(完整版)第4章杆梁结构的有限元分析原理
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有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
[工学]第四章-杆单元和梁单元
![[工学]第四章-杆单元和梁单元](https://img.taocdn.com/s3/m/9641e3285bcfa1c7aa00b52acfc789eb172d9e36.png)
坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取的一
个杆单元。
P1, u1
P2 , u2
E，A，l
1
2
图 4-2 杆单元
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系
式
P1 P2
k
e
u1 u2
(4.1)
其中， k称e 为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（2）确定位移模式
6
2
4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析
将悬臂梁的右端受载荷W处的横坐标x=l代入以上两式，得 右端受载荷截面的转角和挠度分别为
B
v'B
WL2 2EI
fB
vB
WL3 3EI
（2）平面悬臂梁的弹性力学求解
（4.25）
末端受集中载荷作用的平面悬臂梁的位移场可以用以下多项
式表示
x方向：
u(x, y) Wy 6Lx 3x2 y2 6EI
对于图4.1所示结构
第一个单元：
δ(1)
uu12
K (1)
E(1) A(1) l (1)
1 1
1
1
P (1)
R1 R2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
第二个单元：
δ(2)
uu23
K (2)
E(2) A(2) l (2)
1 1
1
1
P (2)
FR32
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。
第四讲结构力学有限元分析
z q x y
1/3
1/3
1/3
几何模型
有限元分析
微分方程描述： 板单元： 采用adini板单元，adini矩形板单元是基于经典薄板理论的板单元，其广义内力和广义应变的定义是
M x M M y M xy
其广义应力应变关系是： 其中：
M Dκ
y 2w 2 x x x 2w x κ y 2 y y xy y 2 w x 2 x y x y
d d du du d 2v d 2v d 2w d 2w 0 [ EA dx dx EI z dx2 dx2 EI y dx2 dx2 GI x dxx dxx ]dx
l
单元刚度矩阵对应 微分方程弱形式中 的左端项
单元载荷向量：
LOAD = +[u]*dfx +[v]*dfy +[w]*dfz +[v/x]*rmz +[w/x]*rmy +[anx]*rmx
如下图所示，空间1m*1m*0.02m的方板，y方向有两根加强梁，四边固支，板受向下的均布力q的 作用，板的材料参数为E=210GPa；v=0.3；thick=0.02m；q=-1000N；梁的材料参数为E=210GPa； v=0.3；A=7.5e-3m2；Ix=15.62e-6m4；Iy=14.06e-6m4；Iz=15.6e-7m4分析板的变形情况。
0 0 0 0 0
l
l
l
l
l
l dv dw dx m y ( x) dx 0 dx dx
梁结构ELAB1.0软件实现 工程建模
1/3
1/3
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几何模型
有限元分析
微分方程描述： 板单元： 采用adini板单元，adini矩形板单元是基于经典薄板理论的板单元，其广义内力和广义应变的定义是
M x M M y M xy
其广义应力应变关系是： 其中：
M Dκ
y 2w 2 x x x 2w x κ y 2 y y xy y 2 w x 2 x y x y
d d du du d 2v d 2v d 2w d 2w 0 [ EA dx dx EI z dx2 dx2 EI y dx2 dx2 GI x dxx dxx ]dx
l
单元刚度矩阵对应 微分方程弱形式中 的左端项
单元载荷向量：
LOAD = +[u]*dfx +[v]*dfy +[w]*dfz +[v/x]*rmz +[w/x]*rmy +[anx]*rmx
如下图所示，空间1m*1m*0.02m的方板，y方向有两根加强梁，四边固支，板受向下的均布力q的 作用，板的材料参数为E=210GPa；v=0.3；thick=0.02m；q=-1000N；梁的材料参数为E=210GPa； v=0.3；A=7.5e-3m2；Ix=15.62e-6m4；Iy=14.06e-6m4；Iz=15.6e-7m4分析板的变形情况。
0 0 0 0 0
l
l
l
l
l
l dv dw dx m y ( x) dx 0 dx dx
梁结构ELAB1.0软件实现 工程建模
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
杆梁结构的有限元法
l
[K]e l[B]T EA[B]dx 0
[K ]e
AE l
1 1
1
1
3-2 杆单元刚度矩阵
如图为只受扭转的杆单
y
元。同上分析，只需将
相应的变量和符号进行
xi
替换，可得扭力杆的刚
度矩阵：
M xi
xj
M xj
x
Fe Mix
T
M jx
假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变
M j , j
x
Fjy ,v j
F e Fiy
Mi
Fjy
T
M j
e vi
i
vj
T
j
1、位移函数
v 1 2x 3x2 4x3
据材料力学可知，转角与扰度存在如下关系：
dv dx
2
23x
3 4 x2
3-3 纯弯曲梁单元刚度矩阵
刚度矩阵为：
杆单元扩大刚度矩阵
K e K e K e
1
2
弯曲梁单元扩大刚度矩阵
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
12 6l
0 12
6l
=
EA l
0
0 1
0 0
0 0
EI z l3
4l2 0 6l 2l2
载荷突变点必须设置节点
3
1
2
截面变化点必须设置节点
4
5
3-2 杆单元刚度矩阵
由于杆梁问题有解析解，所以杆梁单元无需假设近似函数作为 位移函数，其刚度矩阵可直接按材料力学的基本公式，建立平 衡推得，如绪论介绍的实例所示。但为了统一有限元分析的格 式，这里仍按有限元的基本格式推导，其结果是相同的，亦即 杆梁单元的有限元解是精确解。
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
杆梁结构的有限元分析原理
对剪切变形的影响
3.1 理论
只考虑剪切变形
变形后轴线切向与变形前轴角 γxz 其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角. 假设 : 截面上均匀分布剪应变
弯曲产生的位移：
9
内部力
其中假设
10
实际上τxz采用以下形式：
其中变量与z相关。 为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应 力：
BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
几种方法避免产生剪切闭锁
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分点数
假设剪切应变 替代插值函数
举例说明
18
19
Timoshenko 梁 （采用精确积分）
20
采用缩减积分
形成总体刚度矩阵
点坐标、约束条件等；
形成结点荷载向量
（3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、
引入约束条件
几何特性等；
求解方程组，输出结点位移
（4）载荷数据：包括集中载荷、 计算单元应力，输出结果 分布载荷等。
结束
37
2、单元分析
（1）各单元的bi,ci(i,j,m) ， 面积A；
30
杆梁的有限元分析
(e)
由虚位移原理得： 由虚位移原理得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫ ε *T σdV
V
将应力矩阵和应变矩阵带入上式得： 将应力矩阵和应变矩阵带入上式得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫[q *(e) ]T [ B (e) ]T S (e) q (e) dV
V
[q *(e) ]T F (e) = [q *(e) ]T ( ∫∫∫[ B (e) ]T S (e) dV )q (e)
(1)
K=[K](1)+[K](2)
( 2)
k13 k 23 k33
1.2 杆系结构的有限元分析
(1) 杆 单 元 的 坐 标 变 化
θ
在工程实际中， 在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中任意一个位 如图所示。 置，如图所示。这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表 达等价的变化到整体坐标系中， 达等价的变化到整体坐标系中，这样不同位置的单元才有公共 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。
0 cos θ
下面推导整体坐标系下的刚度方程。 下面推导整体坐标系下的刚度方程。其表达式同前面一维 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式， 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式，有
A( e ) E ( e ) L( e )
(e) (e) 1 − 1 δ i Fi − 1 1 δ ( e ) = F ( e ) j j
− 2 u2 0 4 6 10 = 10 × − 2 2 u 3 u2 = 0.2 × 10 −3 m, u3 = 0.75 ×10 −3 m
求节点1的支反力： 求节点 的支反力： 的支反力 由单元1的方程，代入节点 、 的位移 的位移， 由单元 的方程，代入节点1、2的位移， 的方程
由虚位移原理得： 由虚位移原理得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫ ε *T σdV
V
将应力矩阵和应变矩阵带入上式得： 将应力矩阵和应变矩阵带入上式得：
[q *(e) ]T F (e) = ∫∫∫[q *(e) ]T [ B (e) ]T S (e) q (e) dV
V
[q *(e) ]T F (e) = [q *(e) ]T ( ∫∫∫[ B (e) ]T S (e) dV )q (e)
(1)
K=[K](1)+[K](2)
( 2)
k13 k 23 k33
1.2 杆系结构的有限元分析
(1) 杆 单 元 的 坐 标 变 化
θ
在工程实际中， 在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系中任意一个位 如图所示。 置，如图所示。这需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表 达等价的变化到整体坐标系中， 达等价的变化到整体坐标系中，这样不同位置的单元才有公共 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。 的坐标基准，以便对各个单元进行组集。
0 cos θ
下面推导整体坐标系下的刚度方程。 下面推导整体坐标系下的刚度方程。其表达式同前面一维 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式， 的表述，将位移、力表述为整体坐标系下的形式，有
A( e ) E ( e ) L( e )
(e) (e) 1 − 1 δ i Fi − 1 1 δ ( e ) = F ( e ) j j
− 2 u2 0 4 6 10 = 10 × − 2 2 u 3 u2 = 0.2 × 10 −3 m, u3 = 0.75 ×10 −3 m
求节点1的支反力： 求节点 的支反力： 的支反力 由单元1的方程，代入节点 、 的位移 的位移， 由单元 的方程，代入节点1、2的位移， 的方程
杆梁类问题有限元分析
【问题描述】如图I所示的桁架结构，L1-10长为1m，L10-9长也为1m。
桁架各单元横截面如图II所示。
材料弹性模量E=210GPa，泊松比μ=0.3，承受载荷的方式为在点8处施加竖直向下的集中力载荷F=60000N，约束为结点1处约束X、Y方向的自由度，结点5处约束Y方向的自由度。
图I 桁架结构示意图图II 桁架各单元横截面示意图【要求】在ANSYS Workbench软件平台上，建立该零件的几何模型，进行网格划分、施加边界条件以及静力有限元分析，最终得到桁架位移云图。
1.分析系统选择（1）运行ANSYS Workbench，进入工作界面，首先设置模型单位。
在菜单栏中找到Units下拉菜单，依次选择Units>Metric（kg,m,s,℃，A，N,V）命令。
（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“静力结构分析”【Static Structural】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。
相关界面如图1所示。
图1 Workbench中设置静力分析系统2.输入材料属性操作步骤如图2所示。
（1）在右侧窗口的分析系统A中双击工程材料【Engineering Data】单元格，进入工程数据窗口。
（2）在已有工程材料下方的单元格“点此添加新材料”【Click here to add a new material】中输入新材料名称truss。
（3）在左侧工具箱下方双击“各项同性线弹性”选项：【Linear Elastic】>【Isotropic Elasticity】。
（4）在弹出的材料属性窗口中输入弹性模量以及泊松比的数值：【Young’s Modulus】=2e+11Pa,【Poisson’s Ratio】=0.3。
（5）点击“项目”【Project】选项卡返回项目流程界面。
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是工程中常用的一种结构形式，它由多个杆件或梁组成，用于承担载荷和传递力量。
有限元分析是一种通过将结构离散为许多小单元，利用数学方法对结构进行分析的技术。
下面将详细介绍杆梁结构的有限元分析原理。
一、杆件离散化在有限元分析中，首先需要将杆梁结构离散化为一组子结构，即离散化为一组离散的杆件。
离散后的每个杆件可以看作是一个子系统，每个子系统由两个节点组成，节点之间以杆件连接。
通过节点与杆件的连接方式，能够模拟出整个杆梁结构的受力特点。
离散化的过程中，需要确定杆件的几何形状、截面以及材料特性等参数，并根据实际情况设置合适的杆件单元数目。
通常，单元数目越多，离散程度越高，结果越接近真实情况，但计算成本也会增加。
二、有限元法的基本原理有限元方法的基本原理是将结构分成许多小的单元，每个单元内的行为可以用简单的数学函数来表示。
对于杆梁结构，常用的单元有梁单元和杆单元。
梁单元适用于承受弯曲强度较大的杆件，而杆单元适用于承受轴向载荷的杆件。
通过将结构分成小单元后，可以建立一个与原结构相似的离散模型，并在每个单元上建立相应的方程。
三、应力应变关系在进行有限元分析时，需要获得每个杆件的应变和应力。
应变与杆件的变形有关，而应力与应变之间的关系则与材料的本构关系有关。
对于线弹性材料，应力与应变之间可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，应力与应变之间成线性关系，材料的弹性模量E、泊松比ν以及应变关系能够决定应力。
应根据结构中不同材料的应变特性来选择相应的材料模型。
四、施加边界条件在进行有限元分析前，需要施加适当的边界条件。
边界条件用于模拟实际情况中的约束和限制。
常见的边界条件有固定边界、弹性边界和施工阶段边界。
五、求解位移和应力当离散化杆梁结构、建立了位移和应变关系、施加了边界条件之后，可以通过数值求解方法，例如有限元法中的坐标变形法，计算得到结构的位移和应力。
坐标变形法能够基于得到的位移结果，进一步计算应力。
杆梁结构的有限元分析
【典型例题】3.1.2(2) 变截面杆单元的推导
如图3-5所示，有一受轴载荷的线性变截面杆件，两端的截 面积为A1和A2，长度为l，材料的弹性模量为E，试建立描述该 杆件的一个杆单元。
3.1.3 杆单元的坐标变换
1. 平面杆单元的坐标变换
在工程实际中，杆单元可能处于整体坐标系(global coordinate system)中的任意一个位置，如图3-6所示，这需要 将原来在局部坐标系(local coordinate system)中所得到的单元 表达等价地变换到整体坐标系中，这样，不同位置的单元才 有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成(即组装)。图3-6 中的整体坐标系为( )，杆单元的局部坐标系为(ox)。
下面针对图3-2所示的一端固定的拉杆问题，分别讨论 基于直接求解方法以及基于试函数的间接方法的求解过程。
【求解原理】3.1.1(3) 1D问题的直接求解
【求解原理】3.1.1(4) 1D问题的虚功原理求解
先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思 想，然后再具体求解一端固定的拉杆问题。
【基本变量】3.1.1(1) 1D问题的基本变量 由于该问题是沿x方向的一维问题，因此只有沿x
方向的基本变量，即 定义沿x方向移动为位移： u(x) 定义沿x方向的相对伸长(或缩短)量为应变： εx(x) 定义沿x方向的单位横截面上的受力为应力：
【基本方程】3.1.1(2) 1D问题的基本方程 该问题的三大类基本方程和边界条件如下:
第3章 杆梁结构的有限元分析
3.1 杆件有限元分析的标准化表征与算例
3.1.1 杆件分析的基本力学原理
杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的 两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线 的轴向力，因两个连接的构件在铰接接头处可以转动， 则它不传递和承受弯矩。
杆件系统有限单元法
e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
桁杆 梁
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
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lP
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R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
有限元分析——杆系系统计算
技术中心
18 /33
（3）建立整体刚度矩阵 将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；同时将 所有节点载荷进行组装。 刚度矩阵：
节点位移：
节点力：
江西五十铃发动机有限公司
技术中心
19 /33
整体刚度方程为：
（4）边界条件的处理及刚度方程求解 边界位移条件为：
化简后有：
江西五十铃发动机有限公司
（4）刚度方程求解 边界条件为：
=
，代入方程化简后有
江西五十铃发动机有限公司
技术中心
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-2 0 0 u 2 4 0 0 2 0 0 - 2 v2 5 - 2 0 2.7 - 0.7 0.7 u3 10 0 u 4 0 0 - 0.7 1.4 0 3.4 0 - 2 0.7 v4
节点100100桁架结构节点及坐标江西五十铃发动机有限公司33技术中心24单元对应节点桁架结构的单元及对应编号单元各单元长度及方向余弦2单元分析求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵江西五十铃发动机有限公司33技术中心25江西五十铃发动机有限公司33技术中心263整体分析将各单元刚度矩阵按节点编号进行组装可得整体刚度矩阵
技术中心
20 /33
对该方程进行求解，有
则所有的节点位移为：
（5）各单元应力的计算
同理，可 /33
（6）支反力的计算 根据整体刚度方程，可求得结果为
江西五十铃发动机有限公司
技术中心
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算例三： 五杆桁架结构，各杆的弹性模量与截面积为E= P=2000N，求结构的节点位移、支反力和单元应力。 （1）结构离散与编号 结构离散后进行节点编号与单元编号， 有关节点与单元的信息见下表。
谭继锦有限元法课件之七 4.1概述拉压直杆梁的有限元分析
e
T
4-1
F
42 4-2 Fi Fj 单元位移模式可设为 u 1 2 x 单元位移模式可设为： x xi 时， x x j 时， u ui u uj
第四章 杆梁问题的有限元法
相应位移模式为 相应位移模式为： u j ui u j ui u ui xi x 将之展开， 将之展 l l l xi x x xi = ui uj l l xj x x xi = ui uj l l
第四章 杆梁问题的有限元法
cos -sin sin cos T TT 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1 T T
1 T
0 cos -sin 0 0 cos -sin 0 sin i cos 0 0
4 -19
图4-3 4 3 等截面2节点梁单元
第四章 杆梁问题的有限元法 节点位移为挠度和转角，节点力为弯矩和剪力。节点位 移列向量和节点力列向量为：
e
vi i v j j
T
T
4 - 20
F Qi
e
Mi Qj M j
4 - 21 4 - 22
单元位移模式可设为： v x 1 2 x 3 x 2 4 x 3
cos sin -sin cos 0 0 0 0 0 -cos2 -sin cos cos 2 sin cos
cos 2 cos sin i sin 2 AE sin cos = l cos 2 -cos sin i -sin 2 -sin cos
杆梁结构有限元分析(第四章)
在机械结构中，杆、梁、板是主要的承力构件，关于它们的 计算分析对于机械结构设计来说具有非常重要的作用，对杆、梁 、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式，并需 要对其进行不同层次的简化，可以就某一特定分析目的得到相应 的1D、2D、3D模型。
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
K T eT K eT e
节点力阵
e
p T eT pe
刚度方程
ee
e
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
K T eT K eT e
节点力阵
e
p T eT pe
刚度方程
ee
e
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是一种常见的工程结构，广泛用于建筑、桥梁、机械等领域。
为了研究杆梁结构的力学性能和设计优化，常用的方法之一是有限元分析。
有限元分析是一种数值计算方法，通过将连续结构离散化为一个个有限的单元（元素），再通过计算单元之间的相互作用来近似表示整个结构的力学性能。
下面将逐步介绍杆梁结构的有限元分析原理。
1.离散化：首先，将杆梁结构离散化为一个个的单元，通常可以选择线性单元、二次单元等。
线性单元简单且计算效率高，而二次单元更准确但计算开销较大。
根据具体工程需求和分析要求，选择合适的单元进行离散化。
每个单元由节点和单元梁组成。
2.建立本地坐标系：为了方便计算，对于每个单元，可建立本地坐标系。
本地坐标系是以单元的一个节点为原点，并建立与该节点有关的坐标轴。
通过本地坐标系可以方便地描述单元内部的各种力和力矩。
3.单元刚度矩阵计算：对于每个单元，需要计算其刚度矩阵。
刚度矩阵描述了单元内部的相互作用，包括节点间的弯曲刚度和剪切刚度等。
通过根据材料的力学特性和几何信息，可以得到单元刚度矩阵。
4.装配全局刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵按照它们的几何关系组装成全局刚度矩阵。
全局刚度矩阵描述了整个杆梁结构的力学行为。
5.施加边界条件和加载情况：根据具体问题的边界条件和加载情况，在全局刚度矩阵中添加与之对应的约束和加载项。
边界条件通常涉及到约束的位移和力的平衡，加载情况则涉及到外界施加在结构上的力。
6.求解杆梁结构的位移：通过求解全局刚度矩阵与位移的乘积等式，可以得到结构的位移。
位移是描述结构变形的重要参数，可以用来计算应力、应变和变形等。
7.计算应力和应变：通过已知的位移以及杆梁的几何信息，可以计算单元内部的应力和应变。
应力和应变是评估杆梁结构受力情况的重要指标，在结构设计和安全评估中具有重要作用。
8.结果后处理：最后，可以通过后处理技术对有限元分析的结果进行处理和展示。
例如，可以绘制位移云图、应力云图等，以方便工程师对结构的力学性能进行评估和优化。
杆梁结构的有限元分析原理共56页
1
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
杆梁结构的有限元分析原理
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
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讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚 度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边 界条件之前，先形成整体刚度矩阵。
Kq P
其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述 的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就 可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所 获得的方程完全相同。
1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
写成矩阵形式为
e 1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
1 2
u1
u2
1 le
1
1
EAel e
1 le
1
1
u1 u2
P1
P2
u1 u2
1 2
u1
EAe
u2
le EAe
le
EAe
le
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各
点位移
(2)
(3)
应变
应力
完整的求解过程
1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散 单元给出节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
2）单元分析
单元位移模式：u(x)=a0+a1x
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
u3
l2 EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
l 2
1 2
u1
u2
EA1
l1
u3
EA1 l1
0
EA1 l1
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
E le
1
1
ui u j
简记为 Sqe 应力矩阵或者是应力转换矩阵
势能的表达
e U e W e
1 2
e ij ij d
P1u1 P2u2
1 2
le 0
Bq e
T
Sqe
Aedx
P1u1
P2u2
1 2
le qeT BT EBqe Aedx
0
P1u1 P2u2
1 2
u2
u3
EA1
l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
l 2
F3
u2 u3
5）建立刚度方程
由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全
部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本
未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求
一阶导数）有
本章主要内容
4.1有限元分析的完整过程 4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换
4.1有限元分析的完整过程
E1=E2=2E7Pa A1=A2=2cm2 l1=l2=10cm
P3为10N作用下二杆结构的变形。
问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解
单元节点条件：u(0)=u1， u(1)=u2
从而得：
a0 ui ,
a1
uj
ui le
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
形函数矩阵
其中Ni，Nj是形函数。
可得支反力大小。
以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于 复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备 标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动 实现。
讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为 节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系， 由此可以求出每一个单元所受的节点力。
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 变截面杆和弯曲杆件
EA1 EA2
l1
l2
EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
6）求解节点位移
将结构参数和外载荷代入上式有
3EA2
l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
2E4
3 1
1
1
u2 u3
0 10
求解得（单位m）
u2 u3
2.5E 7.5E
根据几何方程可得应变的表达
x
du dx
a1
1 le
u j ui
写成矩阵形式为
Niu
N
ju
ui u j
1 le
1
1
ui u j
简记为 Bqe
几何函数矩阵或者是应变转换矩阵
根据物理方程可得应力的表达
x
E
du dx
E le
u j ui
写成矩阵形式为
E Niu
N
ju
ui u j
N
ju
2
ui u j
2
E l2
1
1
uu32
0.1Mpa
9）计算支反力
对于单元势能的表达，对其取极值有
K eqe Pe
具体地对于单元1，有
EA1 1 l1 1
1
1
u1 u2
R1
ห้องสมุดไป่ตู้
P2
其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即
单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求 出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
4 4
7）计算单元应变
1 Niu
N
ju
ui u j
1
1 l1
1
1
u1 u2
2.5E 3
2 Niu
N
ju
2
ui u j
2
1 l2
1
1
uu32
5E 3
8）计算单元应力
1 E Niu
N
ju
ui u j
1
E l1
1
1
uu12
0.05Mpa
2 E Niu
0
EA2 l2
EA2
u1 u2 u3
R1
0
u1
F3
u2
u3
l2
F3
u2 u3
4）边界条件的处理
处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，
即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2