小波变换及应用(图像压缩)

附表-原重要系数 不传送
量化细化
下一步是进行细化，使我们获得重要重要 系数幅值的修正项。现在列表 Ls 中只包含 原值 有一个元素。这个元素与重建值的差值为 T /4 的 2 级 26-24=2。对差值用重建值为 0 重建值 量化器量化，得到修正项 4。于是，重建值 成为了 24+4=28。传送修正项的开销是 1 比 特。因此，仅需使用 9 比特，就可得到如 下的重建子带 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 i 1 k1 0 k 2 0 L 1 L 1
d (n1 , n2 ) g (k1 ) g (k 2 )ai (2n1 k1 ,2n2 k 2 )
3 i 1 k1 0 k 2 0
其中H(Z)和G(Z)为1-D小波滤波器，信号ai 1 (n1 , n2 ) 是 ai (n1 , n2 ) 在低分辨率上的近似，从 ai (n1 , n2 ) 籍 低通滤波器和沿行及列2倍下取样计算此近似 3 d ( n , n ) 信号，信号 di11 (n1, n2 ), di2 和 i 1 (n1 , n2 )包 1 1 2 含 ai (n1 , n2 ) 的细节。信号 di11 (n1 , n2 ) 包含垂直高 频（水平边沿）。计算此信号是由水平方向低 2 a ( n , n ) d 通和垂直方向高通滤波 i 1 2 ，信号 i 1 (n1 , n2 ) 包含水平高频（垂直边沿），信号 di31 (n1 , n2 ) 包 含两个方向的高频（角）。
i
重要图编码可部分地看作使用一 3 级的中平 量化器，见下图
1 .5 T
-T -1 .5 T
T
重要系数即那些落在最外层的量化等级的小 波系数，T 的选择保证了它们的幅度属于区 间[T,2T)，因此重建值为 1.5T 或-1.5T。
一旦一个小波系数被判定为重要的，该小波 系数就被加入到重要小波系数列表中去，以 进行后面的细化。在细化步骤需要决定小波 系数是落在[T,2T)区间的上半部分或是下半部 分。通过连续的细化，重要小波系数属于的 区间就逐渐缩小了。进行细化的一种方便的 方法是取小波系数与当前重建值的差，使用 一 2 级中升量化器进行量化，相应的重建值 为 T/4 或-T/4。最终的重建值是各次扫描重建 值的和。
算法： 最大门限 找重要图 量化及其细化
1 Ti Ti 1 2
量化区间(T ,2T )
T ，我们赋予系数四种节点类 对给定的门限 型之一：重要正系数（significant positive） 、 重要负系数(significant negative)，零树的根 (zerotree root)、孤立零(isolate zero)。如果 使用定长编码，每种节点类型需要 2 比特 表示。需要注意的是，如果一个系数被分 配了零树的根的节点类型，则在这一遍扫 描中不需对其后代进行节点类型的编码。
a24
a34
d2
a111 a112 a113 a114 a121 a122 a123 a124 a131 a132 a133 a134 a141a142 a143 a144
d1
展开的小波树
注意到每一级的树形节点都对应图像相同
a3 表 空间位置的区域。也即a 与 a1 、a 2 、
示的是同样的空间位置， a1 与 a11 、a12 、
小波变换及应用 （图像压缩）
小波分析因为同时具有好的空间分辨率和好的 频率分辨率，特别适于分析非稳态信号。自然 图像正具有这种非稳态特性，可以看作是能量 空间集中（图像边沿和细节）和频率集中（图 像的平缓变化部分）信号的线性组合[8]。因此， 使用小波分析进行图像压缩可以取得很好的效 果。
基于小波的图像压缩思想来源
如果每个节点类型用 2 比特表示(使用定长编 码时)，到目前为止重要图编码使用了 8 比特 的开销。在这一遍扫描中，唯一的重要小波 系数是 26。将该系数包括在准备细化处理的 列表中，记列表为 Ls，有 附表 Ls={26} 系数的重建值为 1.5T0=24，重建子带如下 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
量化 小波嵌入式编码的重要图存储在 0 树中 集合 S n 的带符号重要图与小波系数陈列有相 同构造 (k 1,2,3) n 1 1 若2 n d k j p, q 2
n bk 若 2 n 1 d k j ( p , q ) 1 j [ p , q ] 2 0 otherwise J 0 2 最大尺度 有重要图b j [ p, q] 由尺度系数a J [ p, q ]
T /4
î Ö ² µ
T / 4
重要图编码过程中，小波系数的扫描顺序如下所 示。
b30 b32
2 b2
b12
1 b3
1 b2
1 b1
b13
需要注意的是，只有以前扫描时被认为是不重要 的小波系数才需要进行重要图编码。
EZW编码的例子
我们一个例子来说明 EZW 算法，图像经小 波变换后得到多分辨率表示如下， 26 -7 4 2
a
LL3
LH3
HL 3
d 32
3 d3
1 d2
2 ´ 4 d2
1 d3
HH3
HL2
3 d2
´4
d12
LH 2
HH 2
HL 1
1 d1
d13
LH1
HH1
小波系数的树形结构
a
1 a1 (d 3 )
a2 (d 32 )
a3 (d 33 ) a31 a32 a33
a11
a12
a13 a14
a21
a22
a23
1. 图像的小波分解
若2-D滤波器 (n1 , n2 )可分解为 (n1 , n2 ) 1 (n1 )2 (n2 )，则 可分的2-D DWT，将分解近似图象ai (n1 , n2 ) 为一个近似 图象和3个细节图象，即：
ai 1 (n1 , n2 ) h(k1 )h(k 2 )ai (2n1 k1 ,2n2 k 2 )
a1 (n1 , n2 )
H (Z ) G(Z )
2 2
H (Z ) G(Z )
行
a0 (n1 , n2 )
H (Z ) G(Z )
G(Z )
2
H (Z )
2
G(wk.baidu.com )
d12 (n1 , n2 ) d13 (n1 , n2 )
2
LL3 HL3 LH 3 HH 3
LH 2
HL2
HL1
HH 2
LH1
HH 1
a13 、 a14 表示同样的空间位置，其它以此类
推。这是由于小波变换的空间局域性特点 决定的。这种由同一空间位置小波系数构 成的树形结构是零树编码的基础。
能量分布
由于 小波 变换 后 能 量向 低分 辨率 子 带 集 中，因此对于自然图像而言，靠近小波树 根的小波系数其幅度值大于远离树根的小 波系数幅值的概率很大。这就意味着，如 果一个小波系数的幅度低于一个给定的门 限，则它的后代的幅度也很有可能低于该 门限。这就构成了零树编码的理论基础。
Embedded 意即编码器可以在任一希望速率 上停止编码。同样，解码器可在码流的任一 点截断码流，停止解码。 优点：不需要图像预先知识，不用存储其码 表，和不用训练。
i EZW 算法利用 DWT 分解，在每一层 的最 低带(band)分解为四个子带：LLi1 ，LHi1 ， HL i1 ， HH i1
小波分析因为同时具有好的空间分辨率和好的频 率分辨率，特别适于分析非稳态信号。自然图像 正具有这种非稳态特性，可以看作是能量空间集 中（图像边沿和细节）和频率集中（图像的平缓 变化部分）信号的线性组合。小波图像压缩就是 利用小波变换同时具有好的空间分辨率和好的频 率分辨率的特性，使变换系数的能量同时在频率 上和空间上集中，达到去除像素冗余度的作用。
零树编码的一些概念
重要系数 (significant coefficient ） ：如果小波 T 系数的幅度大于一给定门限 ，就称该小波系 T 是重要的。反之则称该系数是不 数相对门限 重要的。 SP SN 零树的根(zerotree root)：如果一个小波系数 和它所有的后代都是不重要的，则称该小波 系数是零树的根 ZR 孤立零（isolated zero） ：如果一个小波系数是 不重要的，但是其后代中存在重要系数，则 称该小波系数是孤立零。 IZ
图像的多分辨率表示
图像经过小波分解后，绝大部分能量集中 在逼近信号子带，该子带的图像可看作原 始图像的一种低分辨率的抽样。而细节子 带则反映了图像在各个尺度的细节，如边 缘、纹理等。因为自然图像的边缘、纹理 通常之存在于小部分区域，所以细节子带 的大部分系数很小，平均能量很低。下图 是 Lena 图像经过小波分解得到的多分辨率 表示。
EZW 算法根据小波分解后得到的图像的多分 辨率表示的特点，定义了一种树形结构。对 于最低分辨率子带，每一个系数都可与同一 空间位置的水平、垂直、对角线方向的 3 个 小波系数相关联；对于非最高分辨率的其它 子带，每个系数都可与精细尺度的相同方向、 同一空间位置的 4 个小波系数相关联。称粗 糙尺度的系数是其关联的下一级精细尺度系 数的父亲，称精细尺度的系数是与其关联的 上一级粗糙尺度系数的孩子，这样就形成一 系列的子带系数间的父子关系。
2. EZW算法
Embedded zero-tree wavelet algorithm
EZW 算法是 Shaprio 等人在 1993 年发表 的，它是小波图像压缩历史上具有里程碑 意义的一个算法。到目前为止，许多最新 的算法仍然还是基于 EZW 的核心思想。该 算法的核心是对小波分解后的子带系数定 义一种零树结构，这种零树结构是基于频 率衰减的假设，即在同一方向上粗糙尺度 子带的系数要比相应位置精细尺度子带的 系数大，然后采用连续逼近量化和熵编码 生成嵌入式码流。
2级2-D DWT的上式计算，可由下框图实现：
N
列
N N N
N
4
4
N
H (Z )
2 2 2 2
a2 (n1 , n2 )
1 d2 (n1 , n2 ) 2 d2 (n1 , n2 ) 3 d2 (n1 , n2 ) 1 d1 (n1 , n2 )
2
列
H (Z )
行
2 2 2 2
N N 2
G(Z )
计算。
bk j ( p, q ) 1.5T
T T dk j ( p, q )
1.5T
EZW 算法是一个多遍扫描算法，每次扫描都 包含两个步骤：重要图编码和细化。如果记 cmax 是最大的小波系数的幅值，则最初的门限 T0 由下式给出。
T0 2 log2 cmax
它保证了最大的小波系数的幅值落在区间 [T0 ,2T0 ) 。每一遍扫描，门限减少一半，即
T0 2
6 7 -4 -2
2 max
13 6 4 -2

10 4 –3 0

最大系数幅度为 26，所以初始门限为 log c log 26
2
2
16
求初始门限
扫描系数并与门限比较 x T ? 传输主表-表符号的坐标
将小波系数的幅度和门限 16 进行比较。发 现 26 大 于 16 ， 所 以 传 送 significant positive(sp)；下一个扫描的系数为 6，其幅 度低于 16，并且它的后代的幅度也低于 16， 因此 6 是零树的根，所以整个集合编码为 zerotree root （zr） ， 下一个扫描的系数是–7 以 及最后扫描的系数 7，都是零树的根。因此 不需要编码后面的系数，它们的值已经由 零树的根的节点类型表示了。所以传输的 节点类型为 sp zr zr zr 主表
k1 0 k 2 0 L 1 L 1 L 1 L 1
d (n1 , n2 ) h(k1 ) g (k 2 )ai (2n1 k1 ,2n2 k 2 )
1 i 1 k1 0 k 2 0 L 1 L 1
d (n1 , n2 ) g (k1 )h(k 2 )ai (2n1 k1 ,2n2 k 2 )
Lena图像的多分辨率表示
上述的分解过程通常采用滤波器组的形式 实现，滤波器组由一个低通滤波器和一个 高通滤波器构成。首先在行的方向上对图 像进行分解，然后再在列方向上对图像进 行分解，这样就得到一个逼近信号和三个 不同方向上的细节信号。逼近信号又可作 为输入进行下一级分解。由小波系数重构 原始图像是上述过程的逆过程。