数学场论初步
数学分析ch14-5场论初步
曲面
f (x, y, z) c （常数）
称为 f 的等值面。若 f x , f y , f z 不同时为零，那么 n
等值面上的一个单位法向量，并且有
f grad f 及 grad f f n 。
n
n
fxi fy j fzk 为
fx2 fy2 fz2
这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值 grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。
如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）； 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）。
要判断场中一点 M (x, y, z) 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇
的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察
为场中的定向曲面，称曲面积分
a dS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面的通量。
设 M 为这个场中任一点。称
P (M ) Q (M ) R (M )
x
y
z
为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M ) 。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
其中 vx , vy , vz 具有连续偏导数。设 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 是场中一点。如果在 M 0
点有旋涡，流体以角速度 旋转（这里 在旋涡的轴线上，且方向与
数学分析课件 场论初步
则是对于曲线 L 的弧长元素向量. 对后者说明如下: 设 t (cos ,cos ,cos ) 是曲线 L 在各点处的正向 单位切向量, 弧长元素向量即为 ds t ds .
把公式 (3) 改写成 rot A n d S A t ds .
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla”.
梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则
( u v ) u v .
2. 若 u, v 是数量函数, 则
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z 2 2 2 3/ 2 z ( x y z )
0.
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因此引力场 F 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没
有定义外 ).
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设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
S L
(4)
对上式中的曲面积分应用中值定理, M S , 使得
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rot A n d S rot A n
S
M
S
L
A t ds .
在 S 上任取一点 M 0 . 令 S 收缩到 M 0 ( 记作 S M 0 ), 则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 rot A n lim A t ds . L S M 0 S M0
场论初步课件
m r
为引力势.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
散度场 ur 设 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
D( x, y, z) P Q R
则同时有 M M0 , 对上式取极限, 得到
Ò ur
div A(M0 )
lim V M0
1 V
ur uur A dS .
S
(2)
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
ur 散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数,
并假定它们有一阶连续偏导数.
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 ur
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz ,
方向上的方向导数.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
因为数量场 u( x, y, z) 的等值面 u( x, y, z) c 的法线
方向为
u x
,
u y
,
79-2场论初步
散度(Divergence) 散度
定义2 定义 设向量场 A( x , y , z ) ∈ C 1 ( )
则 A( x, y, z) = P( x, y, z) i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z) k
的散度定义为
3
P Q R div A = + + = A x y z
12
定理4 定理 设G ∈ R 是单连域，A(M)∈C (G), 是单连域，
3
1
则以下四个命题等价： 则以下四个命题等价： 等价
是无旋场， A 是无旋场，即 rot A = × A = O; 沿G内任意简单闭曲线 C 的环量 内任意简单闭曲线
∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz = 0
c c
是一保守场，即在G内线积分 A是一保守场，即在 内线积分
∫
( B)
( A)
与路径无关； A ds 与路径无关；
13
是一有势场，即在G内存在 A是一有势场，即在 内存在 u ， 使 du = Pdx + Qdy + Rdz .
以下我们只对定理4的 空间的情况 空间的情况定理 以下我们只对定理 的2D空间的情况定理 4′ 作证明.它可以看作是 公式的推论. 作证明 它可以看作是 Green 公式的推论
B
P
Q
17
若如右图两曲线除 A,B 两点外还有其它交点 两点外还有其它交点, 则 外还有其它交点 可从A出发另作一条曲线 可从 出发另作一条曲线 弧ARB, 使其与弧 APB和 和 均不相交, 弧 AQB 均不相交 从而
B
P
Q R
A
于是证得了线积分只与始终点有关， 于是证得了线积分只与始终点有关，而与 与路径无关. 与路径无关
数学分析PPT
从而 r r ∫ a dl = ∫∫ rota dS .
L S
Yunnan University
§3. 场论初步
注：散度与坐标的选择无关. r r r u r 例1. 设a = 3i + 20 j − 15k , 对下列数量场ϕ 分别求出
gradϕ 及div (ϕ a ) , 其中ϕ = ( x 2 + y 2 + z
2 2
3 − 2 2
)
+ 15 z ( x + y + z
2 2
3 − 2 2
)
例 2.
设 u ( x , y , z ) = xyz .
(1)求u ( x , y , z ) 在点P1 ( 0, 0, 0 ) , P2 ( 1,1,1) 及P3 ( 2,1,1) 处 r r r u r 沿b = 2i + 3 j − 4k的方向导数。
( )
( )
( )
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + dV x ∂y ∂z V ∂
r ∂P ∂Q ∂R 向量 + + 称为向量a的散度，它形成一个数量场，记为 ∂x ∂y ∂z r ∂P ∂Q ∂R . diva = + + ∂x ∂y ∂z
Yunnan University
( )
( )
( )
r ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂R , , 称向量 − − − 为向量a的旋度， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 记为rot a .
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§3. 场论初步
即 r i r ∂ rot a = ∂x P r j ∂ ∂y Q r u k ∂ . ∂z R
数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步
第二十二章 各种积分间的联系与场论初步§1 各种积分间的联系1．应用格林公式计算下列积分:（1）ydx x dy xy L ⎰-22，其中L 为椭圆22a x +22by =1取正向;（2）,)()(⎰-++Ldy y x dx y x L 同（1）;(3)dy y x dx y x L)()(222+-+⎰, L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取正向;（4),1,)()(223333=+--+⎰y x L dy y x dx y x L为取正向；（5）,sin sin ydy exdx e xLy-+⎰L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤, 的边界，取正向；（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e L xy+++++⎰其中L 是任意逐段光滑闭曲线．解(1）原式 =()()d xdy y x dxdy x yDD⎰⎰⎰⎰+=--2222)(=ab()r dr r b r a d ⎰⎰+1022222220sin cos θθθπ（广义极坐标变换）=())(3sin cos 3122202222b a ab d b aab+=+⎰πθθθπ．(2）⎰-++Ldy y x dx y x )()(=⎰⎰=-Ddxdy 0)11(．（3）原式 ⎰⎰+-=Ddxdy y x x ))(22(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+215231143124322yy y y D dx ydy dx ydy ydxdy9143))5(127)(47(2252221-=-+--=⎰⎰dy y y dy y y ．（4）原式π23)(3)33(2222-=+-=--=⎰⎰⎰⎰DD dxdy y x dxdy y x ． （5)原式 dxdy x e y eDy x⎰⎰--=-)cos sin ()cos sin (⎰⎰⎰⎰+-=-b adcdcydy bax e dx x ydy dx e)sin )(sin ()cos )(cos 11(a b e e c d ee cd b a --+--=． （6）)]cos(sin [),(y x xy ye y x P xy++=，)]cos(sin [),(y x xy x e y x Q xy++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy x ye xQxy xy --++++=∂∂ )]sin()cos(sin )cos (sin [y x y x y xy xy xy xy e xy --+++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy y xe yPxy xy +-++++=∂∂ )]sin(cos sin )cos (sin [y x xy x xy xy xy xy e xy +-+++=，)cos()(y x x y e yPx Q xy +-=∂∂-∂∂, 所以,原式⎰⎰+-=Dxy dxdy y x x y e ,)cos()( 其中D 为L 包围的平面区域． 2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积： （1）双纽线θ2cos 22a r =;(2）笛卡尔叶形线)0(333>=+a axy y x ；（3）t t a x sin )cos 1(2+=，t t a y cos sin 2⋅=，π≤≤20t ． 解（1）⎰⎰⎰⎰==12||D Ddxdy dxdy D ⎰-⨯=L ydx xdy 212 ⎰=--=44)]sin (sin cos cos [ππθθθθθd r r r r 24424422cos a d a d r ===⎰⎰--ππππθθθ,其中1D 由θ=2cos 22a r ，44π≤θ≤π-所围成． （2）作代换,tx y =则得曲线的参数方程为313t at x +=,3213t at y +=．所以,dt t t a dx 233)1()21(3+-=,dt t t at dy 233)1()2(3+-=，从而，dt t t a ydx xdy 2322)1(9+=-，于是，面积为 D =⎰C x y y x d -d 21=dt t t a ⎰∞++02322)1(29=223a ． （3）D =⎰-cydx xdy 21={}⎰-++⋅--⋅+π2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dtt t t t t a t t a t t t a t t a{}⎰π-++⋅--⋅+2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dt t t t t t a t t a t t t a t t a=21tdt t t a 2cos )cos 1(sin 22022+⎰π=24a π 3．利用高斯公式求下列积分:（1）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰。
场论基础
( A) 0
推论：如果一个矢量场是无散的，则
该场可用矢量场的旋度表示
B 0 B A
51
亥姆霍兹定理应用举例
根据亥姆霍兹定理，任意矢量场可以分解 成无散场部分和无旋场部分的叠加
F Fcurl Fgrad
其中：
Fcurl 0 F Fgrad
其中， cosα、 cos β、 cos γ为l方向上的方向 余弦。
27
梯度的引入
u u u u cos cos cos l x y z
u u u u ( ex ey ez ) (cos ex cos ey cos ez ) l x y z
Fgrad 0 F Fcurl
52
亥姆霍兹定理应用举例
Fcurl 0 Fcurl A
Fgrad 0 Fgrad
任意矢量场可以表示为
F A
53
应掌握内容
三个坐标系统：直角坐标系、圆柱坐标 系和球坐标系；
A d l
L
该环量表示绕线 旋转趋势的大小。
43
环量面密度
d 1 lim dS S 0 S
L
A dl
取不同的路径，其环 量面密度不同。
44
引入旋度的原因
环量面密度描述的是一个面积上“旋转” 强度的情况，是一个“宏观”的物理量， 如果要知道场中一点处“旋转”最强的方 向，应如何考虑？
其中， el cosex cos ey cos ez 是l方向上的 单位矢量；
u u u ex ey ez 定义梯度：gradu x y z
场论一些基本知识
在下面的公式中，r = xi + yj + zk 为矢径，r = r = x 2 + y 2 + z 2 是 r 的模，r = r r 是 单位矢径， f ( u ) 是 u 的复合函数。
两个矢量的数积(或称点积)
A 、 B 两矢量，夹角为 θ (≤ π ) ，其数积或点积定义为 Ai B = A B cos θ = Ax BxБайду номын сангаас+ Ay By + Az Bz
(A-1)
两矢量的数积中，既可将 B cos θ 看成是矢量 B 在 A 上的投影，也可将
A cos θ 看成是矢量 A 在 B 上的投影，因此，若 A 、 B 两大量相互垂直则必然有
ε ijk
上式表示 ε123 = ε 231 = ε 312 = 1 ， ε132 = ε 213 = ε 321 = −1 ，其余分量为 0。由此可知， ε ijk 中任 意两个自由指标对换，对应分量相差一个负号，如 ε132 = −ε123 故 ε ijk 称为置换符号。
二、哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算子
2.三种常见坐标系
柱坐标系、球坐标系及其速度分量 (a) 柱坐标系；(b) 球坐标系
1) x − y − z 直角坐标系 三个正交坐标轴的方向为 q1 = x, q2 = y, q3 = z 拉梅系数 h1 = h2 = h3 = 1
x, y, z 三个坐标方向的单位矢量为 e1 = i , e2 = j , e3 = k
速度矢量 v = vR eR + vθ eθ + vϕ eϕ
三、矢量与场论的基本定义与公式
A.1 矢量运算基本公式
直 角 坐 标 系 下 ， 任 意 矢 量 A 表 示 为 A = Ax i + Ay j + Az k ， 矢 量 A 的 模 为
场论初步
§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关， 物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 a 为空 间保守场的充要条件是
az ay 0, y z
ax az 0, z x
ay ax 0, x y
亦即
rota 0
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
az y
ay z
i
ax z
az x
j
ay ax k rota, x y
2 grad div grad
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算 子 的向量代数运算。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其
实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ，令 S 为 V 的表面，则有高斯公式
an dS divadV
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x, y, z
是函数，a axi ay j azk 和 b bxi by j bzk 是向量，
场论的相关数学理论
场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场 1、 场的概念 设有一个区域（有限或无限）V ，如果V 内每一点M ，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V 中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(M u u =；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A )(M ，其中M 表示区域V 中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz 以后，空间中的点M 由它的三个坐标x 、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x 、、y、z u u = （2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A )(x 、、y、 （2.1.2） 来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、 数量场的等值面 在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数z y x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
场论初步
yz zx，
函数u在点M处最大的方向导数和它的方向。
梯度的性质：
1 grad (u v ) gradu gradv; 2 grad (u v ) ugradv vgradu; 3 gradf (u ) f (u ) gradu.
2、散度
设有一个稳定流动的流体速度场
Ax dx Ay dy Az dz
C
可以改写为以下形式：
C S
其物理意义是：向量场 A 沿闭曲线C的环量等于
展布在以C为边界的曲面S上每一点绕法线的旋 度之和。
A( P) l ds rot A( P) ndS.
Green公式,Guass公式,Stokes公式之 间的关系
S V
奥-高公式的物理意义：向量场通过闭曲面的总 流量等于闭曲面所围成的体内的每一点的散度的 总和。
奥-高公式表述了流量和散度之间的关系。流 量刻画的是向量场的整体性质，而散度刻画 的是向量场的局部性质。此二者之间存在密 切关系。
3 3 3 例2、求向量场 A( x , y , z ) x i y j z k
设 l (cos , cos , cos ) 是射线l的单位向
量，则 f f f f ( , , ) (cos , cos , cos ) l x y z gradf ( P ) l gradf ( P ) l cos gradf ( P ) cos .
结论：梯度方向是函数f(x,y,z)在点P变化率最 大的方向,即函数值增加或减少最快的方向。
等值面：曲面f(x,y,z)=C(C为常数）称为等值面。
场f(x,y,z)中过点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 有且仅有一 个等值面，等值面在 P0 的法线方程为
场论的数学基础
a × b = (a y bz − a z by )i + (a z bx − a x bz ) j + ( a x by − a y bx )k
或
i
j
k
a × b = ax a y az = bx by bz
四、矢量的三重积
a y az by bz
i + (−1)
ax az bx bz
j+
ax a y bx by
er eθ ez ; er eθ eφ
在常见的直角、柱面、球面坐标系中矢量的表示： 在常见的直角、柱面、球面坐标系中矢量的表示：
a = a x ex + a y e y + a z ez . a = ar er + aθ eθ + aϕ eϕ .
a = ar er + aϕ eϕ + a z ez .
则
a ⋅ b = a x bx + a y by + a z bz
a ⋅b = cos(a , b ) = ab a x bx + a y by + a z bz (a x + a y + a z ) (bx + by + bz )
2 2 2 2 1 2 2 1 2 2
= cos α1 cos α 2 + cos β1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2
三、两矢量的矢量积 1、定义： a × b = c 其大小为： a b sin θ
c 垂直于 a , b 构成平面， c 方向： 构成平面， 方向：乘积
θ 构成右旋关系。 且与 a , b 构成右旋关系。 代表两矢量之间的夹角， θ 代表两矢量之间的夹角，且 0 〈 θ 〈 π c 的大小代表以 a , b 为边的平行四边形面积
数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则 称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有 斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为 在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面， 用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到 由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++； 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知， 其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则 所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。
数学物理方法课件：场论的基本概念
的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度
u |{u , u , u}| cos({cos , cos , cos },l0 )
l x y z
G gradu {u , u , u} x y z
G gradu u i u j u k x y z
i, j, k 分别是x, y, z方向的单位矢量。
间形成的电势场）
u 1
q
4 x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
引力场： u M
1
G x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
场论的基本概念
《数理方法》课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应 用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的 学习至关重要；
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
x2 y2 z2
1
2k
a
3
x2 y2 z2
1 2
x
a
20
x2 y2 z2
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
x y z
x
x2 y2 z2
3
2 i y
x2 y2 z2
3
2j
z
x2 y2 z2
3
2k
场论初步
旋转角速度的关系.
x
v
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个轴转动,其 角速度 (1 , 2 , 3 ) ,刚体上每一点处的线 速度构成一个线速场,向量 r OM =(x,y,z). 求点 M 处的线速度.
L
o
解 由力学知道点 M 的线速度 v r i j k
5、 保守场 曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无 关，物理学中称这种场叫保守场。 利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场a 为空间保守场的充要条件是
a z a y 0, y z
即：rota 0
场论初步：
场： M R3
u f (M ) f ( x, y, z )
数量场 向量场
u F ( M ) P( M )i Q( M ) j R( M )k
不依赖于时间的场为稳定场或定常场 依赖于时间的场为不稳定场或不定常场
• 数量场的等值线（面）： 表示数量在场中的分布。 场中数值相同的点组成的曲面。 其方程为
u grandu
1、gradC 0
3、grad（u v） gradu gradv 4、grad（uv） vgradu ugradv u 1 5、grad （ ） 2 (vgradu ugradv ) v v 6、gradf（u） f ' (u) gradu
7、gradf u, v） fu ' gradu fv ' gradv （
h ( x, y, z ) const
（c值不同对应不同等值面）
c1
2.1场
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华北科技学院基础部
23
《场论初步》
§2.1
场
正点电荷的电场线
2014年5月11日星期日
负点电荷的电场线
华北科技学院基础部 24
《场论初步》
§2.1
场
两等量正点电荷 的电场线分布
2014年5月11日星期日
两等量异号点电荷 的电场线分布
场
例3：已知数量场 u
xy ， 求场中与直线 x 2 y 4 0 c ， 设切点为 ( x , y )
0 0
相切的等值线方程。 解：数量场的等值线为 xy
从而有
x0 y0 c x0 2 y0 4 0 c 1 2 x0 2
解之得 x0 2, y0 1, c 2
《场论初步》
§2.1 《场论初步》
场
第二章
场 论
1
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《场论初步》
§2.1
场
教 学 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
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场 数量场的方向导数和梯度 矢量场的通量及散度 矢量场的环量及旋度 几种重要的矢量场
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或者说：场是一定空间范围内连续分布的客体．
Maxwell是第一个使用场的科学家.
场有两个显著特点:
1.场是客观存在的． 2.场可以随时间和空间发生变化.
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
4
《场论初步》
§2.1
场
根据物理量的性质，分为数量场和矢量场。 数量场（标量场）：物理量是数量。如温度场，电 位场，密度场等。 矢量场：物理量是矢量。比如力场，速度场，电磁
22_4 场论初步
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
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12
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
13
定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
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9
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
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解 因为 r 2 x 2 y 2 z 2 , 所以
m F 2 ( x, y, z ) , 2 2 32 (x y z )
x F m 2 2 2 3/ 2 x ( x y z )
y 2 y ( x y 2 z 2 )3 / 2
dx dy dz , P Q R
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则称曲线 L 为向量场 A 的向量场线. 例如电力线、 磁力线等都是向量场线.
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关.
引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
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二、梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它 是由数量函数 u( x , y , z ) 所定义的向量函数 u u u grad u i j k. x y z grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 梯度场. 由前文知道, grad u 的方向就是使方向导 数 u l 达到最大值的方向, grad u 就是在这个方 方向上的方向导数.
一、场的概念
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一
个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个
数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就 等于给定了一个数量函数 u( x , y , z ), 在以下讨论中
div AdV A dS .
V S div A d V div A ( M ) V V
(1)
M V , 使得 对上式中的三重积分应用中值定理,
A dS ,
S
在 V 中任取一点 M 0 . 令 V 收缩到 M 0 ( 记作 V M0 ),
rot A( M 0 ) 在 n 上的投影. ”
这同时指出了旋度的两个基本属性: (i) rot A( M 0 ) 的方向是 A 在点 M 0 处环流密度最大 的方向; (ii) | rot A( M 0 ) | 即为上述最大环流密度的数值.
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当 rot A( M ) 0 时, 称向量场 A 为 “无旋场” . 为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源, 我们讨论刚体绕定轴旋转的问题. 设一刚体以角速 度 绕某轴旋转, 则 的方向沿着旋转轴, 其指向 与旋转方向符合右手法则. 若取定旋转轴上一点 O 作为原点(图22-13), 刚体 上任意一点 P 的线速度 v
(5)
这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式. 为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其 中 的曲面块 S 改换为平面区域 D ( 图 22-12 ), 这时 (5)
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rot A( M 0 )
n0
M0
D
L
图 22 12
式又被改写为
1 rot A n lim D M0 D M0
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因为数量场 u( x , y , z ) 的等值面 u( x , y , z ) c 的法线
u u u 方向为 , , , 所以 grad u 恒与 u 的等值面 x y z 正交.
引进符号向量
, , , x y z
vv
O
P
r
图 22 13
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可表示为 v r , 其中 r OP 是 P 的径向量, 设 P 的坐标为 ( x, y, z ) , 便有 r ( x , y , z ). 又设
R Q P R Q P F ( x, y, z ) i+ j+ k y z z x x y
为 A 的旋度. F 是由向量场 A 派生出来的一个向量
场, 也称旋度场, 记作
R Q P R Q P rot A i + j+ k. z x x y y z
*§4 场论初步
在物理学中 , 曲线积分和曲面积分有着广 泛的应用 . 物理学家为了既能形象地表达有 关的物理量 , 又能方便地使用数学工具进行 逻辑表达和数据计算 , 使用了一些特殊的术 语和记号, 在此基础上产生了场论.
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
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z 2 2 2 3/ 2 z ( x y z )
0.
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因此引力场 F 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没 有定义外 ).
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四、旋 度 场
设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k 为 V 上的一个向量场. 称如下向量函数:
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为便于记忆起见, 可用行列式形式来表示旋度:
i rot A x P
j y Q
k . z R
类似于用散度表示的高斯公式 (1), 现在可用旋度来 表示斯托克斯公式:
rot A dS
S
L
A ds .
(3)
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其中 d S 为前述对于曲面 S 的面积元素向量; 而 d s
为 A 的散度. 这是由向量场 A 派生出来的一个数量
场, 也称散度场, 记作
P Q R div A . x y z
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设 n (cos , cos , cos ) 为曲面 S 在各点的单位 法向量,记 dS n dS , 称为 S 的面积元素向量. 于是 高斯公式可写成如下向量形式:
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则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 div A( M 0 ) lim A dS . V M 0 V S
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
(2)
散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A 的不可压缩流体, 经过封闭曲面 S 的流量是 A dS .
r OM x 2 y 2 z 2 ,
m 试求 的梯度 . r m x y z m 2 , , . 解 r r r r r
若以 r0 表示 OM 上的单位向量, 则有
m m 2 r0 . r r
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它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. m 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 r m 为引力势. r
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三、散 度 场
设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k 为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
P Q R D( x , y , z ) x y z
A 的散度也可表示为矢性算符 与 A 的数性积:
div A A .
容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:
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1. 若 A, B 是向量函数, 则
( A B) A B .
2. 若 是数量函数, A 是向量函数, 则
( A) A A .
点 M 0 处按右手法则绕 n 的环流密度.
另一方面, (6) 式左边的 rot A n
M0
是 rot A( M 0 )
在 n ( M 0 )上的投影. 由此可见, 当所取的 n ( M 0 ) 与
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rot A( M 0 ) 同向时, 该投影为最大.
综合起来就可以说:
“ 流速场 A 在点 M 0 处绕 n 的环流密度, 等于旋度
( u v ) u(v ) (u)v .
特别地有
(u2 ) 2u(u) .
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3. 若 r ( x , y , z ) , ( x , y , z ) , 则
d dr .
4. 若 f f ( u) , u u( x , y, z ) , 则
L
A t ds .
(6)
在流速场 A 中, 曲线积分
A t ds 是沿闭曲线 L L
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的环流量, 它表示流速为 A 的不可压缩流体, 在单位 1 A t ds 时间内沿曲线 L 流过的总量. 这样, D L 就反映了流体关于 L 所围面积的平均环流密度. 当
D M 0 时, (6) 式右边这个极限, 就是流速场 A 在
f f ( u) u .
5. 若 f f ( u1 , u2 ,
, um ) , ui ui ( x , y , z ) , 则
m
f f ui . i 1 ui
这些公式读者可利用定义来直接验证.
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例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 M ( x , y , z ), 记
则是对于曲线 L 的弧长元素向量. 对后者说明如下:
设 t (cos ,cos ,cos ) 是曲线 L 在各点处的正向 单位切向量, 弧长元素向量即为 ds t ds . 把公式 (3) 改写成
rot A n dS
S
L
A t ds .
(4)
对上式中的曲面积分应用中值定理, M S , 使得
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作