(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题
初高中数学衔接知识点
初⾼中数学衔接知识点 从初中到⾼中的数学知识点，有哪些衔接的知识点呢？下⾯店铺给你分享初⾼中数学衔接的知识点，欢迎阅读。
初⾼中数学衔接知识点 1.⽴⽅和与差的公式 这部分内容在初中教材中很多都不讲，但进⼊⾼中后，它的运算公式却还在⽤。
⽐如说： (1)⽴⽅和公式：(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3; (2)⽴⽅差公式：(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3; (3)三数和平⽅公式：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac; (4)两数和⽴⽅公式：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3; (5)两数差⽴⽅公式：(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3。
2.因式分解 ⼗字相乘法在初中已经不作要求了，同时三次或三次以上多项式因式分解也不作要求了，但是到了⾼中，教材中却多处要⽤到。
3.⼆次根式中对分⼦、分母有理化 这也是初中不作要求的内容，但是分⼦、分母有理化却是⾼中函数、不等式常⽤的解题技巧，特别是分⼦有理化。
4.⼆次函数 ⼆次函数的图像和性质是初⾼中衔接中最重要的内容，⼆次函数知识的⽣长点在初中，⽽发展点在⾼中，是初⾼中数学衔接的重要内容.⼆次函数作为⼀种简单⽽基本的函数类型，是历年来⾼考的⼀项重点考查内容，经久不衰。
5.根与系数的关系(韦达定理) 在初中，我们⼀般会⽤因式分解法、公式法、配⽅法解简单的数字系数的⼀元⼆次⽅程，⽽到了⾼中却不再学习，但是⾼考中⼜会出现这⼀类型的考题，对学⽣有以下能⼒要求： (1)理解⼀元⼆次⽅程的根的判别式，并能⽤判别式判定根的情况; (2)掌握⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，并能运⽤它求含有两根之和、两根之积的代数式(这⾥指“对称式”)的值，能构造以实数p、q为根的⼀元⼆次⽅程。
6.图像的对称、平移变换 初中只作简单介绍，⽽在⾼中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点，对称轴、给定直线的对称问题必须掌握。
(完整版)初中数学与高中数学衔接紧密的知识点,推荐文档
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:；或||(0)x a a a x a <>⇔-<<||(0)x a a x a >>⇔<-x a >2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：，222()2a b a ab b ±=±+2222()222a b c a b c ab ac bc++=+++++⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程解的讨论ax b =①当时，方程有唯一解；0a ≠b x a=②当，时，方程无解0a =0b ≠ ③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
0a =0b =5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
2019年初升高数学衔接之数与式的运算
01数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：. 高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如，等等．一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2-【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：+＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(2a ba b-+-ba b-)÷a2ba b-+，其中高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x+++-÷--+，其中x满足x2+x﹣1＝0．【变式训练】化简：22442x xy yx y-+-÷（4x2－y2）【能力提升】已知：112a b-=，则abbababa7222+---的值等于多少？专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a22．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x34．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a65．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a 3÷a ﹣1＝a 2②（2a 3）2＝4a 5③（12ab 2）3＝16a 3b 6④2﹣5＝132⑤（a +b ）2＝a 2+b 2 A ．2道 B ．3道C ．4道D ．5道 6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．57．下列计算中，正确的是A ．24±=B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a9．下列运算正确的是（ ）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a -= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ）①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．411．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________．13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______．14．已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a 2﹣b 2＝_____． 15．已知关于x 、y 的方程组31223x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x •9y ＝___． 16．计算：（x ﹣y ）2•（y ﹣x ）3+（y ﹣x ）4•（x ﹣y ）＝_____．17．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝319．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值． 20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n 个等式，并证明该等式成立．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
2019年初升高数学衔接辅导之三角形(含答案)
09三角形高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行?，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，P A与⊙O相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝P A，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝P A＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△P AC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
9月89日初高中数学衔接知识3
3 2
成立？若存在，求出
k
的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使 x1 x2 2的值为整数的实数 k x2 x1
13.07.2019
END
b2 4ac (b)2 ( b2 4ac )2 4ac c
2a
(2a)2
4a2 a
定理：如果一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两个根为 x1, x2 ，那么：
x1
x2
b a
, x1x2
c a
说 明 ： 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 由 十 六 世 纪 的 法 国 数 学 家 韦 达 发 现 ， 所 以
b2 4ac 。
13.07.2019
【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) 2x2 3x 1 0 ；(2) 4y2 9 12y ；(3) 5(x2 3) 6x 0
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的 一般形式．
13.07.2019
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两个根为：
x b b2 4ac , x b b2 4ac
2a
2a
所以： x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac b ，
2a
a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
(2)
当 b2
4ac
0 时 ，右 端 是 零 ．因 此 ，方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ：x1,2
b 2a
(3) 当 b2 4ac 0 时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点初中数学与高中数学有很多紧密的知识点联系，其中包括以下几个重要的知识点：1.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
需要注意的是，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
另外，对于绝对值不等式，当|x|0）时，解为-aa（a>0）时，解为xa。
2.乘法公式：包括平方差公式、立方差公式、立方和公式、完全平方公式和完全立方公式。
这些公式在解题时非常有用，需要熟练掌握。
3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
有多种方法可以分解因式，包括提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
4.一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
解一元一次方程的步骤包括去分母、移项、合并同类项和未知数系数化为1.需要注意的是，当方程为ax=b时，当a≠0时，方程有唯一解x=b/a；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解。
5.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
解二元一次方程组的方法包括代入消元法和加减消元法。
6.不等式与不等式组：不等式是用符号（。
≠、<）连接的式子，不等式的解集是能使不等式成立的未知数的值。
解不等式的过程需要注意不等式的变形，包括两边加减同一个整式、两边乘除同一个正数以及两边乘除同一个负数。
对于一元一次不等式，需要求出解集。
2.改写每段话：5）二次函数的性质：1.二次函数y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的图像关于直线x = -b/2a对称。
2.当a。
0时，在对称轴左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴右侧，y的值随x值的增大而增大。
(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题
初高中数学衔接呼应版块
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“ 1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多 ,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到 ,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二 次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
与 3 6 ， 2 3 3 2 与 2 3 3 2 ，等等． 一般地， a x 与 x ， a x b y 与 a x b y ， a x b 与 a x b 互为有理
化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子
的有理化因式，化去分子中的根号的过程
10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
-1-
平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1． 2 分解因式
2
-3-
. 例如
1．分母（子）有理化
平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次
(集合)初升高数学衔接知识点
(集合)初升高数学衔接知识点初升高数学衔接知识点11、数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏);2)有标准。
2、非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3、倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04、相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5、数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6、奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7、绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
(完整版)初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．b a -a b4.两个重要绝对值不等式：ax a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a 问题导入：问题1：化简：（1）：（2) :12-x 31-+-x x 问题2：解含有绝对值的方程(1); （2）642=-x 5223=--x 问题3：至少用两种方法解不等式41＞-x 知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：; （2）.xy =32+-=x y 例2：解不等式：431＞-+-x x 练 习1、若等式 , 则成立的条件是----------aa -=2、数轴上表示实数 x1,x2 的两点A,B 之间的距离为--------3、已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么表示（ ）1+a A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和4、如果有理数x ，y 满足，则______ ()01212=+-+-y x x =+22y x 5、若，则x=_________；若，则x=_________．5=x 4-=x 6、如果，且，则b ＝________；若，则c ＝________．5=+b a 1-=a 21=-c 7、下列叙述正确的是（）（A ）若，则（B ）若，则 a b=a b =a b >a b >（C ）若，则（D ）若，则a b <a b<a b=a b=±8．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1、2 二次根式与分式知识清单二次根式二次根式的定义：形如(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一a个非负数时，的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不a0)a≥能够开得尽方的式子称为无理式.例如等是无理式，而32a b，等是有理式．21x++22x y++二次根式的性质：1 ；())0(2≥=aaa2 =2a(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩3 （a≥0，b≥0）baab∙=4 ()0,0＞bababa≥=分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:1 ；aa与2 ；bba-+a与3 ；bba-+a与4 ba nmbnam-+与分式：分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且B ≠0，则称为分式BABA分式的通分与约分：当M≠0时，MBMABAMBMABA÷÷=⨯⨯=,综合练习：例1 将下列式子化为最简二次根式：（1（2；（3．0)a≥0)x<（4）（5）()12122＜＜xxx-+3131+-例2．(3÷-1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；22()()a b a b a b+-=-（2）完全平方公式．222()2a b a ab b±=±+我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；2233()()a b a ab b a b+-+=+（2）立方差公式；2233()()a b a ab b a b-++=-（3）三数和平方公式；2222()2()a b c a b c ab bc ac++=+++++（4）两数和立方公式；33223()33a b a a b ab b+=+++（5）两数差立方公式 ．33223()33a b a a b ab b -=-+-应用：平方差公式下列各式：①；②；③；④)1)(1(+--a a )1)(1(a a +-)1)(1(+--a a 能利用平方差公式计算的是)1)(1(+---a a 完全平方公式若，求的值31=+a a 21(a a -问题3：立方和（差）公式练 习1．填空：（1）（ ）；221111()9423a b b a -=+ （2）；(4m +22)164(m m =++) (3 ) ．2222(2)4(a b c a b c +-=+++)2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （）k mx x ++212k （A ）（B ）（C ）（D ）2m 214m 213m 2116m（2）不论，为何实数，的值 （ ）a b 22248a b a b +--+（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.2 分解因式因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）2x 2-x+6（4）2x 2-（a+2）x+a （5）（6）232+-x x 2762+-x x 2．提取公因式法 例2 分解因式：（1）x 2-5x ；（2）（2）2242abb a -)5()5(2b a b a -+-3. 公式法分解因式（1）（2）x 2-4412+-x x2.1 一元二次方程知识清单1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a ≠0），其中，ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 、b 是常数。
高中衔接问题(精练)-2019年中考数学高频考点突破全攻略(解析版)
一、选择题（10×3=30分）1.（甘肃天水，第10题，4分）定义运算：a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a⊗b=b⊗a，③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，④若a⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（）A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④分析：各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．解：根据题意得：2⊗（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；a⊗b=a（1﹣b）=a﹣ab，b⊗a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；（a⊗a）+（b⊗b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；若a⊗b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，故选A2.（台湾，第23题3分）若有一等差数列，前九项和为54，且第一项、第四项、七项的和为36，则此等差数列的公差为何？( )A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6点评：此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用．学科#网3.（湖北荆门,第8题3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A ．B ．C ．D ．4. （2018•达州•3分）平面直角坐标系中，点P 的坐标为（m ，n ），则向量可以用点P 的坐标表示为=（m ，n ）；已知=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），若x 1x 2+y 1y 2=0，则与互相垂直．下面四组向量：①=（3，﹣9），=（1，﹣）；②=（2，π0），=（2﹣1，﹣1）；③=（cos30°，tan45°），=（sin30°，tan45°）；④=（+2，），=（﹣2，）．其中互相垂直的组有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可； 【解答】解：①∵3×1+（﹣9）×（﹣）=6≠0，∴与不垂直．②∵2×2﹣1+π0×（﹣1）=0，∴与垂直．【点评】本题考查平面向量、零指数幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.（2016·浙江省绍兴市·4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．1326【考点】用数字表示事件．【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510，故选C．6.（永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A.[x]=x（x为整数）B. 0≤x﹣[x]＜1C. [x+y]≤[x]+[y]D. [n+x]=n+[x]（n为整数）解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．7.（2018·四川巴中·3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2m【知识点】二次函数与体育结合.B.由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D.设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，∴当x=﹣2.5时，h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选：A．8. （2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，则log1001000的值为（）．A．12B．32C．23D．349.（浙江省湖州市·3分）定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧（2）函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（）A．命题（1）与命题（2）都是真命题B．命题（1）与命题（2）都是假命题C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．（2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论．10.已知函数()()()()22113513x xyx x⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】函数的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．二、填空题（6×4=24分）.11.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：212.（2018•上海•4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为．【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．学科#网13. （2014•广东梅州,第13题3分）如图，弹性小球从点P （0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P 1，第2次碰到矩形的边时的点为P 2，…，第n 次碰到矩形的边时的点为P n ，则点P 3的坐标是 ；点P 2014的坐标是 ．14. （广西崇左第18题3分）4个数a ，b ，c ，d 排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad ﹣bc ．若=12，则x= ．【解析】33-+x x 33+-x x =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1. 点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解决.本题新定义的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同类项法则等进行化简，最后转化为解方程确定结果.15. （2016.山东省临沂市，3分）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sin α•cos β+cos α•sin β；sin （α﹣β）=sin α•cos β﹣cos α•sin β．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．【考点】特殊角的三角函数值．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．也考查了阅读理解能力．16. （四川乐山·3分）高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如：[]2.32=，[]1.52-=-. 则下列结论： ①[][]2.112-+=-； ②[][]0x x +-=；③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<；④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2.其中正确的结论有___ __（写出所有正确结论的序号）. 答案：①③三、解答题（共46分）.17.（2018•四川凉州•4分）我们常用的数是十进制数，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110=1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？【分析】利用新定义得到101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算．【解答】解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43，所以二进制中的数101011等于十进制中的43．【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．18.（湖北黄石,第20题8分）解方程：．分析：先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y．解：，由方程x﹣2y=2得：4y2=15x2﹣60x+60（3），将（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化简得：x2﹣6x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x﹣2y=2得：y=0或，即原方程组的解为或．点评：本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中．19.（甘肃白银、临夏,第20题6分）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．如果有＞0，求x的解集．20.（2015•甘肃庆阳，第27题，12分）定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}= ；（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}=，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据3＞和已知求出即可；（2）根据题意得出≥k2x+b，结合图象求出即可；（3）分为两种情况：当2x+1≥x﹣2时，当2x+1＜x﹣2时，结合已知求出即可．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键．学科#网21. （2016·山东省济宁市·3分）已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d====．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y=x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=﹣2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=﹣2x﹣6的距离即可．【解答】解：（1）因为直线y=x﹣1，其中k=1，b=﹣1，所以点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离为：d====；（3）当x=0时，y=﹣2x+4=4，即点（0，4）在直线y=﹣2x+4，因为点（0，4）到直线y=﹣2x﹣6的距离为：d===2，因为直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，所以这两条直线之间的距离为2．。
初高中数学衔接知识(不等式)
分析:由图象知,当x=2时，y有最小值，
ymin=f（2）=-7， 当x=-1时，y有最大值，
y =f（-1）=11，
max
-1 O
2 4x
-7
2019年5月21日星期二
四、二次函数的最值问题
1．当 2 x 2 时，求函数 y x2 2x 3的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当 x 1时， ymin 4 ，当 x 2 时， ymax 5 ．
2019年5月21日星期二
二、二次函数的三种表示方式
例2.已知抛物线的顶点为(－1,－3),与轴交点为(0,－5),求抛物线的解 析式？
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3 由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上
把点( 0,-5 )代入y=a(x＋1)2-3得a-3=-5 即a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5 例3.已知抛物线与X轴交于A(－1,0), B(1,0)并经过点M(0,1), 求抛物 线的解析式？
2019年5月21日星期二
二、二次函数的三种表示方式 1．一般式： y ax2 bx c (a 0)
2．顶点式：y a(x h)2 k(a 0) 顶点坐标是 (h, k)
3．交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
其中 x1, x2 是二次函数图象与x轴交点的横坐标
(3)代数式一定是整式
2019年5月21日星期二
一、二次函数 y ax2 bx c (a 0) 的图像和性质 二对次 称函 轴数 是y_=__xx_=2-—_12x_-6_的__图。象顶点坐标是_（__—12_，__-_—24_5）__
初中高中数学衔接知识点
初中高中数学衔接知识点一、初中数学知识点1. 整数的四则运算：初中数学中，学生学习了整数的加减乘除运算规则，包括同号相加、异号相减、乘法法则和除法法则等。
这些运算规则是高中数学的基础，后续的代数运算和方程解法都建立在此基础之上。
2. 分数的四则运算：初中还学习了分数的加减乘除运算，包括分数的通分、约分和分数的乘除法规则。
这些运算规则在高中的二次函数、三角函数等概念中会经常用到。
3. 百分数和比例：初中学生还学习了百分数和比例的概念与应用，包括百分数的转化、比例的求解和比例的应用问题。
这些知识点在高中的函数、概率与统计等领域有着重要的应用。
二、初中与高中数学的衔接知识点1. 代数运算：初中数学中学习的整数和分数的四则运算是代数运算的基础，高中数学中会进一步学习代数式的加减乘除运算、代数方程的解法以及代数函数的性质和应用。
2. 函数与方程：初中学生在学习了一元一次方程和一元一次函数的基础上，高中会学习更加复杂的二次函数、指数函数、对数函数等函数的概念与性质，以及二次方程、指数方程、对数方程等方程的解法和应用。
3. 几何与三角：初中数学中学习了平面图形的性质和计算，高中会进一步学习立体图形的性质和计算，以及三角函数的概念与应用，包括三角函数的定义、性质和应用问题的求解。
4. 概率与统计：初中学生在学习了简单的概率和统计概念后，高中会进一步学习更加复杂的概率计算和统计分析方法，包括条件概率、期望、方差以及抽样调查等内容。
三、高中数学的拓展知识点1. 数列与数列求和：高中数学中会学习等差数列、等比数列和特殊数列的性质与应用，以及数列的求和公式和递推公式的推导与应用。
2. 极限与导数：高中数学中会学习函数极限的概念与性质，以及导数的定义、求导法则和应用，这些内容是微积分的基础，对后续的微分方程和积分有着重要的影响。
3. 向量与坐标系：高中数学中会学习向量的概念与性质，以及向量的加减法和数量积、向量积的计算方法与应用。
2019年版初高中数学衔接工具书——3.1 函数及其表示【原卷版+解析版】
2019年版初高中数学衔接工具书3.1 函数及其表示回顾过去初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.在初中，我们学过一些函数，如1y x =+，23y x x =+，2y x=等， 思考： （1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？1．函数的概念观察下面三个例子：（1）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ，且炮弹距离地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：h ＝130t-5t 2.这里时间t 的变化范围是A ＝{t|0≤t ≤26}，炮弹距离地面的高度的取值范围是B ＝{h|0≤h ≤845} 思考1：高度变量h 与时间变量t 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.这里时间t 的变化范围A ＝{t|1979≤t ≤2001}；臭氧层空洞面积S 的变化范围是B ＝{s|0≤s ≤26} 思考2：时间变量t 与臭氧层空洞面积S 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.思考：如何利用（1）（2）描述第三个例子中变量之间的关系？共同特点：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值与其对应，记作：f ：A B →. 1.1 函数的概念如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域． 思考1：{}A x x f ∈|)(______B ．思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？思考3：（1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？思考4：223y x x =-+函数吗?1.2 函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体：定义域A ； 值域{{}A x x f ∈|)(； 对应法则f . 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么?(1)212)(xx x f --=； (2)22)(-+-=x x x f ．练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ）【例2】已知函数1()2f x x =+， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求(3)f -，2()3f ；（3）当0a >时，求)(a f ，(1)f a -的值特别注意：)(a f 是常量，而)(x f 是变量，)(a f 只是)(x f 中一个特殊值．练习1：已知函数,23)(-=x x f 试求(3)f ，()f a ，2(1)f x +，((2))f f ，1(())f f x-．1.3 对函数符号)(x f 的理解)(x f y =与)(x f 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量， )(x f 是函数值，连接的纽带是法则f ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．函数符号)(x f y =表示y 是x 的函数，)(x f 不是表示f 与x 的乘积； 1.4 相同函数当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同． 【例3】下列各函数中，哪一个函数与12-=x y 是同一个函数．(1)12142+-=x x y ； (2));0(,12>-=x x y (3)12-=v u ； (4)2)12(-=x y ．练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？022(1)()(1),()1(2)();()(3)();()(1)(4)();()f x x g x f x x g x f x x g x x f x x g x =-=====+==（5）()1f t t =+和1,0()1,0x x g x x x +≥⎧=⎨-+<⎩1.5 区间的概念设a ，b 是两个实数，而且a b <, 我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b 或(,]a b ． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．实数集R 可以用区间表示为(,)-∞+∞，“∞”读作“无穷大”满足x a ≥的实数的集合表示为[,)a +∞；满足x a >的实数的集合表示为___________； 满足x b ≤的实数的集合表示为(,]b -∞；满足x b <的实数的集合表示为___________． 【例4】用区间表示下列集合（1）{}|56x x ≤< （2）{}|9x x ≥ （3）{}{}|1|52x x x x ≤--≤< （4）{}{}|9|920x x x x <-<<A 组1．下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是()2．已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，NB ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上4．已知函数22,(1)(),(12)2,(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩， 若f (a )＝3，则a 的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．以上均不对 5．若f (x )的定义域为[－1,4]，则f (x 2)的定义域为( )A ．[－1,2]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[－2,0] 6．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为( )A ．k <0或k >4B ．0≤k <4C ．0<k <4D ．k ≥4或k ≤0B 组1．函数f (x )＝x x 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x ) C.1f (x ) D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3] 3．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．,(0)(),(0)x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ D ．y ＝3x 34．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)5．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)6．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为____________．2．函数的表示法在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法． 2.1函数的表示法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（1） 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（3）．【例1】 某种笔记本每个5元，买x （{}1,2,3,4,5x ∈）个笔记本记为y （元）.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} ．解析法表示：5,{1,2,3,4,5}y x x =∈ 列表法表示：图象法表示：思考：三种方法表示函数各有什么特点？【例3】画出函数||y x =的图象.解：由绝对值的概念，我们有: ,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以，函数||y x =的图象如图所示 2.2分段函数所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【例4】某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象．练习1：已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，作出()f x 的图象；求(1)f 、(1)f -、(0)f 、{[(1)]}f f f -2.3 复合函数两个函数()y f u =，()u g x =，且()u g x =的值域与()y f u =的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数(())y f g x =，这样的y 叫做x 的复合函数，u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．对于复合函数(())y f g x =的问题，一般按照“从内向外”的思路逐层处理． 【例5】已知()31f x x =-，2()1g x x =+（1）求((1))f g -，((1))g f -的值；（2）求(())f g x ，(())g f x ，(())g g x 的解析式 （3）(())f g x ，(())g f x 是否为同一个函数？说明：一般情况下，复合函数(())f g x 与(())g f x 都不是同一个函数．练习1：已知函数223,(1)()2,(1)x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，（1）求(1)f -，((2))f f ；（2）若()3f a =，求a ．【例6】（1）已知()f x 的定义域为[0,1]，求(1)f x +的定义域；（2）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．小结：（1）已知()f x 的定义域为(,)a b ，求(())y f g x =的定义域；求法：由a x b <<，知()a b g x <<，解得的x 的取值范围即是(())y f g x =的定义域． （2）已知(())y f g x =的定义域为(,)a b ，求()f x 的定义域； 求法：由a x b <<，得()g x 的取值范围，即是()f x 的定义域．练习1：若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．2.4 求函数的解析式【例7】已知一次函数)(x f 满足(0)5f =，图像过点(2,1)-，求)(x f【例8】已知(1)=23f x x ++, 求)(x f 的解析式.练习1：已知221)1(x x xx f +=-, 求)(x f 的解析式.【例9】已知1()2()21f x f x x+=+,求)(x f 的解析式1．已知二次函数)(x f 满足(1)1f =，(1)5f -=，图像过原点，则()f x =___________． 2．若x x x f 2)1(+=+，则)(x f =_________________. 3．已知函数f (1－x1＋x)＝x ，求f (2)=________．4．若2(1)2f x x x +=+，则)(x f =_________________. 5．若2()2()2f x f x x x +-=++,则)(x f =_________________. 6．设函数)(x f 是定义(,0)(0,)-∞+∞在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f 的解析式.A 组1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0) D ．y ＝100x(x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．如果xxx f -=1)1(，则当x ≠0时，)(x f 等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( )A ．1B ．15C ．4D ．30B 组1．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________．2．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________．3．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．4．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，则f (x )的解析式为________________．5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]6．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．3.1 函数及其表示(解析版)回顾过去初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.在初中，我们学过一些函数，如1y x =+，23y x x =+，2y x=等， 思考： （1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？1．函数的概念观察下面三个例子：（1）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ，且炮弹距离地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：h ＝130t-5t 2.这里时间t 的变化范围是A ＝{t|0≤t ≤26}，炮弹距离地面的高度的取值范围是B ＝{h|0≤h ≤845} 思考1：高度变量h 与时间变量t 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.这里时间t 的变化范围A ＝{t|1979≤t ≤2001}；臭氧层空洞面积S 的变化范围是B ＝{s|0≤s ≤26} 思考2：时间变量t 与臭氧层空洞面积S 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.思考：如何利用（1）（2）描述第三个例子中变量之间的关系？共同特点：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值与其对应，记作：f ：A B →. 1.1 函数的概念如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域． 思考1：{}A x x f ∈|)(___⊆___B ．思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？思考3：（1）3=y 是函数吗? （2）x y =与xx y 2=是同一个函数吗？解：（1）{}.,,3:,3,B y A x y x f B R A ∈∈=→==满足集合与对应观点下的函数定义，故是函数．（2）函数xx y 2=的定义域为{|0}x x ≠，而函数x y =的定义域为R ，所以它们不是同一个函数．思考4：223y x x =-+函数吗?解：从集合角度看可以是.,,32:,,2B y A x x x y x f R B R A ∈∈+-=→==其中定义域是R ，值域是{}2≥=y y C ，是函数． 1.2 函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体：定义域A ； 值域{{}A x x f ∈|)(； 对应法则f . 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么?(1)212)(xx x f --=； (2)22)(-+-=x x x f ．解：(1)由)(x f 有意义得⎩⎨⎧>-≥-01022x x ，解得∅∈x ．由定义域是空集，故它不能表示函数．(2) 定义域为{2}，()0f x =，值域为{0}，是一个函数． 练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ）解：D ．【例2】已知函数1()2f x x =+， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求(3)f -，2()3f ；（3）当0a >时，求)(a f ，(1)f a -的值解：（1）依题意，3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得32x x ≥-≠且，所以函数()f x 的定义域为{|32}x x x ≥-≠且；（2）1(3)132f -==--+；213()233823f ==++； （3）1()2f a a =+；11(1)121f a a a -==-++． 特别注意：)(a f 是常量，而)(x f 是变量，)(a f 只是)(x f 中一个特殊值．练习1：已知函数,23)(-=x x f 试求(3)f ，()f a ，2(1)f x +，((2))f f ，1(())f f x-．解： (3)3327f =⨯-=；()32,f a a =-；222(1)3(1)231f x x x +=+-=+；(2)3224f =⨯-=，((2))(4)34210f f f ==⨯-=；13()2f x x -=--；139(())=3(2)28f f x x x----=--．1.3 对函数符号)(x f 的理解)(x f y =与)(x f 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量， )(x f 是函数值，连接的纽带是法则f ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．函数符号)(x f y =表示y 是x 的函数，)(x f 不是表示f 与x 的乘积； 1.4 相同函数当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同． 【例3】下列各函数中，哪一个函数与12-=x y 是同一个函数．(1)12142+-=x x y ； (2));0(,12>-=x x y (3)12-=v u ； (4)2)12(-=x y ．解：函数12-=x y 的定义域为R ，值域为R ．(1)、（2）式定义域均不是R ，与12-=x y 不是同一个函数；（3）与12-=x y 是同一个函数；（4）的值域为{|0}y y ≥，也与12-=x y 不是同一个函数． 练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？022(1)()(1),()1(2)();()(3)();()(1)(4)();()f x x g x f x x g x f x x g x x f x x g x =-=====+==（5）()1f t t =+和1,0()1,0x x g x x x +≥⎧=⎨-+<⎩解：（1）)(x f 的定义域为{|0}x x ≠，()g x 的定义域为R ，不是同一个函数； （2）)(x f 的值域为R ，()g x 的值域为{|0}y y ≥，不是同一个函数； （3）)(x f 与()g x 的解析式不一样，不是同一个函数； （4）是同一个函数； （5）是同一个函数． 1.5 区间的概念设a ，b 是两个实数，而且a b <, 我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b 或(,]a b ． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．实数集R 可以用区间表示为(,)-∞+∞，“∞”读作“无穷大”满足x a ≥的实数的集合表示为[,)a +∞；满足x a >的实数的集合表示为_____(,)a +∞______；满足x b ≤的实数的集合表示为(,]b -∞；满足x b <的实数的集合表示为_____(,)b -∞______． 【例4】用区间表示下列集合（1）{}|56x x ≤< （2）{}|9x x ≥ （3）{}{}|1|52x x x x ≤--≤< （4）{}{}|9|920x x x x <-<<解：（1）[5,6) （2）[9,)+∞ (3)[5,1]-- (4) (,9)(9,20)-∞A 组1．下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是()2．已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，NB ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上4．已知函数22,(1)(),(12)2,(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩， 若f (a )＝3，则a 的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D ．以上均不对 5．若f (x )的定义域为[－1,4]，则f (x 2)的定义域为( )A ．[－1,2]B ．[－2,2]C ．[0,2]D ．[－2,0] 6．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为( )A ．k <0或k >4B ．0≤k <4C ．0<k <4D ．k ≥4或k ≤0B 组1．函数f (x )＝x x 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x ) C.1f (x ) D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3] 3．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．,(0)(),(0)x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ D ．y ＝3x 34．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)5．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)6．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为____________．2．函数的表示法在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法． 2.1函数的表示法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（1） 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（3）．【例1】 某种笔记本每个5元，买x （{}1,2,3,4,5x ∈）个笔记本记为y （元）.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} ．解析法表示：5,{1,2,3,4,5}y x x =∈ 列表法表示：图象法表示：思考：三种方法表示函数各有什么特点？【例3】画出函数||y x =的图象.解：由绝对值的概念，我们有: ,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以，函数||y x =的图象如图所示2.2分段函数所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 【例4】某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象．解：设票价为y ，里程为x ，则依题意，如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x 的取值范围是（1，20]．由空调公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：2,053,5104,10155,1520x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩根据这个函数解析式，可画出函数图象练习1：已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，作出()f x 的图象；求(1)f 、(1)f -、(0)f 、{[(1)]}f f f -解：(1)112f =+=、(1)0f -=、(0)f π=、{[(1)]}[(0)]()1f f f f f f ππ-===+()f x 的图象如下：2.3 复合函数两个函数()y f u =，()u g x =，且()u g x =的值域与()y f u =的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数(())y f g x =，这样的y 叫做x 的复合函数，u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．对于复合函数(())y f g x =的问题，一般按照“从内向外”的思路逐层处理． 【例5】已知()31f x x =-，2()1g x x =+（1）求((1))f g -，((1))g f -的值； （2）求(())f g x ，(())g f x ，(())g g x 的解析式 （3）(())f g x ，(())g f x 是否为同一个函数？解：(1)3(1)14f -=⨯--=-，2(1)(1)12g -=-+=．（1）((1))(2)3215f g f -==⨯-=，2((1))(4)(4)117g f g -=-=-+=； （2）22(())3(1)132f g x x x =+-=+；22(())(31)1962g f x x x x =-+=-+2242(())(1)122g g x x x x =++=++（3）不是同一个函数．说明：一般情况下，复合函数(())f g x 与(())g f x 都不是同一个函数．练习1：已知函数223,(1)()2,(1)x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，（1）求(1)f -，((2))f f ；（2）若()3f a =，求a ．解：（1）(1)2(1)35f -=⨯--=-；((2))(0)3f f f ==-．（2）当1a <时，233a -=，3a =，舍去；当1a ≥时，223a a -=，3a =，或1a =-舍去． 所以3a =．【例6】（1）已知()f x 的定义域为[0,1]，求(1)f x +的定义域；（2）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域． 解：（1）∵()f x 的定义域为[0,1]，∴011x ≤+≤，10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[1,0]-；（2）∵(1)f x -的定义域为[1,0]-，∴211x -≤-≤-，∴()f x 的定义域为[2,1]--， 令211x -≤+≤-，解得32x -≤≤-，∴(1)f x +的定义域是[3,2]--．小结：（1）已知()f x 的定义域为(,)a b ，求(())y f g x =的定义域；求法：由a x b <<，知()a b g x <<，解得的x 的取值范围即是(())y f g x =的定义域． （2）已知(())y f g x =的定义域为(,)a b ，求()f x 的定义域； 求法：由a x b <<，得()g x 的取值范围，即是()f x 的定义域．练习1：若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．解：依题意，0212013x x ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，解得1022133x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，所以103x ≤≤，所以函数的定义域为1[0,]3． 2.4 求函数的解析式【例7】已知一次函数)(x f 满足(0)5f =，图像过点(2,1)-，求)(x f解：设()f x ax b =+，则0=521b a b +⎧⎨-+=⎩，解得25a b =⎧⎨=⎩，所以()25f x x =+． 【例8】已知(1)=23f x x ++, 求)(x f 的解析式.解：方法1（配凑法）：(1)=232(1)1f x x x ++=++，所以()=21f x x +.方法2（换元法）：令1t x =+，则1x t =-，所以()=2(1)321f t t t -+=+，所以()=21f x x +.练习1：已知221)1(xx xx f +=-, 求)(x f 的解析式. 解：方法1（配凑法）：211()()2f x x x x-=-+，所以2()=2f x x +. 方法2（换元法）：令1t x x =-，则222211()2t x x x x=-=+-，所以2()=2f t t +，所以2()=2f x x +. 【例9】已知1()2()21f x f x x+=+,求)(x f 的解析式 解：将表达式中的x 换成1x ，则有12()2()1f f x x x +=+， 与原式联立得：1()2()21(1)12()2()1(2)f x f x x f f x xx ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，(2)2(1)⨯-得：43()21f x x x =-+， 解得421()333x f x x =-+.1．已知二次函数)(x f 满足(1)1f =，(1)5f -=，图像过原点，则()f x =___________．2．若x x x f 2)1(+=+，则)(x f =_________________.3．已知函数f (1－x 1＋x)＝x ，求f (2)=________． 4．若2(1)2f x x x +=+，则)(x f =_________________.5．若2()2()2f x f x x x +-=++,则)(x f =_________________.6．设函数)(x f 是定义(,0)(0,)-∞+∞在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f 的解析式.解：（1）2()32f x x x =- （2）2()1f x x =- （3）13- （4）2()1f x x =- （5）212()33f x x x =-+ （6）128()55f x x x=-A 组1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x(x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果xx x f -=1)1(，则当x ≠0时，)(x f 等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．30B 组1．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________．2．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 3．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．4．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，则f (x )的解析式为________________．5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510] 6．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．3.1 函数及其表示练习 答案1．函数的概念A 组1．C [C 选项中，当x 取小于0的一个值时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义．]2．C [值域N 应为集合B 的子集，即N ⊆B ，而不一定有N ＝B .]3．C [当a 属于f (x )的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A [当a ≤－1时，有a ＋2＝3，即a ＝1，与a ≤－1矛盾；当－1<a <2时，有a 2＝3，∴a ＝3，a ＝－3(舍去)；当a ≥2时，有2a ＝3，∴a ＝32与a ≥2矛盾． 综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.B 组1．A [f (1x )＝1x1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]4．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 5．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]6．(52，－12) 解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎨⎧ x ＝52y ＝－122．函数的表示法A 组1．C2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] B 组1．y ＝12x ＋12 解:设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 2．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x.② 由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x 3， 即f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)． 3．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 4．f (x )＝x 2－4x ＋3.5．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10]＋1，所以选B.] 6．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
2019年初升高数学衔接辅导之圆(含答案)
沈进老师专用资料10 圆高中必备知识点 1：直线与圆的地点关系设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆，如何判断直线 l 和圆 O 的地点关系？察看图 ，不难发现直线与圆的地点关系为：当圆心到直线的距离 d > r 时，直线和圆相离， 如圆 O 与直线 l 1 ；当圆心到直线的距离 d = r 时，直线和圆相切，如圆 O 与直线 l 2 ；当圆心到直线的距离 d < r 时，直线和圆订交，如圆 O 与直线 l 3 .在直线与圆订交时，设两个交点分别为 A 、B.若直线经过圆心，则 AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 ，连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直 于这条弦 .且在中， 为圆的半径 r， 为圆心到直线的距离 ，ABRtVOMAOAOMdMA 为弦长 AB 的一半，依据勾股定理，有 r 2- d 2= (AB)2 .2当直线与圆相切时，如图，为圆 O 的切线，可得， PA. ，PA, PBPA PB OA且在 Rt POA 中， PO 2PA 2 OA 2 .如图，为圆 O的切线，为圆 O 的割线，我们能够证得 PATPTB ，PT PAB因此 PT 2PA PB .典型考题【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5 个点： A （ 1， 1）， B （﹣ 3，﹣ 1）， C （﹣ 3，1）， D （﹣ 2．﹣2）．（1）画出△ABC 的外接圆⊙P，并指出点 D 与⊙ P 相的地点关系；（2） E 点是y 轴上的一点，若直线DE 与⊙ P 相切，求点 E 的坐标．【变式训练】在平面直角坐标系xOy 中，对于P、 Q 两点给出以下定义：若点P 到x、 y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x、 y 轴的距离中的最大值，则称P、 Q 两点为“等距点”，如图中的P、 Q两点即为“等距点”．（1）已知点 A 的坐标为（﹣3， 1）①在点E（ 0， 3）、F （ 3，﹣ 3）、 G（ 2，﹣ 5）中，点 A 的“等距点”是；②若点 B 在直线y＝ x+6 上，且A、 B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为；（2）直线l： y＝kx﹣ 3（ k＞0）与x 轴交于点C，与y 轴交于点 D ．①若 T1（﹣ 1， t1）、T2（ 4， t2）是直线l 上的两点，且T1、 T2为“等距点”，求 k 的值；②当 k＝ 1 时，半径为 r 的⊙ O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M、N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．【能力提高】如图，在平面直角坐标系中，已知点．请在图中作出经过点A、 B、C 三点的，并写出圆心M 的坐标；，试判断直线BD 与的地点关系，并说明原因．高中必备知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点依照某个条件运动形成的图形，它是切合某个条件的全部点构成的 .比如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就获得一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ；同时，到定点的距离等于 r 的全部点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹.我们把切合某一条件的全部的点构成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹 .这里含有两层意思：（1）图形是由切合条件的那些点构成的，就是说，图形上的任何一点都知足条件；（ 2）图形包括了切合条件的全部的点，就是说，切合条件的任何一点都在图形上 .下边，我们议论一些常有的平面内的点的轨迹.从上边对圆的议论，能够得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直均分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直均分线上 .因此有下边的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直均分线.由角均分线性质定理和它的逆定理，相同能够获得另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的均分线.典型考题【典型例题】如图，点，将绕点旋转获得.（1）请在图中画出，并写出点的坐标；（2）求旋转过程中点的轨迹长.【变式训练】阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q 的坐标分别是P（ x1， y1）、Q（ x2，y2），则P、Q 这两点间的距离为|PQ|= ．如P（ 1，2），Q（ 3，4），则 |PQ|= =2 ．对于某种几何图形给出以下定义：切合必定条件的动点形成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，点 A 对于 x 轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴．（1）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是；（2）若动点 C（ x，y）知足到直线 l 的距离等于线段CA 的长度，求动点 C 轨迹的函数表达式；问题拓展：（ 3）若（ 2）中的动点 C 的轨迹与直线y=kx+ 交于 E、F 两点，分别过E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，求证：① EF 是△ AMN 外接圆的切线；②为定值．【能力提高】在数学上，我们把切合必定条件的动点所形成的图形叫做知足该条件的点的轨迹．比如：动点 P 的坐标知足（ m，m﹣1），全部切合该条件的点构成的图象在平面直角坐标系xOy 中就是一次函数 y=x﹣ 1 的图象．即点 P 的轨迹就是直线 y=x﹣ 1．（1）若 m、n 知足等式 mn﹣ m=6，则（ m，n﹣ 1）在平面直角坐标系 xOy 中的轨迹是；（2）若点 P（ x， y）到点 A（ 0， 1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，求点P 的轨迹；（3）若抛物线 y= 上有两动点 M 、N 知足 MN=a（ a 为常数，且 a≥4），设线段 MN 的中点为Q，求点 Q 到 x 轴的最短距离．专题查收测试题1．四边形ABCD 内接于圆，∠A、∠ B、∠ C、∠ D 的度数比可能是（）A．1：3：2：4 B． 7： 5： 10： 8 C． 13： 1： 5： 17 D．1： 2：3：42．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a），半径为2，直线y＝﹣ x 与⊙ P 订交于 A、 B 两点，若弦AB 的长为 2 3 ，则 a 的值是（）A．﹣ 2 2 B．﹣ 2+ 2 C．﹣ 2﹣ 3 D．﹣ 2﹣ 23．如图，在边长为 2 的正方形ABCD 中，以点 D 为圆心，AD 为半径画，再以BC 为直径画半圆，若暗影部分①的面积为S1，暗影部分②的面积为S2，则图中 S2﹣S1的值为（）A．﹣4 B．+4 C．﹣2 D．+22，0），B（0，3 2），⊙O 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 AB 过点 A（﹣ 3的半径为1（ O 为坐标原点），点 P 在直线 AB 上，过点 P 作⊙ O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（）A ．7 B． 2 2 C．3 D．105．以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 以下图摆放，直角极点 B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P 的读数为35°，则∠ CBD 的度数是（）A．55°B． 45°C．35°D． 256．如图，⊙O 与直线l 1相离，圆心O 到直线l 1的距离OB＝2 3 ，OA＝4，将直线l 1绕点A 逆时针旋转30°后获得的直线l 2恰好与⊙O 相切于点C，则OC＝( )A ． 1 B． 2 C．3 D． 47．在平面直角坐标系xOy 中，点 O（ 0， 0）， A（2， 0）， B（ 0， 2 3 ），C（﹣2，0）．将△OAB 绕点 O 顺时针旋转α（ 0°＜α＜ 360°）获得△ OA′B（′（此中点 A 旋转到点 A′的地点），设直线 AA′与直线 BB′订交于点 P，则线段 CP 长的最小值是（）A．222 B．232 C．2 D．2528．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以 C（﹣2，7）为圆心， 1 为半径的⊙ C 上的一个动点，已知 A（﹣ 1，0）， B（ 1， 0），连结 PA， PB，则 PA2+PB2的最小值是（）A．6B． 8C．10D．129．如图， OA 在 x 轴上， OB 在 y 轴上， OA＝ 4， OB＝ 3，点 C 在边 OA 上， AC＝ 1，⊙ P 的圆心 P 在线段 BC 上，且⊙ P 与边 AB， AO 都相切．若反比率函数y＝k（ k≠0）的图象经x过圆心 P，则 k 的值是（）A ．a 2 b 25C．5B．D．﹣ 23 210．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标 (0，2 3 )，∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，则OC的长为 ()A．6+2 B．6﹣2 C．2 3+ 2 D．2 2+ 311．和平中学自行车泊车棚顶部的剖面以下图，已知 AB＝ 16m ，半径 OA＝ 10m，高度 CD 为____ m．12．如图，扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB， AC 夹角为 150 °， AB 的长为 18cm， BD 的长为 9cm，则DE的长为 _____cm．13．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点 B 表示数 5，以 AB 为直径作半圆（如图）；第二步：以 B 点为圆心， 1 为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以 A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下边的数轴中达成第三步的绘图（保存作图印迹，不写画法），并写出点M 表示的数为________．14．圆内接正六边形的一条边所对的圆心角的度数为________．15．整数m 知足y m25 m(m 4)0，若以m 值为直角三角形的斜边长，则该m 3直角三角形外接圆半径为_____．16．如图，⊙ O 的半径为2，点A 的坐标为（2，2 3 ），直线AB 为⊙ O 的切线， B 为切点．则B 点的坐标为_______．17．如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，且对角线 AC 为直径， AD＝ BC，过点 D 作DG⊥ AC，垂足为E， DG 分别与 AB，⊙ O 及 CB 延伸线交于点F、 G、M．（1 ）求证：四边形ABCD 为矩形；（2 ）若 N 为 MF 中点，求证： NB 是⊙ O 的切线；（3 ）若 F 为 GE 中点，且 DE＝ 6，求⊙ O 的半径．18．如图， A、B 是⊙ O 上的两个定点， P 是⊙ O 上的动点（ P 不与 A、B 重合）、我们称∠ APB 是⊙ O 上对于点 A、 B 的滑动角．（1）已知∠ APB 是⊙ O 上对于点A、 B 的滑动角，①若 AB 是⊙ O 的直径，则∠APB＝°；②若⊙O 的半径是1， AB＝ 2 ，求∠APB 的度数；（2）已知O2是⊙ O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1订交于A、B 两点，∠ APB 是⊙ O1 上对于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙ O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合），连结 AN，尝试究∠ APB 与∠ MAN 、∠ ANB 之间的数目关系．19．如图， BE 是⊙ O 的直径，点 A 和点 D 是⊙ O 上的两点，过点 A 作⊙ O 的切线交BE 延长线于点 C，(1)若∠ ADE＝ 28°，求∠ C 的度数；(2)若 AC＝ 6， CE＝ 3，求⊙ O 半径的长．20．如图，在△ ABC 中， AB＝AC ，以腰 AB 为直径作半圆，分别交B C、 AC 于点 D 、E，连结 DE．(1)求证： BD ＝ DE；(2)若 AB＝ 13， BC＝ 10，求 CE 的长．21．对于平面直角坐标系 xOy 中的随意两点M x1, y1 ，N x2 , y2，给出以下定义：点M 与点 N 的“折线距离”为：d M , Nx1 x2 y1 y2．比如：若点M(-1 ，1)，点N(2， -2) ，则点 M 与点 N 的“折线距离”为：d M , N 1 2 1 2 3 3 6 ．依据以上定义，解决以下问题：（1 ）已知点P(3 ， -2) ．①若点 A(-2 ， -1) ，则 d(P， A)= ；②若点 B(b，2)，且 d(P，B)=5，则 b= ；③已知点 C（ m,n）是直线y x 上的一个动点，且d(P，C)<3，求m的取值范围．（2）⊙ F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 (0， t)，若⊙ F 上存在点 E，使 d(E， O)=2 ，直接写出 t 的取值范围．22．以下图，△A BC 中，点 D 是 AB 上一点，且AD＝ CD，以 CD 为直径的⊙ O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，且点 F 是半圆 CD 的中点．（1）求证： AB 与⊙ O 相切．（2）若 tanB＝ 2， AB＝ 6，求 CE 的长度．专题 10圆高中必备知识点 1：直线与圆的地点关系设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆，如何判断直线l 和圆 O 的地点关系？察看图 ，不难发现直线与圆的地点关系为：当圆心到直线的距离d > r 时，直线和圆相离， 如圆 O 与直线 l 1 ；当圆心到直线的距离 d = r 时，直线和圆相切，如圆 O 与直线 l 2 ；当圆心到直线的距离 d < r 时，直线和圆订交，如圆 O 与直线 l 3 .在直线与圆订交时，设两个交点分别为 A 、B.若直线经过圆心，则 AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 ，连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直 于这条弦 .且在中， 为圆的半径 r， 为圆心到直线的距离 ，ABRtVOMAOAOMdMA 为弦长 AB 的一半，依据勾股定理，有 r 2- d 2= (AB)2 .2当直线与圆相切时，如图，为圆 O 的切线，可得， PA. ，PA, PBPA PB OA且在 Rt POA 中， PO 2PA 2 OA 2 .如图，为圆 O的切线，为圆 O 的割线，我们能够证得 PATPTB ，PT PAB因此 PT 2PA PB .典型考题【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5 个点： A （ 1， 1）， B （﹣ 3，﹣ 1）， C （﹣ 3，1）， D （﹣ 2．﹣2）．（1 ）画出△ ABC 的外接圆⊙ P，并指出点 D 与⊙ P 相的地点关系；（2 ） E 点是 y 轴上的一点，若直线 DE 与⊙ P 相切，求点 E 的坐标．【答案】（ 1）看法析，点 D 在⊙ P 上；（ 2） E（ 0，﹣ 3）．【分析】（1）以下图：△ABC 外接圆的圆心为（﹣1， 0），点D在⊙P上；（2）连结 PD，∵直线DE 与⊙ P 相切，∴PD ⊥ PE，利用网格过点 D 做直线的 DF ⊥ PD ，则 F（﹣ 6， 0），设过点 D， E 的直线分析式为：y＝kx+b，∵D （﹣ 2，﹣ 2）， F（﹣ 6， 0），∴，解得：，∴直线 DE 分析式为： y＝﹣x﹣ 3，∴x＝ 0 时， y＝﹣ 3，∴E（ 0，﹣ 3）．【变式训练】在平面直角坐标系大值等于点Q 到xOy 中，对于P、 Q 两点给出以下定义：若点P 到 x、 y 轴的距离中的最x、 y 轴的距离中的最大值，则称P、 Q 两点为“等距点”，如图中的P、 Q两点即为“等距点”．（1）已知点 A 的坐标为（﹣3， 1）①在点E（ 0， 3）、F （ 3，﹣ 3）、 G（ 2，﹣ 5）中，点 A 的“等距点”是；②若点 B 在直线y＝ x+6 上，且A、 B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为；（2）直线l： y＝kx﹣ 3（ k＞0）与x 轴交于点C，与y 轴交于点 D ．①若 T1（﹣ 1， t1）、T2（ 4， t2）是直线l 上的两点，且T1、 T2为“等距点”，求 k 的值；②当 k＝ 1 时，半径为 r 的⊙ O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M、N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．【答案】（ 1）① E、F ；②（﹣ 3， 3）；（ 2）① k 的值为 1 或 2；②≤r≤3 ．【分析】（1）①∵点A（﹣ 3， 1）到 x、 y 轴的距离中最大值为3，∴与 A 点是“等距点”的点是 E、 F．②点 B 在直线 y＝ x+6 上，当点 B 坐标中到x、y 轴距离此中起码有一个为（﹣ 3， 3）、（﹣ 9，﹣ 3），这些点中与 A 切合“等距点”的是（﹣ 3， 3）．故答案为① E、 F；②（﹣ 3， 3）；3 的点有（ 3，9）、（2）∵ T1（﹣ 1， t1）、 T2（ 4， t2）是直线 l 上的两点，∴t 1＝﹣ k﹣ 3， t＝ 4k﹣ 3．∵k＞ 0，∴|﹣ k﹣ 3|＝ k+3＞3， 4k﹣3＞﹣ 3．依照“等距点”定义可得：当﹣ 3＜ 4k﹣ 3＜ 4 时， k+3＝ 4，解得 k＝1；当 4k﹣ 3≥4时， k+3＝ 4k﹣ 3，解得 k＝2．综上所述， k 的值为 1 或 2．②∵ k＝ 1，∴y＝ x﹣ 3 与坐标轴交点C（0，﹣ 3）、 D （3， 0），线段 CD ＝ 3．N 点在CD 上，则N 点到x、 y 轴的距离最大值中最小数为，若半径为r 的⊙ O 上存在一点M 与N 是“等距点”，则r 最小值为，r 的最大值为CD 长度 3．因此 r 的取值范围为≤r≤3 ．故答案为 E、 F ；（﹣ 3， 3）【能力提高】如图，在平面直角坐标系中，已知点．请在图中作出经过点，试判断直线A、 B、CBD 与三点的，并写出圆心 M的地点关系，并说明原因．的坐标；【答案】以下图看法析，圆心M 的坐标为直线BD与相切，原因看法析.【分析】以下图，即为所求．由图知，圆心M 的坐标为；连结 MB，DB，DM，，，是直角三角形，，即，直线 BD 与相切．高中必备知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点依照某个条件运动形成的图形，它是切合某个条件的全部点构成的 .比如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就获得一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ；同时，到定点的距离等于 r 的全部点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 r 的点的轨迹.我们把切合某一条件的全部的点构成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹 .这里含有两层意思：（1）图形是由切合条件的那些点构成的，就是说，图形上的任何一点都知足条件；（ 2）图形包括了切合条件的全部的点，就是说，切合条件的任何一点都在图形上 .下边，我们议论一些常有的平面内的点的轨迹.从上边对圆的议论，能够得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直均分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直均分线上.因此有下边的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直均分线.由角均分线性质定理和它的逆定理，相同能够获得另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的均分线.典型考题【典型例题】如图，点，将绕点旋转获得.（1）请在图中画出，并写出点的坐标；（2）求旋转过程中点的轨迹长.【答案】（ 1）图形看法析,；(2)5π.【分析】解：（ 1）以下图，即为所求出；；（2）连结，∵，∴旋转过程中点的轨迹长.【变式训练】阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q 的坐标分别是P（ x1， y1）、Q（ x2，y2），则 P、Q 这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则 |PQ|==2．对于某种几何图形给出以下定义：切合必定条件的动点形成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，点 A 对于 x 轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴．（1 ）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是；（2 ）若动点 C（ x，y）知足到直线 l 的距离等于线段CA 的长度，求动点 C 轨迹的函数表达式；问题拓展：（ 3）若（ 2）中的动点 C 的轨迹与直线y=kx+ 交于 E、F 两点，分别过E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，求证：① EF 是△ AMN 外接圆的切线；②为定值．【答案】（ 1） x2+（ y﹣）2 =1；（ 2）动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2；（3）①证明看法析；②证明看法析 .【分析】（1）设到点 A 的距离等于线段AB 长度的点 D 坐标为（ x， y），2 2 2∴AD =x +（y﹣），∵直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，∴A（ 0，），∵点 A 对于 x 轴的对称点为点B，∴B（ 0，﹣），∴AB =1，∵点 D 到点 A 的距离等于线段AB 长度，∴x2+（ y﹣）2=1，故答案为： x2+（ y﹣）2=1；（2）∵过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，∴直线 l 的分析式为y=﹣，∵C（ x， y）， A（0，），∴AC 2=x2+（ y﹣）2，点 C 到直线 l 的距离为：（y+ ），∵动点 C（ x， y）知足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，∴x2+（ y﹣）2=（ y+ ）2，∴动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2；（3）①如图，设点 E（m， a）点 F（ n， b），∵动点 C 的轨迹与直线y=kx+ 交于 E、F 两点，∴，∴x2﹣2kx﹣ 1=0 ，∴m+n=2 k， mn=﹣ 1，∵过 E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是M、 N，∴M （ m，﹣），N（n，﹣），∵A（ 0，），∴AM 2+AN2=m2+1+ n2+1= m2+n2+2= （ m+n）2﹣ 2mn+2=4k2+4 ，MN 2=（ m﹣n）2=（ m+n）2﹣ 4mn=4k2+4，2 2 2∴AM +AN =MN，∴△ AMN 是直角三角形，MN 为斜边，取 MN 的中点 Q，∴点 Q 是△ AMN 的外接圆的圆心，∴Q（ k，﹣），∵A（ 0，），∴直线 AQ 的分析式为y=﹣x+ ，∵直线 EF 的分析式为y=kx+ ，∴AQ⊥ EF，∴EF 是△ AMN 外接圆的切线；②∵点 E（ m，a）点 F（ n， b）在直线 y=kx+ 上，∴a=mk+ ， b=nk+ ，∵ME ， NF ， EF 是△ AMN 的外接圆的切线，∴AE =ME=a+ =mk+1， AF=NF =b+ =nk+1，∴=2，即：为定值，定值为2．【能力提高】在数学上，我们把切合必定条件的动点所形成的图形叫做知足该条件的点的轨迹．比如：动点 P 的坐标知足（m，m﹣1），全部切合该条件的点构成的图象在平面直角坐标系xOy 中就是一次函数y=x﹣ 1 的图象．即点P 的轨迹就是直线y=x﹣ 1．（1）若m、n 知足等式mn﹣ m=6，则（ m，n﹣ 1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是；（2）若点P（ x， y）到点A（ 0， 1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，求点P 的轨迹；（3）若抛物线 y= 上有两动点 M 、N 知足 MN=a（ a 为常数，且 a≥4），设线段 MN 的中点为Q，求点 Q 到 x 轴的最短距离．【答案】（ 1）；（ 2）y= x2；（ 3）点Q 到 x 轴的最短距离为1．【分析】（1）设 m=x， n﹣ 1=y，∵mn﹣m=6，∴m（ n﹣ 1） =6，∴x y=6 ，∴∴（ m， n﹣ 1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是故答案为：；（2）∴点 P（ x， y）到点 A（ 0， 1），∴点 P（ x， y）到点 A（ 0，1）的距离的平方为x2+（ y﹣ 1）2，∵点 P（ x， y）到直线 y=﹣ 1 的距离的平方为（y+1）2，∵点 P（ x， y）到点 A（ 0，1）的距离与到直线y=﹣ 1 的距离相等，2 2 2∴x +（ y﹣ 1） =（ y+1 ），∴（3）设直线MN 的分析式为y=kx+b， M（ x1， y1），N（ x2， y2），∴线段 MN 的中点为Q 的纵坐标为∴∴x2﹣4kx﹣ 4b=0，∴x1+x2=4k， x1 x2=﹣4b，∴∴∴∴点 Q 到 x 轴的最短距离为1．专题查收测试题1．四边形ABCD 内接于圆，∠A、∠ B、∠ C、∠ D 的度数比可能是（）A．1：3：2：4 B． 7： 5： 10： 8 C． 13： 1： 5： 17 D．1： 2：3：4【答案】 C【分析】解： A、 1+2≠3+4，因此 A 选项不正确；B、 7+10 ≠ 5+8，因此 B 选项不正确；C、 13+5＝ 1+17，因此 C 选项正确；D、 1+3 ≠ 2+4，因此 D 选项不正确．应选： C．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（ 2，a），半径为 2，直线 y＝﹣ x 与⊙ P 订交于 A、 B 两点，若弦AB 的长为 2 3 ，则a的值是（）A．﹣ 2 2 B．﹣ 2+ 2 C．﹣ 2﹣ 3 D．﹣ 2﹣ 2 【答案】【分析】D解：设⊙ P 与 y 轴相切于点C，连结 PC，则有 PC⊥OC．∵点 P 的坐标为（ 2， a），∴PC ＝2．①若点 P 在直线 y＝ x 上方，如图1，连结 CP 并延伸交直线y＝x 于点 E，则有 CE＝OC．∵CE ⊥OC， CE＝ OC，∴∠ COE＝∠ CEO ＝45°．过点 P 作 PD⊥AB 于 D，由垂径定理可得：AD＝BD ＝1AB ＝ 1 233．2 2在 Rt△ ADP 中，PD＝PA2AD222( 3)2＝1．在 Rt△ PDE 中，sin∠ PED＝PD1 2 ，PE PE 2解得： PE＝ 2 ．∴OC＝ CE＝ CP+PE＝ 2+ 2 ．∴a＝﹣ 2﹣ 2 ．3．如图，在边长为 2 的正方形径画半圆，若暗影部分①的面积为ABCD 中，以点D 为圆心，S1，暗影部分②的面积为AD 为半径画，再以BCS2，则图中 S2﹣S1的值为（为直）A．﹣4B．+4C．﹣2D．+2【答案】 A【分析】解：由图形可知，扇形ADC 的面积 +半圆 BC 的面积 +暗影部分①的面积﹣正方形ABCD 的面积＝暗影部分②的面积，∴S2﹣ S1＝扇形 ADC 的面积 +半圆 BC 的面积﹣正方形ABCD 的面积，应选：A ．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A（﹣ 3 2 ，0），B（0，3 2 ），⊙ O 的半径为1（ O 为坐标原点），点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（）A．7B．22C．3D．10 【答案】 B【分析】解：连结 OP 、OQ ．∵PQ 是⊙ O 的切线，∴OQ⊥ PQ；依据勾股定理知PQ2＝ OP2﹣ OQ2，∵当 PO⊥ AB 时，线段PQ 最短；又∵ A（﹣ 32， 0）， B（ 0，3 2 ），∴OA＝ OB＝ 3 2 ，∴AB＝OA2OB2＝6，∴OP＝1AB ＝3 ，2∴PQ＝OP2 OQ2＝22．应选： B5．以 O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 以下图摆放，直角极点 B 在零刻度线所在直线 DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点 P 的读数为35°，则∠ CBD 的度数是（）A ． 55°B． 45°C．35°D． 25【答案】 C【分析】∵AB 是⊙ O 的切线，∴∠ OPB＝90°，∵∠ ABC＝ 90°，∴OP∥ BC，∴∠ CBD＝∠ POB＝ 35°，应选： C．6．如图，⊙ O 与直线 l 1相离，圆心 O 到直线 l 1的距离 OB＝2 3， OA＝ 4，将直线 l 1绕点 A 逆时针旋转 30°后获得的直线 l 2恰好与⊙ O 相切于点 C，则 OC＝ ( )A．1B． 2C．3D．4【答案】 B【分析】解：在 Rt△ ABO 中， sin∠ OAB＝OB＝23 ＝ 3 ，OA4 2∴∠ OAB＝60°，∵直线 l1绕点 A 逆时针旋转30°后获得的直线l 2恰好与⊙ O 相切于点C，∴∠ CAB＝ 30°，OC⊥ AC，∴∠ OAC＝60°﹣ 30°＝ 30°，在 Rt△ OAC 中， OC＝1OA＝ 2．2应选：B．7．在平面直角坐标系xOy 中，点O（ 0， 0）， A（2， 0）， B（ 0， 2 3 ），C（﹣2，0）．将△OAB 设直线绕点 O 顺时针旋转α（0°＜α＜360°）获得△ OA′B′（（此中点AA′与直线 BB′订交于点P，则线段CP 长的最小值是（A 旋转到点）A′的地点），A ． 2 2 2 B． 2 3 2 C．2 D． 2 5 2 【答案】 B【分析】∵△ OAB 是直角三角形，点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，∵A（ 2，0）， B（0，2 3），∴AB ＝4， AB 的中点为（ 1， 3 ），∵C（﹣ 2， 0），∴CP 的最小值为2 3 ﹣2；应选： B．8．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以 C（﹣ 2 ，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣ 1，0）， B（ 1， 0），连结 PA， PB，则 PA2+PB2的最小值是（）A．6B． 8C．10D．12【答案】 C【分析】设 P（ x， y），2 2 2 2 2 2，∵PA ＝（ x+1 ）+y ， PB ＝（ x﹣ 1 ） +y∴PA2+PB2＝ 2x2+2y2+2＝ 2（ x2+y2） +2，∵OP2＝x2+y2，∴PA2+PB2＝ 2OP2+2，当点 P 处于 OC 与圆的交点上时，OP 获得最值，∴OP 的最小值为CO﹣ CP＝3﹣ 1＝ 2，∴P A2+PB2最小值为 2×22+2＝ 10．应选： C．9．如图， OA 在 x 轴上， OB 在 y 轴上， OA＝ 4， OB＝ 3，点 C 在边 OA 上， AC＝ 1，⊙ P 的圆心 P 在线段 BC 上，且⊙ P 与边 AB， AO 都相切．若反比率函数y＝k（ k≠0）的图象经x过圆心 P ，则 k 的值是（）A ． a 2 b 25 5 D ．﹣ 2B ．C ．32【答案】 A 【分析】解：作 PM ⊥AB 于 M ， PN ⊥ x 轴于 N ，如图，设⊙ P 的半径为 r ， ∵⊙ P 与边 AB ， AO 都相切， ∴PM ＝ PN ＝ r ，∵OA ＝ 4， OB ＝ 3， AC ＝ 1， ∴AB ＝5，∵S △ PAB △PAC ＝S △ABC ，+S∴ 1 ?5r+ 1 ?r?1＝ 1 ?3?1，解得 r ＝ 1，22 2 2∴BN ＝ 1，2∵OB ＝ OC ，∴△ OBC 为等腰直角三角形，∴∠ OCB ＝45°，∴NC ＝ NB ＝ 1， 2∴ON ＝3﹣ 1＝ 1， 2 2∴P 点坐标为（5 ，﹣1），22把 P （ 5 ，﹣ 1）代入 y ＝ k 得 k ＝ 5 ×（﹣ 1 ）＝﹣ 5．22 x 2 2 4应选： A ．10．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标(0，2 3 )，∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，则OC 的长为( )A．6+2B．6﹣2C．23+2D．22+3【答案】 A【分析】连结 BC，过点 B 作 BD⊥CO 于 D，∵∠ AOC＝45°，∴∠ BOD＝ 45°，∵点 B 的坐标 (0，2 3 )，∴OB＝2 3 ，∴BD＝OD＝ 6 ，∵A， O， B， C 四点共圆，∴∠ CAO+∠CBO＝ 180°，∵∠ AOC＝45°，∠ ACO＝30°，∴∠ CAO＝105°，∴∠ CBO＝75°，∴∠ CBD ＝30°，∴CD＝ 2 ，∴CO＝2+6，应选： A．11．和平中学自行车泊车棚顶部的剖面以下图，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD 为____ m．【答案】 4．【分析】解：∵ CD⊥AB ，AB＝ 16，∴AD＝DB＝8，在 Rt△ OAD 中， AB＝ 16m，半径 OA＝ 10m，∴OD＝OA2 AD 2 10282＝ 6，∴CD ＝ OC﹣ OD＝ 10﹣ 6＝ 4（ m）．故答案为： 4．12．如图，扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB， AC 夹角为 150 °， AB 的长为 18cm， BD 的长为 9cm，则DE的长为 _____cm．【答案】【分析】15 2解：∵ AB=18,BD =9,∴DE 150 π 9 15 π180213．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点 B 表示数 5，以 AB 为直径作半圆（如图）；第二步：以 B 点为圆心， 1 为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以 A 点为圆心， AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下边的数轴中达成第三步的绘图（保存作图印迹，不写画法），并写出点M 表示的数为________．【答案】作图看法析，15 1【分析】解：如图，点M 即为所求．连结AC、 BC．由题意知： AB=4， BC=1．∵ AB 为圆的直径，∴∠ ACB=90°，则 AM =AC=AB2BC2=4212=15，∴点M表示的数为15 1 .故答案为：15 1 ．点睛：此题主要考察作图﹣尺规作图，解题的重点是娴熟掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．14．圆内接正六边形的一条边所对的圆心角的度数为________．【答案】 60°【分析】依据正多边形的圆心角公式:360 ,因此正六边形的圆心角是60°,故答案圆心角n为: 60 °.15．整数 m 知足y m25m(m4)0，若以m值为直角三角形的斜边长，则该m 3直角三角形外接圆半径为_____．【答案】 1 或【分析】5 2解：由题意得，m﹣ 2≥0， 5﹣ m≥0，m﹣ 3≠0， m﹣ 4≠0，解得， 2≤m≤5， m≠3， m≠4，则整数 m＝ 2 或 5，∴该直角三角形外接圆的直径为2或5，∴该直角三角形外接圆半径为1或5，故答案为： 1或5．2 216．如图，⊙ O 的半径为2，点 A 的坐标为（2，2 3 ），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B 点的坐标为 _______．【答案】 ( 1, 3)【分析】解：过点 A 作 AC⊥ x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥ x 轴于点 D，∵⊙ O 的半径为 2，点 A 的坐标为（ 2， 2 3 ），即OC＝2，∴AC 是圆的切线．∵点 A 的坐标为（ 2， 2 3 ），∴OA＝22(2 3)2＝4，∵BO＝ 2， AO＝ 4，∠ ABO＝ 90°，∴∠ AOB＝60°，∵OA＝ 4， OC＝ 2，∴s in ∠OAC＝1，2∴∠ OAC＝30°，∴∠ AOC＝60°，即∠ AOB＝∠ AOC＝ 60°，∴∠ BOD＝ 180°﹣∠ AOB﹣∠ AOC＝ 60°，∴OD ＝ 1，BD ＝ 3 ，即B点的坐标为（﹣1， 3 ）．17．如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，且对角线AC DG⊥ AC，垂足为 E， DG 分别与 AB，⊙ O 及 CB 延伸线交于点为直径， AD＝ BC，过点F、 G、M．D 作（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；（2）若 N 为 MF 中点，求证： NB 是⊙ O 的切线；（3）若 F 为 GE 中点，且 DE＝ 6，求⊙ O 的半径．【答案】（ 1）详看法析；（ 2）详看法析；（ 3）⊙ O 的半径是9 2．2【分析】解：（ 1）∵ AC 为⊙ O 直径，∴∠ ADC ＝∠ CBA＝ 90°，AC AC 在 Rt△ ADC 与 Rt△ CBA 中，，AD BC ∴R t△ ADC ≌Rt△ CBA，∴CD ＝ AB，∵AD ＝ BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∵∠ CBA＝ 90°，∴四边形 ABCD 是矩形；（2）连结 OB，∵∠ MBF ＝∠ ABC＝ 90°，∴NB＝1MF ＝NF，2∴∠ 1＝∠ 2，∵∠ 2＝∠ 3，∴∠ 1＝∠ 3，∵OB＝ OA，∴∠ 5＝∠ 4，∵DG ⊥ AC，∴∠ AEF ＝ 90°，∴∠ 3+∠ 4＝90°，∴∠ 1+∠ 5＝90°，∴OB⊥ NB，∴NB 是⊙ O 的切线；（3）∵ AC 为⊙ O 直径， AC⊥ DG，∴DE ＝ GE＝ 6，∵F 为 GE 中点，∴EF ＝GF＝ 3，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAD ＝90°，∴∠ FAE+∠ DAE ＝ 90°，∵∠ ADE +∠ DAE ＝ 90°，∴∠ FAE＝∠ ADE，∵∠AEF ＝∠ DEA＝ 90°，∴△ AEF ∽△ DEA，∴AE EF，DE AE∴AE＝3 2 ，连结 OD ，设⊙ O 的半径为r，∴OA＝ OD ＝ r，OE＝ r ﹣ 32 ，∵OE2+DE 2＝OD 2，∴（ r﹣ 3 2 ）2+62＝r2，∴r ＝92，2∴⊙O的半径是92．218．如图， A、B 是⊙ O 上的两个定点， P 是⊙ O 上的动点（ P 不与 A、B 重合）、我们称∠ APB 是⊙ O 上对于点A、 B 的滑动角．（1）已知∠APB 是⊙ O 上对于点A、 B 的滑动角，①若AB 是⊙ O 的直径，则∠APB＝°；②若⊙O 的半径是1， AB＝ 2 ，求∠APB 的度数；（2）已知O2是⊙ O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1订交于A、B 两点，∠ APB 是⊙ O1 上对于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙ O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合），连结 AN，尝试究∠ APB 与∠ MAN 、∠ ANB 之间的数目关系．【答案】（ 1）① 90°；② 45°或 90°；（ 2）详看法析 .【分析】解：（ 1）①若 AB 是⊙ O 的直径，则∠ APB＝ 90．②如图，连结AB、 OA、 OB．在△ AOB 中，∵OA＝ OB＝ 1． AB＝ 2 ，∴OA2+OB 2＝AB2．∴∠ AOB＝90°．当点 P 在优弧APB上时，∠ APB＝1∠ AOB＝45°；2当点 P 在劣弧AB上时，∠ AP ′B＝1（360°﹣∠ AOB）＝ 135°2（2）依据点P 在⊙ O1上的地点分为以下四种状况．第一种状况：点P 在⊙ O2 外，且点 A 在点P 与点M 之间，点 B 在点P 与点N 之间，如图①∵∠ MAN ＝∠ APB+∠ANB，∴∠ APB＝∠ MAN ﹣∠ ANB；第二种状况：点P 在⊙ O2外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图②．∵∠ MAN ＝∠ APB+∠ANP＝∠ APB+（ 180°﹣∠ ANB），∴∠ APB＝∠ MAN+∠ANB﹣ 180°；第三种状况：点P 在⊙ O2外，且点M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图③．∵∠ APB+∠ ANB+∠ MAN ＝ 180°，∴∠ APB＝ 180°﹣∠ MAN ﹣∠ ANB，第四种状况：点P 在⊙ O2内，如图④，∠APB ＝∠ MAN+∠ ANB．19．如图， BE 是⊙ O 的直径，点 A 和点 D 是⊙ O 上的两点，过点 A 作⊙ O 的切线交BE 延长线于点 C，(1)若∠ ADE＝ 28°，求∠ C 的度数；(2)若 AC＝ 6， CE＝ 3，求⊙ O 半径的长．【答案】 (1)∠ C＝ 34°； (2)⊙ O 半径的长是9．2【分析】解： (1) 如图，连结OA，∵∠ ADE ＝28°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝ 2∠ ADE ＝56°，∵AC切⊙O于 A，∴∠ OAC＝90°，∴∠ C＝180°﹣∠ AOC﹣∠ OAC＝ 180°﹣ 56°﹣ 90°＝34°；(2) 设 OA＝OE＝ r ，在 Rt △ OAC 中，由勾股定理得： OA 2 +AC 2＝ OC 2，即 r 2 +62＝( r+3) 2，解得： r ＝ 9，2答：⊙ O 半径的长是9．220． 如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ，以腰 AB 为直径作半圆，分别交 B C 、 AC 于点 D 、E ，连结 DE ．(1) 求证： BD ＝ DE ；(2) 若 AB ＝ 13， BC ＝ 10，求 CE 的长．【答案】 (1)证明看法析； (2)CE ＝50．13【分析】解： (1)连结 AD ， DE ，∵AB 为半圆的直径，∴AD ⊥ BC ，∵AB ＝AC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∴BD=DE,∴BD ＝DE ；(2)∵ AB ＝ AC ＝ 13， AD ⊥ BC ，∴BD ＝CD ＝ 1BC ＝5，2∵∠ CDE ＝∠ BAC ，∠ C ＝∠ C ， ∴△ CDE ∽△ CAB ，∴CDCA ， CEBC∴5＝13，CE 10∴CE＝50．1321 xOy中的随意两点Mx1, y1 ，Nx2 , y2，给出以下定义：点M．对于平面直角坐标系与点N “” d M , Nx1 x2 y1 y2．的折线距离为：比如：若点M(-1 ，1)，点N(2， -2) ，则点 M 与点 N 的“折线距离”为：d M , N 1 2 1 2 3 3 6 ．依据以上定义，解决以下问题：（1 ）已知点P(3 ， -2) ．①若点 A(-2 ， -1) ，则 d(P， A)= ；②若点 B(b，2)，且 d(P，B)=5，则 b= ；③已知点 C（ m,n）是直线y x 上的一个动点，且d(P，C)<3，求m的取值范围．（2）⊙ F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 (0， t)，若⊙ F 上存在点 E，使 d(E， O)=2 ，直接写出 t 的取值范围．【答案】（ 1）① 6，② 2 或 4，③1＜ m＜4；（ 2）22t 3 或 3 t2 2 .【分析】解：（ 1）①d(P, A)=|3-(-2)|+|(-2)-(-1)|=6② d ( P, B) 3 b ( 2) 2 3 b 4 5∴ 3 b 1∴ b=2 或 4③ d ( P, C ) 3 m ( 2) n 3 m 2 m m 3 m 2 3 ，即数轴上表示数 m 的点到表示数 3 的点的距离与到表示数 2 的点的距离之和小于3，因此 1 ＜m＜ 4（2）设 E（ x,y），则x y 2，如图，若点 E 在⊙ F 上，则2 2 t 3或 3 t2 2.22．以下图，△ ABC 中，点 D 是 AB 上一点，且AD＝ CD，以 CD 为直径的⊙ O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，且点 F 是半圆 CD 的中点．（1）求证： AB 与⊙ O 相切．（2）若 tanB＝ 2， AB＝ 6，求 CE 的长度．【答案】（ 1）看法析；（ 2） CE＝85. 5【分析】。
初中、高中数学衔接课知识点
初中、高中数学衔接课知识点知识点一常用的乘法公式(1)平方差公式：(2)立方差公式：(3)立方和公式：(4)完全平方公式：(5)三数和平方公式：(6)完全立方公式：例1计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．练习1分解因式：2x3－x－1.知识点二二次根式(1)定义：一般地，形如a(a≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式．(2)二次根式a2的意义：a2＝＝(3)分母(子)有理化：方法：(ⅰ)分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；(ⅱ)分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．例2化简：3－2 2.练习2化简：5－2 6.例3计算：(16＋65)÷(3＋5)．练习3计算：12＋3＋13＋4＋…＋17＋8.知识点三因式分解的常用方法(1)十字相乘法：运用(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解．(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法．(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法．(4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2)．(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式．如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1提取公因式后分解因式．例4分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y.练习4选用恰当的方法解下列一元二次方程：(1)x2＋x＝0；(2)x2＋6x＋9＝0；(3)x2－2x－15＝0；(4)ax2＋(a＋1)x＋1＝0(a≠0)．知识点四一元二次方程与二次函数(1)配方法当a≠0时，y＝ax2＋bx＋c＝a⎝⎛⎭⎫x2＋ba x＋c＝a⎣⎡⎦⎤x2＋ba x＋⎝⎛⎭⎫b2a2－⎝⎛⎭⎫b2a2＋c＝a⎝⎛⎭⎫x＋b2a2＋4ac－b24a.①(2)由①式可得一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质.(3)判别式在①式中，令y ＝0，即a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4a ＝0， 可得⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2.当b 2－4ac ≥0时，才可开方解出x ＝－b ±b 2－4ac2a.当b 2－4ac <0时，ax 2＋bx ＋c ＝0无解．一般地，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．(4)求根公式：当Δ>0时方程有两个不相等的实数根 x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－b2a；(5)根与系数的关系(韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ .这一关系也被称为韦达定理． 应用：若已知x 1，x 2是一元二次方程的两个根，则可设 一元二次方程为对应的一元二次函数设为 或 例5 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3,0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)解方程－x 2＋mx ＋3＝0； (3)当x 取哪些值时，y >0?练习5 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数)，若方程有实数根，写出方程的实数根． (1)x 2－ax －1＝0； (2)x 2－ax ＋(a －1)＝0； (3)x 2－2x ＋a ＝0；例6 已知x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求下列式子．(1)x1＋x 2； (2)(2x 1－1)(2x 2－1)；(3)x 21＋x 22；(4)1x 1＋1x 2. 练习6 (1)若关于x 的方程x 2－x ＋a －4＝0的一个根大于零，另一个根小于零，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数a 的取值范围．。
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数学亲爱的2019届平冈学子：恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。
从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。
打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。
假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。
你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。
这里给大家几个学数学的建议：1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。
记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。
初高中数学衔接呼应版块1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
9. 角度问题，三角函数问题。
在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。
三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。
同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。
10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
目 录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算 1.1.1．绝对值一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、典型例题： 例1 解不等式：4|1|>-x 解法一：由01=-x ，得1=x ；①若1<x ，不等式可变为4)1(>--x ，即41>-x ，得3-<x ，又x ＜1， ∴x ＜-3；②若x ≤1，不等式可变为4)1(>-x ， 即5>x 又1≥x ∴ 5>x综上所述，原不等式的解为3-<x 或5>x 。
解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |＞4．可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点D (坐标5)的右侧．∴ 3-<x 或5>x 。
练 习A 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）1-3x|x －1|图1．1－1（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 练习B3．解不等式：3|2|<+x4、化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 二、典型例题例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习A 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一、概念：一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如32a b 212x ++，22x y ++ 必须记住1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次，+一般地，，与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2． a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩二、典型例题例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1= （20)a ==≥；（3220)xx x ==-<．例2 (3-．解法一：(3-393- ＝1)6＝12．解法二：(3-．例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2和解： （11===，===，>（2）∵=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，.例4 化简：20042005+⋅．解：20042005+⋅＝20042004+⋅-⋅-＝2004⎡⎤+⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅例 5 化简：（1； （21)x <<． 解：（1）原式=4545+-222522)5(+⨯⨯-=2=-2=．（2）原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x >>， 所以，原式＝1x x-． 练 习A 1．填空：（1＝__ ___； （2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若x ==______ __．（提示先简化后代入）2．选择题：=（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<练习B3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.4．分式一、概念：1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯； A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．二、典型例题：例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练习A1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足xy y x 222=+，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1A 组1．解不等式：13x ->２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．3．填空：（1）1819(2(2+-＝___________________；（22=，则a 的取值范围是____________________；（3=____________________．4．填空：12a =，13b =，则2223a ab -=____ ______________；5．已知：11,23x y ==的值．B 组1．选择题：（1=（ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）（A （B （C ） （D ）2．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯．1．2 分解因式一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++． 二次项 一次项 常数项（2）222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +-++．二、练习A 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．练习B 组1．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；－1 －2 xx 图1．2－1 －1 －21 1图1．2－2－2 61 1图1．2－3－ay －byx x图1．2－4 －1 1x y图1．2－5x+y 2x-y 2 -3（3）22222b c ab ac bc ++++；2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-；3．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典型例题：例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x =（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1． （4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）一、概念：1、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1b x -=，2b x -=， 则有1222b b b bx x a a---+=+==-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝ca ．这一关系也被称为韦达定理．2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0的两根，因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 二、典型例题：例2 已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝-1． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（★）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解． 解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12， 即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23． 解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， ∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 注意：．．．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x=2x =， ∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练习A1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 （3）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （4）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（5）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． （4）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ． （5）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（6）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （7）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．5．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？6．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．练习B 组 1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两实根互为相反数，则k 的值为 （ ） （A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +；（2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质一、复习引申：问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 1、二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：2、二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，图2.2-1于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：3、（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．二、典型例题：例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这四点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx +b将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600， ∴当x ＝160时，z 取最大值1600． 答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，图2.2-3 图2.2-4 图2.2－5240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 三、练习A 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．2.2.2 二次函数的三种表示方式一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax 2＋bx ＋c ＝0． ①并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以 x 1＋x 2＝b a-，x 1x 2＝ca ，即 b a ＝－(x 1＋x 2)， ca＝x 1x 2．。