二次函数的有关概念

二次函数的有关概念

课标解读：

〖核心知识点梳理〗： 一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2

y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的

函数，叫做二次函数。

[注意]：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2

y ax bx c =++ 的结构特征：

(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． (2)a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 考点：

(1)关于x 的代数式一定是整式, (2)a,b,c 为常数,且a ≠0.

(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.

[考点例题精解]：

(1)下列函数中，是二次函数的为_______. A.21y x =+ B.22(x 2)y x =--

C. 22

y x =

D.2(x 1)y x =+

(2)函数24

(m 2)x (m 3)x m m m y --=++-+是二次函数，则m 的值为_______.

A.1或-6

B.1

C.-2或3

D.3

二、二次函数的三种解析式

1. 一般式：2

y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2

()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

[注意]：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二

次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即2

40b ac -≥时，

抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

三、待定系数法求二次函数解析式

用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条

件，根据不同条件选择不同设法(具体问题具体分析)。 1、设一般式：y=ax ²+bx+c(a ≠0）

若已知三个点，代入解析式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组求出a 、b 、c 的值，得出解析式。 2、设顶点式2(x )(a 0)y a h k =-+≠：

若已知二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值（最小值）将已知代入，求出待定系数，得出解析式。

3、设两根式：12(x x )(x x )(a 0)y a =--≠

若已知二次函数图象与x 轴的两个交点坐标为)(1,0x ,)(2,0x ，将第三点(m,n)的坐标或其他条件代入，求出待定系数，得到解析式。 [考点例题精解]：

1、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）

2、已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．

3、写出一个开口向上，且对称轴为直线x=2的二次函数解析式_______．

4、请写出一个顶点在x 轴上的的二次函数解析式_______．

5、已知一个二次函数的图象经过A （4，3），B （1，0），C （-1，8）三点，求这个二次函数解析式_______．

6、已知二次函数的图象经过点（-1，3），且它的顶点是原点，那么这个二次函数的解析式为______．

7、已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式______． 四、二次函数与一元二次方程的关系 （一）抛物线与x 轴的交点

求抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点问题，实质上是求一元二次方程

20ax bx c ++=的根的问题。

1、当240b ac ->

A.y=2（x+1）2+8

B.y=18（x+1）2-8

22.(x 1)89

C y =-+ D.y=2（x-1）2

-8

抛物线与x 轴有两个不同的交点，

）、

）. 2、当2

40b ac -=

抛物线与x 轴有唯一交点，坐标为（,02b

a

-

）. 3、当2

40b ac -<

抛物线与x 轴没有交点

（二）一元二次方程与二次函数间的关系

一元二次方程20(a 0)ax bx c ++=≠与二次函数2

(a 0)y ax bx c =++≠之间的区

别与联系。

以下以0a >为例加以说明.

[考点例题精解]：

1、已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是（）

A．y=-x2+2x+1 B．y=-x2-2x-1

C．y=-x2-2x+1 D．y=x2+2x+1

2、若一元二次方程x2-2x-k=0实数根，则二次函数y=x2+（k+1）x+k的图象的顶点在（）

A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

3、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值______．

4、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，则k的最小值为______．

已知二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解是______．

[巩固练习]：

1、下列二次函数中，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式为（）A．y=（x-2）2+3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x-2）2-3 D．y=（x+2）2-3

2、一个二次函数的图象经过（-3，0）、（2，0）、（1，-4）三点，则这个二次函数的解析式是______．

3、已知：如图，二次函数y=ax2+bx-2的图象经过A、B两点，求出这个二次函数解析式______．

4、二次函数的图象经过点（1，2）和（0，-1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式______．

5、已知二次函数的图象经过点（-1，3），且它的顶点是原点，那么这个二次函数的解析式为______．

6、已知抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴有且只有一个交点，则p=______，该抛物线的对称轴方程是______，顶点的坐标是______.

7、若二次函数y=x2-3x+k的图象与x轴有公共点，则实数k的取值范围是______．

8、抛物线y=ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是______．

9、若抛物线y=-4x2+16x-15的顶点为A，与x轴的交点为B、C，则△ABC的面积是______．

10、二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是______．