ*=，其中实线表示频谱I ，虚线部分表示频谱II ，由图可见，在这种情况下恰好使得()f X s 中的I 、II 频谱不重叠。图（d ）表示一个理想带通滤波器特性。图（e ）表示经过理想带通滤波器后恢复的原始连续带通信号()t x 的

频谱()()f X f X

=ˆ。 由图可见，若B f s 2<，则在()f X s 中的I 、II 频谱势必重叠，因而产生混叠现象。这说明带通信号的取样频率B f s 2=是最低取样频率。若B f s 2>，在理论上看是不必要的，但在实际上由于理想带通滤波器是不可能实现的，因此必须要留有一定的富余频带。

（2）再分析0≠m 的一般情况，这时，可适当降低最低频率L L f f <'，显然

它使信号带宽相应适当增大，L H L H f f B f f B -=>'-='，并使它们仍满足公式（3）：B k f H '=。

再由公式（1）

B k f mB kB H '==+

可求得

⎪⎭⎫

⎝

⎛+='k m B B 1 （4）

由于H f 与B '满足整倍数关系，则可利用公式（3）的结论，将公式（4）代入（3）中，得

⎪⎭⎫

⎝

⎛+='=k m B B f s 122min （5）

定理得证。

带通信号抽样经典推导！

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