最新巴比伦数学

第二章：巴比伦数学

第一节巴比伦数学产生的社会背景

巴比伦人是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上的一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学．大约在公元前1800年前，在两河流域建立了巴比伦王国Babylonia)，首都巴比伦(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格达南面约100公里．大约在公元前4000年左右，苏默人(Sumerians)开始在两河流域(古代称美索波达米亚Mesopotamia)定居，大约在公元前3000年创造了自己的文化．到了公元前1700年左右，在汉穆拉比(Hammurabi)王统治期间国势强盛，文化得到了高度发展，以制定一部法典而垂名后世．

汉穆拉比把自己称为“苏默人和阿卡德人的大王”，把一切权力集于一身．汉穆拉比作为最高统治者，非常关心灌溉系统的发展，采取各种灌溉措施，制造抽水机，并在全国范围内划分土地，分配收获的粮食，修建谷仓储存粮米，发展贸易，向邻近国家输出农产品，同时也带来了高利贷的发展．所有这些都是促使数学得以产生与发展的社会因素．

促进巴比伦数学发展的另一个因素是货币交换制度的初步建立．开始时，巴比伦人把实物或者银器作为货币单位，国家征收税务、民间物资交换都用规定的实物或银器进行支付．后来，采用银币代替了实物交换，这样就需要进行各种单位换算，从而推进了数学的发展．

尽管巴比伦统治者频繁更替，而对数学知识的传播和使用，从远古时代直到亚里山大时代却始终没有间断．

古代巴比伦人是用祖传的泥板书记载数学内容的，然而，保存下来的泥板书却没有埃及纸草书那样多．可能是因为泥板书靠太阳或火烧烘干，遇到风吹雨淋，难于保存原样．另外，巴比伦人的书写字迹也阻碍了长篇论著的编撰．

在巴比伦泥板书中，引人注目的是普林顿322号．这是哥伦比亚大学普林顿(G．A．Plimpton)收集馆的第322号收藏品．此泥板书是在公元前1900年至前1600年间用古巴比伦字体写的．

普林顿322号是保存下来的一块残缺不全的泥板书，但仍然保存着大体形状，只是左边掉下一块，靠右边中间部分也有一个很深的洞，左上角也脱落了一片，但可以清楚地看到，有三列比较完整的数字，不妨用现代符号(10进位)表出，如图2.1．

经过对图表的认真分析，就会发现：两列中的对应数字(除了4个例外)构成一个边长为整数的直角三角形的斜边和一个直角边．

现在人们把象(3，4，5)这样的，能组成直角三角形三条边的一组正整数称为毕氏三数(Pythagorean triple)．在这样一组数中，若除1以外，没有其它因子，就称它为素毕氏三数．在普林顿泥板书之后的1000多年后，人们证明了素毕氏三数(a，b，c)能用下列参数式表示：

a=2αβ，b=α2-β2，c＝α2+β2．

其中α，β互素，奇偶相异，且α＞β．若α＝2，β=1，则得素毕氏三数a ＝4，b=3，c＝5．

我们若用普林顿泥板书上给出的斜边c和直角边b来确定那个边为整数

的直角三角形的另一边，则可得到下列毕氏三数：

应该指出，上表中的毕氏三数，除第11行和第15行外，都是素毕氏三数．为了便于讨论，我们又列出了这些毕氏三数的参数值．通过普林顿322号泥板书，不难看出，古巴比伦人早就知道素毕氏三数的一般参数表达式．在书写古巴比伦数学简略历史时，我们首先举出了普林顿322号泥板书，作为在那样的社会背景之下，数学研究的重要结晶，使读者形成初步印象，以便进一步探索古巴比伦的数学内容．

第二节巴比伦的数学

巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果．

一、记数法与进位制

一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记数的．他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字．

他们用垂直的楔形来表示1，如．用末端二个横向楔形表示10，如．用记号表示35．用记号表示9，后来简化为．

以上可以看出，巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似．但

是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制．这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森开莱(现在的拉山或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是1·4，其后接着写出1·21，再后是2·24，直到最后写的是58·1．这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：

1·4＝60＋4＝64=82，

1·21=60＋21＝81＝92，

……………………

58·1=58×60＋1＝3481＝592．

应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号．例如，(5·6·3)可表示5×602＋6×60＋3＝18363，也可表

下文来分析、确定．

古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的．但据有的材料记载，早期的苏默人是不知道60进位制的．从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：

1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和

到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：

通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很自然的①．

二、算术运算

由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了．巴比伦人对整数的乘法，采取了“分乘相加”的方法．例如，某数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果．他们还造出了一些乘法表．(左边是巴比伦人的记号，右边用现代符号表示)