2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第二讲 数列求和及综合应用

第二讲数列求和及综合应用

高考考点

考点解读

求数列的通项公式1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式；已知等差(比)的某些项或前几项的和，求其通项公式

2．考查等差(比)数列的概念以及通项公式、前n项和公式等

求数列的前n项和1.以等差(比)数列为命题背景，考查等差(比)的前n项和公式、分组求和

2．以递推数列、等差(比)数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法

与数列的和有关的综合应用1.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和

2．常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法．

(2)掌握等差(比)数列求和公式及方法．

(3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法．

(4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略．

预测2020年命题热点为：

(1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式．

(2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和．

(3)已知某个不等式成立，求某参数的值．证明某个不等式成立．

Z

知识整合

hi shi zheng he

1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．

2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n＝f(n＋1)－f(n)的形式，然

后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{c

a n a n＋1

}(其中{a n}是公差d≠0且各项均不为0

的等差数列，c 为常数)的数列等．

3．错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．

4．倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．

附：

(1)常见的拆项公式(其中n ∈N *) ①1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1.

②1n (n ＋k )＝1k (1n －1

n ＋k

)．

③

1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1

2n ＋1

).

④若等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)；1a n a n ＋2＝12d (1a n －1

a n ＋2

)． ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12[1n (n ＋1)－1

(n ＋1)(n ＋2)]．

⑥1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

⑦

1n ＋n ＋k ＝1

k

(n ＋k －n )．

(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n 项和公式，如 ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2；

②1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；

③12＋22＋32＋…＋n 2＝1

6n (n ＋1)(2n ＋1)．

Y 易错警示i cuo jing shi

1．公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为1的分类讨论． 2．错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项． 3．裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项． 4．裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性．

1．(2017·全国卷Ⅱ，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( B )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

[解析] 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，

∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.

故选B ．

2．(2017·全国卷Ⅰ，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依次类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( A )

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

[解析] 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )

2

.

由题意知，N >100，令n (1＋n )

2>100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．

第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋

1－2－n .

设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )

2项的和即第

n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2

＋5＝440.

故选A ．

3．(2018·江苏卷，14)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27.

[解析] B ＝{2,4,8,16,32,64,128…}，与A 相比，元素间隔大，所以从S n 中加了几个B 中元素考虑，

1个：n ＝1＋1＝2 S 2＝3,12a 3＝36 2个：n ＝2＋2＝4 S 4＝10,12a 5＝60 3个：n ＝4＋3＝7 S 7＝30,12a 8＝108 4个：n ＝8＋4＝12 S 12＝94,12a 13＝204