(完整版)第4章杆梁结构的有限元分析原理

EA1 EA2
l1
l2
EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
6）求解节点位移
将结构参数和外载荷代入上式有
3EA2
l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
2E4
3 1
1
1
u2 u3
0 10
求解得（单位m）
u2 u3
2.5E 7.5E
E le
1
1
ui u j
简记为 Sqe 应力矩阵或者是应力转换矩阵
势能的表达
e U e W e
1 2
e ij ij d
P1u1 P2u2
1 2
le 0
Bq e
T
Sqe
Aedx
P1u1
P2u2
1 2
le qeT BT EBqe Aedx
0
P1u1 P2u2
根据几何方程可得应变的表达
x
du dx
a1
1 le
u j ui
写成矩阵形式为
Niu
N
ju
ui u j
1 le
1
1
ui u j
简记为 Bqe
几何函数矩阵或者是应变转换矩阵
根据物理方程可得应力的表达
x
E
du dx
E le
u j ui
写成矩阵形式为
E Niu
N
ju
ui u j
4 4
7）计算单元应变
1 Niu
N
ju
ui u j
1
1 l1
1
1
u1 u2
2.5E 3
2 Niu
N
ju
2
ui u j
2
1 l2
1
1
uu32
5E 3
8）计算单元应力
1 E Niu
N
ju
ui u j
1
E l1
1
1
uu12
0.05Mpa
2 E Niu
讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚 度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边 界条件之前，先形成整体刚度矩阵。
Kq P
其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述 的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就 可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所 获得的方程完全相同。
1 2
u2
u3
EA1
l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
l 2
F3
u2 u3
5）建立刚度方程
由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全
部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本
未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求
一阶导数）有
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求 出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
u3Fra Baidu bibliotek
l2 EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
l 2
1 2
u1
u2
EA1
l1
u3
EA1 l1
0
EA1 l1
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 变截面杆和弯曲杆件
可得支反力大小。
以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于 复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备 标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动 实现。
讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为 节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系， 由此可以求出每一个单元所受的节点力。
本章主要内容
4.1有限元分析的完整过程 4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换
4.1有限元分析的完整过程
E1=E2=2E7Pa A1=A2=2cm2 l1=l2=10cm
P3为10N作用下二杆结构的变形。
问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解
1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
写成矩阵形式为
e 1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
1 2
u1
u2
1 le
1
1
EAel e
1 le
1
1
u1 u2
P1
P2
u1 u2
1 2
u1
EAe
u2
le EAe
le
EAe
le
0
EA2 l2
EA2
u1 u2 u3
R1
0
u1
F3
u2
u3
l2
F3
u2 u3
4）边界条件的处理
处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，
即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
N
ju
2
ui u j
2
E l2
1
1
uu32
0.1Mpa
9）计算支反力
对于单元势能的表达，对其取极值有
K eqe Pe
具体地对于单元1，有
EA1 1 l1 1
1
1
u1 u2
R1
P2
其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即
单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式
单元节点条件：u(0)=u1， u(1)=u2
从而得：
a0 ui ,
a1
uj
ui le
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
形函数矩阵
其中Ni，Nj是形函数。
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各
点位移
(2)
(3)
应变
应力
完整的求解过程
1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散 单元给出节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
2）单元分析
单元位移模式：u(x)=a0+a1x