北京理工大学机车学院理论力学专业课课件工程力学总复习

工程力学第1—3章运动学研究对象：机构 — 物体 + 接触点（约束） 研究问题：已知主动件的运动 求从动件的运动求解结果： 点的轨迹、曲率半径、速度、加速度； ：点的轨迹、曲率半径、速度、加速度；刚体的角速度和角加速。

分析描述法 ——建立坐标系，由已知条件列 写运动方程，基于运动方程进行 求解方法： 求解。

矢量描述法 ——通过刚体上不同点间的速度 、加速度所满足的矢量方程进行 求解。

第1—3章 注意 ˆ分析法运动学必须在一般位置建立运动方程； 方程可能是显函数形式、也可能是隐函数形式； 注意运动方程对时间的导数与所求量间的关系 ˆ矢量法 当运动方程不易建立，或只求某瞬时的运动量用矢量法； 注意正确判断刚体的运动形式（平移和瞬时平移；转动 和瞬时转动的区别和联系），熟知其上各点速度、加速 度的计算式和关系；第1—3章 注意 ˆ矢量法运动学一定要根据具体问题列写相应的矢量方程F 两物体的接触点固结在一起，无相对运动——该接触点有惟一的轨迹、速度、加速度。

——满足第2章 刚体的平面运动的矢量关系F 两物体的接触点未固结在一起，有相对运动——该接触点实际为两个物质点，这两点的轨迹、 速度、加速度一般不完全相同。

——满足第3章 复合运动的矢量关系第1—3章 注意 ˆ矢量法运动学解矢量方程得到所要求的未知量；F 根据已知条件和运动学知识，将方程各量所反映的方位关系以矢量图的方式表示出来F 根据所画出矢量图，求解矢量方程——几何法，解三角形的方法； ——解析法，将矢量方程沿某一轴投影，得到代数方 程后进行求解的方法。

第1—3章运动学¾ 刚体平面运动 一般平面运动：公式vB= vA+ vBAαvB vAv BABt a BAn a BAt n aB = a A + aBA + a BAaA速度(点的速度、图形的角速度)： 基点法、瞬心法、速度投影定理、直接求导法。

BAvA ωaB加速度(点的加速度、图形的角加速度)： 基点法、瞬心法、直接求导法ω,αaAAaBC¾任意两点之中点速度、加速度vC = 1 (vA + vB ) 21 aC = (aA + aB ) 2第1—3章 注意运动学t a MOˆ圆轮在固定水平面上作纯滚动 若圆轮半径r ，圆轮的角速度 ω ，角加 速度 α 则圆轮轮心O的速度vO，加速度aO大小v O = rω , a O = rαMα ωn a MOvMO v a O O PaP轮缘上任意M点的速度、加速度：t n t n t n 注意 aM ≠ aMP + aMP ≠ aMO + aMO aM = aO + aMO + aMOvM = PM ⋅ ω方向⊥ PM，与ω转向一致速度瞬心P点的加速度： aPn a P = a PO= aO + a+a = rω 2t POn PO=an PO=at P注意速度瞬心点 P 的加速度不为零。

的加速度不为零第1—3章 注意运动学ˆ圆轮在固定凸圆面（凹圆面）(半径R)上作纯滚动 若圆轮半径r ， 圆轮的角速度 ω ， 角加速度 αn α aOαωO PvOt OaωvOt aOOn a P O则圆轮轮心O的速度，加速度vO = rω , vO = rω ,凹圆面dvO = rα a = dtt O凸圆面t aO =dvO = rα dt2 vOr 2ω 2 = a = ρ R−rn O 2 vOr 2ω 2 a = = ρ R+rn O第1—3章运动学¾ 点的复合运动三个对象: 动点、动系、定系 三种运动: 绝对运动、相对运动、牵连运动 速度合成公式va = ve + v r加速度合成公式aa = ae + a r + ac第1—3章运动学¾动点、动系的选取原则原则之一： 动点，动系，定系不在同一刚体上。

原则之二： 1.动点相对于动系必须有相对运动。

2.动点在动系中的相对轨迹应为已知 （尤其是ρr )。

第1—3章运动学¾ 动点的常用选取方法选不变的接触点 明显的动点 套筒作定轴转动，选三种运动相对简单的 点为动点 无不变的接触点，选相对轨迹清楚的点 相交点的运动问题第1—3章 注意运动学牵连速度、加速度的物理意义？ 牵连速度、加速度是动参考系（刚体）上与点M重合的点 N（牵连点）的瞬时加速度。

一般情况：ve = v N = vO′ + v NO′ = vO′ + ωe × r ′t n ae = a N = aO′ + a N + a O′ NO ′第1—3章 注意运动学科氏加速度的物理意义？ 科氏加速度的产生是由于相对运动与牵连运动的相互影响， 即耦合作用而引起的。

′ 2 ω e v r sin θ = 2 ω e v r ⎧大 小 ： aC = 2ω e × v r ⎨ ⎩方 向 ： ω e , v r , a C 构 成 右 手 系 1)牵连运动为平移ωeθ∵ ωe ≡ 02)某瞬时⇒ aC ≡ 0vr′ vr⎧ω e = 0，或 v r = 0 ⎫ ⎨ ⎬ ⇒ aC = 0 ⎩ω e // v r , 即 θ = 0 ⎭aC第 5— 7章矢量静力学ˆ受力分析明确研究对象，取分离体，画出其上所受全部外力 ——主动力和约束力。

根据约束的特点画出约束力，不要根据自己对物体运动状态 根据约束的特点画出约束力 或平衡的想象画约束力。

若已知力的方向，必须画真实方向； 若已知力的方位，必须画真实方位；若力的方向未知，常用大 小未知，方位已知的正交分力表示。

不要漏画约束力或约束力偶（如固支端约束）。

系统内部各物体间的相互作用力要体现出作用力与反作用力。

注意所给系统中是否有二力体。

第 5— 7章矢量静力学ˆ力系简化计算力系的特征量 力系的主矢量 F R = ∑ F ii= 1 n力系的主矩M O = ∑ M O ( Fi ) = ∑ ri × Fii =1 i =1nnF 力的投影 F 力对点之矩，力对轴之矩，轴矩与点矩的关系 F力系对不同两点的主矩关系M B = M A + BA × FR第 5— 7章矢量静力学ˆ力系简化最简力系第二不变量 第一不变量 主矩 简化结果 说明1 2FR ≠ 0FR ⋅ M O = 0MO = 0通过简化中心 合力 通过 B,MO ≠ 0 M O ⊥ FROB =合力偶 平衡 力螺旋FR × M O FR 23 4 5 FR ⋅ M O ≠ 0FR = 0MO ≠ 0 MO = 0 MO ≠ 0与简化中心无关 平衡力系FR ≠ 0( FR , M P ) 力螺旋中 心轴过 B；P 中心轴 F ×M 上任意点. OB = R 2 OMP =FR ⋅ MO FR = MB 2 FR FR第 5— 7章矢量静力学 qFˆ力系简化同向线分布载荷的合力 工程上常见的分布载荷： 1) 均布载荷 F = ql , xC = l / 2 2) 三角形载荷2 F=1 q l , x = l C 2 0 3xCFq0xC3) 梯形载荷F1 = q1l , xC1 = l 2 F2 = 1 (q2 − q1 )l , xC 2 = 2 l 2 3q1xC1F1F2q2xC2第 5— 7章矢量静力学ˆ力系平衡方程的应用力系的平衡条件 力系平衡的 充要条件 MO = 0 力系的平衡方程FR = 0F 空间一般力系平衡方程∑Fi =1 n i =1nix=0 , =0 ,∑Fi =1 n i =1niy=0 ,iy∑Fi =1 n i =1niz=0iz——基本形式∑Mix∑M=0 ,∑M=0第 5— 7章矢量静力学ˆ力系平衡方程的应用力系的平衡方程F 特殊力系平衡方程平面一般力系平衡方程∑F = 0 , ∑F = 0 , ∑M = 0 一矩式 (标准形式) ∑F = 0 , ∑M = 0 , ∑M = 0 AB连线与x轴不垂直 ∑M = 0 , ∑M = 0, ∑M = 0 A、B、C三点不共线x y Ax A B二矩式 三矩式ABC平面汇交力系，汇交点：A∑F x = 0, ∑ F y = 0B∑F = 0 , ∑M = 0 AB连线与x轴不垂直 ∑M = 0, ∑M = 0 A、B、C三点不共线xBC第 5— 7章矢量静力学ˆ力系平衡方程的应用力系的平衡方程F 特殊力系平衡方程平面力偶系∑Myi=0平面平行力系（与y轴平行）∑F = 0 , ∑MA=0∑MA= 0,∑MB=0力的作用线 // AB力系平衡方程的应用应用力系平衡方程所解决的问题F 桁架的内力F 静定的刚体系结构平衡时的约束力F 求解系统条件平衡时所满足的关系，如位置或主动力之间的关系F 考虑摩擦时刚体系统的平衡问题力系平衡方程的应用平衡问题的解题步骤F正确选取研究对象，取分离体，画受力图；F建立直角坐标系，列写平衡方程。

力矩轴应和尽量多的未知力相交或平行；F对于平面一般力系的刚体平衡问题，除了一矩式外，应学会灵活应用其它两种形式。

对于空间一般力系的刚体平衡问题，一般应用三个力的投影式及三个力矩式；F解平衡方程式，最好先用文字符号表示求解结果，并用量纲校核后，再代入数据求出数值解。

力系平衡方程的应用注意解题前，先找出系统中的全部二力体（杆）画受力图时，必须考虑摩擦力；解题方法：①解析法②几何法除平衡方程外，增加补充方程——物理条件。

临界平衡：一般平衡：所得结果是一个范围f,max s N f,或F f F ϕϕ=⋅=f f,max s N f ,或F F f F ϕϕ≤=⋅< 求解有摩擦的平衡问题的特点虚功方程11δ0nni i i i i δ==′=⋅=∑∑W F r虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在给定位置能继续保持静止平衡的充分必要条件是：主动力系在该位置的任意虚位移上所作的虚功之和等于零，即：——虚功方程虚功的计算δδW ′=⋅F rδδδδ′=++x y z W F x F y F z常见力的虚功重力的虚功δδW mg z′=−弹性力的虚功δδW k λλ′=−作用于刚体上力系的功ϕϕ′=⋅+=δδδδR A Az Pz W F r M M ϕϕ′=⋅+=δδ()δ()δA Az Pz W F r M F M F求虚位移关系坐标法虚速度法（几何法）),,2,1(n i =),,,,(21t q q q r r k i i =1δkii s ss r r q q δ=∂=∂∑等时变分约束方程：(,)0i j f r t=δ0ni j jjf r r∂⋅=∂∑等时变分(1,2,,)i l =由刚体上点的虚速度关系得到各点虚位移关系求虚位移关系刚体的虚位移和刚体上点的虚位移刚体虚位移—刚体在某瞬时发生的，满足约束的，任意一个假想的无限小位移。