比例线段与相似三角形
三角形的相似比与比例线段
三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。
本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。
一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。
设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。
相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。
2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。
3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。
三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。
比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。
设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。
四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。
解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。
2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。
线段的比例和相似三角形
线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。
本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。
1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。
设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。
当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。
2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。
若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。
相似三角形的边长比例与角度比例成正比。
3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。
比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。
4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。
常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。
这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。
5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。
例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。
b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。
c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。
例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。
总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。
通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。
线段比例和相似三角形的性质
线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。
本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。
设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。
根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。
换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。
2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。
设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。
二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是相似三角形的定义之一。
2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。
3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。
设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。
4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。
设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。
2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
线段的比例分点与相似三角形
线段的比例分点与相似三角形线段的比例分点与相似三角形是数学中重要的概念和定理。
在几何学中，线段的比例分点是指将线段按照一定比例分为两段的点，而相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
本文将详细介绍线段的比例分点和相似三角形的相关内容。
一、线段的比例分点线段的比例分点是指在一条线段上，将其按照一定的比例分为两段的点。
设有一条线段AB，将其分为两段的点P和Q，当点P将线段AB分为AP和PB两段时，点Q将线段AB分为AQ和QB两段，且满足AP：PB = AQ：QB时，称点P和Q分别为线段AB的比例分点。
线段的比例分点具有以下性质：1. 比例分点唯一性：线段AB的比例分点是唯一的，即在一条线段上，只有一个点能够将其按照一定的比例分为两段。
2. 分点与线段的长度关系：设线段AB的比例分点为P和Q，线段AP的长度为x，线段PB的长度为y，线段AQ的长度为m，线段QB 的长度为n，则有x：y = m：n。
3. 全长内外分点：当m+n=1时，称P和Q是线段AB的全长内分点；当m+n>1时，称P和Q是线段AB的全长外分点；当m+n<1时，称P和Q是线段AB的全长外分点。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
设有两个三角形ABC和DEF，若它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B =∠E，∠C = ∠F，则称三角形ABC与DEF相似。
相似三角形的性质：1. 对应边的比例关系：相似三角形的对应边之间有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且AB：DE = BC：EF = AC：DF = k，则称k为相似比。
2. 高线的比例关系：相似三角形的高线之间也有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且AD：DG = BE：EH = CF：FI = k，则称k为相似比。
3. 面积的比例关系：相似三角形的面积之间具有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且面积(ABC)：面积(DEF) = k²，则称k 为相似比。
相似三角形知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长(三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=，=， =.nm b a =（4）上述结论也适合下列情况的图形：二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形(一)线段的比、比例线段
相似三角形（一）-------------------线段的比、比例线段一、知识点：1、线段的比：2、比例线段：等价形式3、比例尺：4、合比定理：5、等比定理：6、黄金分割点：黄金比例：7、方法：二、精选例题例1：(1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x+y+z=6，求x 、y 、z.(2)已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.(3)已知a 、b 、c 是非零实数，且 EMBED Equation.3，求k 的值.(4)若a 、b 、c 是非零实数，并满足 EMBED Equation.3 ，且a b ca c cb b a x ))()((+++=，求x 的值.针对练习：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ . 5.若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .例2、已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积.例3、（1）已知线段AB ＝8，C 为黄金分割点，求AC ：BC（2）已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？课堂练习9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′， EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3 ＝ EMBED 낣볐 鍤栺塺漘ܫມ△塂猍⫬⫬ﾕ끗⫬⫬㔱駞⫬⫬ ⫬छ촘몔Ѝ歭愾蒖鱐秡⫬峢ﵬ쳸㣯朁荤オ 㤻祿 喇⫬셩 葁乁 ⫬ 顇㛨 ⫬捀⫬䘣檆骯誵乷仝 程뿶幹詀쐊幷⫬ 뇊㨇㱣鼚쵝敫隑⫬㉨폰ﮐ鏁巠 뷁鳨⫬쑦छ랭ᾨ 灼 꼤쁐蠆 㳸 鑾㑾옭韹얩魊㮟 磃텮䝅 ఠ 舼鈌漲⫬稤⫬䝖랦簏뺷⫬⫬⫬笏㐀豈跲诐 栉⫬劫⫬⫬䗼 訵졍⫬뼫欮⫬包鄓닳⫬屑⫬ 瘱ӝ ⫬壃㯑๊譱뗋㾞⫬ ᾂ㤙傔 噇⫬ƿ⫬㫹넊许콽垊휿⫬䨛㦭 Ḷ剉 프⫬⫬Ä3꼀℁픚㘕䏅 沔⫬ʉ⤡⫬Ả篓矀嵪쬥⫬๊䘸⫬꽕뙄芓⫬袿싪꽖趙屏单綏냑捲⫬憝翕妸솔둋鏭깮⫬⫬㛒 鸖ž씴ཿ⫬燫䯶挮猙怵⫬ ⫬瞹 樷 拢嚾绎嫥墫 薪踭嗍餚닱酨닚邇⫬⫬⫬燠똕⫬⫬툉삮誼쬗‹㦝豜嶇薰㸿⫬㟇 ⫬盿⫬狉⫬幝蚖瞅쩮僾௺ұ௺⫬逘۾횪먫旿뢡⫬捓⫬⫬荶훦ῐ⫬ ⫬⫬ﾾ뾞ǿ쪿뿯౨3ĀÀĀझ x 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝ 15. 正方形对角线的长与它的边长的比是16.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km.17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______.18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则db c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 20．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 21、若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 22．已知a b a 3)(7=-，则=ba 23．如果2===c zb y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 24．在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .25．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .26．已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .27．若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .28、若322=-y y x , 则_____=y x . 29．已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .30．图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .练习：1、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2 2、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．3、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a :: 4.已知0≠-=-=-za c y cb x b a ，求x+y+z 的值.5、已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.。
线段的比例分割与相似三角形
线段的比例分割与相似三角形线段的比例分割与相似三角形在数学中属于几何学的分支。
当两个线段分割另外一条线段时，这两个线段的比例关系可以用来推导相似三角形的性质。
本文将详细讲解线段的比例分割与相似三角形之间的关系，并探讨在实际问题中的应用。
一、线段的比例分割原理线段的比例分割是指将一条线段按照一定的比例分为两部分。
设有一条线段AB，C点是该线段上的一个点，将线段AB分为AC和CB两部分，根据线段的比例分割原理，有以下的比例关系：AC/CB = AD/DB其中AD和DB分别表示从点A和点B到点C所划分出的两个线段。
这个比例关系可以推广到更复杂的情况，即当线段AB被多个点分割时，依然成立。
二、相似三角形的性质与线段的比例分割相似三角形是指具有相似形状但大小不同的三角形。
当两个三角形相似时，它们的对应边长成比例。
而线段的比例分割正是相似三角形性质的一种特殊情况。
以线段AB为边的三角形ABC与以线段AC为边的三角形ADE相似，根据相似三角形的性质，有以下的比例关系：AB/AC = BC/CE = CA/AD其中CE和AD分别表示从点C和点A到点E所构成的线段。
这个关系表明，线段的比例分割可以推导出相似三角形的对应边长比例关系。
三、线段的比例分割与相似三角形的应用线段的比例分割与相似三角形在几何学中有广泛的应用。
它们可以用于解决各种问题，例如测量无法直接获得的长度、计算图形的面积以及解决实际生活中的几何问题等。
1.测量无法直接获得的长度在实际情况中，有时候我们无法直接测量一个线段的长度，但我们可以利用已知线段的比例分割关系来计算。
例如，我们知道一根棍子被两个点分割成三段，其中两段的比例为2:3，而总长度为60厘米。
那么我们可以利用线段的比例分割来计算每段的长度，进一步解决问题。
2.计算图形的面积通过线段的比例分割与相似三角形，可以推导出各种图形的面积比例关系。
例如，在两个相似三角形中，它们的面积的比例等于边长的比例的平方。
线段比例与相似三角形
线段比例与相似三角形线段比例与相似三角形是几何学中重要的概念。
在这篇文章中，我们将探讨线段比例与相似三角形之间的关系，并解释它们在几何学中的应用。
一、线段比例的定义与性质线段比例是指两个线段之间的长度关系。
假设有两个线段AB和CD，它们的长度分别为a和b。
如果这两个线段之间存在比例关系，即a:b为一个确定的数值k，那么我们可以记作AB：CD = a：b = k。
线段比例具有以下性质：1. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个对应部分也满足比例关系。
2. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个相似三角形的对应边也满足比例关系。
3. 如果线段AB与CD之间的比例关系为a：b = k，且线段BC与DE之间的比例关系为b：c = k，那么线段AC与DE之间的比例关系为a：c = k。
二、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相似形状但不一定相等的三角形。
两个三角形相似的条件为它们对应角相等，并且对应边成比例。
如果有两个相似三角形ABC和DEF，我们可以记作ΔABC ∽ ΔDEF。
相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB：DE = BC：EF = AC：DF。
2. 相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 如果两个三角形的两个角相等，并且一对对应边成比例，那么它们是相似三角形。
4. 相似三角形的比例因子等于两个相似三角形任意两对成比例边的比值。
三、线段比例与相似三角形的关系线段比例与相似三角形之间存在紧密的联系。
当两个线段之间满足比例关系时，它们所在的三角形也是相似的。
具体而言，如果两条平行线段AB和CD之间的线段比例为a：b = k，那么通过连接这两个线段与CD的两个端点，我们可以构成两个相似三角形ABC和CDE，其中∠A = ∠C，∠B = ∠D。
这个性质也被称为对应角的性质。
根据相似三角形的性质，在相似三角形ABC和CDE中，对应边也成比例，即AB：CD = BC：DE = AC：CE = a：b = k。
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
比例线段 黄金分割 相似三角形
学科教师辅导讲义六．三角形重心的定义：证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
⑴)(,为中间比nm n m d c n m b a == ⑵'',,n n nm d c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
例题分析：例1：如图 4－85． AB ⊥于l. CD ⊥l 于 C,E 为 AD 中点．求证：△EBC 是等腰三角形．例2：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．例3：若25a c eb d f ===，求ac bd --，234234a ce b df +-+-4.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
5.已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE ，求证：MN =MB6、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则线段PA= ;7、已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AMAB AB AB AM =+。
线段比例定理与相似三角形
线段比例定理与相似三角形线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。
它们在几何学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍线段比例定理和相似三角形的定义、性质和应用。
一、线段比例定理线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等于被他们分割的两部分的比例。
具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列等式成立：AC/CB = AB为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。
考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。
根据线段比例定理，可以得出下列等式：AD/DB = AB/BC这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。
二、相似三角形相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不一定相等。
具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。
相似三角形可以通过比较对应边的长度比例来判断。
在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。
这个比例关系又称为“对应边比例定理”。
相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等；2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等；3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数；4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。
三、线段比例定理与相似三角形的应用线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴影和影子长度来计算物体的高度。
2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。
比例线段与相似三角形性质
比例线段与相似三角形性质中考要求重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习生活中几个有趣的黄金分割点报幕员应站在舞台宽度的0．618处的地方报幕最佳．将高清晰度电视屏幕的长与宽组成一条线段，取这条线段的黄金分割点，将线段分成两条线段，则屏幕的长与宽刚好接近16:9．人体有很多神秘的黄金分割点：肚脐刚好就是整个人体的黄金分割点；喉头刚好是头顶到肚脐的黄金分割点，膝关节是肚脐到脚的黄金分割点，肘关节是手指到肩部的黄金分割点．⨯=度时，身体会感觉最舒服．当人生活在正常体温37.50.61823.175国旗上的五角星是很美的几何图形，而其中由五条线段相交的五个点刚好是这条线段的黄金分割点．这些生活中的黄金分割点都是学者在日常生活中去探索、发现的，你是否也能给出几例你自己验证了得生活中的黄金分割点呢？例题精讲模块一 比例的性质☞比例线段1．,a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理); 4．ac a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5．a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6．a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理)．【例1】 若:2:3x y =，则下列各式不成立的是 （ ） A ．53x y y += B ．13y x y -= C ． 123x y = D ．1314x y +=+ 【难度】1星【解析】根据比例的性质公式：a c a b c d b d b d ++=⇔=；a c a b c db d b d--=⇔=可知,,A B C 正确，只有D 错误．【答案】D【巩固】若0234x y z ==≠ ，则23x yz+= ． 【难度】2星 【解析】设()0234x y zk k ===≠,则2,3,4x k y k z k === 所以有，23491344x y k k z k ++== 【答案】134【巩固】若:3:2a b =，:5:4b c =，则::a b c =（ ）A ．3:2:4B ．6:5:4C ．15:10:8D ．15:10:12【难度】2星【解析】可以把两个比中的b所占的份数变成相同的．:3:215:10a b==，:5:410:8b c==，即::a b c可求．∵:3:215:10a b==，:5:410:8b c==，∴::15:10:8a b c=．故选C【答案】CA．13B．2C．5D．3【难度】2星【难度】2星【解析】根据题意比例的合比性质，即可得出结果．由题意，32ab=，∴33325 aa b== ++故选C 【答案】CA．4B．3C．3D．7【难度】2星【解析】设37a bk =-，那么3a k -，7b k -，然后代入所求的代数式即可求出结果． 设37a bk =-， ∴3a k -，7b k -， ∴73433b a k k a k ----． 【答案】BA ．3 B ．5 C ．5 D ．5【难度】2星【解析】根据比例的等比性质直接即可得解．∵23a c b d ==， ∴23a c b d -==-， ∴23a cb d -=- 【答案】A【巩固】已知一张地图的比例尺是15000∶，若A 、B 两地的实际距离为250 m ，则画在地图上的距离是 ．【难度】2星【解析】根据公式：∵比例尺=图上距离∶实际距离，设图上距离为l∴有1=5000250l ()15()20l m cm == 【答案】5cm【巩固】已知a b ck b c a c a b===+++，则直线2y kx k =+一定经过（ ） A ．1第，2象限 B ．2第，3象限 C ．3第，4象限 D ．1第，4象限【难度】2星【解析】分情况讨论：当0a b c ++≠时，根据比例的等比性质，得：()122a b c k a b c ++==++，此时直线为112y x =+，直线一定经过1，2，3象限．当0a b c ++=时，即a b c +=-，则1k =-，此时直线为2y x =--，即直线必过2，3，4象限． 综合两种情况，则直线必过第2，3象限．【答案】B【拓展】若a b ct b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 D ．第三、四象限【难度】2星【解析】先根据等式求出t 的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即可．（注意有两种情况）．【答案】由已知得()b c t a +=；()c a t b +=；()a b t c +=，三式相加得：()2a b c t a b c ++=++，①当0a b c ++≠时，12t =； ②当0a b c ++=时，a b c +=-，1t =-．∴一次函数2y tx t =+为1y x =-+或1124y x =+∵1y x =-+过第一、二、四象限；1124y x =+过第一、二、三象限；∴一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是第一、二象限．故选AB ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变【难度】2星【解析】若甲∶乙∶丙=::a b c ，则甲占全部的a abc ++，乙占全部的b a b c ++，丙占全部的ca b c++．故选D☞黄金分割点A如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点． 设AC x =，则BC AB x =-，即有一元二次方程220x ABx AB +-=,根据公式法解得：x ，因为0x >，所以有x，即0.618AC AB AB =≈，0.382BC AB AC AB =-=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比． 【例4】 如图所示，在黄金分割矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中，分出一个正方形ABFE ，求FCCD ． F EDB AC【难度】1星 【解析】∵AB AC ，∴BC AB =．BC AB AB -=． ∵BC AB BC BF FC -=-=，AB CD =∴FC CD =．【答案】FC CD =【巩固】E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AD AE ，BE 交DC 于F．已知1AB =-，求CF 的长． 【难度】2星 【解析】∵AD AE∴DE AE =又∵DC AB ∥ ∴DE DFAE AB=，1AB∴4DF =∴3CF =【答案】3CF =模块二 平行线分线段成比例定理平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．AB C D E FFEDC B A当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，． A BCE F F ECB A【例5】 如图，小明站在C 处看甲、乙两楼顶上的点A 和点E C E A ，、、三点在同一直线上，点B D 、分别在点E A 、的正下方，且D B C 、、三点在同一直线上，B C 、相距20米，D C 、相距40米，乙楼BE 高15米，则甲楼AD 的高为（小明身高忽略不计） ( ) A ．40米 B ． 20米 C ． 15米 D ． 30米【难度】1星 【解析】BC BECD AD=20BC DB ＝＝ 15BE = ∴30AD = 【答案】 D【巩固】如图，在ABCD △中，DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =．（1）求ADAB的值； （2）求BC 的长．ABCD EEDCB A【难度】1星【解析】∵DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =∴41483AD AB ==+ ∴13AD DE AB BC == ∴9BC =【答案】13；9【例8】如图，在APM △的边AP 上任取两点B 和C ，过点B 作AM 的平行线交PM 于点N ，过点N 作MC的平行线交AP 于点D ，求证：AP PB PC PD =∶∶．PNMB C DA【难度】2星 【解析】略【答案】∵ND MC ∥∴PN PDPM PC=又由NB AM ∥得PN PBPM PA=∴PD PB PC PA =即PA PCPB PD=【巩固】如图， Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于G ，15AC = ，10BC =，求GE ．GABC DEP【难度】2星 【解析】略【答案】设正方形的边长为a ，则15-AD a = ∵DE BC ∥∴AD DE AC BC = 15-1510a a=解得6a =又在AFB △中GE BF ∥ 有GE AE DEBF AB BC==， GE AD BP AC =∴9415GE = 125GE =【巩固】如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．EDBA【难度】3星 【解析】略【答案】AD AE AD AEDE BC AB AC DB EC⇒==∵∥， 又510AB AC BD AE ===，， 1210AD AB AD DB AE AEAE AC AE EC AC AE AE=====--∴， 1101023AE AE AE =⇒=-∴【例5】如图，在平行四边形ABCD中，4AC=，6BD=，P是BD上的任一点，过点P作EF AC∥，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP x=，EF y=，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【难度】2星【解析】根据平行四边形的性质得到132OD OB BD===，根据平行线分线段成比例定理得到BP EFOB AC=和DP EFOD AC=，代入求出y与x的关系式，根据函数的图象特点即可选出答案．【答案】设AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴132OD OB BD===，当P在OB上时，∵EF AC∥，∴BP BF EFOB BC AC==，∴34x y=，∴43y x=，当P在OD上时，PFE DCBA同法可得：DP DF EFOD DC AC==，∴634x y-=，∴483y x=-+，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选C【例6】 如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 分别交中位线EF 于点H 、G ，且121EG GH HF =∶∶∶∶，那么AD BC ∶等于 ．HGFE DCBA【难度】2星【解析】∵根据平行线分线段成比例定理可得：EG 、GF 分别是ABD △和DBC △的中位线．那么2AD EG =，2BC GF =． ∴:21:[221]1:3AD BC =⨯⨯+=（）（）【答案】1∶3【巩固】已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a=，正确的作法是（ ）xab2bxab2bA ．B ．x2bbax2bbaC ．D ．【难度】2星【解析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a 、b 和2b ，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x ．【答案】由题意，22b x a = ∴2a bb x=，∵线段x 没法先作出， ∴B 选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，只有C 符合．故选C【拓展】在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分别交BM于G 、H 两点，求证：532BG GH HM =∶∶∶∶．MH G FECBAG'H'MH GFEC BA【难度】5星 【解析】略【答案】如图，过C 点作'CH AH ∥，交BM 的延长线于'H ，易证'CH AH =，'HM MH =；同样得'G ，可得''GH H G =，设BG x =，GH y =，HM z =，则'MH z =，''H G y =， 由平行线分线段成比例定理可知： 1222x x y z y z =⇒=++；2421x y x z y z +=⇒=-， ∴52x z =，32y z =， ∴532222AG GH HM z z z =∶∶∶∶，即532AG GH HM =∶∶∶∶模块三 相似三角形的性质☞对应角相似三角形对应角相等【例9】已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（ ）【难度】2星【解析】略【答案】∵AB是直径，∴C∠是直角，∴90A B∠+∠=︒，用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，所以在镜中看的角大小没有改变，∴90A B∠+∠=︒．故选A【巩固】如图，若ABC AED△∽△,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．EDCBA【难度】1星【解析】略【答案】ADE ACB∠=∠，DAE CAB∠=∠，AED ABC∠=，AE AD DE AB AC BC==☞对应边相似三角形对应边成比例【例10】三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之各是（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm【难度】3星【解析】最长边为21cm的三角形三边比例为357∶∶∵可设最长边为721x=3x=∴另外两边和3588324x x x+==⨯=故选D【答案】D【巩固】ABC △3，'''A B C △的两边长分别为1，若ABC △与'''A B C △相似，则'''A B C △的第三条边长 ．【难度】2星【解析】∵ABC △'''A B C △的两边1∴'''A B C △【答案】2【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为多少？【难度】3星【解析】根据相似三角形对应边成比例的性质．首先，以60cm 为一边时，另一端30cm 需要结成两段，构成不了三角形．其次，以30cm 为一边时，对应着ABC △的三边，可以有相似比23∶，53∶，21∶．当相似比为23∶ 时，其他两段需要用料165cm ，不符合题意．当相似比为53∶时，其他两段长度分别为12cm 和36cm ，可以．当相似比为21∶时，其他两段长度分别为10cm 和25cm ，可以截取．【答案】12cm 和36cm 或者10cm 和25cm ．☞中线、高线、角平分线相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比【例7】 如图ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，试证明：AB BC AC AMk A B B C A C A M====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA【难度】2星 【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△ ∴,'''''AB BCB B A B BC =∠=∠ 又∵AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线 ∴2''2''''''BC BM BM ABk B C B M B M A B ====【巩固】已知ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，则ABC △与DEF △的周长比为（ ）． 【难度】1星【解析】由于相似三角形的对应中线和周长的比都等于相似比，由此可求出两三角形的周长比． 【答案】∵ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，∴它们的相似比为2:3；故ABC △与DEF △的周长比为2:3【巩固】若两个相似三角形的相似比是2:3，则这两个三角形对应中线的比是（ ）． 【难度】1星【解析】根据相似多边形的性质，对应边之比相等可得．【答案】相似三角形对应中线的比等于相似比，因而对应中线的比是2:3【例8】 如图ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，求证：AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '【难度】2星 【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△∴2'''ABC A B C S S k =△△∶，即有211''''22BC AH B C A H k ⋅⋅=∶又∵''BC k B C =，2''''BC AHk B C A H =∴''AHk A H =【解析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比即可求解．【答案】∵12h h=相似比，∴22112s h s h ⎛⎫= ⎪⎝⎭【巩固】如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形的相似比为（ ）． 【难度】1星【解析】相似三角形的一切对应线段（包括对应高）的比等于相似比，由此可求得这两相似三角形的相似比．【答案】∵两个相似三角形对应高的比为5:4，∴它们的相似比为5:4【例9】 如图ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． D 'D A 'B 'C B A【难度】2星 【解析】略【答案】∵'''ABC A B C △∽△ ∴''','BAC B A C B B ∠=∠∠=∠又∵AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线∴11,''''''22BAD BAC B A D B A C ∠=∠∠=∠∴''','BAD B A D B B ∠=∠∠=∠ ∴'''ABD A B D △∽△ ∴''''AB ADk A B A D ==【巩固】两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:8 【难度】【解析】两个相似三角形的相似比等于对应高的比，也等于对应中线的比． 【答案】∵两个相似三角形对应高之比为1:2；∴两个相似三角形的相似比为1:2； ∴它们对应中线之比为1:2． 故本选A☞周长比 、面积比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 【例10】 如图1，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图2【例11】 若ABC DEF △∽△，它们的面积比为41∶，则ABC DEF △∽△的相似比为（ ） A ．2:1 B ．1:2 C ．4:1 D ．1:4 【答案】1星【解析】由ABC DEF △∽△与它们的面积比为4:1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得ABC △与DEF △的相似比．【答案】∵ABC DEF △∽△，它们的面积比为4:1，∴△ABC 与△DEF 的相似比为2:1． 故选A【例12】 已知'''ABC A B C △∽△，它们的相似比是23∶，ABC △的周长为6，则'''A B C △的周长为（ ）． 【难度】1星【解析】利用相似三角形的周长的比等于相似比列式求解．【答案】∵ABC △的周长：'''A B C △的周长23=∶，ABC △的周长为6；∴'''A B C △的周长3692⨯==【巩固】若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（ ） A ．12∶ B ．14∶ C ．15∶ D ．116∶ 【难度】1星 【解析】略．【答案】∵两个相似三角形的面积之比1:4；∴它们的相似比为12∶； ∴它们的周长之比为12∶ 故选A【例13】 已知ABC DEF △∽△，且12AB DE =∶∶，则ABC △的面积与DEF △的面积之比为（ ） A ．12∶ B ．14∶ C ．21∶ D ．41∶ 【难度】1星【解析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求． 【答案】∵ABC DEF △∽△，且相似比为1:2；∴其面积之比为1:4；故选B【例14】 在ABC △和DEF △中，2AB DE =，2AC DF =，A D ∠=∠．如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次是 ．【难度】2星【解析】根据周长比等于相似比，面积比是相似比的平方． 【答案】8；3【巩固】如图，已知D E 、分别是ABC △的AB AC 、边上的一点，DE BC ∥，且1:3ADEDBCE S S △四边形∶＝，那么AD AB ∶等于（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23 ABCDE【难度】3星【解析】∵1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝∴1:4ADE ABC S S △∶＝△∴AD AB ∶=1:2【答案】C【拓展】如图，在ABC △中，,DE FG BC GI EF AB ∥∥∥∥．若ADE △、EFG △、GIC △的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则ABC △的面积为 ．GIH FA BCDE【难度】3星【解析】由三角形的面积，可知234AE EG GI =∶∶∶∶，所以29AE AC =∶∶，即481S ADE S ABC =△∶△∶，根据20S ADE =△，所以405S ABC =△．【答案】2405cm☞三角形相似的综合【例15】 一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高的长为225cm ．．现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张第1张第2张【难度】3星【解析】如图，作AD BC ⊥于点D ，交第n 张纸条于点E ，3,,DE n AE GH =⊥则AGH ABC △∽△，∴GH AE BC AD =即1322.53522.5n-=，解得6n = 【答案】C ．B第2张第1张【巩固】如图所示，路边有两根电线杆AB CD 、，其中 3 AB m =， 6 CD m =，用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处距离地面的高度MH ．H MAB CD EF【难度】2星【解析】由两步相似倒出边与边之间的比例关系．∵ MH AB ∥ ∴DH MHDB AB =① MH CD ∥ BH MHBD CD=② ①+②：136MH MH=+∴2MH cm =【答案】2cm【拓展】 如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想． E DBACO【难度】4星 【解析】（1）当11211AE EC ==+时，22321AO AD ==+； （2）当11A 312AE C ==+时，21222AO AD ==+；当1A 4AE C =时，22532AO AD ==+． （3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n=+， 证明方法比较多，选择两种介绍：如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵11AE AC n =+ ∴CE nAE =，122nEF CE AE == ∵//DF BE ∴222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+OFCABDE另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故22AO AD n=+． 【答案】（1）23AO AD =；（2）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+模块四 位似位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -． 位似的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． （2）位似图形的对应线段的比等于相似比． （3）位似图形的周长比等于相似比． （4）位似图形的面积比等于相似比的平方．【例16】 如图，下列各组图形中是位似图形的为 ()OABCDEDE BC ∥（1） （2） （3） （4）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（2）（3）【难度】1星【解析】根据位似图形的定义：位似图形是指两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行的两个图形，对应点连线的交点叫做位似中心．将每一个图形的对应点连接起来，看是否交于一点，这样排除()3，其次判断符合条件的图形是否是相似图形．所以答案选B ．【答案】B【巩固】如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为,a b （），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）第3题图A ．,2a b --（）B ．()2,a b -C ．()2,2a b --D ．()2,2b a --【难度】1星【解析】解此题运用的方法就是找特殊点．由图中可见，每个小正方形的边长为1，可推知小“鱼”较长的鳍的顶点坐标为()5,3，则位似图形中的对应点的坐标为()10,6--，小“鱼”较短的鳍的顶点坐标为()3,2-，则位似图形中的对应点的坐标为()6,4-，由此可知，当某小“鱼”上某个“顶点”坐标为,a b （）时，位似图形中的对应点的坐标为()2,2a b --．【答案】C【巩固】如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，23AB FG =∶∶，则下列结论正确的理 （ ） A ．23DE MN = B ．32DE MN = C ．32A F ∠=∠ D ．23A F ∠=∠ABCD ENMHGF【难度】1星【解析】由两图形位似，有23AB DE FG MN ==． 【答案】B【巩固】判断满足下列关系的AOC △与BOD △是否是位似图形，如果是，请指出位似中心．（1）如图1所示，AB CD 、相交于点O ，且,ABC ADC AD CB ∠=∠=； （2）如图2所示，AB CD 、相交于点O ，且B A ∠=∠．图2图1ABCDOOABCD【难度】1星【解析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．【答案】（1）AOC △与BOD △是位似图形，位似中心为O 点；（2）AOC △与BOD △是位似图形，位似中心为O 点．【例17】 七边形ABCDEFG 位似于七边形A B C D E F G '''''''，它们的面积之比为49∶,已知位似中心O 到A点的距离为6，那么O 到A '的距离为多少？【难度】1星【解析】由面积比为49∶，得位似七边形对应边的比为23∶，所以位似比为23∶，所以O 到A '的距离为9． 【答案】9【巩固】如图，ABC △与'''A B C △是位似图形，点A 、B 、'A 、'B 、O 共线，点O 为位似中心．（1）AC 与''A C 平行吗?试说明理由； （2）若''AB A B ＝２，'5OC =，求'CC 的长．C ,B ,A ,AB CO【难度】1星【解析】（1）由位似图形的性质（2）∵两三角形是位似三角形∴''''A B OA OC AB OA OC==又''AB A B ＝２，所以'OC OC =12，∴10OC =,'1055CC =-= 【答案】平行；5【拓展】如图，在平面直角形坐标系中，正方形22223333A B C D A B C D 、都是由正方形1111A B C D 经过位似变换得到的，点O 是位似中心．(1)你能找出正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比是2的位似图形吗？ (2)正方形4444A B C D 是正方形3333A B C D 的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)由正方形3333A B C D 得到它的位似图形正方形1111A B C D ，求相似比；(4)我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四条边上的整点个数．猜测：正方形1111A B C D 以O 为位似中心，相似比为10的位似图形10101010A B C D 的四条边上整点个数之和是多少？【难度】2星【解析】（4）正方形1111A B C D 四条边上整数点的个数为4，正方形2222A B C D 四条边上整数点的个数为8，正方形3333A B C D 四条边上整数点的个数为12，根据数学归纳法可推知，正方形n n n n A B C D 四条边上整数点的个数为4n 个，所以正方形10101010A B C D 四条边上整数点的个数为40．【答案】正方形2222A B C D ；是，4:3；3:1；40．课堂检测1． 已知：234x y z==．求33x y z x y -+-． 【难度】3星 【解析】设2,3,4234x y z k x k y k z k ===⇒===，代入33x y z x y -+-中得原式113- 【答案】113-2． 如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC = cm ，DC = cm ．CD【难度】3星【解析】点C 是靠近点B 的黄金分割点，∴:AC AB，即8040AC AB ===，又∵点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴40BD =，∴8080160DC AC BD AB =+-=-=【答案】40；1603． 如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当1134AE AC =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想． E DBACO【难度】4星 【解析】（1）当11211AE EC ==+时，22321AO AD ==+； （2）当11A 312AE C ==+时，21222AO AD ==+；当1A 4AE C =时，22532AO AD ==+． （3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n=+， 证明方法比较多，选择两种介绍：如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵11AE AC n =+ ∴CE nAE =，122nEF CE AE == ∵//DF BE ∴222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+OFCABDE另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故22AO AD n=+． 【答案】（1）23AO AD =；（2）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =；（3）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+课后作业1． 已知：a cb d=，求证：ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项． 【难度】2星 【解析】略【答案】讲解此题时．老师可先引导学生回顾比例中项的定义：如果a cb a=，那么a 是b 、c 的比例中项．由a cad bc b d=⇒=， 而22222222222222222()2()()ab cd a b c d abcd a b c d a d b c a c b d +=++=+++=++ 故ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项．2． 已知：b c a c a bk a b c+++===，则k = ． 【难度】2星【解析】当0a b c ++≠时，由等比性质得()22a b c b c a c a b k a b c a b c+++++++===++++；当0a b c ++=时，即b c a +=-，则1b c ak a a+-===-，综上所述，k 的值为2或1-． 【答案】2或1-3． 已知135x y z =∶∶∶∶，求33x y zx y z+--+的值．【难度】3星 【解析】解法一：设135x y zk ===，则35x k y k z k ===，，．∴39553953x y z k k k x y z k k k +-+-==--+--． 解法二：由135x y z =∶∶∶∶得35y x z x ==，．∴39553953x y z x y x x y z x x x +-+-==--+-+．【答案】53-4． 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=__ ___ __． MECBA【难度】3星【解析】先介绍常规的解法：BCFE DMA BCFED M A如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =∴2BF EF= ∵//CF DE ∴2BC BFCD EF== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．31 以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看ABC ∆为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA ⋅⋅= 又14AE AB =，AM CM =，故32BD BC DC CD=⇒= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．【答案】25．用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ）①三角形的每个角都扩大10倍； ②三角形的每条边都扩大10倍；③三角形的面积扩大10倍； ④三角形的周长扩大10倍．A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③【难度】1星【解析】略【答案】①三角形的每个角不会变化，故错误；②三角形的每条边都扩大10倍，故正确③三角形的面积会扩大10倍，故错误；④三角形的周长会扩大10倍，故正确．故选C。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
第一讲相似三角形——比例线段
第一讲 相似三角形——相似与比例线段第一课时一．放缩与相似 1. 相似形的概念一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。
我们把形状相同的两个图形叫做相似形。
2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠CBCC B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。
【典型例题】1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为 千米。
【同类变式】2. 在地图上，都标有比例尺。
现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个（1）有一个角是100o的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。
【同类变式】6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。
求矩形ABCD 的面积。
7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。
初三相似三角形知识点以及经典例题
初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。
它是相似多边形中最简单的一种。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段就是成比例线段，简称比例线段。
需要注意的是，比例线段是有顺序的，而且有比例式的定义。
在比例式中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后项。
如果b=c，即a：b=c：d，那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。
比例有一些基本性质和定理。
比如，a:b=c:d等价于ad=bc；a:b=b:c等价于b=ac/b；同时，比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。
需要注意的是，由一个比例式只能化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d等。
比例线段也有一些相关定理，如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。
其中，三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
例题1：已知线段a=6 cm，b=2 cm，则a、b、a+b的第四比例项是18 cm，a+b与a-b的比例中项是3 cm。
例题2：若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a)，则m=1.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号“∽”表示，读作“相似于”。
对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
相似三角形对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有三个等价关系：反身性、对称性和传递性。
反身性是指任何三角形都与自己相似。
线段比例定理与三角形的相似性应用解析
线段比例定理与三角形的相似性应用解析线段比例定理是解决几何问题中常用的原理之一，它在求解线段的长度比例时起到了重要作用。
三角形的相似性应用则是在解决三角形问题时的关键概念，它可以帮助我们简化计算过程，得到更加准确的结果。
本文将详细介绍线段比例定理与三角形相似性应用的概念和具体解析方法。
一、线段比例定理线段比例定理是指在一个平面内，若点D在线段AB上，AD与DB 的比等于点C在线段AB上AC与CB的比，则有AD/DB = AC/CB。
这个定理通过比例的概念，帮助我们计算线段的长度比例，进而解决实际问题。
例题1：已知线段AB与线段CD的比为3:5，线段DE与线段BC 的比为4:9，求线段AE与线段AC的比。
解析：根据线段比例定理，我们可以得到AB/CD = 3/5，DE/BC = 4/9。
将两个等式相乘，得到(AB/CD)*(DE/BC) = (3/5)*(4/9)，即(AB*DE)/(CD*BC) = 12/45。
移项后可得到(AB*DE)/(AE*CD) = 12/45。
同理可以得到(AE*AC)/(CD*AC) = 3/5。
由此可得(AE*AC)/(AE*CD) = 3/5，即AC/CD = 3/5。
最终我们得到线段AE与线段AC的比为3:5。
二、三角形的相似性应用三角形的相似性应用是指在两个或更多个三角形之间存在一定的比例关系，从而可以通过已知条件求解未知量。
三角形相似性应用在实际问题中有很多应用，比如求解高空物体的高度、测量难以到达的距离等。
例题2：如图所示，∠A = ∠D，∠B = ∠E，AB/DE = 3/5，AC = 12cm，求线段DF的长度。
（图示：三角形ABC和三角形DEF重合在角A和角D上，AC为线段AB的割线）解析：根据已知条件，我们可以得到三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 3/5。
由线段比例定理可得AC/DF = AB/DE，即12/DF = 3/5。
通过交叉相乘避免分数相除，我们可以得到3DF = 5*12。
相似三角形基本知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似多边形：如果两个边数的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．2.成比例线段：在四条线段a,b,c,d 中，如果d c b a ::=，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的基本性质：cb ad dcb a =⇔=（內项之积等于外项之积）； 4.三角形相似的判定方法①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． ⑥判定直角三角形相似的方法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：相似三角形常见的图形①.称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”如上图） ②.其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC ③.称为“垂直型”④.∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
几种基本图形的具体应用： （1）若DE ∥BC 则△ADE ∽△ABC（2） 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD ；（3）当ABAEAC AD 或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ．5.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．A BCDE12AABB C C DD E E12412B BEACD12。
相似三角形知识点总结(初中数学)
图形的相似知识点一、比例的基本性质1.有关概念：如果d c b a ::=或dc b a =，那么a,b,c,d 成比例，其中b,c 称为比例内项，a,d 称为比例外项。
2.（1）若dc b a =，那么bc ad =。
（2）反比性质： a c b d b d a c=⇔=。
（3）合比性质：若d c b a =，那么dd c b b a ±=±。
（4）等比性质：若)0(≠+++===n d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 。
知识点二、成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段。
知识点四、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC,BC （AC>BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，即AB AC AC BC =或2AC AB BC =⋅，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点． ==AB AC AC BC 618.0215≈-，称为黄金分割比。
知识点五、平行线分线段成比例的基本事实1.两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线截得的线段也相等。
如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC,DF 被直线l 1,l 2,l 3截得的线段分别为AB ，BC 和DE ，EF ，若AB=BC ，则DE=EF 。
2.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC,DF 被直线l 1,l 2,l 3所截，那么DFEF AC BC DF DE AC AB EF DE BC AB ===,,。
知识点六、相似图形1.相似图形定义：直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的。
相似的图形特点：形状相同，但大小不一定相等。
2.相似三角形的有关概念（1）定义：我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形（如图所示）；（2）表示方法：ABC ∆和C B A '''∆相似，记作C B A ABC '''∆∆∽,读作ABC ∆相似于C B A '''∆，符号“∽”读作“相似于”。
相似三角形对应线段成比例在物理教学中的应用
相似三角形对应线段成比例1.在综合实践活动中，科技小组设计了一个能反映水平风力大小的装置，如图甲所示，电源电压恒为16V，R0为定值电阻，L为额定电压是2.5V的小灯泡，其I-U关系的部分数据如图乙所示，AB 为长14cm、阻值60Ω粗细均匀的电阻丝（电阻丝的阻值与长度成正比），OP为质量、电阻均不计的金属细杆，下端连接一个重2N的圆球P．闭合开关S，无风时，OP下垂并与A端接触，此时电流表示数为0.2A；有风时，OP绕悬挂点O转动，风对球的作用力F方向始终水平向右，已知OA为10cm，OP始终与AB接触良好且无摩擦；求：（1）电流表示数为0.2A时，灯泡的电阻为______Ω；（2）无风时R0消耗的电功率。
（3）为保护电路，允许风对球施加的最大作用力。
2.2.【答案】解：（1）由图可知，灯泡、定值电阻R0和电阻丝串联；因串联电路电流处处相等，所以，当电流表示数为0.2A时，通过灯泡的电流为0.2A，由图乙可知此时灯泡两端的电压为1V，则根据I= 可得，灯泡的电阻：R L= = =5Ω；（2）无风时，OP下垂并与A端接触，电阻丝接入阻值最大为60Ω，根据I= 可得，电阻丝两端的电压：U AB=IR AB=0.2A×60Ω=12V，根据串联电路中总电压等于各分电压之和可得，R0两端的电压：U0=U-U L-U AB=16V-1V-12V=3V，则此时R0消耗的电功率：P0=U0I=3V×0.2A=0.6W；（3）根据I=可得R0的阻值：R0===15Ω；由于灯泡的额定电压为2.5V，则电路中最大电流等于灯泡正常工作时的电流，由图乙可知最大电流为I′=0.3A，此时风对球的压力最大，OP绕O转动的角度最大，设此时OP与AB的接触点为C，则根据欧姆定律可得，R0两端的电压：U0′=I′R0=0.3A×15Ω=4.5V，因串联电路中总电压等于各分电压之和，所以R BC两端的电压：U BC=U-U额-U0′=16V-2.5V-4.5V=9V，根据I=可得此时电阻丝连入电路的电阻：R BC===30Ω；由于电阻丝的电阻与电阻丝的长度成正比，则：=，所以，BC=×AB=×14cm=7cm，则AC=AB-BC=14cm-7cm=7cm，如右图，把OP视为一根杠杆，F的力臂为OD，G的力臂等于PD，根据杠杆平衡条件可得：F×OD=G×PD，则：=；由于△OAC∽△ODP，根据相似三角形的知识可得：=，所以，=，则：F==×2N=1.4N。
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讲义
4、如图5.1-2，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，
AB
AD
＝
AC
AE
＝
BC
DE
＝
3
2
，且△ABC与△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.
8、已知
c
b
a+
=
a
c
b+
=
b
a
c+
＝x求x
及时训练
例1 如图已知BE
AB
=ME
AM
=CE
AC。
5、已知5:4:2
:
:=
c
b
a，且6
3
2=
+
-c
b
a，
求c
b
a2
3-
+的值。
6、已知
8
7
5
c
b
a
=
=，且20
=
+
+c
b
a，
求c
b
a-
+
2的值。
7、若
6
5
4
3
2+
=
=
+c
b
a
且21
3
2=
+
-c
b
a，
试求c
b
a:
:
求证：BC CA
BC
AB+
+
=ME
AE
2 如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证GF＝FB．
相似三角形
基本定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
判定方法
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF 相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，
那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
例题演练
1、如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ）
A
35=+y y x B 31=-y x y C 312=y x D 4
3
11=++y x 2、如图：在△ABC 中,若DE ∥BC,
AD DB =1
2
,DE=4cm,则BC 的长为（ ） A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
3、如图：点D 在△ABC 的边AB 上，连接CD ，下列条件：○1B ACD ∠=∠ ○2ACB ADC ∠=∠ ○
3AB AD AC ⋅=2 ○4BC AC CD AB ⋅=⋅,其中能 判定△ACD ∽△ABC 的共有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
4、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A 4.8米 B 6.4米 C 9.6米 D 10米
及时训练
1、如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ， 交AD 于F ．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一 对相似三角形，并说明理由．
2、如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、B 均在格点上，且O 是直角坐标系的原点，点A 在x 轴上．
（1）以O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的△11B OA 与△OAB 对应线段的比为2∶1，画出△11B OA （所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）． （2）求出线段11B A 所在直线的函数关系式．
3、如图：路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
4、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了
E
A
D B
C 2题图
A
B
D
C
3题图
P
O B N A M
以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。
请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案。
（1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图； （3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据 （用小写字母表示）求出x.
5、如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．
（1）求证: ∆ADE ∽∆BEF ；
（2） 设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．
当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．
6、如图，在△ABD 和ACE 中，AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE ， 连接BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G ．
（1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由； （2）如果∠ABC =∠CBD ，那么线段FD 是线段F G 和 FB 的比例中项吗？为什么？
7、已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？
（2）设AQP △的面积为y （2
cm ），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存
B
D
C
A G
E
F。