第九章微分方程

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n阶微分方程的另一种形式为 y(n) f ( x, y, y ', , y(n1) )
其中f 是 x , y , y’, … , y ( n - 1) 的已知函数. 这种已就 最高阶导数解出的方程，称为正规形微分方程.
如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导 数都是一次的，则称方程为线性微分方程. 线性微分方程 的一般形式为:
5 e2x
y
两边同时积分得
ln 5 e2x ln | y | ln | C | 于是,通解为
y 5 e2x C 或 y C 5 e2x
其中C为任意常数.
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例9.2 求方程4xdx－3ydy=3x2ydy－2xy2dx的通解. 解 合并同类项,得
2x(2+y2)dx=3(1+x2)ydy
分离变量得
1 x
dx
3 2u2 u(1 u2
)
du
( 1
u u
2
3)du u
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积分得 ln | x | 1 ln(1 u2) 3ln | u | ln | C | 2
由此得
| Cxu3 | 1 u2 于是,将u y 代入上式,得原方程的通解为
x Cy3 x x2 y2
二. 微分方程的解
定义9.3 设函数 y =φ(x) 在区间Ｄ上有连续的n阶导 数, 并且对任意的 x∈Ｄ, 均有
F ( x, ( x), '( x), , (n) ( x)) 0 则称函数 y = φ(x) 为微分方程在区间Ｄ上的解.
如可以验证函数 y e2x 是方程 y ' 2 y 0 的解
1 du ln | x | C f (u) u
(9.20)
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例9.4
求方程
dy dx
y3 2x2y 3x3 2xy2
的通解.
解 将所给方程改写为其次方程
dy
(
y x
)3
2(
y) x
dx 3 2( y )2
x
令y=xu,则有
dy dx
u
x
du dx
u3 2u 3 2u2
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将方程(9.14)和(9.15b)两端分别对x和对y积 分,得
f (x)dx g( y)dy C
和
( x)dx
1 (y)
dy
C
(9.16) (9.17)
式(9.16)和(9.17)分别为(9.14)和(9.15)的通解.
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例 求方程 y’= 2xy 的通解. 解 分离变量, 得 1 dy 2xdx
y sin x, y cos x 都是方程 y" y 0 的解
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定义9.4 若 n阶微分方程的解中, 含有n个独立任意 常数，则称其为方程的通解; 若n阶微分方程的解中不含 有任意常数，则称其为方程的特解.
例如 y ce2x 是方程 y ' 2 y 0 的通解 y c1 sin x c2 cos x 是方程 y " y 0 的通解 y e2x 是方程 y ' 2 y 0 的特解
法,即通过变量变换将其化为分离变量方程,然后
再求解的一种方法.令
u y 或 y xu x
(9.19)
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其中u为新的未知量. 对y=xu两边求微分,得
dy=xdu+udx
将其代入式(9.18)并利用(9.19),得 1 du 1 dx
f (u) u x
这是关于x和u的分离变量方程,积分得
y(n) f ( x, y, y ', , y(n1) )
y
x0
y0 , y ' x0
y1 ,
, y(n1) x0 yn1
微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分
曲线. 初值问题的几何意义, 就是求微分方程的通过点
( x0 , y0 ) 的那条积分曲线.
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例1 验证 函数 y = c1cos2x + c2 sin2x是微分方程
一. 微分方程及其阶的定义 定义9.1 含有未知函数的导数(或偏导数)的方程, 称为
微分方程. 当未知函数是一元函数时, 称为常微分方程; 当未 知函数是多元函数时, 称为偏微分方程. 微分方程有时也简称 方程.
例如, 方程 dy x , y ' x2 y sin x, y " 2 y ' 3 y 0,
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积分得
ln | sin u | nln | x | ln C ln | Cxn |
即 sinu=Cxn
将 u y 代入上式,得通解 x
sin y Cxn 或 y x arcsin(Cxn ) x
其中C为任意常数.
由 y(1) π ,得C=1.于是,特解为 2
sin y xn 或 y x arcsin xn
再分离变量,得
2x
3y
1 x2 dx 2 y2 dy
积分得 ln(1 x2 ) 3 ln(2 y2) ln C 2
因此,通解为
~
1 x2 C(2 y2 )3 2 或 y2 C(1 x2 )2 3 2
~
其中C首为页 任意上正页的常数返回,
C
C 2
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3.
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例9.3
求方程 y'
其中C为任意常数.
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例9.5 求方程 dy y n tan y 的通解,以及满足条
dx x
x
件y(1) π 的特解,其中n为正整数.
2
解 令y=xu,得
dy u x du u n tan u
dx
dx
由此得 x du n tan u dx
分离变量得
cot udu n dx x
x0
x0
y = cos2x
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第二节 最简单的微分方程
一、可分离变量方程 二、齐次微分方程
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最基本的微分方程是一阶微分方程,一阶微 分方程的一般形式为
F (x, y, y') 0 y' f (x, y) (9.13) 其中F (x, y, y') 为x,y和 y' 的已知函数;f(x,y)为x、y 的已知函数.
于是原方程的通解为 cos y ccos x
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又将初始条件
y
x0 4
代入通解中, 得 c 2
2
故满足初始条件的特解为 cos y 2 cos x
2
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例9.1 求方程ye2xdx+(5+e2x)dy=0的通解.
解 分离变量得
e2x dx 1 dy 0
y" 4 y 0的通解.并求满足初始条件
y
x0
1,
y' x0
0
的特解.
解 因为 y ' 2c1 sin 2x 2c2 cos 2x
y '' 4c1 sin 2x 4c2 cos 2 x 4(c1 sin 2x c2 cos 2x)
所以把 y '与y"代入原方程，得 -4(c1 cos2x + c2 sin 2x + 4 (c1cos 2x + c2 sin 2x) ≡ 0
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一、可分离变量方程
形如
f(x)dx=g(y)dy
(9.14)
的一阶微分方程,称为分离变量方程.而形如
y' (x) ( y)
(9.15a)
的一阶微分方程,称为可分离变量方程.因为(9.15a)
可改写为
(x)dx 1 dy, ( y) 0 (9.15b) (y)
的分离变量方程.
y(n) a1 ( x) y(n1) an ( x) y f ( x) 其中 a1(x) 、…、a n-1 (x)、 a n (x), f (x) 都是 x 的已 知函数 . 不是线性方程的微分方程, 统称为非线性微分方程.
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例如, 方程 y ' x3 y sin x, y " 2 y ' 3 y x2是线性微分方程 方程 ( y")3 y ' 2 y 0, y" y ' y2 0 是非线性微分方程.
y
两边积分，得 ln y x2 lnc
于是原方程的通解为 y cex2
例 求方程 cos xsin ydy cos ysin xdx 满足初始条件
y
x0
4
的特解.
解 分离变量, 得 sin y dy sin x dx
cos y cos x
两边积分，得 lncos y lncos x lnc
例1 求过点 (1, 3 ) 且斜率为2 x的曲线方程.
解 设所求曲线的方程为 y = y (x) 则由题意可知，方程应满足
dy
dx
2x
(1)
y(1) 3
(2)
将方程(1)两端积分,得 y 2xdx x2 c (3)
再将(2)式代入(3) 式，得 c = 2
又将c = 2代入(3) 式，即得所求曲线方程为 y = x 2 + 2
在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领 域中, 反映变量之间内在联系的函数关系, 往往都不能直接 得到,而必须通过建立实际问题的数学模型—— 微分方程, 并求解这个微分方程才能得到.
什么是微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入微分 方程的概念.
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§9.1 微分方程的基本概念
dx y
方程 y" 2 y ' 3 y x2 都是二阶微分方程.
一般地, n阶微分方程的形式为 F ( x, y, y ', , y(n) ) 0
其中 F 是 x, y , y ’, … , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y 为未知函数, 且方程中一定含有 y(n).
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通常将确定微分方程任意常数的条件称为初始条件．
n阶微分方程确定任意常数的附加条件为
y x x0
y0 , y ' x x0
y1 ,
, y(n1) x x0 yn1
其中x0 , y0 , y1 , , yn1是待定的n+1个常数.
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我们称这些条件为微分方程的初始条件. 微分方程 满足初始条件的求解问题称为初值问题. n阶微分方程 的初值问题通常记作
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其中C为任意正的常数. 将y(1)=2代入通解,可得C=10.于是,所求特解为
(1+x2)(1+y2)=10x2
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二、齐次微分方程
1.齐次微分方程
形如 dy f ( y ) dx x
(9.18)
的一阶微分方程,称为齐次微分方程,简称为齐次
方程. 求解齐次方程(9.18)的常用方法是变量变换
dx y
y(4) 2x 0等都是常微分方程.
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而方程
2u x 2
2u y2
2u z 2
0,
2u x 2
4
u y
等都是偏微分方程.
定义9.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数
的阶数, 称为微分方程的阶.
例如, 方程 dy x , y ' p( x) y q( x) 都是一阶微分方程,
于是函数 y = c1cos 2x + c2 sin 2x 是给定方程的解
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又因为解中含有两个独立的任意常数，所以函数
y = c1cos2x + c2sin2x 是给定方程的通解.
将初始条件
y 1, y ' 0
x0
x0
代入通解中, 求得 c1 = 1, c2 = 0
所以满足初始条件 y 1, y ' 0 的特解为
1 y2 xy(1 x2 )
的通解,以及y(1)=2时
的特解.
解 分离变量得
y 1 y2
dy
1 x(1
x2)
dx
(1 x
x 1 x2
)dx
积分得
1 ln(1 y2 ) ln x 1 ln(1 x2) 1 ln C
2
2
2
即
Байду номын сангаас
ln(1 x2 )(1 y2 ) ln(Cx2 )
因此通解为 (1+x2)(1+y2)=Cx2
第九章 微分方程
§9.1 微分方程的基本概念 §9.2 最简单的微分方程 §9.3 线性微分方程解的基本性质与结构定理 §9.4 一阶线性微分方程 §9.5 二阶常系数线性微分方程
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第九章 微分方程
微积分研究的主要对象是函数. 因此, 如何寻找函数 关系, 这在实践中具有十分重要的意义.
(2)
将(1)式整理积分，得 Q ce1.5 p (3)
再将(2)式代入(3) 式，得 c = 800
又将c = 800代入(3) 式，即得所求函数关系为
Q 800e1.5 p
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上述两个例子, 有一个共同特点：
它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数 导数的方程的求解问题. 数学上, 人们把这种方程称为 微分方程.
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例2 某种商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为-1.5p. 已 知该商品的最大需求量(即 p = 0 时的需求量) 为800，求需 求量 Q 与价格 p 的函数关系.
解 设所求的函数关系为Q = Q (p)
则由题意可知，它应满足
p
Q
dQ dp
1.5 p
(1)
Q(0) 800