计量经济学及其应用：第6章
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变换得
E(u ) X i
2 i 2 i
Yi Xi ui 1 0 1 Xi Xi Xi Xi
（6-15）
此时
ui Var (ui ) 1 2 Var X i 2 （6-16） X Xi Xi i
模型同方差，可用OLS法估计
（2） Goldfeld-Quant检验 首先，对解释变量进行排序。在工作文件下，点击 Procs/Sort Series，将出现如图6-4的对话框。
左图中，Ascending表示 升序排列，Descending 表示降序排列。在空白 处键入需要排序的变量 名就可以实现排序。本 例中，需要对解释变量 进行排序，因此，在空 白处键入“price”，并 按升序排列，点击“OK” 后就实现了对应解释变 量的排序。
图6-3 e2和REG散点图
从图6-3可以看出，散点图的点主要分布在左下角，大 致可以看出，残差平方 ei2 随REG增大似乎呈现变大的趋 2 势。用同样的方法，可以发现 ei 随PRICE的增大也随之 增大。因此，我们可以认为模型很可能存在异方差性。但 这只是一种直观的判断，模型是否真的存在异方差性，还 需用其他方法进一步检验。
（5）提出假设 i 是同方差的，即两个子样本的随机干扰 H0 ： 项方差相等 i 是异方差的，即两个子样本的随机干扰 H1 ： 项方差不相等 （6）进行F检验，根据结果判断是否有异方差：
2 2i
nc e / ( 2 k 1) e22i n c nc F F( k 1, k 1) （6-6） 2 nc e1i 2 2 2 e / ( k 1) 1i 2
F
2 e 2i 2 e 1i
3866128 20.08 192511.5
在5%的显著水平下，查分子和分母自由度均为17的F 分布表得 F0.05 2.48 。由于 F F0.05 ，所以拒绝原假设， 认为模型存在异方差性。 同理，可以对变量REG影响异方差的主要因素，进行 Goldfeld-Quant异方差检验。
• 步骤 2 （1）先对该模型进行OLS回归，得到 ei ， （2）如下辅助回归： 2 2 2 ei ＝0 1 X1i 2 X 2i 3 X1i 4 X 2i 5 X1i X 2i＋ui
（6-10）
2 2 R nR （3）计算统计量 ，其中n为样本容量， 为 辅助回归的可决系数。 在同方差假设下， （k为解释变量个 nR2 2 (k ) 数） 如果算得的统计量 nR 2 超过选定显著性水平下 的 2 临界值，则认为原线性回归模型中存在 2 2 异方差性。如果 nR 不超过 ，则认为原模型 中不存在异方差性，即在辅助回归中 1 2 3 4 5 0 。
Yi 0 1 X i i
（1）已知 Var (i ) E(ui2 ) i2 ，则
i
Yi 0 (
*
（6-11）
1
i
* 0
) 1 (
i
Xi
)(
*
i
ui
)
（6-12） （6-13）
即 此时
Yi 1 X i ui
ui )2 E (ui2 )
按照第1章讲述的数据录入方法，将数据录入EViews， 在工作文件窗口中按先后顺序，选中PCON，REG， PRICE，点右键Open/as Equation，点击“OK”；或在 主菜单下，选择Quick/Estimate equation，键入“PCON REG PRICE c”，点击“OK”，便得到以下的结果。
（2）假设 i2 与 X 2 成比例 即 变换得
E(ui2 ) i2 2 X i2
（6-17）
Yi Xi i 1 （ ） （ ） 0 1 Xi Xi Xi Xi
Yi i 1 * 令 Yi , X i , ui ； Xi Xi Xi
*
则
Var ( i ) 2 Var (ui ) ( X i )2
顺序由小到大排列； （2）将其中间的 c n / 4个观察值除去，将 余下的 n c 个观测值划分为容量相等的前后 两个子样本； （3）每个子样本的个数为 (n c) / 2 ，将两个 子样本分别进行回归； （4）分别计算两个子样本回归方程的残差平方 2 和 e12i 和 e2 i 。
表6-2 汽油消耗量的回归结果
2. 异方差的检验
（1）图示法 点击Quick/Generate Series，键入“e2=resid^2”（这 里的e2表示残差的平方），如此便生成了残差平方的序列。 在工作文件窗口下，选中e2和REG，点右键Open/as Group/Graph/Scatter/ Simple Scatter，可得e2和REG的散 点图。在散点图上，可以选中e2，拖动到理想的位置；同 样，选中REG，也可以拖动，但要放在纵轴之上的话，可 选中REG后按鼠标左键两次，选择Top，然后拖动。选中 图，按鼠标左键两次，取消“Put graph in box”的选项，就 会得到图 6-3 所示的散点图。
Ci 0 1 X i i
6.2异方差的后果
• 异方差的产生原因 1、模型中缺少某些解释变量 2、测量误差 3、异常值的出现 4、采用截面数据时，不同样本点上解释变量以 外的其他因素差异较大
• 异方差产生的后果 1、参数估计量非有效（但仍为线性无偏的）
2、t检验和F检验失效（一般会低估存在的异方 差，从而夸大参数的显著性） 3、模型预测失效
ei X ji vi ei X 2 ji vi
（3）选择以上不同的函数形式，对方程进行估 计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形 式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异 方差性。 5、White检验法（White test） 以二元回归为例， Yt 0 1 X1t 2 X 2t t （6-9）
（2）将 e 为被解释变量，将原模型的某一解释 变量 x j 作为解释变量，建立如下方程：
2 i
ei f X ji Biblioteka Baidu vi
常用的函数形式有：
ei X ji vi ei X ji vi 1 ei vi X ji ei 1 vi X ji
图6-4 排序对话框
构造子样本区间，建立子回归模型。在本例中样本容 量为50，删去中间的1/4的观察值，大约12个，余下部分 分为两个子样本区间：1-19和32-50，其样本容量都是18 ，即 n1 n2 18 。在输出回归结果的界面下，点击 Estimate，将Sample里面的“1 50”改为“1 19”，点 击“OK”就得到如下的结果。
1/ ei
6.5 CASE(P93)
油价和机动车注册数对汽油消耗量的影响研究
1. 建立模型如下：
PCONi 0 1REGi 2 PRICEi i
其中： PCON表示第i个州的汽油消耗量（单位：100万BTU）； REG表示第i个州的机动车注册数（单位：千辆） ； PRICE表示第i个州的汽油价格（单位：美分/加仑）。 注：相关数据详见教材相关内容
X i 表示人均年收 Yi 表示人均食品支出， 其中， 入。在其他条件不变的情况下，随着收入水平 X i 的提高，随机干扰项的方差也会发生变动。 普通最小二乘法失效。
6.1什么是异方差性
• 异方差性：经典线性回归模型的基本假设之一 随机干扰项的同方差性不成立，即至少有一 个 i ，使得 Var i i2 2 ，模型即存在异 方差性（heteroskedasticity）。 • 类型： 1、单调递增：以截面资料研究居民家庭的储蓄行 为，建立储蓄函数 Yi 0 1 X i i 2、单调递减：边错边改的学习模型 3、复杂型：以截面数据为样本建立居民消费函数
• 检验思路： （1）由于同方差的方差之比趋近于1，递增型 异方差的方差之比大于1，而递减型异方差的 方差之比小于1。 （2）因此可将样本分为两个部分，再对这两 个部分的子样本分别进行回归，然后用两个部 分子样本残差平方和之比构造一个 F 统计量 进行异方差检验。
具体步骤
（1）将n对观察值 Xi ,Yi 按解释变量 X i 的大小
第 6章
异方差性
通过本章我们要知道
• • • • • 6.1什么是异方差性 6.2异方差性会产生什么后果 6.3异方差性的诊断 6.4如何消除异方差性 6.5案例分析
引子
• 在以截面数据研究家庭人均年收入与人均食品 支出之间关系的时候，假定两者为线性关系， 有如下模型： Yi 0 1 X i i
表6-3 第一个子样本的回归结果
再次点击Estimate，将Sample里面的“1 19”改为“32 50”，点击“OK”就得到第二个子样本的回归结果。
表6-4 第二个子样本的回归结果
计算F统计量。从上述两表中的sum squared residual 便可获得两个子样本的残差平方和的值。第一个子样本的 2 2 e 中 1i 3866128 ，第二个子样本的中 e2i 192511.5 。 因此，Goldfeld-Quant检验的F统计量为
6.4如何消除异方差
1、加权最小二乘法WLS • 适用于随机干扰项的方差 i2 已知的情况 • 思路：对较小的 i2 赋予较大的权重；对较大 的 i2 赋予较小的权重，对原模型进行加权， 使其成为一个不存在异方差性的新模型，然后 采用普通最小二乘法进行估计。
• 具体步骤 以一元回归模型为例
*
Var (ui* ) E (ui* )2 E (
i
i2
i2 2 1 （6-14） i
（2）用OLS法对（6-13）进行回归
说明：由于随机干扰项的方差 i2 通常是未知的 ，因此在实际运用中，常常采用残差的绝对值 的倒数 1/ ei 作为权重进行加权最小二乘法。
2、模型变换法 2 （1）假设 i 与 X i 成比例 即
（6-18）
此时模型可用OLS法进行估计
3、对数变换法 • 基本思路：使解释变量的尺度缩小，从而缩小 变量差异的倍数 • 步骤： （1）将原模型 Yi 0 1 X i i 进行对数变换
ln Yi ln X i
' 0 ' 0
' i
（6-20）
（2）用WLS法进行估计，权重为
6.3异方差的诊断
1、图示法 在无异方差性的假定下作回归分析，作出 X e2 散点图，观察其是否呈现任何系统性的样式。
2 图 6-1 X e 散点图的假象样式
2、 Goldfeld-Quant检验法
适用的情况是： （1） 样本容量较大，观测值的数目一般不低于 参数个数的两倍； （2） 除了同方差假定之外，古典线性回归模型 的其它假定是满足的； 2 2 2 X （3）异方差的类型是单调型，即有 i 。 i
2 i
ln(e ) ln xi i 对此模型应用OLS法，得出 和 的估计值
2 i
(4) 对 进行 t 检验。如果 不显著，则说明 2 ei 实际上与 X i 无关，即不存在异方差性。反 之，则表明存在异方差性。 4、Glesjer检验法（Glesjer test） • 思路：通过建立 ei与X i 的关系，对新模型 进行估计。 • 步骤： （1）建立被解释变量Y 对所有解释变量的回归 方程，然后计算残差；
注意：Goldfeld-Quant检验法无法识别复杂的 异方差！
3、帕克检验法（Park test）
• 思路：把图示法进行量化，给出 e 关于 X i 的具体函数形式，然后检验这种结构是否显著 • 具体步骤： （1）建立被解释变量Y对所有解释变量X的回归 方程，然后计算残差 （2）建立辅助模型 ei2 2 xi ei ，或改写成 对数形式 ln(ei2 ) ln 2 ln xi i （6-7） （3）可以将上述函数形式改写为
E(u ) X i
2 i 2 i
Yi Xi ui 1 0 1 Xi Xi Xi Xi
（6-15）
此时
ui Var (ui ) 1 2 Var X i 2 （6-16） X Xi Xi i
模型同方差，可用OLS法估计
（2） Goldfeld-Quant检验 首先，对解释变量进行排序。在工作文件下，点击 Procs/Sort Series，将出现如图6-4的对话框。
左图中，Ascending表示 升序排列，Descending 表示降序排列。在空白 处键入需要排序的变量 名就可以实现排序。本 例中，需要对解释变量 进行排序，因此，在空 白处键入“price”，并 按升序排列，点击“OK” 后就实现了对应解释变 量的排序。
图6-3 e2和REG散点图
从图6-3可以看出，散点图的点主要分布在左下角，大 致可以看出，残差平方 ei2 随REG增大似乎呈现变大的趋 2 势。用同样的方法，可以发现 ei 随PRICE的增大也随之 增大。因此，我们可以认为模型很可能存在异方差性。但 这只是一种直观的判断，模型是否真的存在异方差性，还 需用其他方法进一步检验。
（5）提出假设 i 是同方差的，即两个子样本的随机干扰 H0 ： 项方差相等 i 是异方差的，即两个子样本的随机干扰 H1 ： 项方差不相等 （6）进行F检验，根据结果判断是否有异方差：
2 2i
nc e / ( 2 k 1) e22i n c nc F F( k 1, k 1) （6-6） 2 nc e1i 2 2 2 e / ( k 1) 1i 2
F
2 e 2i 2 e 1i
3866128 20.08 192511.5
在5%的显著水平下，查分子和分母自由度均为17的F 分布表得 F0.05 2.48 。由于 F F0.05 ，所以拒绝原假设， 认为模型存在异方差性。 同理，可以对变量REG影响异方差的主要因素，进行 Goldfeld-Quant异方差检验。
• 步骤 2 （1）先对该模型进行OLS回归，得到 ei ， （2）如下辅助回归： 2 2 2 ei ＝0 1 X1i 2 X 2i 3 X1i 4 X 2i 5 X1i X 2i＋ui
（6-10）
2 2 R nR （3）计算统计量 ，其中n为样本容量， 为 辅助回归的可决系数。 在同方差假设下， （k为解释变量个 nR2 2 (k ) 数） 如果算得的统计量 nR 2 超过选定显著性水平下 的 2 临界值，则认为原线性回归模型中存在 2 2 异方差性。如果 nR 不超过 ，则认为原模型 中不存在异方差性，即在辅助回归中 1 2 3 4 5 0 。
Yi 0 1 X i i
（1）已知 Var (i ) E(ui2 ) i2 ，则
i
Yi 0 (
*
（6-11）
1
i
* 0
) 1 (
i
Xi
)(
*
i
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)
（6-12） （6-13）
即 此时
Yi 1 X i ui
ui )2 E (ui2 )
按照第1章讲述的数据录入方法，将数据录入EViews， 在工作文件窗口中按先后顺序，选中PCON，REG， PRICE，点右键Open/as Equation，点击“OK”；或在 主菜单下，选择Quick/Estimate equation，键入“PCON REG PRICE c”，点击“OK”，便得到以下的结果。
（2）假设 i2 与 X 2 成比例 即 变换得
E(ui2 ) i2 2 X i2
（6-17）
Yi Xi i 1 （ ） （ ） 0 1 Xi Xi Xi Xi
Yi i 1 * 令 Yi , X i , ui ； Xi Xi Xi
*
则
Var ( i ) 2 Var (ui ) ( X i )2
顺序由小到大排列； （2）将其中间的 c n / 4个观察值除去，将 余下的 n c 个观测值划分为容量相等的前后 两个子样本； （3）每个子样本的个数为 (n c) / 2 ，将两个 子样本分别进行回归； （4）分别计算两个子样本回归方程的残差平方 2 和 e12i 和 e2 i 。
表6-2 汽油消耗量的回归结果
2. 异方差的检验
（1）图示法 点击Quick/Generate Series，键入“e2=resid^2”（这 里的e2表示残差的平方），如此便生成了残差平方的序列。 在工作文件窗口下，选中e2和REG，点右键Open/as Group/Graph/Scatter/ Simple Scatter，可得e2和REG的散 点图。在散点图上，可以选中e2，拖动到理想的位置；同 样，选中REG，也可以拖动，但要放在纵轴之上的话，可 选中REG后按鼠标左键两次，选择Top，然后拖动。选中 图，按鼠标左键两次，取消“Put graph in box”的选项，就 会得到图 6-3 所示的散点图。
Ci 0 1 X i i
6.2异方差的后果
• 异方差的产生原因 1、模型中缺少某些解释变量 2、测量误差 3、异常值的出现 4、采用截面数据时，不同样本点上解释变量以 外的其他因素差异较大
• 异方差产生的后果 1、参数估计量非有效（但仍为线性无偏的）
2、t检验和F检验失效（一般会低估存在的异方 差，从而夸大参数的显著性） 3、模型预测失效
ei X ji vi ei X 2 ji vi
（3）选择以上不同的函数形式，对方程进行估 计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形 式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异 方差性。 5、White检验法（White test） 以二元回归为例， Yt 0 1 X1t 2 X 2t t （6-9）
（2）将 e 为被解释变量，将原模型的某一解释 变量 x j 作为解释变量，建立如下方程：
2 i
ei f X ji Biblioteka Baidu vi
常用的函数形式有：
ei X ji vi ei X ji vi 1 ei vi X ji ei 1 vi X ji
图6-4 排序对话框
构造子样本区间，建立子回归模型。在本例中样本容 量为50，删去中间的1/4的观察值，大约12个，余下部分 分为两个子样本区间：1-19和32-50，其样本容量都是18 ，即 n1 n2 18 。在输出回归结果的界面下，点击 Estimate，将Sample里面的“1 50”改为“1 19”，点 击“OK”就得到如下的结果。
1/ ei
6.5 CASE(P93)
油价和机动车注册数对汽油消耗量的影响研究
1. 建立模型如下：
PCONi 0 1REGi 2 PRICEi i
其中： PCON表示第i个州的汽油消耗量（单位：100万BTU）； REG表示第i个州的机动车注册数（单位：千辆） ； PRICE表示第i个州的汽油价格（单位：美分/加仑）。 注：相关数据详见教材相关内容
X i 表示人均年收 Yi 表示人均食品支出， 其中， 入。在其他条件不变的情况下，随着收入水平 X i 的提高，随机干扰项的方差也会发生变动。 普通最小二乘法失效。
6.1什么是异方差性
• 异方差性：经典线性回归模型的基本假设之一 随机干扰项的同方差性不成立，即至少有一 个 i ，使得 Var i i2 2 ，模型即存在异 方差性（heteroskedasticity）。 • 类型： 1、单调递增：以截面资料研究居民家庭的储蓄行 为，建立储蓄函数 Yi 0 1 X i i 2、单调递减：边错边改的学习模型 3、复杂型：以截面数据为样本建立居民消费函数
• 检验思路： （1）由于同方差的方差之比趋近于1，递增型 异方差的方差之比大于1，而递减型异方差的 方差之比小于1。 （2）因此可将样本分为两个部分，再对这两 个部分的子样本分别进行回归，然后用两个部 分子样本残差平方和之比构造一个 F 统计量 进行异方差检验。
具体步骤
（1）将n对观察值 Xi ,Yi 按解释变量 X i 的大小
第 6章
异方差性
通过本章我们要知道
• • • • • 6.1什么是异方差性 6.2异方差性会产生什么后果 6.3异方差性的诊断 6.4如何消除异方差性 6.5案例分析
引子
• 在以截面数据研究家庭人均年收入与人均食品 支出之间关系的时候，假定两者为线性关系， 有如下模型： Yi 0 1 X i i
表6-3 第一个子样本的回归结果
再次点击Estimate，将Sample里面的“1 19”改为“32 50”，点击“OK”就得到第二个子样本的回归结果。
表6-4 第二个子样本的回归结果
计算F统计量。从上述两表中的sum squared residual 便可获得两个子样本的残差平方和的值。第一个子样本的 2 2 e 中 1i 3866128 ，第二个子样本的中 e2i 192511.5 。 因此，Goldfeld-Quant检验的F统计量为
6.4如何消除异方差
1、加权最小二乘法WLS • 适用于随机干扰项的方差 i2 已知的情况 • 思路：对较小的 i2 赋予较大的权重；对较大 的 i2 赋予较小的权重，对原模型进行加权， 使其成为一个不存在异方差性的新模型，然后 采用普通最小二乘法进行估计。
• 具体步骤 以一元回归模型为例
*
Var (ui* ) E (ui* )2 E (
i
i2
i2 2 1 （6-14） i
（2）用OLS法对（6-13）进行回归
说明：由于随机干扰项的方差 i2 通常是未知的 ，因此在实际运用中，常常采用残差的绝对值 的倒数 1/ ei 作为权重进行加权最小二乘法。
2、模型变换法 2 （1）假设 i 与 X i 成比例 即
（6-18）
此时模型可用OLS法进行估计
3、对数变换法 • 基本思路：使解释变量的尺度缩小，从而缩小 变量差异的倍数 • 步骤： （1）将原模型 Yi 0 1 X i i 进行对数变换
ln Yi ln X i
' 0 ' 0
' i
（6-20）
（2）用WLS法进行估计，权重为
6.3异方差的诊断
1、图示法 在无异方差性的假定下作回归分析，作出 X e2 散点图，观察其是否呈现任何系统性的样式。
2 图 6-1 X e 散点图的假象样式
2、 Goldfeld-Quant检验法
适用的情况是： （1） 样本容量较大，观测值的数目一般不低于 参数个数的两倍； （2） 除了同方差假定之外，古典线性回归模型 的其它假定是满足的； 2 2 2 X （3）异方差的类型是单调型，即有 i 。 i
2 i
ln(e ) ln xi i 对此模型应用OLS法，得出 和 的估计值
2 i
(4) 对 进行 t 检验。如果 不显著，则说明 2 ei 实际上与 X i 无关，即不存在异方差性。反 之，则表明存在异方差性。 4、Glesjer检验法（Glesjer test） • 思路：通过建立 ei与X i 的关系，对新模型 进行估计。 • 步骤： （1）建立被解释变量Y 对所有解释变量的回归 方程，然后计算残差；
注意：Goldfeld-Quant检验法无法识别复杂的 异方差！
3、帕克检验法（Park test）
• 思路：把图示法进行量化，给出 e 关于 X i 的具体函数形式，然后检验这种结构是否显著 • 具体步骤： （1）建立被解释变量Y对所有解释变量X的回归 方程，然后计算残差 （2）建立辅助模型 ei2 2 xi ei ，或改写成 对数形式 ln(ei2 ) ln 2 ln xi i （6-7） （3）可以将上述函数形式改写为