《复变函数与积分变换》习题册

第一章 复数与复变函数

本章知识点和基本要求

掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；

熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题

1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.

2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =

3、若1231i

z i i

+=--，则z =

4、若(3)(25)

2i i z i

+-=

，则Re z =

5、若4

21i

z i i

+=-

+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =

7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为

_________________.

9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.

10、设4

i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.

12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程

为 。

13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1

2

+-=

z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的部。

16

二、判断题（正确打√，错误打⨯）

1、复数7613i i +>+. ( )

2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )

3、若 a 为实常数，则a a = （ ）

4、复数0的辐角为0.

5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在

00(,)x y 点连续。 （ ）

6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ⋅=。 （ ）

7、1212z z z z +=+ （ ）

8、参数方程2

z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( )

三、单项选择题

1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z )

D. z·z =|z|

2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ）

A. 3个

B. 1个

C. 2个

D. 0个

3、当11i

z i

+=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ）

A i

B i -

C 1

D 1-

4、方程23z i +-= （ ）

A 中心为23i -的圆周

B 中心为23i -+，半径为2的圆周

C 中心为23i -+的圆周

D 中心为23i -，半径为2的圆周

四、计算题

1．求出复数4)31(i z +-=的模和辐角。

2．设iy x z +=满足,4)3Re(2

=+z 求x 与y 的关系式

3、将复数6z i =化为三角表示式和指数表示式。

4、求复数1cos sin ,(0)i j j j p -+＃的三角表示式、指数表示式及幅角主值。

5．将直线方程1

+y

x化为复数形式。

2=

3

6、求以下根式的值：

（1）(2) (3)

第二章 解析函数

本章知识点和基本要求

理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；

掌握复变函数解析的C-R 条件，并能利用C-R 条件判断复变函数的可导性和解析性；

掌握解析函数的基本性质；

了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。

一、填空题

1、(1)Ln i +的主值为

2、()Ln i -= ，主值为

3、设i e z 43+-= , 则=)Re(iz _________________

4、=i 3_____________________________.

5、=+i i )1(________________________.

6、1i i +=

7、指数函数z e 的周期是

8、设()(1)z f z z e -=-，则()f z '=

9、设3322()f z x y ix y =++，则(1)f i '+=

10、已知函数()(21)(,)f z x y v x y i =++解析，则()f i ¢

= 11、.函数()f z u iv =+在000z x iy =+点连续是()f z 在该点解析的_________条件。

二、判断题（正确打√，错误打⨯）

1、.若)(z f '在区域D 处处为零，则)(z f 在D 必恒为常数。 （ ）

2、.若()f z 在0z 点不解析，则()f z 在0z 点必不可导。 （ ）

3、函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+可微等价于(,)(,)u x y v x y 和在点

00(,)x y 可微。 （ ）

4、sin 1z ≤.. （ ）

5、函数z e 是周期函数。 （ ）

6、设函数()f z 在点0z 处可导，则()f z 在点0z 处解析。 （ ）

7、对于任意的复数12,z z ，等式1212(.)Ln z z Lnz Lnz =+恒成立。 （ ）

8、不等式Re()2z ≤ 表示的是有界闭区域。 （ ）

9、对于任意的复数z ，整数n ，等式n Lnz nLnz =恒成立 （ ）

三、单项选择题

1、下列点集是单连域的是 （ ）

A ．Re()2z > B.13z

C.1z £

D.2arg 2Z p ＃+

2、下列所示区域中是多连域的为 （ ） A.Im 0z > B.Re 0z < C.01z << D.

arg 4

3

z π

π

<<

3、函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的 （ ）

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充分必要条件

D.既不充分又不必要条件 4、下列说确的是 （ ）

A 、()f z 在0z 可导的充要条件是()f z 在0z 处解析。

B 、()f z 在0z 可导的充要条件是 ,u v 在0z 处偏导数连续且满足

C R -条件。 C 、()f z 在0z 可导的充要条件是()f z 在0z 处连续。

D 、()f z 在0z 可导的充要条件是,u v 在0z 处可微且满足C R -条件