电路分析第五章

容的电流，就能确定t≥t0时的电容电压。
上述关系可用等效电路加以说明。 1 t u c (t ) u c (t 0 ) i c ( )d C t0
u c (t 0 ) u1 (t ) U 0 u1 (t ) t t0
由此可见：一个已被充电的电容，若已知uC(t0)=U0， 则在 t≥t0 时可等效为一个未被充电的电容与电压源串 联的电路。电压源的电压是 t0 时电容两端的电压 U0 （初始电压，或电容电压uC的初始状态），如下图所 示。
电路。
要求电路尺寸远小于工作 频率所对应的波长。
第二篇 动态电路的时域分析
第五章
电容元件与电感元件
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件
§5-2 电容元件的伏安关系
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
§5-4 电容元件的储能 §5-5 电感元件 §5-6 电感元件的VCR §5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
第二篇 动态电路的时域分析
• 动态电路：
至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。
• 动态元件：
如果元件的伏安关系涉及对电流、电压的微
分或积分，称这种元件为动态元件，如电容、电
感就是最常见的动态元件。
• 由第一篇可见：
电阻电路是用代数方程描述的，即：如果外
施的激励源（电压源或电流源）为常量，则在激
励作用到电路的瞬间，电路的响应也立即为某一
1 t uc (t ) ic ( )d C
＋ uc(t) －
对上式从-∞到t进行积分，并设uc(-∞)=0，得
设t0为初始时刻。如果只讨论t≥t0的情况，上式可改写为
1 uc (t ) C
其中，
1 t ic ( )d C t0 ic ( )d 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0 1 t0 uc (t0 )＝ ic ( ) d ( ) C －
4、等效电路
1 uc (t ) C 1 t ic ( )d C t0 ic ( )d 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0
t0
+ －
ic(t) +
uc(t0)＝U0
+
ic(t)
uc(t) C
uc(t)
－ C
－
U0 － + －
+
uc(t0) ＝0
所以称电容为记忆元件。相应地，电阻为无记忆元件。 1 t0 1 t uc (t ) ic ( )d ic ( )d C C t0 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0 只要知道电容的初始电压和t≥0时作用于电容的 电流，就能确定t≥0时的电容电压。
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
1、电容的动态特性：电压有变化时，才有电流。
du c (t ) ic (t ) C dt
任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的 电压变化率成正比。如果电容两端加直流电压， 则ic=0，电容元件相当于开路。故电容元件具有隔 直流、通交流作用。
2、电容电压的连续性（又称电容的惯性）：
1、电容的连续性
若电容电流i(t)在闭区间[ta、tb]内有界，则电 容电压uC(t)在开区间(ta、tb)内连续。特别是，对
任何时刻t，且ta<t<tb,则有：
uC(t)= uC(t+)
上式说明：“电容电压不能跃变”。当然，
这种性质仅在电容电流为有界时成立。
电容电压的另一性质是记忆性质，体现如下：
1 t u c (t ) i c ( )d C
它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前的电 流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历 史，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆 元件。
1 t0 1 t u c ( t ) i c ( )d i c ( )d C C t0 1 t u c ( t 0 ) i c ( )d C t0 所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电
注意：a、电容电流有可能发生跃变。 b、若电容电压在t时刻发生了跃变，则t时刻电 容电流为无穷大。
3、电容的记忆性质：电容电压对电流有记忆作用。
1 t uc (t ) ic ( )d C 它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前
的电流作用的结果，它“记载”了已往的全部历史，
因此得电流随时间变化的曲线如下图(C)所示。
例5-2
Leabharlann Baidu
如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流
波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。
解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：
1 t u(t ) u(t 0 ) i( )d C t0
t t0
为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，
2、 电容元件定义：（电容器的理想化模型） 能够在 q-u 平面内用一条曲线（称为库伏特性 曲线）描述的二端元件称为电容元件，即电荷 q 和电压 u 存在代数关系。 若该曲线是过原点的直线，则称为线性电容元 件，否则就是非线性电容元件。 q
f (u, q) 0
u
3.线性时不变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷 q 与电压
4、等效电路
1 uc (t ) C 1 t ic ( )d C t0 ic ( )d 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0
t0
+ －
ic(t) +
uc(t0)＝U0
+
ic(t)
uc(t) C
uc(t)
－ C
－
U0 － + －
+
uc(t0) ＝0
常量。
或者说，电阻电路在任一时刻t的响应只与同
一时刻的激励有关，与过去的激励无关。因此，
电阻电路是“无记忆”的或者说“即时的”。
• 但是，在本篇中将会看到:
动态电路与电阻电路完全不同，在任一时刻
的响应不仅与当前激励有关，还与激励的全部过
去历史有关。这就是说，动态电路是有记忆的。
• 而且，任何一个集总电路不是电阻电路就是动态
u 成正比。qu 特性曲线是过原点的直线。
q Cu
q C tan u
电容的定义式
q

o
返 回
u
上 页 下 页
3、定义式
q(t ) C u(t )
C称为电容元件的电容量。 4、符号及单位 ic(t) C ＋ uc(t) － 单位：法拉（F），1F=106F=1012pF 注：电容元件简称为电容，其符号 C 既表示元 件的参数，也表示电容元件。
流。
(a) i(t)=Cdu/dt求出。
(b)
解 ： 已 知 电 压 源 电 压 u(t) ， 其 可 通 过 的 电 流
从0.25ms到0.75ms期间，电压u从+100V线性
下降到-100V，其变化率为：
du 200 103 V / s 4 105 V / s dt 0.5
du c (t ) ic (t ) C dt
在实际电路中，通过电容的电流ic总是为有限值， 这意味着du/dt必须为有限值，也就是说，电容两端电 压uc必定是时间t的连续函数，而不能跃变。这从数学 上可以很好地理解， 当函数的导数为有限值时，其函 数必定连续。若电容电流有界，则电容电压不能跃变。
§5-2 电容元件的伏安关系
若电容端电压u与通过的电流i采用 关联参考方向，如右图所示，则有：
du c (t ) dq(t ) d(C uc ) i c (t ) C （ 1） dt dt dt
ic(t) C
＋ uc(t) －
duc （非关联时， i c (t ) C dt
）
上式表明：某一时刻电容的电流取决于该时刻电容 电压的变化率。如果电压不变，du/dt为零，这时虽有 电压，但电流为零。因此，电容具有隔直流的作用。 电容电压变化越快，即du/dt越大，则电流越大，故电 容具有通交流的作用。
前电流对电压的贡献。
由此可见，在某一时刻t电容电压的数值并不仅
仅取决于该时刻的电流值，还取决于从-∞到t所有时
刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。 描述一个电容元件必须有两个值：C 值和uc(t0)值。
例5-1 电容与电压源相接如图(a)所示，电压源电压
随时间按三角波方式变化如图(b)所示。求电容电
§5-2 电容元件的伏安关系
采用关联参考方向如图所示，则有 （1）微分形式
ic (t ) du (t ) dq (t ) d (Cuc ) C c dt dt dt
（非关联时， ic (t ) C
（2）积分形式
du c ） dt
ic(t)
C
1 du c (t ) ic (t )dt C
1 t0 1 t u c ( t ) i c ( )d i c ( )d C C t0 1 t u c ( t 0 ) i c ( )d C t0
1 t0 其中， u c (t 0 )＝ i c ( )d( ) C －
uc(t0)称为电容电压的初始值，体现了t0时刻以
t0
uc(t0)（一般取t0＝0）称为电容电压的初始值，体现了 t0时刻以前电流对电压的贡献。 描述一个电容元件必须有两个值：C值和uc(t0)值。
（2）积分形式
ic(t) C
1 du c (t ) i c (t )dt C
＋ uc(t) －
对上式从-∞到t进行积分，并设uc(-∞)=0，得： 1 t u c (t ) i c ( )d C 如果设t0为初始时刻，而且如果只需了解t≥t0的 情况，上式可改写为：
§5-1 电容元件(capacitor)
1、电容器的构成：两块金属板用绝缘介质隔开就构 成了一个实际电容器。 _ q +q ＋ ＋q u －－ U 电压
通电
有等量异性电荷
电场
电容器是一种存储电荷的的器件，在外电源作用下，正 负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电 荷仍可长久地聚集下去，因此贮存电场能量。
故知在此期间，电流为：
du iC 10 6 4 105 A 0.4 A dt
从0.75ms到1.25ms期间，
du 200 103 V / s 4 105 V / s dt 0.5
故知在此期间，电流为：
du iC 10 6 4 105 A 0.4 A dt
4、符号及单位
＋
C +q
u
-q
－
单位：法拉（F），常用F，pF等表示。 1F=106 F 1 F =106pF 注：电容元件简称为电容，其符号 C 既表示元件 的参数，也表示电容元件。
实际电容器
常用电容器的电容量大约为零点几皮法至数千微法，而 采用碳纳米管可制作超大电容量的电容器，达数百法， 这在传统概念上是不可思议的！ 实际电容器除具有存储电荷的主要性质外，还有一些漏 电现象，这主要是由于介质不理想，多少有点导电能力 的缘故。 一个电容器，除了标明它的容量外，还需标明它的额定工 作电压。电容器两端电压越高，聚集的电荷就越多。但介 质的耐压是有限度的，电压过高，介质会被击穿。而电容 被击穿后，介质导电，也就丧失了电容器的作用。因此， 使用中不应超过其额定工作电压。
可分段写为：
等等。分段计算u(t)如下：
电压波形如图(C)所示。
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
电容的VCR为：
1 t u C (t ) u C (t 0 ) i()d C t0 t t0
通过该式即可反映出电容电压的两个重要性
质，即连续性和记忆性。
连续性可通过下图予以说明。
dt
在-∞到t时间内，电容元件吸收的能量：
du() w(t ) C u() d d u( t ) 1 1 2 C udu C u C u2 ( ) u ( ) 2 2
t
若设u(-∞)=0， 则电容吸收的能量：
1
第五章 电容元件与电感元件
§5-1 电容元件 §5-2 电容元件的伏安关系
§5-3 电容电压的连续性质和记忆性质
§5-4 电容元件的储能
§5-5 电感元件
§5-6 电感元件的VAR
§5-7 电容与电感的对偶性 状态变量
§5-4 电容元件的储能
在电压、电流参考方向一致的条件下，任一时刻 电容元件吸收的功率： du(t ) p(t) = u(t)i(t) = Cu(t)